2.1认识有理数 同步练习 2026--2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到拓展探究梯度递进，适配新授课知识巩固与差异化能力培养，体现数学抽象、推理与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|有理数概念（正负数、相反数、绝对值、数轴）|选择填空为主，直接考查定义（如海拔表示、负整数识别），解答题强化分类与数轴表示| |能力提优|综合应用（绝对值性质、数轴对称、偏差分析）|结合情境辨析（零件偏差最接近标准），通过表格探究相反数与绝对值关系，提升推理能力| |拓展探究|开放探究（相反数对数、绝对值关系）|数卡分类、绝对值相等关系讨论，培养创新意识与跨情境应用能力|

北师大版（2024） · 七年级数学 · 2.1 认识有理数 · 分层训练 2.1认识有理数 分层训练 北师大版（2024） · 七年级上册 第一部分（夯实基础·必做） 一、选择题（共 8 题） 1．若以海平面为基准，海拔 120 m 记作＋120 m，那么低于海平面 35 m 应记作（　　） A．＋35 m B．−35 m C．35 m D．0 m 2．下列各数中，属于负整数的是（　　） A．−1.5 B．− C．− D．0 3．下列说法正确的是（　　） A．0 是正数 B．0 是负数 C．0 是整数，但既不是正数也不是负数 D．0 不是有理数 4．下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．− 与 B．−2 与 C．0 与 1 D．−4 与 −4 5．如图，数轴上点 A、B、C、D 中，表示 −1.5 的点是（　　） A．A B．B C．C D．D 6．|−| 的值是（　　） A．− B． C．− D． 7．在 −3.2，2.8，−，0 中，绝对值最大的数是（　　） A．−3.2 B．2.8 C．− D．0 8．在数轴上，点 M 在点 N 的左边，则 M、N 所表示的数 m、n 的大小关系是（　　） A．m<n B．m>n C．m=n D．无法确定 二、填空题（共 5 题） 9．某班一次跳绳测试以每分钟 150 个为标准，超过 8 个记作＋8，那么少于标准 5 个记作________。 10．在 −8，0，，−2.5，6，− 中，正整数有________个，负整数有________个，正分数有________个，负分数有________个。 11．如图是有理数的一种分类结构图，请在①②处填入恰当的内容。 ①________________；②________________。 12．数轴上点 A 表示 −3.5，点 B 与点 A 关于原点对称，则点 B 表示________。 13．数轴上到原点的距离为 2.5 个单位长度的点有________个，它们表示的数分别是________________。 三、解答题（共 3 题） 14．小华把下面的数分类时出现了错误：−4，−1.5，0，，5，−。 他写成“整数：−4，0，5；分数：−1.5，，−”。 （1）指出他的错误； （2）按“整数、分数”重新正确分类。 15．在下面的数轴上表示 −2.5，−1，，2 四个数，并把它们按从小到大的顺序排列。 16．完成下面的表格，并根据表格回答问题。 第1列 第2列 第3列 a −2 0 −a ________ ________ ________ |a| ________ ________ ________ （1）填完整表格； （2）观察每一列，一个数与它的相反数的绝对值有什么关系？ 第二部分（能力提优·必做） 四、选择题（共 7 题） 17．下列说法中正确的有（　　）个：①0 是整数；②−2.5 是分数；③|−3|=−3；④数轴上右边的数总比左边的数大。 A．1 B．2 C．3 D．4 18．若 a<0，则下列各数中一定为正数的是（　　） A．a B．−a C．−|a| D．0 19．如图，数轴上 P、Q、R、S 四点中，所表示数的绝对值最大的是（　　） A．P B．Q C．R D．S 20．某零件标准质量为 20.00 g，四个零件的质量偏差分别为＋0.04 g、−0.02 g、＋0.01 g、−0.05 g，最接近标准质量的是（　　） A．＋0.04 g B．−0.02 g C．＋0.01 g D．−0.05 g 21．如图，数轴上点 P、Q、R、S 中，关于原点对称的两个点是（　　） A．P 与 Q B．Q 与 R C．R 与 S D．P 与 R 22．若 |x|=4，且 x 在数轴原点左侧，则 x 的相反数是（　　） A．−4 B．4 C．±4 D．0 23．数轴上点 M 在表示 −1 和 2 的两点之间，且 |m|=1.5，则点 M 表示的数 m 是（　　） A．−1.5 B．1.5 C．±1.5 D．0 五、填空题（共 5 题） 24．完成下表： 第1列 第2列 第3列 a − ________ 0 −a ________ −2.4 ________ |a| ________ ________ ________ 25．若 |x|=，则 x=________________。 26．大于 −3.5 且小于 2.2 的整数共有________个。 27．数轴上 A、B 两点关于原点对称，A 在原点左侧，且 AB=7 个单位长度，则 A 表示________，B 表示________。 28．已知 |a|=3.5，且 a 的相反数所对应的点在原点右侧，则 a=________。 六、解答题（共 3 题） 29．判断下列说法是否正确。若错误，请举反例并改正。 （1）“两个数的绝对值相等，这两个数一定相等。” （2）“两个负数中，绝对值较大的数反而较小。” 30．如图，数轴上有 A、B、C、D 四个点。 （1）写出 A、B、C、D 四点表示的数； （2）四点中，哪两个点表示的数互为相反数？ （3）四个数中，绝对值最小的数是什么？绝对值最大的数有哪几个？ 31．把数轴所在的纸条折叠，使表示 −2 的点与表示 4 的点重合。 （1）折痕与数轴的交点表示什么数？ （2）按这种方式折叠后，表示 8 的点与表示哪个数的点重合？说明理由。 第三部分（拓展探究·选做） 七、综合题（共 2 题） 32．有 7 张数卡，分别写着 −3，3，−，0.5，0，2，。 （1）从不同的两张数卡中找出所有互为相反数的数对； （2）按“整数、分数”分类，并说明 2 与 在分类时应怎样处理。 33．已知两个有理数 a、b 满足 |a|=|b|。 （1）小明认为“一定有 a=b”。你同意吗？请说明 |a|=|b| 时 a、b 可能具有的关系； （2）若 a≠b，且 b=−，求 a。 详细答案与解析 第一部分（夯实基础·必做） 1．答案：B 高于海平面与低于海平面是一对具有相反意义的量。规定高于海平面为正，则低于海平面 35 m 记作 −35 m。 2．答案：B −=−2，−2 是负整数。−1.5 和 − 都是负分数，0 是整数但不是负整数。 3．答案：C 0 属于整数，也属于有理数；0 既不是正数，也不是负数，所以 C 正确。 4．答案：A − 与 只有符号不同，绝对值相等，因此互为相反数。 5．答案：B 由图中 0 和 1 可确定单位长度。点 B 位于原点左侧 1.5 个单位长度处，所以表示 −1.5。 6．答案：B 负数的绝对值等于它的相反数，因此 |−|=。 7．答案：A 四个数的绝对值依次为 3.2，2.8，，0，其中 3.2 最大，所以绝对值最大的数是 −3.2。 8．答案：A 数轴上，右边的数总比左边的数大。M 在 N 的左边，所以 m<n。 9．答案：−5 少于标准与超过标准意义相反。超过标准记正数，因此少于标准 5 个记作 −5。 10．答案：1，2，1，1 −=−2，是负整数。正整数只有 6，共 1 个；负整数有 −8、−2，共 2 个；正分数只有 ，共 1 个；负分数只有 −2.5，共 1 个。0 单独归为 0。 11．答案：①0；②负分数 整数可分为正整数、0、负整数；分数可分为正分数、负分数，所以①填 0，②填负分数。 12．答案：3.5 关于原点对称的两个点表示互为相反数，因此 −3.5 关于原点的对称点表示 3.5。 13．答案：2；−2.5，2.5 到原点的距离为 2.5 个单位长度的点分别在原点左、右两侧，各有一个，因此共有 2 个，表示 −2.5 和 2.5。 14．答案： （1）错误在把 − 归入了分数。因为 −=−2，它表示的是整数。 （2）整数：−4，0，5，−；分数：−1.5，。