1.2.1 空间中的点、直线与空间向量&1.2.2 空间中的平面与空间向量-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册随堂练习（人教B版）

1.2空间向量在立体几何中的应用 1.2.1空间中的点、直线与空间向量 1.若A(1,0,1),B(2,3,4)在直线1上，则直线1的一个 方向向量是() A.(-1,3,3) B.(1,3,3) C.(3,3,5) D.(2,4,6) 2.直线1与2不重合，直线1的方向向量为y=(-1,1,2), 直线2的方向向量为v2=(-2,0,-1),则直线1与2的位 置关系为 3.已知向量4=(1,0，-1)，向量b=(V2,0,0), 则(a,b)= 4.在直三棱柱ABC-ABC中，∠BCA=90°，M,N分别是AB1, A1C的中点，BC=CA=CC1,求BM与AN所成角的余弦值， 5.在正三棱柱ABC-AB,C,中，平面ABC和平面ABC,为正三 角形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上 是否存在点N,使得异面直线AB,和MN所夹的角等于45°？ 6 日期： 班级： 姓名： 1.2.2空间中的平面与空间向量 1.若直线1的方向向量a=(1,2,-1),平面a的一个法向量 m=(-2,-4,k),若l⊥a,则实数k=（) A.2 B.-10 C.-2 D.10 2.已知平面a的一个法向量为=(1,2，-2)，平面B的一个 法向量为b=(-2,-4,k),若a⊥B,则=() A.4 B.-4 c.5 D.-5 3.若两个向量AB=(1,2,3),AC=(3,2,1),则平面ABC 的一个法向量为() A.(-1,2,-1) B.(1,2,1) C.(1,2,-1) D.(-1,2,1) 4.在菱形ABCD中，若PA是平面ABCD的法向量，则以下 向量与向量的位置关系可能不成立的是( A.PA⊥AB B.PA⊥CD C.PC⊥BD D.PC⊥AB 5.如图所示，在直三棱柱ABC-ABC中，∠ACB=90°， ∠BAC=30°，BC=1,AA1=V6,M是CC1中点，求证： AB,⊥AM B 第5题图 8N 高中数学选择性必修第一册人教B版 1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系 1.B【解析】3a+b=3(1,1,0)+(-1,0,2)=(3,3, 0)+(-1,0,2)=(2,3,2.故选B. 2.B【解析】P(1,3,-5)关于平面xOy对称的点 的坐标为(1,3,5).故选B. 3.C【解析】a+b=(-1,-2,-3)=-a,故(a+b)c= ac=7,得ac=-7,而lal=V+2+3=V14,cos(a, c-8i=号a,c-120,故选C 4.子【解析】由于ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)= (k-1,k,2),2a-b=2(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2, -2),.两向量互相垂直，则有(k-1)x3+k×2+2×(-2)=0, 解得k=了 5 5.120°【解析】由于AB=(-2,-1,3),CA=(-1, 3,-2),AB.CA=(-2)×(-1)+(-1)x3+3×(-2)=-7. 又：lAB1=VI4,ICA=V4,cos0=cos(AB,CA)= AB.CA ACV4xV42,则2o >"1.2空间向量在立体几何中的应用 1.2.1空间中的点、直线与空间向量 1.B【解析】AB=(2,3,4)-(1,0,1)=(1,3,3). 故选B. 2.垂直【解析】y12=-1×(-2)+1×0+2×(-1)=0, .'V1⊥V2. 3.45°【解析】.a·b=1×V2+0x0+(-1)x0=V2, aV7,v7,csa,b-8路-V. 又.0≤(a,b)≤180°.(a,b)=45°. 4.解：以C为坐标原点，建立如图所示的空间直 角坐标系， C B M 第4题答图 设BC=CA=CC=2,则A(2,0,2),N(1,0,0), (138 M(1,1,0),B(0,2,2),AN=(-1,0,-2),BM= (1,-1,-2),1AN1=V(-1)2+0+(-2乎=V5,1BM= V(1(-2-V6..cos(AN.BM)=AN.BM AN IBMI -1+4 =3=1V30 V5xV6V3010 5.解：以点A为原点，建立 如图所示的空间直角坐标系A-xyz. A B 由题意知A(0,0,0),C(0, 2,0),B(V3,1,0),B(V3, 12.M是 B 又：点N在CC上，可设N(O, 第5题答图 2,m)(0≤m≤2)，则AB=(V3,1,2),MN= ,方.e2v7,vmm, AB·MN=2m-1.如果异面直线AB,和MN所夹的角等于 45°，那么向量AB和MN的夹角等于45°或135° 又cos(AE,M)=AB·MN =2m-1 AB,IIMNI 2V2 xVm2+1 2V7可t学，解符a=手，这与0m 2m-1 2矛盾，.在棱CC,上不存在点N,使得异面直线AB,和 MN所夹的角为45°. 1.2.2空间中的平面与空间向量 1.A【解析】：直线l的方向向量a=(1,2,-1), 平面a的一个法向量m=(-2,-4,k),1⊥， a/m之子-，解得=2放选A 2.D【解析】a⊥B,a⊥b,ab=1×(-2)+2×(-4) +(-2)k=0,.k=-5.故选D. 3.A【解析】设平面ABC的一个法向量n=(x,y, n.AB=x+2y+32=0, z),则 取x=-1,得到平面ABC的一 n.AC=3x+2y+z=0, 个法向量为(-1,2，-1).故选A. 4.D【解析】由题意知PA⊥平面ABCD,.与平面 上的线AB,CD都垂直，A,B正确，不符合题意.又菱 形的对角线互相垂直，AC为P℃在平面ABCD内的射影且 AC⊥BD,由三垂线定理的逆定理知PC⊥BD,故C正 确，不符合题意.故选D. 5.证明：如图，连接AC,:AC=V3=V2’ 2 CC=V6=V2,∠ACC=LA,CM,Rt△ACC CA V3 Rt△MCA1,∠ACC=∠MAC,∴.∠AMC,+∠AC,C= ∠AMC1+∠MAC1=90°，AM⊥AC.由三垂线定理知， AB⊥AM. 第5题答图 1.2.3直线与平面的夹角 1.D【解析】由最小角定理知直线l与直线a所成的 最小角为牙，又以，口为异面直线，则所成角的最大值 为？故选D, 2.C【解析】如图，连接AC 交BD1于点O,由已知得C,0⊥ BD1,且平面BDDB1⊥平面 AB,CD1,∴.C,O⊥平面BDDB1,连 接BO,则BO为BC,在平面BDD,B1 第2题答图 内的射影，∠CBO即为BC1和平面 DBB,D1所成角. C0=2×V44=2V2,BC=V4+2=2V5, :sin∠CB0=C0-2V2-V10.故选C BC 2V5 5 3.V5【解析】如图，在正 4 三棱锥PABC中，PA=4,AB=V3 C 设P在底面上的射影为O,则0为 △ABC的中心，由已知求得AO=1.4兰方) B 第3题答图 又PA=4,.P0=V4-1下=V15, :sin∠PAO=P0=V5,即侧棱PA与底面ABC所成角 PA 4 的正弦值为V⑤ 4 4.解：如图，以O为原点建立空间直角坐标系O xyz,OD=S0=0A=0B=0C=a, 参考答案。 A 第4题答图 则A(a,0,0),B(0,a,0)，C(-a,0,0), P0,-号，号，从而C=(2a,0,0),AF= -a,-受，受，CB=(a,a,0).设平面PAC的一个法 向量为n,可求得m=(0,1,1),则cos(CB,n)=C正n ICB linl V2nV号，Gm60,直线C与平面 a PAC所成的角为90°-60°=30°， 5.解：(1)如图，以D为原点，DA所在直线为x 轴，DC所在直线为y轴，DD,所在直线为z轴，建立空 间直角坐标系，设AB=2,则C(0,2,0),D,(0,0,2), A1(2,0,2),C(0,2,2),E(2,1,0),F(1,2,0), .CD=(0,-2,2),EF=(-1,1,0),EA=(0,-1,2), CF=(1,0.-2),cos (CD:,CF)=ICDCI= ICD IIC FI 4 =V10 V(-2)+2xV+(-2)y2V2xV55 D 第5题答图 (2)设平面AC,FE的法向量n=(x,y,z), 则mF+=0, 取=1，得n=(2,2,1). n·EA1=-y+2z=0, 设直线CD1与平面ACFE所成角为O, 用哥vwv污 .直线CD,与平面A1C,FE所成角的正弦值为V2 6 139