2.7.2 抛物线的几何性质(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

该高中数学导学案聚焦抛物线的几何性质，通过桥拱、卫星接收天线等现实情境导入，引导学生类比椭圆、双曲线性质，结合表格对比四种标准方程的焦点、准线、范围等，设置问题猜想性质，搭建知识迁移的学习支架。 特色在于情境化设计培养数学眼光，类比迁移发展数学思维，分题型典例与母题探究提升数学运算和直观想象，自我诊断与跟踪训练巩固基础，助力学生自主构建知识体系，落实核心素养。

2.7.2　抛物线的几何性质 课标 要求 1.了解抛物线的几何图形及简单几何性质（直观想象）． 2.通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解抛物线的简单应用（数学运算）． 　　在现实生活中有许多抛物线的原型，如桥拱、卫星接收天线、曲线与轴截面的交线等，抛掷出的铅球在天空中划过的轨迹也是抛物线的一部分…… 【问题】　（1）类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能否猜想出抛物线的几何性质呢？ （2）参数p对抛物线开口大小有何影响？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　抛物线的简单几何性质 类型 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 图形 性 质 焦点 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 准线 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 范围 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 对称轴 　　　　 　　　　 顶点 　　　　 离心率 　　　　 开口方向 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 提醒：抛物线的标准方程与对称性、焦点位置的关系 y2=ax 一次项为x项，对称轴为x轴 a＞0时，焦点在x轴正半轴上，开口向右 a＜0时，焦点在x轴负半轴上，开口向左 x2=ay 一次项为y项，对称轴为y轴 a＞0时，焦点在y轴正半轴上，开口向上 a＜0时，焦点在y轴负半轴上，开口向下 【想一想】 1.抛物线x2=2py（p＞0）有几条对称轴？ 2.抛物线的范围是x∈R，这种说法正确吗？ 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）有的抛物线的离心率不为1.（　　） （2）抛物线x2=2py（p＞0）有一条对称轴为y轴．（　　） （3）抛物线y=－x2的准线方程是x=．（　　） （4）抛物线是中心对称图形．（　　） 2.顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（　　） A．x2=±3y　　 B．y2=±6x C．x2=±12y　　 D．y2=±12x 3.设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是（　　） A．（6，＋∞）　　 B．［6，＋∞） C．（3，＋∞）　　 D．［3，＋∞） 4.已知抛物线y2=4x的焦点为F，P是抛物线上一点，若|PF|=3，则P点的横坐标为　　　　． 题型一　抛物线方程及其几何性质 （1）（链接教科书第164页例1）已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2=4相交的公共弦长为2，求抛物线的方程； （2）设P是抛物线y2=4x上任意一点，设A（3，0），求|PA|的最小值． 尝试解答 规律方法 1.几何性质在求抛物线方程中的应用 （1）代数法：将几何性质转化为坐标表达式，解方程（组）求出未知数； （2）几何法：将几何性质与抛物线定义相结合，采用几何法求出焦点到准线的距离，从而得到抛物线的标准方程． 2.研究抛物线的性质，把握三个要点 （1）开口方向：由抛物线标准方程看其开口方向，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负； （2）位置关系：顶点位于焦点和准线与坐标轴的交点中间，准线垂直于对称轴； （3）定值：焦点到准线的距离为p，过焦点垂直于对称轴的弦（又称为通径）长为2p． 〔一题多解〕已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M（m，－3）到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程． 题型二　抛物线几何性质的应用 （1）已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2=2px（p＞0）上，求这个三角形的边长； （2）已知A，B是抛物线y2=2px（p＞0）上两点，O为坐标原点，若|OA|=|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程． 尝试解答 规律方法 利用抛物线的性质可以解决的问题 （1）对称性：解决抛物线的内接三角形问题； （2）焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题； （3）范围：解决与抛物线有关的最值问题． 　边长为2的等边△AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A、B的抛物线方程是（　　） A．y2=x　　 B．y2=x C．y2=±x　　 D．y2=±x 题型三　焦点弦问题 已知抛物线方程为y2=2px（p＞0），过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|=p，求AB所在直线的方程． 尝试解答 【母题探究】 1.（变设问）本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离． 2.（变设问）本例中，若A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，求∠A1FB1. 规律方法 1.已知AB是过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A（x1，y1），B（x2，y2），则： （1）y1y2=－p2，x1x2=； （2）|AB|=x1＋x2＋p=（θ为直线AB的倾斜角）； （3）S△ABO=（θ为直线AB的倾斜角）； （4）＋=； （5）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． 2.当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p． 1.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1＋x2=6，则|AB|的值为（　　） A．10　　 B．8 C．6　　 D．4 2. 抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A，B两点，O为原点，则•=　　　　． 答案 2.7.2　抛物线的几何性质 【基础落实】 新知初探 知识点 F（，0）　F（－，0）　F（0，）　F（0，－）　x=－　x= y=－　y=　x≥0，y∈R　x≤0，y∈R　x∈R，y≥0　x∈R，y≤0　x轴　y轴　O（0，0）　e=1　向右　向左　向上　向下 想一想 1.提示：有一条对称轴． 2.提示：抛物线的方程不同，其范围就不一样，如y2=2px（p＞0）的范围是x≥0，y∈R，故此说法错误． 自我诊断 1.（1）×　（2）√　（3）×　（4）× 2.C　可设抛物线方程为x2=2py（p＞0）或x2=－2py（p＞0），依题意知=3，∴p=6.∴抛物线方程为x2=±12y． 3.D　∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴=3，即p=6.又抛物线上的点到准线距离的最小值为，∴抛物线上的点到准线距离的取值范围为［3，＋∞）． 4.2　解析：由抛物线方程可得2p=4，即p=2，则|PF|=xP＋=xP＋1=3，解得xP=2. 【典例研析】 【例 1】　解：（1）设所求抛物线的方程为y2=2px（p＞0）或y2=－2px（p＞0），抛物线与圆的交点A（x1，y1），B（x2，y2）（y1＞0，y2＜0），则|y1|＋|y2|=2，即y1－y2=2．由对称性，知y2=－y1，代入上式，得y1=，把y1=代入x2＋y2=4，得x1=±1，所以点（1，）在抛物线y2=2px上，点（－1，）在抛物线y2=－2px上，可得p=．于是所求抛物线的方程为y2=3x或y2=－3x． （2）设点P的坐标为（x，y），则y2=4x，x≥0， |PA|2=（x－3）2＋y2=x2－6x＋9＋4x=x2－2x＋9=（x－1）2＋8. 当x=1时，|PA|的最小值为2． 跟踪训练 解：法一　由题意知抛物线开口方向向下，可设抛物线方程为x2=－2py（p＞0），则焦点为F（0，－）．因为M（m，－3）在抛物线上，且|MF|=5， 所以解得　 所以m=±2，抛物线方程为x2=－8y，准线方程为y=2. 法二　由题意可设抛物线方程为x2=－2py（p＞0）， 则焦点为F（0，－），准线l：y=，如图所示，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|=|MF|=5，而|MN|=3＋，所以3＋=5，即p=4.又因为点M在抛物线上，所以m2=24，所以m=±2，抛物线方程为x2=－8y，准线方程为y=2. 【例 2】　解：（1）如图所示， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则=2px1，=2px2. 又|OA|=|OB|，所以＋=＋， 即－＋2px1－2px2=0，整理得（x1－x2）（x1＋x2＋2p）=0. 因为x1＞0，x2＞0，2p＞0，所以x1=x2，由此可得|y1|=|y2|，即线段AB关于x轴对称， 由此得∠AOx=30°，所以y1=x1，与=2px1联立，解得y1=2p． 所以|AB|=2y1=4p，即这个三角形的边长为4p． （2）如图，设点A（x0，y0）， 由题意可知点B（x0，－y0），因为F（，0）是△AOB的垂心，所以AF⊥OB，所以kAF•kOB=－1， 即•（－）=－1.所以=x0（x0－），又=2px0，所以x0=2p＋=． 所以直线AB的方程为x=． 跟踪训练 D　不妨设点A在x轴的上方，当抛物线开口向右时，设其方程为y2=2px，∵等边△AOB的边长为2，AB⊥x轴，∴设AB交x轴于点M，则|OM|=|AB|=，|AM|=|AB|=1，由此可得点A的坐标为（，1），代入抛物线方程，得12=2p×，解得2p=，因此，抛物线的方程为y2=x．同理可得，抛物线开口向左时，其方程为y2=－x．综上所述，过A、B的抛物线的方程是y2=x或y2=－x．故选D． 【例 3】　解：∵过焦点的弦长|AB|=p，∴弦所在的直线的斜率存在且不为零， 设直线AB的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2）． ∵y2=2px的焦点为F（，0）． ∴直线AB方程为y=k（x－）．由整理得k2x2－（k2p＋2p）x＋k2p2=0（k≠0），∴x1＋x2=，∴|AB|=x1＋x2＋p=＋p，又|AB|=p， ∴＋p=p，∴k=±2. ∴所求直线方程为y=2（x－）或y=－2（x－）． 母题探究 1.解：设AB的中点为M（x0，y0）， 由例题解答可知2x0=x1＋x2=p， 所以AB的中点M到y轴的距离为p． 2.解：由例题解析可知AB的方程为y=k（x－），即x=y＋， 代入y2=2px消x可得y2=y＋p2，即y2－y－p2=0，∴y1y2=－p2， 设点A1的坐标为（－，y1），点B1的坐标为（－，y2），则kA1F=－，kB1F=－． ∴kA1F•kB1F==－1，∴∠A1FB1=90°． 跟踪训练 1.B　根据过抛物线焦点的弦长公式有|AB|=x1＋x2＋p=6＋2=8.故选B． 2.－　解析：①当直线AB⊥x轴时，在y2=2x中，令x=，有y=±1，则A（，1），B（，－1），得•=（，1）•（，－1）=－．②当直线AB与x轴不互相垂直时，设AB的方程为：y=k（x－），由消去y，整理得k2x2－（k2＋2）x＋k2=0，显然k≠0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2=，x1•x2=，得•=（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2＋y1y2=x1x2＋k（x1－）•k（x2－）=（1＋k2）•x1x2－（x1＋x2）＋k2=（1＋k2）－•＋k2=－．综①②所述，有•=－． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $