学易金卷：九年级数学上学期9月学情自测卷01（新教材北师大版，范围：九年级上册第1～2章）

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形与一元二次方程，通过数学文化、实际应用及动态几何题，考查抽象能力、推理意识与模型意识，适配九年级9月学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|菱形判定、根的判别式|第4题结合表格数据判断方程解，体现几何直观| |填空题|6/18|一元二次方程应用、正方形性质|第15题融入《几何原本》图解法，传承数学文化| |解答题|7/72|动态几何、销售增长模型|第20题以商品销售为背景，考查模型意识；第22题探究菱形存在性，发展推理能力|

西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1 2 3 4 6 1 8 9 10 D c D c D D B D D 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.6 12.x2+2x-80=0 13.X1=1,X2=5 14.8 15.3V2 16.①②③ 三、解答题：本题共7小题，共72分。 17.(8分) 【详解】(1)解：2x+1=-2x+1' 2x+12+2x+1=0 2x+1川2x+1+1=0, 2x+12x+2=0, ∴.2X+1=0或2x+2=0, X=2x=1.4分) (2)解：2x2-4x-9=0, 2x2-4x=9, ×-2x号 ×-2x*1号1 x V22 ∴.x-1=± 2 、1V22 .X1=1+ V22 2，X2=1- (8分) 2 1/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.(8分) 【详解】证明：(1)证明：(x-3)(x-2)-p2-0, x2-5x+6-p2=0, △=(-5)2-4×1×（6-p2)=25-24+4p2=1+4p2, ·无论p取何值时，总有4p≥0， .1+4p>0, 无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根：(4分) （2)x1+x2=5,x1x2=6-p2, “x+x=3x1X .（x1+x2）2-2x1X2=3x1x2, .52=5(6-p2), p=±1.(8分) 19.(10分) 【详解】(1)证明：，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线， ..CD=AD ..CE=CD, .AD=CE, :AD‖CE ∴.四边形ADCE是平行四边形， .CE=CD, ∴.四边形ADCE是菱形；(5分) (2)AB=AC, 理由如下： .AB=AC, ∴△ABC是等腰直角三角形， :AD是BC边上的中线， .AD⊥BC, ∴.∠ADC=90°， ∴菱形ADCE是正方形， 217 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 故答案为：AB=AC.(10分) 20.(10分) 【详解】(1)解：设平均增长率为x,由题意得：256×(1+x)2=400, 解得：x=0.25或x=-2.25(舍)： ∴.四、五这两个月的月平均增长百分率为25%；(5分) (2)设降价y元，由题意得：(40-y-25)(400+5y)=4250, 整理得：y+65y-350=0, 解得：y=5或y=-70(舍)： ∴.当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元.(10分) 21.(1)①③(3分) (2)如图所示，四边形ABCD即为所求： D 由勾股定理可知： AC=BD=2+6=210 (7分) (3)证明：如图，连接CD,BE, ,△ABD与△ACE是等腰直角三角形， .AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE=90°， ∴.∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠DAC=∠BAE, ,△DAC△BAE|SAS, ..CD=BE, ∴.四边形BCED是等对四边形.(12分) 22.(12分) 【详解】(1)解：四边形AEFD能成为菱形，理由如下： 317 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°， .∠C=90°-60°=30°： DF⊥BC, .∠DFC=∠B=90°， DF‖AB, 由题意得，CD=4tcm,AE=2tcm,则AD=AC-CD=60-4tcm, 在Rt△CDF中，∠DFC=90°，C=0°， DF-CD-2tm, ..DF=AE, ∴.四边形ADFE是平行四边形， ,当满足AD=DF时，四边形ADFE是菱形， ∴.2t=60-4t, 解得t=10, ∴.当t=10时，四边形ADFE是菱形.(4分) 15 (2)解：当t=12或t=)时，△DEF为直角三角形，理由如下： 当∠DEF=90°时， ,四边形ADFE是平行四边形， AD‖EF ∴.∠ADE=∠DEF=90°， ∴.∠AED=90°-60°=30°， ∴.AE=2AD, .260-4t=2t, 解得t=12: 当∠EDF=9O°时，则四边形DEBF是矩形， ∴.DF=BE, .2t=30-2t, 15 解得=2 综上所述，当t=2或)5时，△DEP为直角角形.(8分 417 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (3)解：，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°， .∠C=90°-60°=30°， .'.AB=-AC=30cm, BC=A C2-A B2=303cm 同理可得CF=23tcm, BF=BC-CF=303-23t)cm 由(1)可知四边形ADFE是平行四边形， S阳边形ADE .SADEF- S入DEP的面积是△ABC面积的子 号21303-23号30×303×号 解：t=5或t=10:(12分) 23.(12分) 【详解】(1)解：，四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD,∠BAC=∠DAC=45°， .AP=AP, ∴△ABP≌△ADPSAS, ..PB=PD, .PD=PE, PB=PE;(2分) (2)解：由(1)得，△ABP≌△ADPSAS, .∠ADP=∠ABP, ,四边形ABCD是正方形， ∴.∠ADC=∠ABC=∠BCE=90°， .∴.∠CDP=∠CBP, 'PD=PE, .∴.∠PDC=∠PEC, 517 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∴.∠CBP=∠PEC. .'∠BFP=∠EFC, 18BPz∠PBF=180°-∠EFC-∠PEC, 又∠BFP=∠EFC, ∴.∠BPE=∠BCE=90°；(5分) (3)PD=BE,理由如下： 连接BE,如图， D 在菱形ABCD中，∠BAD=120°， AD=AB,∠DAP=∠BAP=∠BAD=6O. 又AP=AP, .∴△ADP≌△ABP(SAS, ∴.PD=PB,∠ADP=∠ABP PD=PE, ∴.PB=PE,∠PDE=∠PED, ,四边形ABCD是菱形， ∴.∠ADC=∠ABC,∠DCB=∠DAB=120°， ∴.∠PDE=∠PBC,∠BCE=180°-∠DCB=60°， .∠PED=∠PBC, ∴.180°-∠BFP-∠PBF=180°-∠EFC-∠PEC, 又∠BFP=∠EFC, .∠BP℉=∠BCE=60°， 又PB=PE, △PBE是等边三角形， ..PB=BE, .PD=BE.(12分) 617 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 717………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第1章 特殊平行四边形~第2章 一元二次方程。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．（3分）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（3分）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（3分）下列说法中，错误的是（    ） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有一组邻边相等的菱形是正方形 4．（3分）根据下列表格的对应值： 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解满足（    ） A． B． C． D． 5．（3分）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，若 ，则的长是（   ） A．6 B． C． D． 6．（3分）关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值是（ ） A．2 B．1 C．0 D．－1 7．（3分）在中，点D是边上的点（与B，C两点不重合），过点D作，，分别交，于E，F两点，下列说法正确的是（　　） A．若，则四边形是矩形 B．若垂直平分，则四边形是矩形 C．若，则四边形是菱形 D．若平分，则四边形是菱形 8．（3分）如图，菱形的顶点A，B分别在y轴正半轴，x轴正半轴上，点C的横坐标为10，点D的纵坐标为8，若直线AC平行x轴，则菱形的边长值为（　　） A．9 B． C．6 D．3 9．（3分）如图，在正方形纸片中，M，N分别是的中点，将纸片沿过点C的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕交于点F，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．（3分）对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③存在实数，使得； ④若是方程的一个根，则一定有成立 其中正确的有（   ） A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②③ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（3分）一个三角形的两条边长分别是方程的两根，三角形的周长是12，则该三角形的面积是__________． 12．（3分）如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染． 若每一轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据题意，列出方程得_______． 13．（3分）关于x的方程的解是，（均为常数，），则方程的解是__． 14．（3分）如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，，则的长为_____． 15．（3分）☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如 的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取 则 的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程 时，若构造后的图形满足，则m的值为________． 16．（3分）如图，在正方形中，，为对角线上与，不重合的一个动点，过点 作于点，于点，连接，，下列结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确结论的序号为______． 三、解答题：本题共7小题，共72分。 17．（8分）用适当的方法解下列方程． (1)． (2)． 18．（8分）已知关于x的方程（x-3）(x-2)-p2=0． （1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=3 x1x2，求实数p的值． 19．（10分）如图，在中，，是边上的中线，过点C作的平行线，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足 时，四边形是正方形．请说明理由． 20．（10分）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． (2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 21．（12分）在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“等对四边形”进行研究． 定义：对角线相等的四边形是等对四边形． (1)判断：根据等对四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是等对四边形的是__________； ①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形 (2)操作：如图1是方格，每一个小正方形的边长为1，在方格中画一个对角线长为的等对四边形，要求四个顶点均在格点上； (3)推理：如图2，已知中，以和为边在的外侧分别作等腰直角和，连结．求证：四边形是等对四边形． 22．（12分）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以/秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是秒．过点作于点，连接，． (1)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由； (3)是否存在某一时刻t，使△DEF的面积是△ABC面积的，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 23．（12分）【问题背景】如图1，在正方形中，P是上一点，点E在的延长线上，且，与交于点F，连接． (1)【初步认识】猜想线段和的数量关系　　　　　． (2)【深入思考】请求出的度数． (3)【延伸迁移】如图2，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第1章 特殊平行四边形~第2章 一元二次方程。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．（3分）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（3分）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（3分）下列说法中，错误的是（    ） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有一组邻边相等的菱形是正方形 4．（3分）根据下列表格的对应值： 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解满足（    ） A． B． C． D． 5．（3分）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，若 ，则的长是（   ） A．6 B． C． D． 6．（3分）关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值是（ ） A．2 B．1 C．0 D．－1 7．（3分）在中，点D是边上的点（与B，C两点不重合），过点D作，，分别交，于E，F两点，下列说法正确的是（　　） A．若，则四边形是矩形 B．若垂直平分，则四边形是矩形 C．若，则四边形是菱形 D．若平分，则四边形是菱形 8．（3分）如图，菱形的顶点A，B分别在y轴正半轴，x轴正半轴上，点C的横坐标为10，点D的纵坐标为8，若直线AC平行x轴，则菱形的边长值为（　　） A．9 B． C．6 D．3 9．（3分）如图，在正方形纸片中，M，N分别是的中点，将纸片沿过点C的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕交于点F，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．（3分）对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③存在实数，使得； ④若是方程的一个根，则一定有成立 其中正确的有（   ） A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②③ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（3分）一个三角形的两条边长分别是方程的两根，三角形的周长是12，则该三角形的面积是__________． 12．（3分）如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染． 若每一轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据题意，列出方程得_______． 13．（3分）关于x的方程的解是，（均为常数，），则方程的解是__． 14．（3分）如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，，则的长为_____． 15．（3分）☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如 的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取 则 的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程 时，若构造后的图形满足，则m的值为________． 16．（3分）如图，在正方形中，，为对角线上与，不重合的一个动点，过点 作于点，于点，连接，，下列结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确结论的序号为______． 三、解答题：本题共7小题，共72分。 17．（8分）用适当的方法解下列方程． (1)． (2)． 18．（8分）已知关于x的方程（x-3）(x-2)-p2=0． （1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=3 x1x2，求实数p的值． 19．（10分）如图，在中，，是边上的中线，过点C作的平行线，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足 时，四边形是正方形．请说明理由． 20．（10分）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． (2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 21．（12分）在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“等对四边形”进行研究． 定义：对角线相等的四边形是等对四边形． (1)判断：根据等对四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是等对四边形的是__________； ①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形 (2)操作：如图1是方格，每一个小正方形的边长为1，在方格中画一个对角线长为的等对四边形，要求四个顶点均在格点上； (3)推理：如图2，已知中，以和为边在的外侧分别作等腰直角和，连结．求证：四边形是等对四边形． 22．（12分）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以/秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是秒．过点作于点，连接，． (1)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由； (3)是否存在某一时刻t，使△DEF的面积是△ABC面积的，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 23．（12分）【问题背景】如图1，在正方形中，P是上一点，点E在的延长线上，且，与交于点F，连接． (1)【初步认识】猜想线段和的数量关系　　　　　． (2)【深入思考】请求出的度数． (3)【延伸迁移】如图2，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11._______________ 14. ________________ 12. ___________ 15. _______________ 13. _________________ 16.________________ 三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） 19．（10分） 20．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（12分） 22．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1,A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][c][D] 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11 12 13. 14. 15. 16. 三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(10分) D E B A 20.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(12分) D 图1 图2 22.(12分) A VE O C. 出 B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) D C D C E F A B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第1章 特殊平行四边形~第2章 一元二次方程。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．（3分）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 2．（3分）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意； B、该方程中含有两个未知数，属于二元方程，故本选项不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、方程整理得：，未知数最高次数是1，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．（3分）下列说法中，错误的是（    ） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有一组邻边相等的菱形是正方形 【答案】D 【分析】根据菱形的判定可判断A、B，根据矩形的判定判断C，根据正方形的判定判断D. 【详解】A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形,正确； B. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形,正确； C. 对角线相等的平行四边形是矩形，正确； D. 菱形本身具有邻边相等的性质，所以有一组邻边相等的菱形是正方形错误. 故选D. 4．（3分）根据下列表格的对应值： 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个根满足． 【详解】解：时，， 时，， ∴时，有一个根满足， 即方程必有一个解x满足． 故选：C． 5．（3分）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的长是（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定了，由矩形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，推出，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ，，即垂直平分， ， ， ， ， 故选D． 6．（3分）关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值是（ ） A．2 B．1 C．0 D．－1 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的根的判别式可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴ ∴， 即a的取值范围是且． ∴整数a的最大值为0． 故选C． 7．（3分）在中，点D是边上的点（与B，C两点不重合），过点D作，，分别交，于E，F两点，下列说法正确的是（　　） A．若，则四边形是矩形 B．若垂直平分，则四边形是矩形 C．若，则四边形是菱形 D．若平分，则四边形是菱形 【答案】D 【分析】根据矩形的判定、菱形的判定，依次判断，即可求解， 考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：若，则四边形是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误； 若垂直平分，则四边形是菱形，不一定是矩形；选项B错误； 若，则四边形是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误； 若平分，则四边形是菱形；选项D正确； 故选：D． 8．（3分）如图，菱形的顶点A，B分别在y轴正半轴，x轴正半轴上，点C的横坐标为10，点D的纵坐标为8，若直线AC平行x轴，则菱形的边长值为（　　）    A．9 B． C．6 D．3 【答案】B 【分析】由菱形的性质得到，再根据点C的横坐标为10，点D的纵坐标为8得到，再由勾股定理即可计算出的值． 【详解】解：连接，交于M， 四边形是菱形， ， 平行x轴，， ， 点C的横坐标为10，点D的纵坐标为8， ， ， ． 菱形的边长值为． 故选B．    9．（3分）如图，在正方形纸片中，M，N分别是的中点，将纸片沿过点C的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕交于点F，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明是矩形，再推出是的垂直平分线，求出，再利用勾股定理求出，得到，设，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∵M，N分别是的中点， ∴，， ∴是矩形， ∴，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 10．（3分）对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③存在实数，使得； ④若是方程的一个根，则一定有成立 其中正确的有（   ） A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程综合．熟练掌握方程解的含义，根与判别式的关系，根与系数的关系，是解题的关键． 一元二次方程的有关性质．一元二次方程解的含义，代数变形，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，逐一分析每个命题的正确性，进行判断即可． 【详解】命题①：∵方程有两个不等实根， ∴根判别式． ∴原方程的判别式为， 原方程必有两个不等实根． ∴①正确． 命题②：∵是方程的根， ∴， ∴． ∴． ∴②正确． 命题③：∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． 存在实数m、n满足此条件（如取，）． ∴③正确． 命题④：∵c是方程的根， ∴， ∴． 当时，方程成立但不一定为0． ∴④错误． 综上，正确的命题为①②③， 故选：D． 二、填空题（共18分） 11．（3分）一个三角形的两条边长分别是方程的两根，三角形的周长是12，则该三角形的面积是__________ 【答案】6 【分析】主要考查了解一元二次方程，勾股定理的逆定理，先解一元二次方程得到该三角形的两条边的长，再根据三角形周长计算公式求出第三边的长，接着利用勾股定理的逆定理证明该三角形是直角三角形，最后根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∴该三角形的两条边的长分别3、4， ∵该三角形的周长是12， ∴该三角形的第三边长为， ∵， ∴该三角形为直角三角形， ∴该三角形的面积， 故答案为：6． 12．（3分）如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染． 若每一轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据题意，列出方程得_______． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用中传染问题．设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了台电脑，这台电脑又感染给了台电脑．等量关系：经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，然后可列方程． 【详解】解：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，列方程得： ， 故答案为：． 13．（3分）关于x的方程的解是，（均为常数，），则方程的解是__． 【答案】 【分析】考查了一元二次方程的解，根据关于x的方程的解是，得出或，即方程的解是． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的方程的解是， ∴或 ∴方程的解是 故答案为： 14．（3分）如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，，则的长为_____． 【答案】8 【分析】考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，设交于点O．证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，设交于点O． 由作图可知：，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：8． 15．（3分）☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如 的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取 则 的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程 时，若构造后的图形满足，则m的值为________． 【答案】 【分析】考查了一元二次方程的图解法，理解图解法的含义是解答的关键． 根据题意构造图形，则，，，然后代入一元二次方程即可求出m的值． 【详解】解：根据题意，构造图形如图所示: 则，， ∵， ∴， 即m就是的一个正根， ∴ 解得 (负值已舍)． 故答案为：． 16．（3分）如图，在正方形中，，为对角线上与，不重合的一个动点，过点作于点，于点，连接，，下列结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确结论的序号为______． 【答案】①②③ 【分析】①连接，可得四边形为矩形，可得；由可得，所以；②由矩形可得，则；由，则；由四边形为正方形可得，即，所以，即，可得；③由②中的结论可得；④由于点为上一动点，当时，根据垂线段最短可得此时最小，最小值为 ，由①知，所以的最小值为 ． 【详解】解：①连接，交于点，如图， ，， ． ， 四边形为矩形． ，． 四边形为正方形， ，． 在和中， ， ． ． ． ①正确； ②延长，交于，交于点， ， ． 由①知：， ． ． ， ． ． 即：， ． ②正确； ③由②知：． 即：． ③正确； ④点为上一动点， 根据垂线段最短，当时，最小． ，， ． ． 由①知：， 的最小值为 ， ④错误． 综上，正确的结论为：①②③． 故答案为：①②③． 三、解答题（共72分） 17．（8分）用适当的方法解下列方程． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ． （2）解：， ， ， ， ， ∴， ． 18．（8分）已知关于x的方程（x-3）(x-2)-p2=0． （1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=3 x1x2，求实数p的值． 【答案】 （1）证明：（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0， x2﹣5x+6﹣p2=0， △=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）=25﹣24+4p2=1+4p2， ∵无论p取何值时，总有4p2≥0， ∴1+4p2＞0， ∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）p=±1． 【分析】（1）先把方程化成一般形式，再计算根的判别式，判定△＞0，即可得到总有两个不相等的实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得两根和与两根积，再把变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】证明：（1）略 （2）x1+x2=5，x1x2=6﹣p2， ∵， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2=3x1x2， ∴52=5（6﹣p2）， ∴p=±1． 19．（10分）如图，在中，，是边上的中线，过点C作的平行线，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足 时，四边形是正方形．请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵在中，，是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； (2) ， 理由如下： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴菱形是正方形， 故答案为：． 【分析】考查了直角三角形的性质、菱形的判定与性质、正方形的判定定理、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由直角三角形的性质可得，推出，结合得出四边形是平行四边形，再结合即可得证； （2）由等腰直角三角形的性质可得，即，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 20．（10分）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． (2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 【答案】(1) (2)降价5元 【分析】考查了一元二次方程的应用； （1）设平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． （2）设降价y元，根据商场六月份可获利4250元，列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． 【详解】（1）解：设平均增长率为x，由题意得：， 解得：或舍； 四、五这两个月的月平均增长百分率为； （2）设降价y元，由题意得：， 整理得：， 解得：或舍； 当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元． 21．（12分）在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“等对四边形”进行研究． 定义：对角线相等的四边形是等对四边形． (1)判断：根据等对四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是等对四边形的是__________； ①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形 (2)操作：如图1是方格，每一个小正方形的边长为1，在方格中画一个对角线长为的等对四边形，要求四个顶点均在格点上； (3)推理：如图2，已知中，以和为边在的外侧分别作等腰直角和，连结．求证：四边形是等对四边形． 【答案】(1)①③ (2)如图所示，四边形即为所求； 由勾股定理可知：． (3)证明：如图，连接，， ∵与是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形是等对四边形． 【分析】（1）根据矩形与正方形的性质得其对角线相等，由等对四边形的定义即可求解； （2）画一个对角线等于，顶点在格点的矩形即可； （3）连接，，证明，得到，即可由等对四边形的定义得出结论． 【详解】（1）解：∵①矩形和③正方形的对角线相等，②菱形和④平行四边形对角线不一定相等， ∴①矩形和③正方形是等对四边形，②菱形和④平行四边形不一定是等对四边形， 故答案为：①③ （2）略 （3）略 22．（12分）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以/秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是秒．过点作于点，连接，． (1)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由； (3)是否存在某一时刻t，使△DEF的面积是△ABC面积的，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)四边形能成为菱形，， (2) 解：当或时，为直角三角形，理由如下： 当时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 当 时，则四边形是矩形， ∴， ∴， 解得； 综上所述，当或时，为直角三角形． (3)存在，或 【分析】（1）先求出，再证明；根据题意可得，则，再由含30度角的直角三角形的性质得到，则可证明四边形是平行四边形， 则当满足时，四边形是菱形，据此建立方程求解即可； （2）分和两种情况讨论求解即可； （3）先求出，，同理可得，则；由平行四边形的性质得到，再由的面积是面积的，得到，解方程即可得到答案； 【详解】（1）解：四边形能成为菱形，理由如下： ∵在中，，， ∴； ∵， ∴， ∴， 由题意得，，则， 在中，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴当满足时，四边形是菱形， ∴， 解得， ∴当时，四边形是菱形． （2）略 （3）解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴； 由（1）可知四边形是平行四边形， ∴， ∵的面积是面积的， ∴ 解：或； 23．（12分）【问题背景】如图1，在正方形中，P是上一点，点E在的延长线上，且，与交于点F，连接． (1)【初步认识】猜想线段和的数量关系　　　　　． (2)【深入思考】请求出的度数． (3)【延伸迁移】如图2，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由如下： 连接，如图， 在菱形中，， ，． 又∵， ， ，． ， ，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， 又∵， 是等边三角形， ∴， ∴． 【分析】（1）由正方形的性质证明，得到，等量代换即可得到； （2）由全等三角形的性质得到，推出，然后结合等边对等角推出，然后利用三角形内角和定理求解即可； （3）连接，证明，得到，，同（2）得到，证明是等边三角形，得到，即可推出． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）得，， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ． ， ， 又， ； （3）略 / 学科网（北京）股份有限公司 $