2.3.3 直线与圆的位置关系-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册练习手册（人教B版）

N 高中数学选择性必修第一册人教B版 2.3.3直线与圆的位置关系 第1课时 直线与圆的位置关系 效果评价 C.PA'.PB=-6 D.IPAI=3IPBI 7.已知直线1：ax+by-3=0与圆M:x2+ 1.若直线ax+by=2与圆x2+y2=1有两个 y2+4x-1=0相切于点P(-1,2),则直线1的 不同的公共点，那么点(b,a)与圆x2+y2=4 方程为 的位置关系是() 8.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方 A.点在圆外 B.点在圆内 程为x2+y2-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一 C.点在圆上 D.不能确定 点P,使过点P所作的圆的两条切线相互垂 2.已知过点P(2,2)的直线与圆(x- 直，则实数的取值范围是 1)2+y2=5相切，且与直线ax-y+1=0垂直，则 9.已知直线方程为mx-y-m-1=0,圆的 a=(） 方程为x2+y2-4x-2y+1=0.试求当m为何值 A-号 B.1 C.2 D 时，圆与直线： (1)有两个公共点； 3.圆x2+y2+2x-2y-2=0上到直线l:x+y+ (2)只有一个公共点； V2=0的距离为1的点共有( (3)没有公共点 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y 1)2=5的位置关系是() A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 5.(多选题)与圆C:x2+y2-4x+2=0相 切，且在x轴、y轴上的截距相等的直线方 程为() A.x+y=0 B.x-y=0 C.x=0 D.x+y=4 6.(多选题)在平面内，已知线段AB 的长度为4，则满足下列条件的点P的轨迹 为圆的是() A.∠APB=90° B.IPAP+IPBP2=10 (48)练 第二章平面解析几何。 10.如图，已知以点A(-1,2)为圆心的 提升练习 圆与直线1：x+2y+7=0相切.过点B(-2,0)》 的动直线I与圆A交于M,N两点。 11.(多选题)过直线x+y=4(0<x<4) (1)求圆A的方程； 上一点P作圆0：x2+y2=4的两条切线，切点 (2)当MN=2V19时，求直线1的方程. 分别为A,B,直线AB与x轴、y轴分别交 于点M,N,则() y A.点O恒在以线段AB为直径的圆上 B.四边形PAOB面积的最小值为4 B O C.4B的最小值为2V2 第10题图 D.1OMl+IONM的最小值为4 12.已知直线1：4x+3y+10=0,半径为2 的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线 1的右上方： (1)求圆C的方程 (2)过点M(1,0)的直线与圆C交于 A,B两点(A在x轴上方)，则在x轴正半 轴上是否存在定点V,使得x轴平分∠ANB? 若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请 说明理由 练(49 高中数学选择性必修第一册人教B版 第2课时 弦长问题 6.(多选题)直线y=x+b与曲线x 效果评价 V1-y恰有一个交点，则实数b可取下列哪 1.已知直线l过点P(-2,0),当直线1 些值() 与圆x+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取 A.-V2 B.-1 值范围为() C.1 D.V2 A.(-2V2,2V2) 7.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x+ B.-V2,V2 y2-4x=0所截得的弦长为 4 4 8.已知直线l:mx+y+3m-V3=0与圆 C.(-V2,V2) x2+y2=12交于A,B两点，过A,B分别作1 D.g,8 的垂线与x轴交于C,D两点，若AB1=2V3, 2.已知圆(x+1)2+(y-1)2=2-a截直线x+:则m= ICDI= y+2=0所得弦的长度为4，则实数a=( 9.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4和直线1： A.-2B.-4C.-6 D.-8 kx-y-4h+3=0. 3.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于 (1)求证：不论k取何值，直线1和圆 P,Q两点，且∠P0Q=120°（其中0为坐标C总相交； 原点)，则k的值为() (2)求直线1被圆C截得的最短弦长及 A.V3 B.V2 此时的直线方程. C.V3或-V3D.V2和-V2 4.已知圆0：x2+y2=5,直线1：xc0s0+ ysin0=10<<7,设圆0上到直线1的距离 等于1的个数为k,则k的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 5.(多选题)直线y=kx+3与圆(x-3)2+ (y-2)2=4相交于M,N两点，若MN≥2V3, 则k的取值可以是() A.-1 B.-2 C.0 D.1 (50)练 第二章平面解析几何。 10.在平面直角坐标系x0中，过点 提升练习 P(0,1)且互相垂直的两条直线分别与圆0： x2+y2=4交于点A,B,与圆M:(x-2)24(y-1)2= 11.已知直线1：x-y=1与圆M:x2+y2 1交于点C,D. 2x+2y-1=0相交于A,C两点，点B,D分别 (1)若AB=3Y7,求CD的长； 在圆M上运动，且位于直线（两侧，则四边 2 形ABCD面积的最大值为() (2)若直线AB的斜率为2，求△ABM A.V30 B.2V30 的面积 C.V51 D.251 12.已知圆x2+y2-4x-6y+12=0,点P(x, y)为圆上任意一点，求Y的取值范围， B 第10题图 练(51=4(-7m2+6m+1)>0, -7m2+6m+1>0, 7<m<l 设圆心坐标为（任，），则=+3，① 4m21,②由①得m x-3,代入②消去m得，y=4(x-3)2-1. 7m1,294 :圆心的轨迹方程为)4(-3以-129<4 10.解：(1)连接0Q,当直线PQ与圆0相切于 点Q时，0Q⊥PQ,0Q1=PQ1=2,则1OPI=2V2.又： 点Q在第一象限，故△OPQ为等腰直角三角形，故 P(2V2,0),Q(V2,V2).由点M为PQ的中点， 得M3Y2.竖直线0N的斜率为号 2 (2)设M(x,y)(x≠0)，由1OQ=lPQI=2,得△OPQ 为等腰三角形.设Q(xo,yo),则P2o,0),又点M为PQ X0+20=x, 2 2 的中点，故 o+0 解得专·得P告0， 2 =y, y0=2y, Q号，2，把Q,2的坐标代人+-4，整理得 号+1，六点M的镜迹方程为号+1（≠0） 提升练习 11.C【解析】由题意知 ad2+4-22-3x2+d2+a>0, (-2a)2+(-3)2-4(a2+a)>0, a>2, 解得c9.即2号故选C \4' 12.B【解析】圆x2+y2-4x+2y+c=0化成标准方程为 (x-2)2+(y+1)2=5-c, .圆心为P(2,-1),半径r= V5-c,如图所示 圆P与直线x=0交于A,B 两点，△PAB是正三角形， ,P到x=0的距离等于半径的 V3倍 第12题答图 2 可得2=Y3V5e,解得c=号故选B 参考答案。 2.3.3直线与圆的位置关系 第1课时直线与圆的位置关系 效果评价 1.A【解析】直线a+by=2与圆x2+y2=1有两个公 共点，有2<1，即2<V+6.点(6，a)与 Va+b 圆x2+y2=4的圆心的距离为Va+b>2,圆x2+y2=4的半径 为2，点P在圆外.故选A 2.C【解析】设过点P(2,2)的直线的斜率为k, 则直线方程y-2=k(x-2),即kx-y+2-2k=0,由于该直线 与圆相切，故+22=V万，得=子，由于直线 Vk2+1 y+2-2k0与直线a-y+1=0垂直，因此-2×a=-1,解得 a=2,故选C 3.C【解析】化x2+y2+2x-2y-2=0为(x+1)2+(y-1)2= 4,得圆心坐标为(-1,1)，半径为2. :圆心到直线l:x+y+V2 0的距离-+1+Y2=1<2, VI+1下 结合图形可知，圆上有三 点到直线1的距离为1. 4.A【解析】直线l:mx- y+1-m=0过定点(1,1)，12+ 第3题答图 (1-1)2<5,则点(1,1)在圆x2+(y-1)2=5的内部，.直 线1与圆相交，故选A 5.ABD【解析】圆C的方程可化为(x-2)2+y2=2.可 分为两种情况讨论： ①直线在x轴、y轴上的截距均为0，易知直线斜率 必存在，设直线方程为y=kx,则2=V2,解得 1+k2 k=±1： ②直线在x轴、y轴上的截距均不为0，则可设直线 方程为x+Y=1(a≠0)，即x+y-a=0(a≠0)，则 a 2-al=V2,解得a=4(a=0舍去). v 综上所述，直线方程为x+y=0或x-y=0或x+y-4=0. 故选ABD. 6.BD【解析】以线段AB所在直线为x轴，线段 AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则A(-2,0), B(2,0),设P(x,y). 对于A,若∠APB=90°，则点P(x,y)的轨迹是以 AB为直径的圆但不包括A,B两点，故A不符合题意； 对于B,若PAP+PBP=10,则x2+y2=1,所以点P的 95 高中数学选择性必修第一册人教B版 轨迹为圆，故B符合题意： 对于C,PA=(-2-x,-y),PB=(2-x,-y),所以 PA.PB=x2+y2-4=-6,x2+y2=-2显然不成立，故C不符 合题意： 对于D,由于PA=3PB1,.IPAP=91PBP,整理得x+ 5x+4-0,圆心3,0，半径为号的圆，故D符合题 意，故选BD 7.x+2y-3=0【解析】根据题意，圆M:x2+y2+4x-1= 0,即(x+2)2+y2=5,其圆心M(-2,0). 直线1：ax+by-3=0与圆M:x2+y2+4x-1=0相切于点 P(-1,2), 则点P在直线I上且MP与直线I垂直， km--2)2,则有-号=分，6=2m 2-0 又由点P在直线l上，则有-a+2b-3=0,解得a=1, b=2,则直线1的方程为x+2y-3=0. 8.[-2V2,2V2]【解析】圆C:x2+y2-4x=0的 标准方程为(x-2)2+y2=4,圆心C(2,0),半径r=2.设 两个切点分别为A,B, ·过点P所作的圆的两条切线相互垂直，∴.四边形 PACB为正方形，PC=2V2, .圆心到直线y=k(x+1)的距离小于或等于PC=2V2, 即-2k-0+1≤2V2,解得-2V2≤k≤2V2. V1+k2 9.解：方法一：将直线mx-y-m-1=0代入圆的方程 化简整理得，(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0. 则△=4m(3m+4). ()当4>0，即m>0或m<-号时，直线与圆相交， 即直线与圆有两个公共点， (2)当4-0，即m=0或m=-号时，直线与圆相切， 即直线与圆只有一个公共点 (3)当4<0，即-4<m<0时，直线与圆相离，即直 3 线与圆没有公共点 方法二：已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4, 即圆心为C(2,1),半径=2. 圆心C(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离 d=12m-1-m-11-Im-21 V1+m2V1+m2 (1)当d2,即m>0或m<-号时，直线与圆相交， 即直线与圆有两个公共点. 96 (2)当d=2,即m=0或m=-号时，直线与圆相切， 即直线与圆只有一个公共点， (3)当>2，即-专m<0时，直线与圆相离，即直 线与圆没有公共点. 10.解：(1)设圆A的半径为r,圆A与直线l: x+2y+7=0相切，7=1+4+7=2V5,.圆A的方程为 v5 (x+1)2+(y-2)2=-20. (2)①当直线1与x轴垂直时，直线l的方程为x= -2,易得MN=2V19,符合题意： ②当直线1与x轴不垂直时， 设直线1的方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0. 取MN的中点Q,连接AQ,则AQ⊥MN. .MW=2V19,.lAQ=V20-19=1, 21.得=子 V+1 ,直线1的方程为3x-4y+6=0.综上，直线1的方程 为x=-2或3x-4y+6=0. 提升练习 11.BCD【解析】在四边形PAOB中，∠AOB不一 定是直角，故A错误。 连接PO(图略)，由题易知Rt△PAO≌Rt△PBO,,∴. 四边形PAOB的面积S=2x2PA~I0A=2PA2VPO-4. 又P0的最小值为点0到直线x+y=4的距离，即2V2, .四边形PAOB面积的最小值为2V8-4=4,故B正确. 设P(a,b),则以线段OP为直径的圆的方程是x(x- a)+y(y-b)=0,与圆0的方程x2+y2=4相减，得ax+by=4, 即直线AB的方程为ax+by=4.又点P在直线x+y=4 上，∴a+b=4,则b=4-a,代入直线AB的方程，得a(x-y) +4y-4=0,令x=y,则4y-4=0,得x=1,y=1,.直线AB 过定点C(1,1),IOC1=V2,数形结合可知AB1的最 小值为2V4-2=2V2,故C正确. 在场=4中，分别令)0，=0得到点M年，0， N0,号，on0N4+÷:点Pa,6)在直线 x+y=4(0<x<4)上，∴.a+b=4且0<a<4,0<b<4,则4+ 音=a6)合+g-2*合+号=2*2V合84.当且 a b 仅当a=b=2时等号成立，OM+1ON的最小值为4，故 D正确.故选BCD. 12.解：（①）设圆心ca,0)3,则40 =2,解得a=0或a=-5(舍去)，∴.圆C:x2+y2=4. (2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB. 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y= k(x-1),N(t,0),A(x1,y),B(x2,2), 由r+4，得0+102-24x24-0. y=k(x-1) 酒=器，=会岸若：轴平分28则 kw=-k,即上+上=0，.k山+k)=0,整理 x1-t x2-t x-t x2-t 得2x-(+1)(x+)+21=0,241_22++2=0, k2+1 k2+1 解得=4， .当点N为(4,0)时，能使得x轴平分∠AWB. 第2课时弦长问题 效果评价 1.B【解析】设直线1为kxy+2k=0,又直线1与圆 +-2有两个交点，故k+2<1,-V2水<V2 VR+I 4 4 故选B. 2.B【解析】由题可得，圆心(-1,1)，=V2-a, 设圆心到直线的距离为d,圆截直线所得弦为AB d-V--v2-4=V2m, d-ltl+2=V2,V-2-a=V2, V1+1 .a=-4.故选B. 3.C【解析】如图，直线过 定点(0,1)，∠P0Q=120°， .∠0PQ=30°，则∠1=120°，∠2= 60°，.由对称性可知k=±V3。 故选C. 4.D【解析】圆心(0,0) 到直线l的距离d= 1 Vcos0+sin0 第3题答图 =1,又圆的半径r=V5,.圆上有4个点符合条件. 故选D. 5.BC【解析】圆(x-3)2+y-2)2-4的圆心为(3,2)， 半径为2，由MN≥2V3可得圆心(3,2)到直线y= k红+3的距离-V2四于≤1.直线方程可化为k+ 3-0,B2≤1，解得-子≤k≤0，的取值可以 1Vk2+1 参考答案。 是-，0故选BC 6.AC【解析】曲线x= V1-y,整理得x2+y2=1,x≥ 0,画出直线与曲线的图象如 图，直线y=x+b与曲线x= VI-y恰有一个交点，则b∈ (-1,1]U(-V2.故选AC. 7.2【解析】直线方程为 第6题答图 =V3x,圆的标准方程为(x-2)+y2=4,圆心(2,0)到 直线的距离d= 2V3=-V3,弦长1=2VP-d= V(V3)2+1 2V/4-3=2. 8.-4【解析】圆+-12，半径为2V3, 设圆x2+y2=12的圆心(0,0)到直线1的距离为d,则 有d-V12-(V3=3=l3m-V31,整理得-2V3m V1+m2 2。m=,此时直线1的斜率为，顿斜角为 30°，过A,B分别作1的垂线与x轴交于C,D两点， CD=2Y3=4. V3 9.(1)证明：由直线1的方程可得，y-3=k(x-4), 则直线1恒过点(4,3). 把(4,3)代入圆C的方程，得(4-3)2+(3-4)2=2<4， 点(4,3)在圆C的内部.又直线1恒过点 (4,3),∴.直线1与圆C总相交 (2)解：设定点为A(4,3),由题可知当直线1与 CA直线垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短. 如器=-1，直线1的斜率为1， ∴直线1的方程为y-3=x-4,即x-y1=0. 设圆心C(3,4)到直线1的距离为d,则d-B4山 v2 =V2,.直线1被圆C截得最短的弦长为2V4(V2= 2V2. 10.解：(1)由题可知，直线AB斜率显然存在， 设为k,则直线AB的方程为y=kx+1 :0点到直线AB的距离d=1 Vk2+1 学4.4=V器 97 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 由2y爵37，得15 :直线AB与直线CD互相垂直，则直线CD的方程 为名1 .M点到直线CD的距离d2= _2+1-1 91 k cD-2V14-2V1-V3. (2)直线AB的斜率为2，则直线AB的方程为2x +1=0,·点0到直线AB的距离为V写 5 点M到直线B的距肉为上45，A02y4写 -2Y95,5m=3AB:d=号V. 5 提升练习 11.A【解析】把圆M:x2+y2-2x+2y-1=0的方程化 为标准方程，可得(x-1)2+(0+1)2=3,故圆心为M(1,-1), 半径=V3.圆心M到直线1的距离d=1-(-1)-山 1V12+(-1)2 Y,由勾殷定理得半弦长合4CVFF V3-2=0,故弦长MG=2x0VM0.连 2 接BD(图略)，B,D两点在圆上，且位于直线I的两 侧，，当BD为弦AC的垂直平分线，即BD为直径且 BD⊥AC时，四边形ABCD的面积最大，最大面积为 24C-BD1=×VI0x2V3=V30,故选A 12.解：由x2+y2-4x-6y+12= 0可得(x-2)2+(y-3)2=1, .点P(x,y）的轨迹是以 M(2,3)为圆心，半径为r=1 ●M 的圆，如图所示 y=0表示圆上的点Px, 0 xx0 y)与坐标原点O(0,0)连线的斜率，第12题答图 结合图形可知，当直线OP与圆相切时，斜率取得最值. 设切线为y=kx,即kx-y=0, 圆心从2.》到切线红0的范度产L 98 整理可得3k2-12k+8=0, 解得k=6-2Y3,k=6+2Y3 3 3 :￥的取值范围为6-2Y3,6+2V3 3 3 2.3.4圆与圆的位置关系 效果评价 1.A【解析】圆O,的圆心为(0,0)，半径为1， 圆02的圆心为(3，-4)，半径为4， ..两圆圆心距为V(0-3)+(0+4)2=5 恰好等于它们的半径之和，两个圆外切 故选A. 2.D【解析】圆M:(x-a)2+y2=4(a>0)的圆心为 M(a,0),半径为2，圆N:x2+(y-1)2=1的圆心为(0,1)， 半径为1. 由题意知V+1=2+1,且a>0,解得a=2V2, 则圆心M(2V2,0)到直线x-y-V2=0的距离 dk2V2-0-V21=1, V2 ∴.直线x-y-V2=0被圆M截得的线段的长度为 2V/4-1=2V3. 故选D. 3.D【解析】由题意可得圆C,的圆心为(0，-m), 半径为V2,圆C2的圆心为(m,0),半径为2V2, 两圆恰有两条公切线，.两圆相交，V2<CC <3V2 ,lC,C=V(0-m)2+(-m-0)=V2lml, .V2<V2lmlk3V2,解得-3<m<-1或1<m<3. 故选D. 4.A【解析】圆M的圆心M(0,a),半径r1=a,a> 0,圆6M到直线的距离为V2,所以√？十 2V2=2,a=2,所以M(0,2),r=2 2 圆N的圆心为N(3,6),半径r2=7,MNI=r2-r1=5, 所以两圆的位置关系是内切，故选A. 5.CD【解析】由圆x2+y2-2x+2y-2=0和圆x2+y2 2ax-2ay+2a2-9=0, 两式相减，可得公共弦所在直线的方程为(2a-2)x+ (2a+2)y+7-2a2=0. 两圆的公共弦长为3Y7,且圆+2-2x+2y-2-0 2 的圆心为(1，-1)，半径为2，