1.1.2 空间向量基本定理（分层作业练题型）数学人教B版高二选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习以“空间向量基本定理”为核心，通过A组巩固基础、B组能力进阶、C组思维拔高及拓展链接高考的分层设计，构建从单一概念到综合应用的知识巩固路径，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|共面判定、基底概念等基础考点|以选择、填空题为主，夯实空间向量基本概念与简单运算，培养抽象能力| |B组|几何图形中向量表示、参数求解|结合四面体、平行六面体等情境，提升空间观念与推理意识| |C组及拓展|高考真题、综合证明题|通过多知识点综合应用，发展逻辑推理与数学表达能力，对接高考要求|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 1.1.2 空间向量基本定理 A组 巩固过关 颗型01 判定空间向量共面 1.【答案】C 2.【答案】ACD 3.【答案】D 题型02 空间向量共面求参数 4.【答案】A 1 5.【答案】6 6.【答案】1 颗型03 空间共面向量定理的推论及应用 7. 【答案】AC 2 8. 【答案】15 9.【答案】3 颗型04 空间向量基底概念及辨析 10. 【答案】A 11.【答案】B 12.【答案】C 1/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型05 用空间基底表示向量 13.【答案】B 14.【答案】A 15.【答案】A 颗型06 空间向量基本定理及其应用 16.【答案】C 17.【答案】A 18.【答案】B B组 能力进阶 1.【答案】B 2.【答案】C 3.【答案】BD 4.【答案】-6 C组 思维拔高 1.【答案】A 2.【答案】C 3.【答案】B 4.【答案】C 5.【答案】C 6.【答案】AC 2/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.【答案】1 8.【答案】(1)类比到空间中，该命题为： 若O为平面ABC外一点，则点P在平面ABC内的充要条件是： 存在实数元、4、y,满足OP=0OA+uOB+OC,且元+u+v=1. 证明：①若点P∈平面ABC, 由向量共面的充要条件知存在实数s、t使得AP=sAB+tAC, 由向量加减法得0P-0A=s(OB-OA+(OC-0A, 整理得OP=(1-S-t)0A+s0B+t0C」 令1=1-s-t,u=S,v=t,则OP=0A+OB+vOC,其中元+u+v=1. ②反之，若己知OP=0A+uOB+vOC,且+4+v=1. OP=(1-H-v)0A+HOB+vOC 整理得OP-OA=u(OB-OA+v(OC-OA, 即AP=4AB+vAC. 根据向量共面的充要条件知AP、AB、AC共面，即A、B、C、P共面， 所以点P在平面ABC内. 综上所述，若O为平面ABC外一点，则点P在平面ABC内的充要条件是： 存在实数、4、v,满足OP=OA+4OB+vOC,且元+H+v=1. 0: 、√42 4 【分析】(1)结合空间向量的运算，利用共面向量定理证明即可； (2)①利用数量积的运算律求解即可 ②利用数量积的运算律及模的运算法则求解即可· 【详解】(1)略 ②0胎④的结论知2+好1，从而2- , 从m0p-oi+05+}oc, ”4 由已知OA=OB=OC=2,OA·OB=OB.OC=2,OA.OC=1得 0m.oi=0+5丽.o+0co-=4+52+1=. 9 3/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②因为or-om-40a+oi+0c 6oi+o+oc+2oi.o丽+oioc+o.od 4+464+g2+1+2- 8 所以oP=2 4 9.【答案】仙wa+6+,= 2 2 2 【分析】(1)利用向量加法的三角形法则，将AM分解为基底向量的线性组合；根据向量的模结合数量 积定义可计算长度： (2)设AP=元AM,利用点P在平面ABD上，根据共面向量定理，利用AP=xAB+yAD+zAA且 x+y+z=1的条件，建立方程组求解入· 【详解】(1)由题意，AB=a,AD=6,AA=c, 因为M为CD的中点， 所以4M=4D+DC-5+a, 所以4M=4+4M=c+b+a= 2 a+b+c 因为a6H-1,且a6=6.G=e-a=1x1xc0s60 2 所以Mf=（}i+6+j-+6++a6+ac+25.c=11+1-7. 4 22 41 (2)设=2=+6+a+6+, 因为点P在平面ABD上， 所以P关于基底{a,b,的系数之和为1， 4/5 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 +=1，解相1-号 即2 AP2 所以AM5 10. 【答案】1 2h题忘如，0G=】 因为cm-a→o-0c-o-0d).所以0丽-号a+ 所死-0死-0c-0-,示-0下-o元6+5-6+. G丽=0i-0G-2a-16+1: 333 不纺设o丽=+0匠→0-6+甘=a后5+ 0-6+-+名5+，解得y号G丽-丽F. 根据共面向量定理，G币，GE,GF共面，即E,F,G,H四点共面。 【分析】(1)将OA,0B,OC作为基底，EF用基底表示，然后利用数量积的运算律求出模长即可. (2)由共面向量定理证明即可： 【详解】(1)设OA=a,OB=b,0C=c,且E,F分别为OA,BC的中点 所以币=o际-o呢=6+）a=6+c-d 则EF=46+c-=@+6+c2-2a-6-2i-c+26-c） =4+4+3-4-26+26)=子， 所以屏= 2 (2)略 515 分层作业 1.1.2　空间向量基本定理 目 录 A组 巩固过关 题型01   判定空间向量共面 题型02 空间向量共面求参数 题型03 空间共面向量定理的推论及应用 题型04 空间向量基底概念及辨析 题型05 用空间基底表示向量 题型06   空间向量基本定理及其应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考   判定空间向量共面题型01 1．（25-26高二上·福建莆田·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故A错误； 对于B，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故B错误； 对于C，假设共面， 则存在实数使得， 又因为构成空间的一个基底，则，方程组无解， 所以不共面，可以作为空间一个基底，故C正确； 对于D，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故D错误. 2．（25-26高二上·江西景德镇·期末）（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则与的夹角是锐角 C．已知向量、、是不共面的向量，则、、也是不共面的向量 D．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 【答案】ACD 【分析】根据向量夹角的范围、空间基底的定义和空间向量基本定理的知识依次判断即可. 【详解】对于A选项，根据共线向量的概念可知，空间中的三个向量，若有两个向量共线， 则这三个向量一定共面，A对； 对于B选项，若，则与的夹角是锐角或与方向相同，B错； 对于C选项，假设、、也是共面向量， 则存在、，使得，即， 由向量、、是不共面的向量，则有、，无解， 故、、也是不共面的向量，C对； 对于D选项，因为， 所以，即， 所以、、共面，故、、、四点共面，D对. 故选：ACD. 3．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在正方体中，下列向量能与向量构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量基底的意义，结合正方体的构造特征判断即得. 【详解】在正方体中，向量，， 因此向量，，分别与向量共面，ABC不能； 而平面，即向量不共面，D能. 故选：D 空间向量共面求参数题型02 4．（25-26高二上·安徽滁州·期末）若四点共面，其中，则（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】A 【分析】根据空间共面向量基本定理即可求解. 【详解】因为四点共面， 所以存在实数使得，且. 设，则由，得， 故， 又，解得． 故选：A 5．（25-26高二上·安徽·期末）在四面体中，点D满足，若A，B，C，D四点共面，则_______. 【答案】 【分析】利用空间向量的共面定理建立方程，求解参数即可. 【详解】因为四点共面，所以，解得. 故答案为： 6．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知是空间的一组基，向量，且四点共面，则__________. 【答案】1 【分析】根据四点共面，可得存在实数m，n，使得，根据条件，代入求解，即可得答案. 【详解】因为四点共面，所以存在实数m，n，使得， 因为， 所以， 则，解得. 故答案为：1 空间共面向量定理的推论及应用题型03 7．（25-26高二上·辽宁丹东·期末）（多选）已知O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，空间向量，，不共面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则向量，，共面 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D共面 D．若，则A，B，C，D共面 【答案】AC 【分析】根据共面向量的定义、共线向量的定义，结合共面定理逐一判断即可. 【详解】A：因为，，， 所以， 即，所以由共面向量定理可以判断向量，，共面， 因此该选项命题正确； B：假设，所以存在，使得成立， 即， 因为空间向量，，不共面， 所以，显然不成立，假设不成立，因此本选项的命题不正确； C：因为O，A，B，C，D是空间中互不重合的点， 而且， 所以由空间共面性质可知A，B，C，D共面，所以本选项命题正确； D：， 因为O，A，B，C，D是空间中互不重合的点， 而且， 所以由空间共面性质可知A，B，C，D不共面，所以本选项命题不正确. 故选：AC 8．（25-26高二上·河北张家口·期末）在空间四边形中，已知空间内一点满足，若，，共面，则______. 【答案】 【分析】分析可知，，，，四点共面，根据四点共面的结论运算求解即可. 【详解】因为， 若，，共面，则，，，四点共面， 则，解得. 故答案为：. 9．（25-26高二上·天津和平·期中）设，已知为空间四边形，空间内一点满足，若，，共面，则______. 【答案】 【分析】根据题意可知四点共面，结合四点共面的推论运算求解. 【详解】若，，共面，则四点共面， 因为，则，解得. 故答案为：. 空间向量基底概念及辨析题型04 10．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知向量，，则下列向量中可以与，构成空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依次判断各选项的向量，与，不共面即可. 【详解】对于A，假设，即，显然与矛盾，故，，不共面，可以构成基底，满足. 对于B，由于，，，共面，不满足； 对于C，由于，，，共面，不满足； 对于D，零向量与任意向量共面，故基底向量不能是零向量，不满足； 故能与，构成空间的一个基底的只有． 故选：A 11．（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意； 对于B，设存在实数，使得，可得， 所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意； 对于C，向量，不存在实数使得， 所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意； 对于D，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意. 故选：B. 12．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用共面向量定理及空间向量基底的意义，逐项判断即得. 【详解】对于A，，向量共面，A错误； 对于B，，故向量共面，故B错误， 对于C，假定向量共面，则存在实数对，使得，故， 而不共面，则，矛盾，故假设不成立，因此向量不共面，C正确； 对于D，，向量共面，D错误； 故选：C 用空间基底表示向量题型05 13．（25-26高二下·江苏南京·期中）在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，由得， ， 代入得． 14．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）在正四面体中，为中点，在上．且为中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】因为为中点， 所以 . 故选：A 15．（25-26高二上·山东菏泽·期末）如图，在四面体中，.点在上，且为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的几何体及空间的基底，利用空间向量线性运算求解即可. 【详解】由为的中点，得， 所以. 故选：A 空间向量基本定理及其应用题型06 16．（25-26高二上·山东济宁·期末）在平行六面体中，与的交点为．设，则下列向量中，与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的线性运算可得结果. 【详解】如图所示： . 故选：C. 17．（25-26高二上·山东临沂·期末）在四面体中，为线段靠近的三等分点，为的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的基本定理可求出、、的值，即可得出的值. 【详解】如下图所示： 因为为的中点，所以，由题意可知， 所以， 在三棱锥中，、、不共面，且， 所以，，故. 故选：A. 18．（25-26高二上·贵州毕节·期末）如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量基本定理可得. 【详解】，点为中点，故， 又，，，故. 故选：B 1．（25-26高二上·云南曲靖·期末）如图，在空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算结合条件即得. 【详解】. 故选：B 2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】已知，点N为BC中点， 则. 故选：C 3．（25-26高二上·陕西汉中·期末）设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（   ） A．基底中的向量可以为任意向量 B．空间中任一向量，存在唯一有序实数组，使 C．向量可以共面 D．也可以构成空间的一组基底 【答案】BD 【分析】根据条件可得向量不共面，即可判断A和C的正误；对B，结合条件，根据空间向量基本定理，即可判断正误；对D，根据条件可得不共面，即可求解. 【详解】对于A，因为是空间的一组基底，所以向量不共面，故A错误， 对于B，因为向量不共面，由空间向量基本定理可知，空间中任一向量， 存在唯一有序实数组，使，所以B正确， 对于C，因为是空间的一组基底，所以向量不共面，故C错误， 对于D，假设向量共面，则存在唯一实数，使， 即，所以，无解，所以不共面，故D正确， 故选：BD. 4．（2026·上海·高考真题）已知向量，，是两两不平行的向量，且，，则的值为__________． 【答案】 【分析】方法一：由条件可得，，消去，根据平面向量基本定理列方程求结论； 方法二：先证明共面，设，由条件结合平面向量基本定理列方程求结论. 【详解】方法一：因为，所以. 因为，所以， 所以， 因为不平行，所以，所以. 方法二：因为，，两两不平行， 所以，. 若不共面，所以，矛盾， 所以共面，可设， 所以， 所以. 因为，可设， 所以，， 所以，， ，所以. 1．（25-26高二上·湖南永州·期末）空间四面体中，为的中点，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用空间向量加减、数乘的几何意义用表示出，即可得. 【详解】由. 故选：A 2．（25-26高二上·安徽六安·期末）如图，在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加减及数乘运算即可求解. 【详解】由题意， 由可得：， 点是中点，故， 即. 故选：C 3．（25-26高二上·福建三明·期末）如图，空间四边形中，是的中点，点在上，且满足，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的几何体及空间向量的基底，利用空间向量的线性运算求解判断. 【详解】在空间四边形中，是的中点，， 则. 故选：B 4．（25-26高二上·安徽·期末）已知空间向量，若共面，则实数的值为（    ） A．0 B．-1 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据空间向量共面的性质进行求解即可. 【详解】共面， ， ，解得. 故选：C 5．（25-26高二上·山东潍坊·期末）在平行六面体中，为上一点，且，若，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得：，利用空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意得：， 所以 ， 所以， 故选：C. 6．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，点，分别是棱长为2的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（    ） A． B． C． D．向量在方向上的投影向量为 【答案】AC 【分析】利用空间向量线性运算，空间向量数量积的运算性质，空间向量模的求解公式以及投影向量的定义逐项分析即可. 【详解】选项A，由点在线段上，且，所以， 所以，即，所以， 由点，分别是边和的中点，连接，如图所示： 所以， 所以，故A正确； 选项B，由题意知，且向量两两夹角为， 所以， 由， 所以 ， 所以，故B错误； 选项C，由，故C正确， 选项D，向量在方向上的投影向量为：，故D错误. 7．（25-26高二下·上海杨浦·期末）正方体中，为正方形的中心，若，则的值为_________． 【答案】1 【分析】由正方体的结构特征，应用空间向量加减、数乘的几何意义得、，进而得到与的线性关系式，即可得. 【详解】因为点是底面的中心， 所以, 因为 , 所以， 由，则，，， 所以. 8．（25-26高二下·上海宝山·期末）在平面上有如下命题：“若 为直线 外一点，则点 在直线 上的充要条件是：存在实数、 ，满足，且．” (1)请将该命题类比到空间中，并证明． (2)在四面体 中，已知，，．点 在平面 内，且满足． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)类比到空间中，该命题为： 若 为平面 外一点，则点 在平面 内的充要条件是： 存在实数、 、 ，满足，且． 证明：①若点平面 ， 由向量共面的充要条件知存在实数 、 使得， 由向量加减法得， 整理得， 令，，，则，其中． ②反之，若已知，且． 则， 整理得， 即， 根据向量共面的充要条件知、、共面，即 、 、 、 共面， 所以点 在平面 内． 综上所述，若 为平面 外一点，则点 在平面 内的充要条件是： 存在实数、 、，满足，且． (2)①；② 【分析】（1）结合空间向量的运算，利用共面向量定理证明即可； （2）①利用数量积的运算律求解即可； ②利用数量积的运算律及模的运算法则求解即可. 【详解】（1）略 （2）①由（1）的结论知，从而， 从而， 由已知，，得 ， ②因为 ， 所以． 9．（25-26高一下·浙江宁波·期末）如图，在平行六面体中，为中点， ， ，设，，，以为空间的一个基底． (1)用基底表示向量，并求出线段的长度； (2)直线与平面 交于点求的值 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用向量加法的三角形法则，将 分解为基底向量的线性组合；根据向量的模结合数量积定义可计算长度. （2）设，利用点在平面 上，根据共面向量定理，利用 且 的条件，建立方程组求解 . 【详解】（1）由题意， ， 因为 为 的中点， 所以 . 所以 . 因为 ，且 － ， 所以 ， 所以 ，即线段的长度为. （2）设 ， 因为点在平面 上， 所以关于基底 的系数之和为1， 即 ，解得 . 所以 . 10．（25-26高二下·江苏镇江·期末）如图，在四面体中，，，，，点，分别为，的中点. (1)求线段的长； (2)若，，求证：，，，四点共面. 【答案】(1) (2)由题意知，， 因为，所以， 所以，， ， 不妨设， 即，解得.即 ， 根据共面向量定理，共面，即四点共面. 【分析】（1）将作为基底， 用基底表示，然后利用数量积的运算律求出模长即可. （2）由共面向量定理证明即可. 【详解】（1）设，且，分别为，的中点. 所以. 则 ， 所以. （2）略 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.1.2　空间向量基本定理 目 录 A组 巩固过关 题型01   判定空间向量共面 题型02 空间向量共面求参数 题型03 空间共面向量定理的推论及应用 题型04 空间向量基底概念及辨析 题型05 用空间基底表示向量 题型06   空间向量基本定理及其应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考   判定空间向量共面题型01 1．（25-26高二上·福建莆田·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江西景德镇·期末）（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则与的夹角是锐角 C．已知向量、、是不共面的向量，则、、也是不共面的向量 D．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 3．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在正方体中，下列向量能与向量构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 空间向量共面求参数题型02 4．（25-26高二上·安徽滁州·期末）若四点共面，其中，则（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 5．（25-26高二上·安徽·期末）在四面体中，点D满足，若A，B，C，D四点共面，则_______. 6．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知是空间的一组基，向量，且四点共面，则__________. 空间共面向量定理的推论及应用题型03 7．（25-26高二上·辽宁丹东·期末）（多选）已知O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，空间向量，，不共面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则向量，，共面 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D共面 D．若，则A，B，C，D共面 8．（25-26高二上·河北张家口·期末）在空间四边形中，已知空间内一点满足，若，，共面，则______. 9．（25-26高二上·天津和平·期中）设，已知为空间四边形，空间内一点满足，若，，共面，则______. 空间向量基底概念及辨析题型04 10．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知向量，，则下列向量中可以与，构成空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 用空间基底表示向量题型05 13．（25-26高二下·江苏南京·期中）在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）在正四面体中，为中点，在上．且为中点，若，则（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·山东菏泽·期末）如图，在四面体中，.点在上，且为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 空间向量基本定理及其应用题型06 16．（25-26高二上·山东济宁·期末）在平行六面体中，与的交点为．设，则下列向量中，与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·山东临沂·期末）在四面体中，为线段靠近的三等分点，为的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·贵州毕节·期末）如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于（   ）    A． B． C． D． 1．（25-26高二上·云南曲靖·期末）如图，在空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·陕西汉中·期末）设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（   ） A．基底中的向量可以为任意向量 B．空间中任一向量，存在唯一有序实数组，使 C．向量可以共面 D．也可以构成空间的一组基底 4．（2026·上海·高考真题）已知向量，，是两两不平行的向量，且，，则的值为__________． 1．（25-26高二上·湖南永州·期末）空间四面体中，为的中点，且，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·安徽六安·期末）如图，在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·福建三明·期末）如图，空间四边形中，是的中点，点在上，且满足，设，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·安徽·期末）已知空间向量，若共面，则实数的值为（    ） A．0 B．-1 C．1 D． 5．（25-26高二上·山东潍坊·期末）在平行六面体中，为上一点，且，若，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，点，分别是棱长为2的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（    ） A． B． C． D．向量在方向上的投影向量为 7．（25-26高二下·上海杨浦·期末）正方体中，为正方形的中心，若，则的值为_________． 8．（25-26高二下·上海宝山·期末）在平面上有如下命题：“若 为直线 外一点，则点 在直线 上的充要条件是：存在实数、 ，满足，且．” (1)请将该命题类比到空间中，并证明． (2)在四面体 中，已知，，．点 在平面 内，且满足． ①求的值； ②求的值． 9．（25-26高一下·浙江宁波·期末）如图，在平行六面体中，为中点， ， ，设，，，以为空间的一个基底． (1)用基底表示向量，并求出线段的长度； (2)直线与平面 交于点求的值 10．（25-26高二下·江苏镇江·期末）如图，在四面体中，，，，，点，分别为，的中点. (1)求线段的长； (2)若，，求证：，，，四点共面. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $