1.1.2 空间向量基本定理-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册练习手册（人教B版）

第一章空间向量与立体几何。 1.1.2 空间向量基本定理 下列各项中能构成基底的一组向量是() 效果评价 A.(a,atb,a-b} 1.若向量a与b不共线且m=a+b,n=a B.(b,a+b,a-b) b,p=2a,则() C.c,a+b,a-b A.m,n,p共线B.m与p共线 D.(a+b,a-b,2a+b) C.n与p共线 D.m,n,p共面 6.如图，在平行六面体 D 2.对空间任一点O和不共线三点A,B,:ABCD-ABCD1中，M为 C,能得到P,A,B,C四点共面的是(）：AC和BD的交点，若AB= D A.OP=0A +0B+0C a,AD=b,AA=c,则BM 第6题图 B.OP-OoG (用a,b,c表示). 7.如图所示，在平行六面体ABCD C.OF--0A+0B+0C A'BCD中，AB=a,AD=b,AA'=c,P是 D.以上皆错 CA'的中点，M是CD'的中点，N是CD'的 3.已知正方体ABCD-A'B'CD',点E是： 中点，点Q在CA'上，且CQ:QA'=4:1,用 A'C的中点，点F是AE的三等分点，且 基底{a,b,c}表示以下向量： AF-2EF,则AF等于() (1)AP; A.AA+2AB+2AD (2)AM; .M -0 (3)AN; B2AA+号A店+AD (4)AQ. 第7题图 C+名B+名40 6 D.专4M+名AB+名40 6 6 4.设OABC是四面体，G1是△ABC的 重心，G是OG1上的一点，且OG=3GG1,若 0G=x0A+y0B+z0C,则2x+4y+2z=（) A. B方 C.1 D.2 5.若{a,b,c}为空间的一组基底，则 练(3 高中数学选择性必修第一册人教B版 8.已知平行四边形ABCD,从平面 A.00=g01+名0B+g0c 5 ABCD外一点0，引向量0E=k0A，,0F= k0B,0G=k0C,OM=k0D,求证：点E, B00-601+号0B+6oC 6 F,G,H共面 co0=6oi+}oi+号oc D00号oi+5oB+g0c 6 提升练习 11.如图，在□ABCD 中，E和F分别是边CD D 和BC的中点，AC=入AE 第11题图 +uAF,其中入，ueR,则入+w= 12.如图所示，在长方体ABCD-ABCD 中，O为AC的中点. (1)化简：A,0-3AB-24D; 9.已知空间四边形OABC,其对角线为 (2)设E是棱DD1上的点，且DE= AC,OB.M,N分别是OA,BC的中点，点 G是MN的中点，则OG等于() 子DD,若0=店+yD+A不，试求实 A6o1+号0B+}0C 数x,y,z的值. B.4(01+0B+0C) D C号(oi+0i+0C) 第12题图 D.60B+go1+30C 10.(多选题)如图， M,N分别是四面体OABC M 的边OA,BC的中点，P, Q是MN的三等分点(Q靠 近点M),则用向量OA, 第10题图 0B,0C表示0Q,不正确的是() 4)练高中数学选择性必修第一册人教B版 12.2V3【解析】MB+BCMC2,E=BD BD BC-2x xcos60-2.BC-EFP=BC-BD-BC BCBD+4B丽产4-2+x43,故BC-BV3. 1.1.2空间向量基本定理 效果评价 1.D【解析】p=2a=m+n,即p可由m,n线性表示， m,n,p共面.故选D. 2B【解折】0示=号0质+兮0丽+号0C,30亦 0A+0B+0C,.0P-0A=(0-0P)+(0C-0p),.AP PB+PC,PA=-PB-PC,P,A,B,C共面.故选B. 3.D【解析】如图，由条件AF=EF知，EF=2AF .AE=AF+EF=3AF, 产兮底}a+商 c =}AA+(4'D+MB) 第3题答图 =}产，g4D+名AB.故选D 6 6 4.D【解析】如图，由已知 0=3oC0i+4c -o+号aM心可 =0+4[oi-oi)+(od-01 第4题答图 4 )=号2x4+2=2故选D 5.C【解析】(a+b)+(a-b)=2a,∴.向量a,a+b a-b是共面向量，因此这三个向量不能构成基底，故A 不符合题意；(a+b)+(-1)(a-b)=2b,.向量b,a+b, α-b是共面向量，因此这三个向量不能构成基底，故B 不符合题意；{a,b,c}为空间的一组基底，∴这三 个向量不共面，若c,a+b,a-b不构成一组基底，则有 c=x(a+b)+y(a-b)→c=(x+y)a+(x-y)b,∴.向量a,b,c 是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正 确，因此c,a+b,a-b能构成一组基底，故C符合题 意；2a+b=(a+b)+2（(a-b),向量a+b,a-b,2a+b 是共面向量，因此a+b,a-b,2a+b不能构成一组基底， 64 故D不符合题意.故选C. 6-分a+b-c【解析】B=A-AB=分(a+ d-国+)-2E+2a0--a+b-c 7.解：连接AC,AD',AC(图略. (1)AP-ACM产=AAi+A产)=(a+bc). 2)AM=2花Md=2A42i1A产)-=ab+2c (3)AN-(AGAD) =[国A,A产+（国i+产刀 =号(d店+2Mi421M)=2a+b+c. (4)A0-AC+CQ=A元+号(A-A它) =54C+号4产54B+5D+号4 51 8.证明：OA+AB=0B,kOA+kAB=k0B,而 OE=k0A',OF=kOB,..0E +kAB=k(OA+AB)=kOB= OF.又OE+EF=0F,EF=kAB,同理E=kAD, EG=kAC.:四边形ABCD是平行四边形，.AC-AB+AD, EC_EF,正，即BG-EF+E.又它们有同一个 公共点E,点E,F,G,H共面. 9.B【解析】如图， 0G=号(0i+0 4 第9题答图 =1(OA+0B+0元.故选B. Γ4 10.BCD【解析】M,N分别是四面体OABC的边 OA,BC的中点，P,Q是MW的三等分点(Q靠近点M), .AB=0B -0A',BC=0C-0B, :=i+店+B-号o+M正+号BC =20i+(0i-oi)+3(0心-0 =0+号0i+号0元. 00-ow0=}o+号m =3oi-6o1+6o丽+8oc =号0质+。0丽+名0.放选BcD 提升练习 I1.号【解析】设AB-a,AD-b,则AC-a+b,AE =2asb.AF-a+26.=2ab ula+26 -(2Atu)a+(a+2u)o.:a+b=(2Awja+(a+zu)b. 2Au=l,A-号， 、2 4 入=3 12.解：在长方体ABCD-AB,C,D中，O为AC的 中点。 (1)A,0-)AB-)AD=A0-)(A序+Ai -A0-]AC-A.0-A0-A.0+0A-MA (2)E是棱DD,上的点，且D呢=子DD, :0E=0D+D呢=号BD+?DD =号a+Bd+号4=}+号BC+号An =24店+分0+号不. 0-0呢-号正-号4D-号4 又EO=xAB+yAD+zAA, "阶段性练习卷（一） 1.A【解析】根据空间向量的基本概念知四个命题 都不对.故选A 2.B【解析】由60P=0A+20B+30C,得0A-0币 2(0°0B)+3(0P-0C),即PA=2BP+3CP 由共面向量定理，知P,A,B,C四点共面.故选B. 3.C【解析】AB=AC+CD+DB AB.CD=(AC+CD+DB).CD=AC.CD+CD*+DB.CD =0+12+0=1. ABI=2.ICD=1,.cos(AB,CD)=AB.CD IABIICDI 参考答案。 从子a与6所成的角是60心放选C -1V2 D【解折cosa,b8i2V2xV27 2 Y号，又a,6的取值粒国为0,1.a,。 3 5.C【解析】如图，oG-0M+Md 0 =0i+号 M =0i+2(wd+0C+c 3 =号oi+号0d+号oi-0d 第5题答图 =6oi+goi4号od 故选C 6.A【解析】如图所示，连接 AG,交BC于点E,则E为BC中点， A底)(A店+Ad)=(o成-20+0心)， AC号店号0i-20i+0d, E .0G=3GG=3(0G-0G), 第6题答图 0G=20c 则o心子oC子(oi+ac动 =oi+}oi号0i+}od 3 =40+40丽40心故选A 7.ACD【解析】若向量a,b与空间任意向量都不 能构成基底，则两个向量只能为共线向量，即a∥b,故 A正确；若非零向量a,b,c满足aLb,b⊥c,则a与c 不一定共线，故B错误；若0A,OB,0C是空间的一组基 底，且0i=}0+号0i+g0心，则0i-01=3(0i- O+兮0元-0)，即A3A+兮元，可得到A,B, C,D四点共面，故C正确；若向量a+b,b+c,c+a是 空间的一组基底，则对空间任意一个向量d,存在唯一 实数组(x,y,z),使d=x(a+b)+y(b+c)+z(c+a)=(x+z)a +(x+y)b+(y+z)c,则a,b,c也是空间的一组基底，故 D正确.故选ACD. 8.ABD【解析】由于a,b,c不共面，易判断A, 65