1.2.3直线与平面的夹角同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

**基本信息** 2026-2027学年高二数学人教B版选择性必修一1.2.3课时自测，以“基础巩固-能力提升-综合应用”分层设计，通过不同题型梯度覆盖直线与平面夹角的概念理解、运算应用及空间几何综合问题，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一知识点（方向向量与法向量求夹角）|单选1、3直接应用公式，强化运算能力| |能力层|知识交汇（充要条件判断、命题真假辨析）|多选2、5结合逻辑推理，培养推理意识| |综合层|综合应用（结合几何体求线面角）|解答题9、10以几何体为载体，发展空间观念与模型观念|

2026-2027学年高二年级上册数学课时自测(人教B版专用) 选择性必修一 第一章 1.2.3直线与平面的夹角（参考答案） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 题号 1 2 3 4 答案 C A A D 二、多选题：本题共2小题，共12分。 题号 5 6 答案 ABD AD 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7．   8. 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9．（14分） 【详解】 证明： 因为平面平面，且平面平面， 且平面，，平面， 所以平面，平面， 所以， 由，，两两垂直，则以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， ，，，，，， ，...........................................4分 由，可得，， 因为，，平面， 所以平面；........................................................................7分 结合上问可知：， 设平面的法向量为， 则，， 即，令，则，， 即，....................................................................................10分 因为， 设所求角的大小为， ，， ， ，， 所以，， 故直线与平面所成角的大小为． ...................................14分 10．（14分） 【详解】 证明： 平面平面， 平面．.....................................................................................4分 如图，以为原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 所以， 设平面的法向量为， 由得.....................................................10分 令，得， ． 所以直线与平面所成角的正弦值为． .....................14分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二年级上册数学课时自测(人教B版专用) 选择性必修一 第一章 1.2.3直线与平面的夹角 建议用时：40分钟，满分：70分 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知直线的方向向量，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为(    ) A. B. C. D. 2.设平面的法向量为，直线的方向向量为，那么“”是“直线与平面夹角为”的(    ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为(    ) A. B. C. 或 D. 或 4.如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列给出的命题为真命题的是(    ) A. 若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 若，，，四点共面，为该平面外一点，且，则 C. 若平面的法向量，直线的方向向量为，则直线在平面内 D. 若空间向量，，满足，，则空间向量在方向上的投影向量的模长为 6.已知正方体的棱长为，为的中点，以下结论正确的是(    ) A. B. C. 平面 D. 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，，分别为，的中点，则直线与平面所成角的正切值为      ． 8.在正方体中，为的中点，为底面的中心，则与平面的夹角为          ． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 如图，四边形为矩形，平面平面，，，． 求证：平面； 求直线与平面所成角的大小． 10.本小题分 如图，正方体的棱长为． 证明：平面； 求直线与平面所成角的正弦值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二年级上册数学课时自测(人教B版专用) 选择性必修一 第一章 1.2.3直线与平面的夹角 建议用时：40分钟，满分：70分 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知直线的方向向量，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为(    ) A. B. C. D. 2.设平面的法向量为，直线的方向向量为，那么“”是“直线与平面夹角为”的(    ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为(    ) A. B. C. 或 D. 或 4.如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列给出的命题为真命题的是(    ) A. 若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 若，，，四点共面，为该平面外一点，且，则 C. 若平面的法向量，直线的方向向量为，则直线在平面内 D. 若空间向量，，满足，，则空间向量在方向上的投影向量的模长为 6.已知正方体的棱长为，为的中点，以下结论正确的是(    ) A. B. C. 平面 D. 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，，分别为，的中点，则直线与平面所成角的正切值为      ． 8.在正方体中，为的中点，为底面的中心，则与平面的夹角为          ． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 如图，四边形为矩形，平面平面，，，． 求证：平面； 求直线与平面所成角的大小． 10.本小题分 如图，正方体的棱长为． 证明：平面； 求直线与平面所成角的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二年级上册数学课时自测(人教B版专用) 选择性必修一 第一章 1.2.3直线与平面的夹角 建议用时：40分钟，满分：70分 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知直线的方向向量，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查直线与平面所成角的向量求法，属于基础题． 利用空间向量的夹角公式即可求解． 【解答】 解：因为直线的方向向量  ，平面的一个法向量为  ， 设直线  与平面所成的角为  ，则  ， 所以直线与平面所成的角为  ， 故选：． 2.设平面的法向量为，直线的方向向量为，那么“”是“直线与平面夹角为”的(    ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查充分、必要条件的判定，直线与平面的夹角，属于基础题． 根据直线与平面夹角为时的可能取值，结合充分、必要条件的定义判断即可． 【解答】 解：若直线与平面夹角为， 平面的法向量为，直线的方向向量为， 那么或， 故是“直线与平面夹角为”的充分而不必要条件， 故选：． 3.若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】A  【解析】解：设直线与平面所成的角为， 则，， 又， 所以． 故选：． 4.如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由题意知，，两两垂直，以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为， 因为，， 所以，令，得， 因为，所以， 故直线与平面所成角的正弦值为．    故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列给出的命题为真命题的是(    ) A. 若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 若，，，四点共面，为该平面外一点，且，则 C. 若平面的法向量，直线的方向向量为，则直线在平面内 D. 若空间向量，，满足，，则空间向量在方向上的投影向量的模长为 【答案】ABD  【解析】解：对于，由为空间的一组基底， 可知，，不共面， 而，在，确定的平面内， 所以，也与不共面， 即也是空间的一组基底，故A正确； 对于，由，，，四点共面，为该平面外一点， 且， 可得，则，故B正确； 对于，由， 所以， 故或，故C错误； 对于，由，， 可得在方向上的投影向量的模长为 ，故D正确． 故选：． 6.已知正方体的棱长为，为的中点，以下结论正确的是(    ) A. B. C. 平面 D. 【答案】AD  【解析】【分析】 本题考查空间向量的加减运算及数乘运算，空间向量的数量积及运算律，属于基础题． 结合已知条件以及空间向量逐项分析即可求解． 【解答】 解：，故A正确； ，故B错误； 以为原点，，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， ， 所以与平面不垂直，故C错误； ，故D正确． 故选：． 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，，分别为，的中点，则直线与平面所成角的正切值为      ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查直线与平面所成角的求法，空间向量的数量积的应用，是基础题． 由，，两两垂直，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出，求出平面的一个法向量，然后利用空间向量的数量积求解即可． 【解答】 解：由题意易知，，两两垂直，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，，， 所以，其中平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则与平面所成角的正弦值为：， 所以． 故答案为． 8.在正方体中，为的中点，为底面的中心，则与平面的夹角为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用向量求直线与平面的夹角，属于基础题． 利用向量法求得与平面法向量的夹角、即可． 【解答】 解：设正方体的边长为，则，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设与平面所成角为， 则，所以． 故答案为：． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 如图，四边形为矩形，平面平面，，，． 求证：平面； 求直线与平面所成角的大小． 【答案】 证明： 因为平面平面，且平面平面， 且平面，，平面， 所以平面，平面， 所以， 由，，两两垂直，则以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， ，，，，，， ， 由，可得，， 因为，，平面， 所以平面； 结合上问可知：， 设平面的法向量为， 则，， 即，令，则，， 即， 因为， 设所求角的大小为， ，， ， ，， 所以，， 故直线与平面所成角的大小为．  【解析】本题考查直线与平面所成的角，线面垂直的判定，属于基础题． 建立空间直角坐标系，用空间向量的方法求出的方向向量及平面内的两个不共线的向量，再由数量积为，证得结论； 利用向量法求出平面的法向量，求出直线的方向向量，求出两个向量的夹角的余弦值，进而求出直线与平面所成角的正弦值，再求出线面所成的角即可． 10.本小题分 如图，正方体的棱长为． 证明：平面； 求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】 证明：平面平面， 平面． 如图，以为原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 所以， 设平面的法向量为， 由得 令，得， ． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【解析】本题考查线面平行的判定，线面角的向量求法，属于基础题． 直接由线面平行的判定定理证明即可． 建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量、平面的法向量，由线面角的正弦值公式运算即可． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $