精品解析：山东潍坊市某校2025-2026学年高一上学期新生入学测试数学试题

2025级新生入学测试数学科试题 时间：90分钟 分数：120分 一、单选题（每题5分，共35分） 1. 已知，则下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ） A. π B. 2π C. 3π D. 4π 4. 集合的另一种表示法是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的顶点在x轴上，则b的值一定为（ ） A. 4 B. C. D. 6. 集合{(x，y)|y＝2x－1}表示(　　) A. 方程y＝2x－1 B. 点(x，y) C. 平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D. 函数y＝2x－1图像上的所有点组成的集合 7. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共12分） 8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，一次函数的图象与轴交于点．则下列结论正确的是（ ） A. 反比例函数的表达式为 B. 一次函数的表达式为 C. 当时，自变量的取值范围为 D. 线段与线段的长度比为 9. 如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论正确的为（ ） A. B. C. D. 三．填空题 (每题5分，共15分) 10. 已知集合，则______，______. 11. 已知，，在二次函数的图象上，则、、的大小关系是______． 12. 计算______． 四．解答题（共3题，共38分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13. （1）（因式分解 ） （2）（配方） 14. 若是方程的两个根，试求下列各值： （1） （2） （3） （4） 15. 在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的pH值进行了检测，并对一天（24小时）内每小时的pH值进行了整理、描述及分析． 【收集数据】 甲基地水体的pH值数据： 7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26． 乙基地水体的pH值数据： 7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21． 【整理数据】 甲 2 5 7 7 3 乙 4 2 9 a 2 【描述数据】 【分析数据】 平均数 众数 中位数 方差 甲 7.79 b 7.81 0.10 乙 7.78 7.77 c 0.13 根据以上信息解决下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）填空：______，______； （3）请判断甲、乙哪个基地水体的pH值更稳定，并说明理由； （4）已知两基地对水体pH值的日变化量（pH值最大值与最小值的差）要求为，分别判断并说明该日两基地的pH值是否符合要求． 16. 据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动轨迹（如图所示）是一条经过坐标原点的抛物线（图中标出数字为已知条件），且在跳某个规定的翻腾动作时，正常情况下运动员在空中的最高点距水面米，入水处距池边4米，同时运动员在距水面5米或5米以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误． （1）求这个抛物线的解析式； （2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹为（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？请通过计算说明理由； （3）某运动员按（1）中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级新生入学测试数学科试题 时间：90分钟 分数：120分 一、单选题（每题5分，共35分） 1. 已知，则下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A，，并非，运算错误； B，，运算正确； C，和不是同类项，不能直接合并，该等式仅在特定值下成立，不是恒成立的运算规则，错误； D，，并非，运算错误. 2. 某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用古典概型的概率求法求甲、乙两位同学抽到“亚醜钺”的概率. 【详解】由题意，甲、乙两位同学抽到的纪念品方式有种，同时抽到“亚醜钺”的方式只有1种，所以所求概率为. 3. 在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ） A. π B. 2π C. 3π D. 4π 【答案】D 【解析】 【详解】由图可知，正方形的对角线为外接圆的直径，正方形的边长为内切圆的直径. 已知内切圆的半径是2，则正方形的边长为， 则正方形的对角线为，外接圆的半径为， 阴影部分的面积，D正确. 4. 集合的另一种表示法是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元一次不等式，写出集合中的元素，利用列举法可得答案. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以， 故选：B. 5. 抛物线的顶点在x轴上，则b的值一定为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由判别式为0可得. 【详解】由题意得. 6. 集合{(x，y)|y＝2x－1}表示(　　) A. 方程y＝2x－1 B. 点(x，y) C. 平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D. 函数y＝2x－1图像上的所有点组成的集合 【答案】D 【解析】 【分析】由集合中的元素的表示法可知集合{（x，y）|y=2x﹣1}表示函数y=2x﹣1图象上的所有点组成的集合． 【详解】集合{（x，y）|y=2x﹣1}中的元素为有序实数对（x，y），表示点，所以集合{（x，y）|y=2x﹣1}表示函数y=2x﹣1图象上的所有点组成的集合． 故选D． 【点睛】本题考查了集合的分类，考查了集合中的元素，解答的关键是明确（x，y）表示点，是基础题． 7. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件，利用完全平方公式可求，再结合立方差公式求 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 二、多选题（每题6分，共12分） 8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，一次函数的图象与轴交于点．则下列结论正确的是（ ） A. 反比例函数的表达式为 B. 一次函数的表达式为 C. 当时，自变量的取值范围为 D. 线段与线段的长度比为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A和B，根据条件，利用点在函数图象上，建立方程组，即可求解；对C，根据条件得，解不等式组，即可求解；对D，根据条件得，过分别作轴的垂线，分别交轴于，从而有，即可求解. 【详解】对于A，由题知点，在函数的图象上，则， 解得，所以反比例函数的表达式为，故A正确， 对于B，由题及选项A知点，在一次函数的图象上， 所以，解得，所以一次函数的表达式为，故B正确， 对于C，因为，由，得， 因为一次函数的图象与轴交于点，则，又，由， 结合图象可知，所以C正确， 对于D，过分别作轴的垂线，分别交轴于， 因为，则，又，， 所以，故D错误. 9. 如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】由图象知，，对称轴为，由对称轴公式得， 解得， 抛物线与轴交于轴正半轴，则时，， 则，故A错误； 由可得，故B正确； 抛物线与轴有2个不同交点，故一元二次方程有两个不等实根， 则，故C正确； 当时，，即是时的函数值， 由图象可知，时，，且， 故，故D正确． 三．填空题 (每题5分，共15分) 10. 已知集合，则______，______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】已知集合，即为取的公共部分，则； 为能将覆盖的全部范围，则. 11. 已知，，在二次函数的图象上，则、、的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质求解即可. 【详解】因为二次函数， 所以开口向上，对称轴为， 因为，，在二次函数的图象上， 根据自变量距离对称轴越远，对应的函数值越大，， 所以. 12. 计算______． 【答案】5 【解析】 【分析】 运用裂项相消求和即可. 【详解】此问题可以看作数列的前50项和. 即. 故答案为：5. 四．解答题（共3题，共38分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13. （1）（因式分解 ） （2）（配方） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据平方差公式进行因式分解即可； （2）利用完全平方公式配方即可. 【详解】（1） （2） 14. 若是方程的两个根，试求下列各值： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】根据条件，利用根与系数间的关系得到，再对各小问逐一分析，即可求解. 【小问1详解】 因为是方程的两个根，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以. 【小问3详解】 由（1）知， 所以. 【小问4详解】 由（1）知， 所以. 15. 在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的pH值进行了检测，并对一天（24小时）内每小时的pH值进行了整理、描述及分析． 【收集数据】 甲基地水体的pH值数据： 7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26． 乙基地水体的pH值数据： 7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21． 【整理数据】 甲 2 5 7 7 3 乙 4 2 9 a 2 【描述数据】 【分析数据】 平均数 众数 中位数 方差 甲 7.79 b 7.81 0.10 乙 7.78 7.77 c 0.13 根据以上信息解决下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）填空：______，______； （3）请判断甲、乙哪个基地水体的pH值更稳定，并说明理由； （4）已知两基地对水体pH值的日变化量（pH值最大值与最小值的差）要求为，分别判断并说明该日两基地的pH值是否符合要求． 【答案】（1）频数分布直方图如图： （2）; （3）甲基地水体的pH值更稳定 （4）该日两基地的pH值甲符合要求，乙不符合要求 【解析】 【分析】（1）利用“总数=各组频数之和”求未知频数； （2）利用众数，中位数的定义计算即可； （3）利用方差的意义判断即可； （4）分别计算甲乙极差，利用极差的意义判断即可. 【小问1详解】 由题意，得. 【小问2详解】 甲基地数据已按从小到大排列： 其中出现4次，出现次数最多， 所以甲基地的众数：； 乙基地数据也按从小到大排列： 乙基地共有24个数据，中位数是第12个和第13个数据的平均数， 第12个数据是，第13个数据是，所以： ， 因此：； 【小问3详解】 ∵甲的方差为0.10，乙的方差为0.13，， ∴甲基地水体的pH值更稳定. 【小问4详解】 因为甲基地水体pH值的日变化量为， 乙基地水体pH值的日变化量为， ∴该日两基地的pH值甲符合要求，乙不符合要求. 16. 据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动轨迹（如图所示）是一条经过坐标原点的抛物线（图中标出数字为已知条件），且在跳某个规定的翻腾动作时，正常情况下运动员在空中的最高点距水面米，入水处距池边4米，同时运动员在距水面5米或5米以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误． （1）求这个抛物线的解析式； （2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹为（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？请通过计算说明理由； （3）某运动员按（1）中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多大？ 【答案】（1） （2）会，理由如下： 当运动员在空中距池边的水平距离为米，即时，， 所以此时运动员距水面距离为， 所以此次跳水会出现失误. （3）米 【解析】 【分析】（1）设出抛物线的方程，再由抛物线经过的点即可计算作答. （2）利用（1）的结论求出运动员在空中调整好入水姿势时距离水面的高度即可判断作答. （3）设调整好入水姿势时，距池边的水平距离为m米，利用(1)的结论及给定条件列出不等式，解不等式即可作答. 【小问1详解】 依题意，设抛物线方程为，而抛物线必过，两点， 则有，解得，即有， 所以这个抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设要使跳水成功，调整好入水姿势时，距池边的水平距离为m(m>2)， 则有，解得， 所以运动员此时距池边的水平距离最大为米. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $