第二章 专题课 求轨迹方程-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册练习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第一册人教B版 为l,saa=2 xlxV40=3V太4= V而，=±6 10.解：(1)选①②可得b=V3,+=4,解得 a=1,六双曲线C的方程为之-号-1. 选①3可得6=V3,在椭圆号+y2-1中，-6=5- 1=4,解得c=2,双曲线c中a2=c2-b2=1,.双曲线C的 方程为号1 选23可得=4，在椭圆号+1中，心-6-5 14,解得21,6=3，双曲线C的方程为2号1 (2)设A(x,1),B(2,2),联立 ”消去 y=x-3, x1+x2=-3 y,整理得x2+3x-6=0, （x1x2=-6. ·.4B=VI+k2x1-xl, ABl=V1+k2.V(x+2)2-4x2=V6 提升练习 11.【解析】如图，设直线1的方程为x=my+1,设 A.,B,,联立+1消去得)广4m 2=4x, 40,则y0=-4,所以=-4， y San+Sae=·l0A-lryg+·l0A-bl 2V 当且仅当品，即y=±V2时等号成立，所 以△OAB和△AOF的面积之和的最小值为2V2. 第11题答图 (118 12.解：(1)设切线方程为y=kx-4,代入x2=4y得 x2-4kx+16=0. :相切，△=16k2-64=0,k=±2，.切线方程为y= ±2x-4. (2)设A(x1,y),C(x2,y2)·由题意知，直线AC 的斜率k存在，由对称性，不妨设k>0. 直线AC过焦点F(0,1),.直线AC的方程为y= kx+1.联立 =kx+1,得2-4kx-4-0. x2=4y, 由根与系数的关系知4， 4C=V(x-2)240yFy22= x1x=4, V1+kV(x+2)-4x2=4(1+k2). AC1D,BD的斜率为太，从而D的方程为 =-+1. 同理可求得BD-41+门=4， k2 GUBD-8(232. 当且仅当是，即1时，等号成立四边形 ABCD面积的最小值为32 ●“专题课求轨迹方程 效果评价 1.x=4y(x≠±4)【解析】设M(x,y),由题意得 y-4_y=4=-2,化简得x2=4y.又x≠±4，曲线C的轨 x+4x-4 迹方程为x2=4y(x≠±4). 2.y2=8x【解析】设圆心C(x,y),由动圆过定点 A(4,0),∴=V(x-4)2+y. 又圆在y轴上截得的弦MW的长为8，∴8=2VP-x2, 代入化简，得y2=8x,动圆圆心的轨迹C的方程 为y2=8x. 3:2户【解折】方法一：抛物线的焦点 12 为(1,0)，当AB斜率不存在时，AB方程为x=1,点 M的坐标与焦点重合，即M(1,0). 当AB斜率存在时，设AB的方程为y=k(x-I)①， 由0M1AB可得0M的方程为y=-冬②，①②两式相 乘消去k,得产0，即产子 12, 方法二：此题也可以用定义法，OM⊥AB, .OM·FM=0,.点M在以O,F为直径的圆上. 设M(x,y),F(1,0),O(0,0),.点M的轨迹 方程为（x-102-0,即x-产4 4,解：设P(xo,y),Q(x,yo),由题意可得A(-3, 0.B(3,0),直线P1的方程为杂（+3)，① 直线QB的方程为y=9(x-3).② x0-3 ①2两式相乘得产苦（2-9)。 又：点P在椭圆上，即+=1， 94 消去参数得-=1. 94 5.解：取AB所在直线为x轴，从A到B为正方 向，以AB的中点为坐标原点，以AB的中垂线为y轴， 建立平面直角坐标系（图略），则A(-a,0),B(a,0). 设P,,由%2，得Va-2,化简整 V(x-a)2+2 理得343-10ax+3c-0,即子0c2, 512 Γ9 动点P的镜迹为以C?a,0为圆心，手a为半 径的圆 6.解：设动圆P的圆心坐标为(x,y),半径为r, 由题意可得MPI=r+1,① INP=3-r.② 由①+②，得IMP+INP1=4. ,.点P的轨迹为以M,N为焦点，长半轴长为2的 椭圆 又a-2,l,3,椭网方程为若+亏，即 鱼线C的方程为等号1 7.解：由OP⊥BC可知OP⊥AP,.点P位于以OA 为直径的圆上 A(4,0),0(0,0),.0A的中点为(2,0)，.以 0A为直径的圆的方程是(x-2)2+y2=4. 由/只4， 得x<1,∴.点P的轨迹方程为(x (x-2)2+y2=4, 2)2+y2=4(x<1). 8.解：设l:x=-1与x轴的交点为C,.点O为F℃ 的中点， 且OR∥PC,.R为线段PF的中点. 又RQ⊥FP,直线RQ为FP的垂直平分线， PQ1=QF,根据抛物线的定义得Q点在抛物线y2= 4x上. 参考答案。 9解：如图，从焦点F引∠FP℉的外角平分线的 垂线，延长垂线FQ交FP的延长线于点A,则IPF= IAP. 在椭圆中，IPFl+lPF=2a, lAP+lPF=2a,即L4F=2a 又0Q=2MF=a, .点Q的轨迹为以0为圆心，a为半径的圆，.垂 足Q的轨迹方程为x2+y2=a2. 第9题答图 10.解：设点M的坐标是(x,y),P的坐标是(xp,yp, :点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且 WD专Pm,=,且= P在圆r+=25上，+子P-25,整理得若 后1，印点M的轨迹方程是芳。-1 提升练习 11.解：如图，设AB与PQ交于点E,则E为AB 和PQ的中点， 0A+0B=0p+00.① 又LAB1=lPQL, .:10A-0B1=100-0P1.② 由①+②2，得1OAP+0BP=10PP+00P, .100P=36+36-16=56,即1001=V56,点Q的轨 迹方程为x2+y2=56. 第11题答图 (119 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 12.解：设动点P的坐标为(x,y),点Q的坐标为 (x,y),由线段QW的中点为P,得N点的坐标为 (2x-x1,2y-y）· 又点N在直线x+y=2上，则2x-x+2y-y=2.① 又PQ垂直于直线x+y=2,.y1=1, X-X1 即x-y+y1-x1=0.② 120 N 3.1 x=2+2-1, 由①②两式联立解得 ③ 又点Q在双曲线2-y2=1上，x-y=1, 3+-12分+-11，即2-22-2+ 2y-1=0, .∴.动点P的轨迹方程为2x2-2y2-2x+2y-1=0.第二章平面解析几何。 专题课 求轨迹方程 6.已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x 效果评价 1)2+y2=9,动圆P与圆M外切且与圆N内 1.已知点A(-4,4),B(4,4),直线AM切，圆心P的轨迹为曲线C,求曲线C的方程. 与BM相交于点M,且直线AM的斜率与 BM的斜率之差为-2，点M的轨迹为曲线 C,则曲线C的轨迹方程为 2.已知动圆过定点A(4,0),且在y轴 上截得的弦MW的长为8，则动圆圆心的轨 迹C的方程为 3.过抛物线y2=4x的焦点F作直线与抛 物线交于A,B两点，过原点O作OM⊥AB, 7.自A(4,0)引圆x2+y2=4的割线BC, 点M为垂足，则M的轨迹方程为 求弦BC的中点P的轨迹方程， 4.已知A,B为椭圆号+千1的长轴的 两顶点，P,Q是椭圆上垂直于AB的弦的两 端点，求直线AP,BQ的交点M的轨迹方程， 8.已知点F(1,0),直线l:x=-1,P为 直线I上的点，R是线段PF与y轴的交点， 且点Q满足RQ⊥FP,PQ⊥L,求点Q的轨 迹方程. 5.已知定点A,B,且AB=2a.如果动点 P到点A的距离和到点B的距离之比为2：1， 求点P的轨迹方程， 练(83 高中数学选择性必修第一册人教B版 正+京=l(a>b>0) 9.已知F,F是椭圆+ 提升练习 的两焦点，P是椭圆上任一点，从任一焦点 11.已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一 引∠FP℉的外角平分线的垂线，求垂足Q 点，点A,B是圆上两动点，且满足∠APB= 的轨迹方程. 90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程. 10.设P是圆x2+y2=25上的动点，点D 12.从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线 是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且 x+y=2的垂线，垂足为N,求线段QN的中 MD=号PDI,当P在圆上运动时，求点M 点P的轨迹方程. 的轨迹方程. (84)练