分类时应依据数的实际值，而不能只看书写形式。 15．答案： 在数轴上依次标出 −2.5、−1、、2。数轴上越靠右的数越大，因此从小到大为：−2.5<−1<<2。 16．答案： （1）第1列：a=−2，所以 −a=2，|a|=2； 　　第2列：a=0，所以 −a=0，|a|=0； 　　第3列：a=，所以 −a=−，|a|=。 （2）一个数与它的相反数到原点的距离相等，所以它们的绝对值相等。0 的相反数仍是 0，结论同样成立。 第二部分（能力提优·必做） 17．答案：C ①正确，0 是整数；②正确，−2.5 是负分数；③错误，|−3|=3；④正确。共有 3 个正确说法。 18．答案：B a<0，说明 a 是负数，它的相反数 −a 一定是正数；−|a| 一定是负数，0 既不是正数也不是负数。 19．答案：A P、Q、R、S 表示的数分别为 −3.5、−1、1.5、3，它们的绝对值分别为 3.5、1、1.5、3，因此 P 所表示数的绝对值最大。 20．答案：C 偏差的绝对值表示与标准质量相差的大小。0.04、0.02、0.01、0.05 中最小的是 0.01，所以偏差为＋0.01 g 的零件最接近标准质量。 21．答案：B 由图中 0 和 1 可确定单位长度。Q、R 分别表示 −1.5 和 1.5，二者互为相反数，对应的点关于原点对称。 22．答案：B |x|=4 且 x 在原点左侧，所以 x=−4；−4 的相反数是 4。 23．答案：B |m|=1.5，所以 m 可能是 −1.5 或 1.5。又因为 M 在 −1 和 2 之间，−1.5 不符合条件，因此 m=1.5。 24．答案：见解析 第1列：a=−，所以 −a=，|a|=； 第2列：−a=−2.4，所以 a=2.4，|a|=2.4； 第3列：a=0，所以 −a=0，|a|=0。 25．答案：见解析 |x|= 表示 x 到原点的距离为 个单位长度，因此 x= 或 x=−。 26．答案：6 满足 −3.5<x<2.2 的整数是 −3、−2、−1、0、1、2，共 6 个。 27．答案：−3.5，3.5 A、B 关于原点对称，因此原点是 AB 的中点。AB=7 个单位长度，所以两点到原点的距离均为 3.5 个单位长度。A 在左侧，故 A 表示 −3.5，B 表示 3.5。 28．答案：−3.5 |a|=3.5，所以 a 可能为 3.5 或 −3.5。a 的相反数在原点右侧，说明 −a>0，从而 a<0，因此 a=−3.5。 29．答案： （1）错误。例如 2 与 −2 的绝对值都等于 2，但 2≠−2。正确说法是：两个数的绝对值相等时，这两个数相等或互为相反数。 （2）正确。两个负数在数轴上都位于原点左侧，绝对值越大，离原点越远，也就越靠左，因此这个数反而越小。 30．答案： （1）由 0 和 1 可确定单位长度，所以 A、B、C、D 四点分别表示 −3、−1、2、3。 （2）A 表示 −3，D 表示 3，二者互为相反数。 （3）四个数的绝对值分别为 3、1、2、3，所以绝对值最小的数是 −1；绝对值最大的数有两个，是 −3 和 3。 31．答案： （1）−2 与 4 重合时，折痕对应两点的中点。−2 与 4 到 1 的距离都为 3 个单位长度，所以折痕与数轴的交点表示 1。 （2）表示 8 的点到折痕点 1 的距离为 7 个单位长度，因此与它重合的点应在 1 的左侧 7 个单位长度处，表示 −6。 第三部分（拓展探究·选做） 32．答案： （1）从不同的两张数卡中可组成的互为相反数的数对有两对：−3 与 3，− 与 0.5。因为 0.5=。0 的相反数是 0，但只有一张写 0 的数卡，不能用同一张卡与自身组成数对。 （2）按数值分类：整数有 −3、3、0、2、；分数有 −、0.5。由于 =2，它表示整数 2；因此 2 与 是两个书写形式不同但数值相同的数卡，分类时都归入整数。 33．答案： （1）不同意。|a|=|b| 表示 a、b 对应的点到原点的距离相等，因此两点可能重合，也可能关于原点对称。所以可能有 a=b，也可能有 a=−b。 （2）已知 a≠b，因此不能取 a=b，只能取 a=−b。b=−，所以 a=。 汪老师编写 · 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $