精品解析：山东省日照第一中学2026-2027学年高一年级上学期开学考试数学试题

2026级高一年级上学期开学考试 数学 2026.08 本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的条形码粘贴在答题卡相应的位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合补集和交集的概念解出. 【详解】求解集合，解不等式， 解得或，即， 所以，已知，所以. 故选：D 2. 已知，，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分、必要条件的定义即可判断． 【详解】由得，则 ，则，充分性成立； 由，若，，则，得不到，必要性不成立， 故 p是 q的充分不必要条件． 故选：A． 3. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示列式求解. 【详解】由向量，，因为，得，则实数的值为. 4. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先化简等式为，再利用“1”的妙用，变形为，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】由可知，， 所以， 当，即时，等号成立， 联立，得， 所以当时，的最小值为. 故选：C 5. 已知一组数据，，…，的平均数为2，方差为1，则数据 ， ，…， 的平均数和方差分别为（ ） A. 1，4 B. 2，1 C. 1，1 D. 2，4 【答案】A 【解析】 【分析】利用线性变换 下平均数满足 、方差满足的性质分步计算，分别求出变换后数据的平均数与方差. 【详解】设原数据的平均数为，方差为，由题意得 ， . 设新数据 的平均数为， 则 设新数据的方差为， 则 新数据的平均数为，方差为. 6. 函数，则的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用换元法求出函数的解析式，判断函数单调性，结合零点存在定理，即可求得答案. 【详解】令，则化为， 即，该函数在上单调递增， ，， 即， 故的零点所在的区间为. 故选：D 7. 已知，对都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由变形得，构造函数,进而根据二次函数的单调性求参数. 【详解】由，得，则， 设函数，则对都有成立， 所以函数在区间上单调递增， 所以，解得，则. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将变形为，从而构造函数. 8. 若的定义域为，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用特殊值法，得到抽象函数的周期性与对称性，再结合，，得到. 【详解】令，则，又因为，所以. 令，可得. 令，则，即. 两式相加可知，即 又因为，所以，即的周期为. 所以结合以及，可得 . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选题）已知非零实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，对每一选项逐一判断即可 【详解】对于选项A，当或时，显然成立；当时，由，所以，当且仅当时等号成立，故选项A正确； 对于选项B，，由A知，当时，；当时，，故选项B错误； 对于选项C，，当且仅当时等号成立，故选项C正确； 对于选项D，，当且仅当时等号成立，故选项D正确. 故选：ACD 10. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 当时， B. 在上单调递增 C. 的值域为 D. 有2个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出的解析式，再逐项判断即得. 【详解】定义在R上的奇函数，，当时，， 对于A，当时，，则，A错误； 对于B，当时，，则在上单调递增，B正确； 对于C，当时，的取值集合为；； 当时，的取值集合为，因此的值域为，C正确； 对于D，由，得， 当时，，解得； 当时，； 当时，，解得，因此有2个零点，D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，若对于实数，存在、、（其中），满足方程，则（ ） A. B. C. D. 的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，则，分、、三种情况讨论，数形结合可判断ABC选项；对于D选项，方法一：数形结合可得出的最大值及其对应的的值；方法二：将、、表示为关于的表达式，结合函数单调性可得出的最大值，可判断D选项. 【详解】作出函数的图象如下图所示： 当时，，则，， 当时，，则， 令，则， 一方面，当时，方程有唯一解， 直线与函数的图象有两个交点，不符合题意； 当时，有唯一解， 方程只有一个根，不符合题意； 当时，有两解，； 根据图象，有一个根，有两个根和， 由图可知，， 由，可得， 由，解得，其中满足， 所以，选项A和B正确，选项C错误； 对于选项D：方法一：由上述分析，在时等号成立. 方法二：，， ， 所以， 因为函数在上为增函数， 对于函数，因为内层函数在上为增函数，外层函数为增函数， 由复合函数法可知函数在上为增函数， 所以当时，取得最大值，正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知命题“，使得”为假命题，则实数a的范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知得到真命题，结合二次函数的单调性求解即可； 【详解】由题意可得命题“，使得”为真命题， 即在上有解， 令，，则， 在为减函数，所以， 所以，即实数a的范围为. 故答案为：. 13. 我们可以把看作每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是.这样，一年后“进步”的大约是“落后”的1481倍，即，那么大约经过______天后，“进步”的是“落后”的10倍（结果四舍五入精确到个位）.（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】设经过天后“进步”的是“落后”的10倍，得到，结合题意和对数的运算公式，求得的值，即可得到答案. 【详解】设经过天后“进步”的是“落后”的10倍，可得， 两边取常用对数，可得，所以， 因为，可得，解得， 所以，即， 所以大约经过天后“进步”的是“落后”的10倍. 故答案为：. 14. 已知幂函数是偶函数，则______，设，若对于任意，，则实数的最大值为______. 【答案】 ①. －2 ②. －1 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和偶函数的性质即可解出，令，将不等式转化为恒成立问题，即可求解. 【详解】由已知幂函数是偶函数，则有，解得或， 又，则指数须为偶数，所以. 所以，则， 不等式可化为，令， 则，时取等号，不等式变为. 当时，不等式不成立； 当时，令二次函数，其对称轴为，， 要使在时恒成立， 则且，解得，所以的最大值为. 故答案为：－2；－1. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）求解二次不等式，得到集合，根据集合并集运算法则计算即可； （2）由题可知，列出不等式进行计算即可． 【小问1详解】 当时，或； ∵， ∴或； 【小问2详解】 ∵“”是“”的充分条件，∴， ∵，即， ∴或，∴或， 而，要使得， 需有或， ∴或． 16. 某校全体学生参加体能测试，现用简单随机抽样的方法从中抽取100人的测试分数作为样本，将样本数据分为5组：，，，，，并绘制出频率分布直方图，如图所示． （1）估计该校学生的体能测试分数的第25百分位数（精确到0.1）； （2）采用比例分配的分层随机抽样方法，在分数段为和的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行访谈，求这2人分数均小于60的概率． 【答案】（1）62.9 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求出，结合百分位数的定义求解即可. （2）根据分层随机抽样方法及古典概型的概率计算公式求解即可. 【小问1详解】 由题意得：，解得， 设第25百分位数为，则，解得， 用样本估计总体，所以估计总体的第25百分位数为62.9． 【小问2详解】 按照分层随机抽样，分数位于内有3人，记为，，， 分数位于内有2人，记为，， 则样本空间，共10个样本点， 记两人分数均小于60为事件，则，有3个样本点， 所以． 17. 已知函数为奇函数． （1）求实数a的值并指出函数的单调性（不需证明）； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）；函数在上单调递增 （2） 当时, 不等式的解集为; 当时，不等式的解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质可得实数a的值，再由复合函数的单调性可得判断的单调性； （2）由函数的单调性解抽象函数不等式，再利用换元法结合对数的运算对讨论即可； 【小问1详解】 因为函数为奇函数，定义域为， 所以， 此时，，满足题意， 函数在上单调递增， 因为在单调递增，在上单调递减，上单调递增， 所以在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）可得函数在上单调递增， 所以， 即， 令，即，即， 当时，，即，因为恒成立，所以解得， 当时，，即，解得； 当时，，解集为空集； 当时，，即，解得； 综上，当时, 不等式的解集为; 当时，不等式的解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 18. 已知函数. （1）当时，判断在上的单调性，并用定义证明； （2）若，. （i）求的值； （ii）若存在，当时，的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1） 函数在上单调递增. 证明：当时，函数. ，且， 则 ， 由，得，，， 于是，即， 所以函数在上单调递增. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解； （2）（i）根据题意，得到，即可求解； （ii）法一：根据题意，转化为方程有两个大于的不等实数根，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解； 法二：根据题意，转化为方程有两个大于的不等实数根，求得的取值范围，进而求得的范围，得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为，所以，解得. （ii）法一：因为在上单调递增， 所以当时，的值域为， 即，可得是关于的方程的的两个不等实数根，并且， 所以方程有两个大于的不等实数根， 令，对称轴为， 则满足，即或，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 法二：因为在上单调递增， 所以当时，的值域为， 即，所以是关于的方程的的两个不等实数根，并且， 显然，即方程有两个大于的不等实数根， 即函数和在上的图像有两个交点， 画出函数在上的图象，如图所示， 结合图象，可得，即，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 19. 已知函数．定义，设，为常数． （1）当时，判断函数的奇偶性； （2）已知，求使得等式成立的取值范围； （3）定义区间的长度为．若的解集为，问是否存在，使得的全部区间长度之和等于6，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）为偶函数 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分析得到，从而得到为偶函数； （2）故成立，分和两种情况，得到不等式，结合根的判别式得到不等式的解集，求出等式成立的取值范围为； （3）先求出的最小值为1，若有解，首先满足，当时，解得，区间长度为，令，解得，不满足，舍去；当，令得到方程，时，恒成立，再分和时，得到区间长度，求出. 【小问1详解】 当时，， 若时，，， 故， 若，，， 故， 此时， 因为，，且，因此为偶函数， 【小问2详解】 ， 故成立， 其中，，， 当时，，，即， ， 所以，解得， 当时，，，即， ， 因为，当时，，此时不等式无解； 当时，，此时不等式为，解为，不满足； 当时，，此时不等式解集为 ， 其中， ， ，故， 则， 故与无交集，故无解； 综上，等式成立的取值范围为； 【小问3详解】 因为的最小值为1，的最小值为2， 故的最小值为1， 若有解，首先满足， 由于的最小值为2，则当时， ，即，解得， 则其解集为，此时区间长度为， 令，解得，不满足，舍去； 由于，故与相交于的右侧， 令得，， 即，化简得， 时，恒成立， 则两根为，显然， 当时，， 当时，的解集为， ，即，解得， 的解集为， 此时， 此时区间长度为， 令，解得或6（舍去）， 当时，由于恒成立， 此时， 此时的区间长度为， 当时，，故无解； 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级高一年级上学期开学考试 数学 2026.08 本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的条形码粘贴在答题卡相应的位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 4. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. 9 D. 5. 已知一组数据，，…，的平均数为2，方差为1，则数据 ， ，…， 的平均数和方差分别为（ ） A. 1，4 B. 2，1 C. 1，1 D. 2，4 6. 函数，则的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，对都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若的定义域为，且，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选题）已知非零实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 当时， B. 在上单调递增 C. 的值域为 D. 有2个零点 11. 已知函数，若对于实数，存在、、（其中），满足方程，则（ ） A. B. C. D. 的最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知命题“，使得”为假命题，则实数a的范围为________． 13. 我们可以把看作每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是.这样，一年后“进步”的大约是“落后”的1481倍，即，那么大约经过______天后，“进步”的是“落后”的10倍（结果四舍五入精确到个位）.（参考数据：） 14. 已知幂函数是偶函数，则______，设，若对于任意，，则实数的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 16. 某校全体学生参加体能测试，现用简单随机抽样的方法从中抽取100人的测试分数作为样本，将样本数据分为5组：，，，，，并绘制出频率分布直方图，如图所示． （1）估计该校学生的体能测试分数的第25百分位数（精确到0.1）； （2）采用比例分配的分层随机抽样方法，在分数段为和的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行访谈，求这2人分数均小于60的概率． 17. 已知函数为奇函数． （1）求实数a的值并指出函数的单调性（不需证明）； （2）解关于x的不等式． 18. 已知函数. （1）当时，判断在上的单调性，并用定义证明； （2）若，. （i）求的值； （ii）若存在，当时，的值域为，求实数的取值范围. 19. 已知函数．定义，设，为常数． （1）当时，判断函数的奇偶性； （2）已知，求使得等式成立的取值范围； （3）定义区间的长度为．若的解集为，问是否存在，使得的全部区间长度之和等于6，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $