1.1.2 空间向量基本定理&1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册随堂练习（人教B版）

日期： 班级： 姓名： 1.1.2空间向量基本定理 1.给出下列命题： ①若{a,b,c}可以作为空间的一组基底，d与c共线， d≠0，则{a,b,d也可作为空间的一组基底；②已知向 量a∥b,则a,b与任何向量都不能构成空间的一组基底； ③A,B,M,N是空间四点，若BA,BM,BN不能构成空 间的一个基底，那么A,B,M,N共面；④已知向量组 {a,b,c}是空间的一组基底，若m=a+c,则{a,b,m 也是空间的一组基底.其中正确命题的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知空间的一组基底{a,b,c},m=a-b+c,n=xa+yb+c, 若m与n共线，则x= 3.从空间一点P引出三条射线PA,PB,PC,在PA,PB,PC 上分别取PQ°=a,PR=b,PS=c,点G在PQ上，且PG= 2GQ,H为RS的中点，则GH= (用a,b,c 表示)· 3 4.在空间四边形ABCD中，AB=a-2c,CD=5a-5b+8c,对角 线AC,BD的中点分别是E,F,则AB,CD,EF (填“能”或“不能”)构成一组基底 5.如图所示，已知平行六面体ABCD-AB,CD1,设AB=a,AD =b,AA1=C,P是CA1的中点，M是CD1的中点.用基底 {a,b,c}表示以下向量： (1)AP; D (2)AM B 第5题图 4 日期： 班级： 姓名： 1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系 1.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),则3a+b为 () A.(-2,-3,-2) B.(2,3,2) C.(-2,3,2) D.(4,3,2) 2.在空间直角坐标系中，点P(1,3,-5)关于平面xOy对称 的点的坐标是() A.(-1,3,-5) B.(1,3,5) C.(1,-3,5) D.(-1,-3,5) 3.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),lcl=V14,若 (a+b)·c=7,则a与c的夹角为() A.30° B.60° C.120° D.150° 4.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b 互相垂直，则k的值是 5.已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3), 则AB与CA的夹角0的大小是 5参考答案。 随堂练习参考答案 第一章空间向量与立体几何 >"1.1空间向量及其运算 0,从而c=公a+←b,c与a,b共面与条件矛盾，d与 1.1.1空间向量及其运算 a,b不共面，故①正确.同理可证④也是正确的.故选D, 2.1-1【解析】.m与n共线，.存在实数入，使 1.A【解析】四个选项中两个向量的夹角依次是 45°，135°，90°，180°，故选A 1=入x, =1, m=An,即a-b+c=入xa+入yb+Ac,于是有-l=入y,解得 2D【解折】A正A-a店+d)号i4(国店. y=-1. 1=入， A方+A衣.A)=×(2+2)=1,故选D. 3.2 号a+b+c【解折】c团-Pm-p元=号b+e) 3.0【解析】2AB+2BC+3CD+3DA+4C -2(AB+BC+CD+DA )+CD+DA +AC 4不能【解析】E=)(ED+EB)=(AD+Cd)+ =0+C+4C=0+0=0. 4.22【解析】1la+b1=a2+2ab+b2=132+2ab+192=242, 壬B+C)=A店+4丽+4而+}AB+4CD+ .∴2ab=46,la-b12=a2-2ab+b2=530-46=484,.la-bl=22. 5.A【解析】若SC与BD垂直，又SA与BD垂直， ABCD )=3a-3c. 则平面SAC与BD垂直，则AC与BD垂直，与AC与 假设AB,CD,E共面，则EF=入AB+拟CD=Aa BD不一定垂直矛盾，SC与BD不一定垂直，即向量 2nc+5ua-5b+8uc=(A+5u)a-5b+(8u-2A)c=3a-b+3c. SC,BD不一定垂直，则向量SC,BD的数量积不一定 入+5u=3, 为0，故A符合题意；由SA⊥平面ABCD,得SA⊥AD, 入= 5 2 又由AD⊥AB,AB∩SA=A,则有AD⊥平面SAB,进而 1 有AD⊥SB,即向量DA,SB一定垂直，则向量DA, 8u-2λ=3 2' SB的数量积一定为0，故B不符合题意：由SA上平面 E,AB,CD共面，不能构成一组基底. ABCD,得SA⊥AB,又由AD⊥AB,则有AB⊥平面 5.解：如图，在平行六面体ABCD-AB,CD1中，连 SAD,进而有AB⊥SD,即向量SD,AB一定垂直，则向量 接AC,AD. SD,AB的数量积一定为0，故C不符合题意：由SA⊥平 0A号a+ 面ABCD,得SA⊥CD,即向量SA,CD一定垂直，则向量 =分ai动 SA,CD的数量积一定为0，故D不符合题意.故选A 1.1.2空间向量基本定理 第5题答图 1.D【解析】根据基底的概念，知空间中任何三个 不共面的向量都可作为空间的一组基底，否则就不能构 (2)AM=1(A元+4D) 成空间的一组基底，显然②正确.由BA,BM,BN共面 且过相同点B,故A,B,M,N共面，故③正确. 假设d与a,b共面，则存在实数入，k,使d=入a+ub, .d与c共线，c≠0，.存在实数k,使dkc..d≠0.k≠ 137 高中数学选择性必修第一册人教B版 1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系 M(1,1,0),B(0,2,2),AN=(-1,0,-2),BM= 1.B【解析】3a+b=3(1,1,0)+(-1,0,2)=(3,3, (1,-1,-2),1AN=V(-1)P2+0+(-2P=V5,1BM= 0)+(-1,0,2)=(2,3,2).故选B. 2.B【解析】P(1,3,-5)关于平面xOy对称的点 V+(-1(-2)=V6...cos(AN.BM )=AN.BM IAN IBMI 的坐标为(1,3,5).故选B. -1+4 3.C【解析】a+b=(-1,-2,-3)=-a,故(a+b)c= =3=V30 V5xV6V3010 -ac=7,得ac=-7,而lal=V+22+3=V14,∴cos(a, 5.解：以点A为原点，建立 c-8iG=3a,e-l20,故造c 如图所示的空间直角坐标系A-xyz. 由题意知A(0,0,0),C(0, 4.子【解析】由于ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)= 2,0),B(V3,1,0),B(V3, (k-1,k,2),2a-b=2(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2, -2),.·两向量互相垂直，则有(k-1)x3+k×2+2×(-2)=0, 1.2.M B 又点N在CC1上，可设N(O, 第5题答图 解得=子 2,m)(0≤m≤2)，则AB=(V3,1,2),MN= 5.120°【解析】由于AB=(-2,-1,3),CA=(-1, 3,-2),AB.CA=(-2)×(-1)+(-1)x3+3×(-2)=-7. (,分，m.agi2V互，Wvm, ABI=V14,ICA'l=V14,..cos0=cos(AB,CA')= AB·MN=2m-1.如果异面直线AB,和MN所夹的角等于 品高vem 45°，那么向量AB1和MN的夹角等于45°或135 又cos(4B,MN=AB,·MN =2m-1 >1.2空间向量在立体几何中的应用 AB IIMNI 2V2 xVm2+1 2V4号，所得m. 2m-1 1.2.1空间中的点、直线与空间向量 ,这与0≤m≤ 1.B【解析】AB=(2,3,4)-(1,0,1)=(1,3,3). 2矛盾，.在棱CC上不存在点N,使得异面直线AB,和 故选B. MN所夹的角为45°. 2.垂直【解析】y1v2=-1×(-2)+1×0+2×(-1)=0, 1.2.2空间中的平面与空间向量 .∴V1⊥V2. 1.A【解析】直线l的方向向量a=(1,2,-1), 3.45°【解析】.a·b=1×V2+0x0+(-1)x0=V2, 平面的一个法向量m=(-2,-4,k),11α， al-V3V am,小与子子，解得-2放选A 2.D【解析】.a⊥B,.a⊥b,..ab=1×(-2)+2x(-4) 又0≤(a,b)≤180°，∴.(a,b)=45. +(-2)k=0,k=-5.故选D. 4.解：以C为坐标原点，建立如图所示的空间直 角坐标系， 3.A【解析】设平面ABC的一个法向量n=(x,y, n·AB=x+2y+3z=0, ),则 取x=-1,得到平面ABC的一 n.AC=3x+2y+z=0, 个法向量为(-1,2，-1).故选A. 4.D【解析】由题意知PA⊥平面ABCD,.与平面 M 上的线AB,CD都垂直，A,B正确，不符合题意.又：菱 形的对角线互相垂直，AC为PC在平面ABCD内的射影且 第4题答图 AC⊥BD,由三垂线定理的逆定理知PC⊥BD,故C正 设BC=CA=CC=2,则A(2,0,2),V(1,0,0), 确，不符合题意.故选D. 138 n