拓视野 圆锥曲线的共性探究(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

该高中数学导学案聚焦圆锥曲线的共性探究，通过链接教科书椭圆、双曲线轨迹习题及抛物线定义，引导学生发现动点到定点与定直线距离比为常数e的共性，搭建从具体曲线到统一定义的学习支架。 资料以问题探究推动学生自主归纳离心率e与轨迹关系，培养数学抽象与创新意识。迁移应用与随堂检测层次分明，结合实例强化推理与运算能力，助力学生用数学语言表达和解决问题，提升核心素养。

　圆锥曲线的共性探究 　（链接教科书第143页习题C1题、第157页习题C2题）设动点M到定点F（－c，0）的距离与它到直线l：x=－的距离之比为． （1）当a＞c＞0时，求点M的轨迹方程； （2）当c＞a＞0时，求点M的轨迹方程． （链接教科书第158页）抛物线的定义． 【问题探究】 　由上述教科书中两道典型习题结合链接教科书抛物线的定义可知，三种曲线都是动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比是一个常数，当这个常数大于0且小于1时，动点轨迹为椭圆；当常数等于1时为抛物线；当常数大于1时为双曲线． 结论：动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为一个常数，即=e． （1）当0＜e＜1时，动点M的轨迹是椭圆； （2）当e=1时，动点M的轨迹是抛物线； （3）当e＞1时，动点M的轨迹是双曲线．此时定点F为圆锥曲线的一个焦点，定直线l叫作圆锥曲线对应该焦点F的一条准线x=，常数e就是该圆锥曲线的离心率，此结论称为圆锥曲线的统一定义（也称为第二定义）． 【迁移应用】 　已知椭圆＋=1与双曲线x2－=1有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于一点P（，y）．　 （1）求m，n的值； （2）若双曲线上一点Q到左焦点的距离为3，求它到双曲线右准线的距离． 1.若抛物线y2=2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|=2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为（　　） A．　　 B． C．　　 D． 2.已知抛物线C的焦点F在x轴的正半轴上，顶点为坐标原点，若抛物线上一点M（2，m）满足|MF|=6，则抛物线C的方程为（　　） A．y2=2x　　 B．y2=4x C．y2=8x　　 D．y2=16x 3.过抛物线x2=4y的焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|=10，则AB的中点到x轴的距离为（　　） A．2　　 B．3 C．4　　 D．8 4.顶点在原点，对称轴为y轴且经过点（4，1）的抛物线的准线与对称轴的交点坐标是　　　　． 完成课后作业　第二章　2.7　2.7.2 答案 拓视野　圆锥曲线的共性探究 迁移应用 解：（1）由双曲线方程可知，焦点在x轴上， 椭圆和双曲线有相同的焦点，可得10－m=1＋n，① 又交于点P（，y），＋=1，② （）2－=1，③ 联立①②③，解得m=1，n=8. （2）由（1）知，双曲线x2－=1，所以a=1，b=2，c=3，所以左焦点F（－3，0），左准线x1=－=－，右准线x2==，双曲线右支上一点到左焦点最小距离a＋c=4＞3，所以点Q在双曲线的左支上，设点Q到左准线的距离为d1，由双曲线第二定义，e==3=，所以d1=1，所以点Q到右准线的距离d2=d1＋x2－x1=． 随堂检测 1.A　线段AB所在的直线方程为x=1，抛物线的焦点坐标为（，0），则焦点到直线AB的距离为1－=． 2.D　设抛物线C的方程为y2=2px，p＞0，因为|MF|=2＋=6，所以p=8，所以抛物线C的方程为y2=16x．故选D． 3.C　设A（xA，yA）、B（xB，yB），则由抛物线的焦点弦长公式可得yA＋yB＋p=10，∴yA＋yB=8，则AB的中点到x轴的距离为=4.故选C． 4.（0，－4）　解析：设抛物线的方程为x2=2py（p＞0），则有42=2p•1，即2p=16，于是抛物线的方程为x2=16y，其准线为y=－4，准线与对称轴的交点坐标是（0，－4）． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $