1.2.2 空间中的平面与空间向量-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册练习手册（人教B版）

1.2.2空间中的平面与空间向量 效果评价 1.A【解析】u=(2,2,-1)是平面α的法向量， a=(-3,4,2)是直线l的方向向量，ua=6+8-2=0,.直 线1与平面α的位置关系是平行或直线在平面内.故选A 2.D【解析】平面α经过三点O(0,0,0),A(2, 2,0),B(0,0,2),.0A=(2,2,0),0B=(0,0,2). n0A=2x+2y=0, 设平面a的法向量n=(x,y,z),则 n-0B=2z=0, 取x=-1,得n=(-1,1,0),.平面a的法向量可以是 (-1,1,0).故选D. 3.B【解析】AB⊥BC,AB.BC=0,即3+5-22= 0,得=4.又BP⊥平面ABC,BP⊥AB,BP⊥BC, 则x-l)+5y+6=-0, x=40 7 解得 15 故选B 3(x-1)+y-12=0, =-7 4.AB【解析】设平面a内一点P(x,y,z),则 MP=(x-1,y+1,2-2).n=(6,-3,6)是平面的法向 量，n1MP,n·MP=6(x-1)-3(y+1)+6(z-2)=6x-3y+ 6a-21,.由n·MP=0,得6x-3y+6z-21=0.把各选项代 入上式，可知A和B选项适合.故选AB. 5.B【解析】设平面AEF的一个法向量为n=(x,y, z),正方体ABCD-ABCD的棱长为1， 则A1,0,0,E1,1,,F分，0.， 故正0,1，，a分，0， AEn=0,即 又 .y=-22, 4F.n=0、-7x+z=0,x=2z 当z=-2时，n=(-4,1,-2).故选B. 6}【解析】由题意可得s1n,5n=-2+2+2 0,可得x+y=l,取x,0,则1≥2V可，可得y≤4。 当且仅当x)=号时取等号。 7.1【解析】AB=(1,1,0),AC=(-1,-1,-2), :a=(-1,y,z)为平面ABC的法向量，aAB=0,a AC=0,-1+=0,1-y-2z=0,联立解得=1,0，y+2=1. 8.垂直平行【解析】u,v分别为平面α，B的 法向量且u=(-2,2,5),当v=(3,-2,2)时，W= 参考答案。 -6-4+10=0,⊥y,即x⊥B;当v=(4,-4,-10)时， v=-2u,u∥v,即ax∥B. 9.证明：如图所示，取BC的 中点O,连接AO交BD于点E,连 接PO.PB=PC,∴PO LBC又平面 PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平 面ABCD=BC,.PO⊥平面ABCD, AP在平面ABCD内的射影为AO. 第9题答图 在直角梯形ABCD中，由于AB=BC=2CD,易知 Rt△ABO≌Rt△BCD,∴.∠BEO=∠OAB+∠DBA= ∠DBC+∠DBA=90°，即AO⊥BD.由三垂线定理，得 PA⊥BD 10.证明：以C为坐标原 点，建立如图所示的空间直 角坐标系，则A(V2,V2, 0),B(0,V2,0),D(V2, 0,0),F(V2,V2,1), D M,竖，， 第10题答图 af2,2,,m0.V, BD=(V2,-V2,0). 设n=(x,y,z)是平面BDF的法向量，则nLBD, n LDF,.. -所-V2-V70.→ 取 n.DF=V2y+z=0 2=-V2y, y=1,得x=1,=-V2,则n=(1,1,-V2). ,.小，-V.得 n与AM共线，.AM⊥平面BDE 提升练习 11.垂直【解析】以D为原点，DA,DC,DP所在 直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（图略），则 E32r30.0,0,2 平面PBC的一个法向量n=(0,1,1), 家，EF/m,BF1平面PBC 12.解：∠PAD=90°， PA⊥AD.又，侧面PAD⊥ 底面ABCD,且侧面PAD∩ D 底面ABCD=AD,∴PA⊥底 B/ 面ABCD.又∠BAD=90°， AB,AD,AP两两垂直.分 第12题答图 69 高中数学选择性必修第一册人教B版 别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如 图所示的空间直角坐标系. 设AD=2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1, 0),D(0,2,0),P(0,0,1)· (1)证明：AP=(0,0,1),AC=(1,1,0),CD= (-1,1,0),可得AP.CD-0,AC.CD=0,AP⊥CD, AC⊥CD.又APOAC=A,.CD⊥平面PAC. (2)设平面PCD的法向量n=(x,y,z),则 n面=0，cD=(-1,1,0),Pm=(0,2,-10 n·PD=0. +0取xl,则)=l,2,平面P心D的-个法 2y--0, 向量为n=(1,1,2).设点E的坐标为(0,0，z),则 BE=(-1,0,z)·若BE∥平面PCD,则BE·n=0, 即(1,1,2)(-1,0，)=0，解得=分，即 E0,0,3 综上所述，当E为PA的中点时，BE∥平面PCD. 1.2.3直线与平面的夹角 效果评价 1.C【解析】如图，DD⊥平 面ABCD,∠DAD为AD1与平 A 面ABCD所成角，tan∠DMD=1, D ∠DMD=年，n∠DAD= 第1题答图 Y2放选C 2.B【解析】设OC与平面OAB所成的角为0，则 cos60=o0s0cos30,cos9-Y.故选B 3.A【解析】在长方体 D ABCD-ABCD1中，AB=BC=2, A D 该长方体的体积为8V2,2× 2xMA=8V2,解得AA=2V2. 如图，以D为原点，DA,DC, 第3题答图 DD,所在直线分别为x轴、y 轴、z轴，建立空间直角坐标系，A(2,0,0),C(0,2, 2V2),AC1=(-2,2,2V2),平面BBC,C的法向量 n=(0,1,0),设直线AC,与平面BB,C,C所成的角为0， wC子分，90，袋6与平面 BB,C,C所成的角为30°.故选A. 70 4.A【解析】，OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC, ∴.OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.设AB=V2a,则PA= 2V2a,0P=V7a,A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a, 0,0),P(0,0,V7a),PA'=(a,0,-V7a),PB =(0,a,-V7a),BC=(-a,-a,0).设平面PBC的法 向量为n=(x,y,),则 n-Pm-0.即a-V7=0, n.BC=0,-ax-ay=0, 令，则)=1，=Y7，平面8C的-个法向量为 n=(1,-1.-V7),.cos(PA',n)=Pnv21o 7 IPA lInl 30 :PM与平面PBC所成角的正弦值为V0.故选A 30 5.A【解析】如图，以C为原 C 点，在平面ABC中过C作BC的垂 B 线，以其所在直线为x轴，CB所在 直线为y轴，CC所在直线为z轴， 6C、 B 建立空间直角坐标系，则A(√3,1，A 0),A(1V3,1,3),B(0,2,3), 第5题答图 C(0,0,3),AA1=(0,0,3),AB =(-V3,1,3),AC1=(-V3,-1,3). 设平面AB,C1的法向量n=(x,y,z), 则mAB=-V3x+y+3=0. n.AC=-V3x-y+32=0, 取x=V3,得n=(V3,0,1). 设AA1与平面AB,C1所成的角为6， 则sin6=MH4l-3=1 1A:lml 3V 6 AA1与平面ABC所成的角为T.故选A 6 6.45°【解析】如图，作C01 a,0为垂足，连接AO,M0,则 Q B ∠CA0=30°，∠CM0为CM与a 第6题答图 所成的角.在Rt△AOC中，设CO= 1,则AC=2.在等腰Rt△ABC中， 由AC=2得CM=V2.在Rt△CM0中，sin∠CMO=CO CM D. 17=Y22,∠CM0=45°， A B 7.V2【解析】如图，以D 为原点，DA所在直线为x轴，x D B DC所在直线为y轴，DA,所在直 第7题答图第一章空间向量与立体几何。 1.2.2空间中的平面与空间向量 能作为平面AEF的法向量 效果评价 D 的是() 1.设=(2,2，-1)是平面a的法向 A.(1,-2,4) 量，a=(-3,4,2)是直线1的方向向量， B.(-4,1,-2) 则直线l与平面α的位置关系是() C.(2,-2,1) 第5题图 A.平行或直线在平面内 D.(1,2,-2) B.垂直 6.已知直线l的方向向量为s=(1,2, C.相交但不垂直 x),平面a的法向量n=(-2,y,2),若lC D.不能确定 ,则xy的最大值为 2.平面经过三点0(0,0,0)，A(2, 7.在平面ABC中，A(0,1,1),B(1, 2,0),B(0,0,2),则平面a的法向量可 2,1),C(-1,0,-1),若a=(-1,y,z), 以是() 且a为平面ABC的法向量，则y+z= A.(1,0,1) B.(1,0,-1) 8.设u,v分别是平面a,B的法向量， C.(0,1,1) D.(-1,1,0) u=(-2,2,5),当v=(3,-2,2)时，与 3.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,:B的位置关系为 ；当v=(4,-4, z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3),且BPL -10)时，与B的位置关系为 9.如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底 平面ABC,则实数x,y,z分别为( 面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB= A,-5,4B9,-5,4 BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD. 9,2,4D4,9,-l5 求证：PA⊥BD 4.(多选题)已知平面内有一点 M(1,-1,2),平面a的一个法向量为n= (6,-3,6),则下列点中，在平面α内的是 第9题图 A.(2,3,3) B.(1,1,3) c分分9D2.2》 5.如图，在正方体ABCD-ABCD1中， 以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB 的中点，F为AD的中点，则下列向量中， 练(11 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 10.如图，已知正方形ABCD和矩形 12.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面 ACEF所在的平面互相垂直，AB=V2, ABCD为直角梯形，且AD∥BC,∠ABC= AF=1,M是线段EF的中点.求证：AM⊥平 ∠PAD=90°，侧面PAD⊥底面ABCD.若 面BDF. PA-AB-BC-2 4D. (1)求证：CD⊥平面PAC. (2)侧棱PA上是否存在点E,使得 BE∥平面PCD?若存在，指出点E的位置 并证明；若不存在，请说明理由. 第10题图 第12题图 提升练习 11.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面 ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面 ABCD,且PD=1,若E,F分别为PB,AD 的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系 为 F 第11题图 (12)练