2.7.2 抛物线的几何性质-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册练习手册（人教B版）

第二章平面解析几何。 2.7.2抛物线的几何性质 6.(多选题)过抛物y2=4x的焦点F作 效果评价 直线交抛物线于A,B两点，M为线段的中 1.直线y=x-1过抛物线C:y2=2px(p> 点，则下列结论正确的是（) 0)的焦点F,且与C交于A,B两点，则 A以线段AB为直径的圆与直线x=号 AB=() 相交 A.6 B.8 B.以线段MB的直径的圆与y轴相切 C.2 D.4 2.过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的 C.当AF=2FB时，AB=9 2 直线与C交于A,B两点，其中A在第一象 D.AB1的最小值为4 限.点M(p,O)且AF=AMI,则直线AB的 7.抛物线的顶点和椭圆+父=1的中心 斜率为() 259 A.V6 B.2V6 重合，抛物线的焦点和椭圆5+号1的右焦 C.3V6 D.4V6 点重合，则抛物线的方程为 3.抛物线x2=8y的准线被圆x2+y2-6x=0 8.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为 截得的线段长为() F,点M在抛物线C上，MF=5,若以MF A.4 B.2V5 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的标 C.V5 D.2 准方程为 4.已知抛物线y2=4x上一点P到准线的 9.若抛物线的顶点在原点，开口向上， 距离为d1,到直线1：4x-3y+16=0的距离为 F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛 d2,则d+d2的最小值为() 物线上一点，且MM=V17,M=3,求此抛 A.3 B.4 物线的标准方程， C.V5 D.V7 5.(多选题)已知点A(-2,4)在抛物 线y2=-2px(p>0)上，抛物线的焦点为F, 延长AF与抛物线相交于另一点B,O为坐 标原点，则下列结论中正确的是（) A.抛物线的准线方程为x=2 B.抛物线的焦点坐标为(-2,0) C.点B的坐标为(-2，-2)》 D.△OAB的面积为8 练(79 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 10.已知y=x+m与抛物线y2=8x交A,B 12.设P是抛物线y2=4x上的一个动点， 两点 F为抛物线的焦点， (1)若AB1=8,求实数m的值； (1)若点P到直线x=-1的距离为d, (2)若OA⊥OB,求实数m的值， A(-1,1),求IPA+d的最小值； (2)若B(3,2),求IPBI+P的最小值 提升练习 11.已知点(4,2)在抛物线C:x2=2py 上，直线1与抛物线C交于A,B两点，O 为坐标原点，且∠AOB=90, (1)求抛物线C的焦点到准线的距离； (2)求△AOB面积的最小值. (80)练解得y=±2，∴A(1,2)或(1，-2)，则4B=V8=2V2, 故选B. 8.D【解析】如图，设点P为 满足条件的一点，由题意可得点P 到点A的距离等于点P到y轴的距 离，点P在以点A为焦点，y轴 为准线的抛物线上，故点P的轨迹 为抛物线，故选D. 第8题答图 944【解析】在双曲线C:号y=1中，心=3， b2=1,.c2=+b2=4,即c=2,因此焦距2c=4..双曲线C 的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合，∴.在抛物 线y2-2px(p>0)中，2=0=2，p=4 10.x=-弓【解析】不妨设点P位于x轴上方，P 在抛物线上且PFLx轴，P号，P,OPLPQ,由 射影定理：P=0AFQ,又IFQ=6,p=号×6，p=3 或p0(舍).G的准线方程为多 提升练习 11.B【解析】设线段AB的中点为M,如图所示，1 是抛物线的准线，过点A作AA,⊥I于点A,过点M作 MM⊥1于点M,交y轴于点N,过点B作BB,⊥l于点 B1,MF=MAl,IBF=BBl,MA+BB=8.由点M是线 段AB的中点知，MM=2(MA,+BB)=4.2p=4,p= 2.因此lMNM=1,.MN=3,故选B. 第11题答图 12.C【解析】由题意得抛物线的焦点F(0,2),准 线方程为y=-2,过点P作PP垂直于准线，交准线于 P,过A作AA,垂直于准线，交准线于A1,如图所示. 根据抛物线的定义可知PF=PPl,A(4,5),AF= V42+(5-2)7=5,AAl=5-(-2)=7.CAm=AF+AP+|PF= LAF+lAP+|PPI≥A+lMA=5+7=12,故选C. 参考答案。 3 2 -3-2-1,012345 -3 第12题答图 27.2抛物线的几何性质 效果评价 1.B【解析】焦点F,0,又y=x-1过点F, 止号1,92，地物我6：联立)得 x2-6x+1=0,xA+=6,ABl=+xp=6+2=8.故选B. 2.B【解析】F号，0，取M的中点为N,连接AN (图略)，则AN与x轴垂直，且N子P,0, 将=p代入C:中，解得)=Y5p(负值 含去)，故40，p 5- ∵kAB=kA= =2V6,故选B. 3.B【解析】抛物线x2=8y的准线方程为y=-2, 圆x2+y2-6=0整理得(x-3)2+y2=9,则圆心坐标为(3,0)， 半径为r=3,则圆心到直线y=-2的距离为d=2,因此 y=-2被圆x2+y2-6x=0截得的线段长为2VP-证=2V5. 故选B. 4.B【解析】：抛物线上的点P到准线的距离等于 到焦点F的距离，.过焦点F作直线4x-3y+16=0的垂 线，则F到直线的距离为d+d2的最小值，如图所示， (d+d)m=4-0+16=4.故选B V/42+3 ,4x-3y+16=0 y 第4题答图 (115 高中数学选择性必修第一册人教B版 5.ABD【解析】将A(-2,4)代入抛物线方程可得 p=4,因此抛物线方程为y2=-8x,.准线方程为x=2, 焦点坐标为(-2,0)，故A,B正确；易知AF⊥x轴， B(-2,-4),故C错误：又HB=8,Sm号x8x2 8,故D正确.故选ABD. 6.ACD【解析】F(1,0),准线x=-1,点M到准线 x=-1的距离d=号(MnBN)=之HB,所以以线段AB 为直径的圆与直线x=-1相切，所以与x=-了直线一定 相交，A正确； 对于B,线段BM的中点到y轴的距离与之BM不 一定相等，故B中结论不正确： 对于C,A军，列小，B菩归，由F2屈，得 y=-2y2, 、y2=8 1-2-2-2 故AB卧+2 =+p=号，故C正确： 44 对于D,当AB为抛物线通径时，AB最小为2p=4, 故D正确. 7.y2=16x【解析】依题意知，椭圆的右焦点F2(4, 0),设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则号=4，p=8, .抛物线的方程为y2=16x. 8.y2=4x或y2=16x【解析】抛物线C的方程为y2= 2px(p>0),焦点F号，0设M(x,),由抛物线的 定义，知MA=+=5,解得x=5-号~圆心是MF的中 点，根据中点坐标公式，可得圆心的横坐标为)，圆 的半径也为)，故该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心 2 的纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，即M5-,4 将点M5-号，4代入抛物线方程，得p2-10p+16=-0,解 得p=2或p=8,·抛物线C的标准方程为y2=4x或y2= 16x. 9.解：设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0), 设A(,0,由题意知M0,子，M=3,o+号-3 :MM=V7,x6+o+2=17,x=8,代入方程x= 2po得，8=2p3-号，解得p=2或p=4, .所求抛物线的标准方程为x2=4y或x=8y 116 10.解：（）由+m得+2m-8x+m-0, y2=8x, 由△=(2m-8)2-4m2=64-32m>0,解得m<2. 设A(x1,y),B(x2,y2),则1+2=8-2m,xx2=m2, yy2=m(x1+x2)+xx2+m2=8m. :lABl=VI+k2.V(x+x2)2-4x2=V2.V64-32m= 8,∴m=1,经检验符合题意 (2).0A⊥0B,.0A.0B-0,∴xx2+yy2=m2+8m=0, 解得m=-8或m=0. 当m=0时直线y=x+m经过坐标原点，此时A或B 中有一点与坐标原点0重合，故舍去 m=-8,经检验符合题意. 提升练习 11.解：(1)将点(4,2)代入方程x2=2py,解得 p=4,∴.抛物线C的焦点到准线的距离为4. (2)设A(x,y),B(x,y2),直线1的方程为y= +6,联立8y, ly=kx+b, △=64k2+32b>0. 消去y,整理得x2-8kx-8b=0,.x1+x2=8k, x1x2=-8b. .∠A0B=90°，，∴x1x2+y0y2=0, 即+营普=0， 代入可得-8b+b2=0,即b=8或b=0(不符合题意， 舍掉)， =】x81x1-x=4V(x+x2)P-4xw2=4V64k2+256, .S△4B2 .当k=0时，△A0B的面积有最小值64. 12.解：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0), 准线方程为x=-1. 由已知及抛物线的定义，可知 IPF=d,于是问题转化为求PA+PA B3,2) 的最小值.由平面几何知识知，当 F,P,A三点共线时，IPAI+PF取 得最小值，最小值为AFI=V5, x=-1 即IPA+d的最小值为V5 第12题答图 (2)把点B的横坐标代入y2=4x中，得y=±2V3, 2V3>2,·.点B在抛物线的内部.如图，过点B作 BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P.由抛物线的定 义，可知IP.Q=IPF,则IPB+PF≥PB+PQ=BQ1=3+1= 4,PB1+PF的最小值为4.