1.2.3 直线与平面的夹角-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册练习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第一册人教B版 别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如 图所示的空间直角坐标系. 设AD=2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1, 0),D(0,2,0),P(0,0,1)· (1)证明：AP=(0,0,1),AC=(1,1,0),CD= (-1,1,0),可得AP.CD-0,AC.CD=0,AP⊥CD, AC⊥CD.又APOAC=A,.CD⊥平面PAC. (2)设平面PCD的法向量n=(x,y,z),则 n面=0，cD=(-1,1,0),Pm=(0,2,-10 n·PD=0. +0取xl,则)=l,2,平面P心D的-个法 2y--0, 向量为n=(1,1,2).设点E的坐标为(0,0，z),则 BE=(-1,0,z)·若BE∥平面PCD,则BE·n=0, 即(1,1,2)(-1,0，)=0，解得=分，即 E0,0,3 综上所述，当E为PA的中点时，BE∥平面PCD. 1.2.3直线与平面的夹角 效果评价 1.C【解析】如图，DD⊥平 面ABCD,∠DAD为AD1与平 A 面ABCD所成角，tan∠DMD=1, D ∠DMD=年，n∠DAD= 第1题答图 Y2放选C 2.B【解析】设OC与平面OAB所成的角为0，则 cos60=o0s0cos30,cos9-Y.故选B 3.A【解析】在长方体 D ABCD-ABCD1中，AB=BC=2, A D 该长方体的体积为8V2,2× 2xMA=8V2,解得AA=2V2. 如图，以D为原点，DA,DC, 第3题答图 DD,所在直线分别为x轴、y 轴、z轴，建立空间直角坐标系，A(2,0,0),C(0,2, 2V2),AC1=(-2,2,2V2),平面BBC,C的法向量 n=(0,1,0),设直线AC,与平面BB,C,C所成的角为0， wC子分，90，袋6与平面 BB,C,C所成的角为30°.故选A. 70 4.A【解析】，OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC, ∴.OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.设AB=V2a,则PA= 2V2a,0P=V7a,A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a, 0,0),P(0,0,V7a),PA'=(a,0,-V7a),PB =(0,a,-V7a),BC=(-a,-a,0).设平面PBC的法 向量为n=(x,y,),则 n-Pm-0.即a-V7=0, n.BC=0,-ax-ay=0, 令，则)=1，=Y7，平面8C的-个法向量为 n=(1,-1.-V7),.cos(PA',n)=Pnv21o 7 IPA lInl 30 :PM与平面PBC所成角的正弦值为V0.故选A 30 5.A【解析】如图，以C为原 C 点，在平面ABC中过C作BC的垂 B 线，以其所在直线为x轴，CB所在 直线为y轴，CC所在直线为z轴， 6C、 B 建立空间直角坐标系，则A(√3,1，A 0),A(1V3,1,3),B(0,2,3), 第5题答图 C(0,0,3),AA1=(0,0,3),AB =(-V3,1,3),AC1=(-V3,-1,3). 设平面AB,C1的法向量n=(x,y,z), 则mAB=-V3x+y+3=0. n.AC=-V3x-y+32=0, 取x=V3,得n=(V3,0,1). 设AA1与平面AB,C1所成的角为6， 则sin6=MH4l-3=1 1A:lml 3V 6 AA1与平面ABC所成的角为T.故选A 6 6.45°【解析】如图，作C01 a,0为垂足，连接AO,M0,则 Q B ∠CA0=30°，∠CM0为CM与a 第6题答图 所成的角.在Rt△AOC中，设CO= 1,则AC=2.在等腰Rt△ABC中， 由AC=2得CM=V2.在Rt△CM0中，sin∠CMO=CO CM D. 17=Y22,∠CM0=45°， A B 7.V2【解析】如图，以D 为原点，DA所在直线为x轴，x D B DC所在直线为y轴，DA,所在直 第7题答图 线为z轴，建立空间直角坐标系， 设AB=1,则B(1,1,0),D(-1,0,1),BD1=(-2, -1,1),平面ABCD的法向量n=(1,0,0) 设直线BD,与平面AB,CD所成角为6，则sin0= ®w-y- ,直线 IBD:lInl V6 V6 BD,与平面AB,CD所成角的正切值是tan0=sin6=V2 8.V2【解析】如图， B 设A,在平面ABC内的射影为 O,以0为坐标原点，OA,OA X A 0 B 所在直线分别为x轴、z轴，过 O作OA的垂线为y轴，建立空 第8题答图 间直角坐标系.设△ABC的边长 为1，则A3,0,0,B-Y3 V6 3 5, 3 平面ABC的法向量n=(0,0,1), 则AB,与底面ABC所成角&的正弦值为 1V6 sina=lcos(A B,n)l=- 3 384+日 3 9.B【解析】如图，设AB=2a,则 0A=2a,0M=0B=0C=a,∴.001= V4a2-a=V3 a,OC=V3a2+a2=2a. -10-B .C01⊥AB,C01⊥001，AB∩001= 01,.C01⊥平面A0B,∴.∠C001是0C 第9题答图 与平面OAB所成角，sinC00,=C0= CO ,∠C00,=30,0C与平面01B所成角为30.故 1 选B 10.号【解析】如图，取AB的中点为O,连接C0, PO,.PA⊥平面ABC,.PA⊥OC.,AC=BC,O是AB的 中点，∴AB⊥OC又PA∩AB=A,.C0p平面PAB,则 ∠CPO为PC和平面PAB所成的角. .AC=BC=2,ACLBC,.AB=2V2, CO-]AB-V2,P0=VPAOA- 3V2,tan∠CPo=C0=1, Op3,∴PC 第10题答图 和平面PHB所成角的正切值为； 参考答案。 提升练习 11.(1)证明：如图，取PB的 中点M,连接EM,FM,.E,M分 别是PC,PB的中点，.EM∥BC, EW=}BC:四边形ABCD是正方 形，F是AD的中点，DF∥BC, A DF:号BC,四边形DEMF是平行 第11题答图 四边形，.DE∥FM.又.DE平面PFB,FMC平面PFB, DE∥平面PFB. (2)解：PD⊥平面ABCD,BCC平面ABCD, .PD⊥BC..·四边形ABCD是正方形，..BC⊥CD.又 ·PDC平面PCD,CDC平面PCD,PD∩CD=D,.·BC⊥ 平面PCD,∴∠BPC为直线PB与平面PCD所成的角. .PD=DC=BC,.PC=V2 CD=V2 BC,..tan L BPC=BC= PC 12.(1)证明：以A为原 点，在平面ACD中，过A作 AD的垂线为x轴，AD所在直 D 线为y轴，AB所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0),C(V3,1,0), 第12题答图 00.20.f,}.0.80.0.1.50.2 2,Af,3,0,BC=(V3,,-0,E (0,2,1). 设平面BCE的法向量n=(x,y,z), n.BC=V3x+y-2=0, 则 n.BE=2y+2=0, 取y=1,得n=(-V3,1,-2).AFn=0,AF 平面BCE,∴AF∥平面BCE. (2)解：AD=(0,2,0),平面BCE的一个法向量为 n=(-V3,1,-2),设直线AD与平面BCE所成角为 则物哥。孚.线0与面 BCE所成角的正弦值为Y2 4.1 ■阶段性练习卷（二) 1.B【解析】mn=0,即m上n,不一定有l∥x, 711.2.3直线 效果评价 1.在正方体ABCD-ABCD1中，直线 AD1与平面ABCD所成角的正弦值为() A B.V3 2 C.v2 D.V6 2 3 2.OA,OB,OC是由点O出发的三条 射线，两两夹角为60°，则OC与平面OAB 所成角的余弦值为() A B.V3 3 c D.V3 3.如图，在长方体ABCD-ABCD1中， AB=BC=2,若该长方体的体积为8V2,则 直线AC,与平面BBC,C所成的角为() A.30° B.45° C.60° D.120° D D 第3题图 第4题图 4.在三棱锥PABC中，AB⊥BC,AB= BC=?PA,点0是AC的中点，OP1底面 ABC.现以点O为原点，OA,OB,OP所在 直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直 角坐标系O-yz,如图所示，则直线PA与平 第一章空间向量与立体几何。 与平面的夹角 面PBC所成角的正弦值为() A.V210 B.V30 30 30 C.1V690 D.V870 30 30 5.如图，在三棱柱ABC-ABC,中，侧 棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角 形，侧棱长为3，则AA1与平 面ABC1所成的角为( A.T B. T 6 c号 D.T 第5题图 6.等腰Rt△ABC的斜边AB在平面a 内，若AC与a成30°角，则斜边上的中线 CM与平面α所成的角为 第6题图 第7题图 7.如图，在四棱柱ABCD-ABCD1中， 平面ABCD⊥平面ABCD,且四边形ABCD 和四边形ABCD都是正方形，则直线BD1 与平面AB1CD所成角的正切值是 8.已知三棱柱ABC-ABC,的侧棱与底 面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为 △ABC的中心，则AB,与底面ABC所成角 的正弦值等于 9.在圆柱O01中，0是上底面圆心， AB是下底面圆的直径，点C在下底面圆周 上，若△OAB是正三角形，OC⊥AB,则 练 13 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 OC与平面OAB所成的角为( A.150° B.30° C.45° D.60° 10.如图，在空间四边 形PABC中，PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,AC=BC=2, PA=4.则PC和平面PAB所 成角的正切值为 第10题图 提升练习 11.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD, PD=DC,E,F分别是PC,AD的中点 (1)求证：DE∥平面PFB; (2)求PB与平面PCD所成角的正切值. 第11题图 (14)练 12.在如图所示的多面体ABCDE中， AB∥DE,AB⊥AD,△ACD是正三角形. AD=DE=2AB=2,EC=2V2,F是CD的中点. (1)求证：AF∥平面BCE; (2)求直线AD与平面BCE所成角的正 弦值. 二D 第12题图