九年级数学上学期9月学情自测（新教材湘教版第1～2章，高效培优）

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 (考试时间：120分钟，分值：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.测试范围：新教材湘教版九年级上册第12章。 一、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 题号 1 2 3 5 6 8 9 10 答案 C A D & D C D 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.3 12.4 13.28.2 14.v2-1 15.1:3 16.2V5-2V5+2 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-18每题6分，19-20题每题8分，21-22题每题10分， 23-24题每题12分。 1/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.)32 (2)-1 -2x2x5-2xx1+6x5 【详解】(1)解：原式22 =1-1+3W2 =3√2 3分 a+1b+2 (2)解：2=4， a,1b,1 ·2242 a b .24 a b 设24k,即a=2k,6=4k, a-2b_2k-2×4k-1.--6分 a+b 2k+4k 20 18.(1)3 (2)15 【详解】(1)解：a∥b∥c, AAB、DE BCEF· 34 即5EF, ·EF=20 ;3分 (2)解：a∥b∥c, AB DE AC DF, AB2 BC3 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :B2 AC 5 6_2 DF5· DF=15.-6分 19.(1)15 8 (215 【详解】(1)解：：AD是BC边上的高， :.△ABD和△ACD是直角三角形， 在Rta4BD中，sinB= AD 4 AB 5'AD=8 .AB=10 .BD=√AB2-AD2=6 又BC=21, .CD=BC-BD=15;--4分 (2)解：在RtsACD中，~E为斜边AC的中点， 1 .ED=EC=AC 2 .∠C=∠EDC, ·tan∠EDC=tan∠C=AD=& DC15·--- -8分 20.(1)∠BAC=37°，∠C=30° (2)不明船只从被发现到被拦截行驶了24海里，此时海监执法船行驶了37海里 【详解】(1)解：如下图所示， :∠BAD=23°，∠DAC=60°， ∴∠BAC=60°-23°=37°，∠CAE=30° BCI AE .∠C=∠CAE=30°： 3/11 ©学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 北D B 4分 A 主东 (2)解：如下图所示，过点B作BF⊥AC, 北D B C F A E东 在RtABF中，∠BAF=37°，∠AFB=90°，AB=20海里， :BF=ABsin37°=0.6×20=12海里，AF=AB cos37°=20×0.8=16海里， 在Rt△BCF中，∠C=30°，∠CBF=60°， ∴tan∠CBF= CE BF,BC=2BF=24海里， ∴.CF=BFtan60°=l2V5 海里， .AC=AF+FC=16+123≈37 海里， 答：不明船只从被发现到被拦截行驶了24海里，此时海监执法船行驶了37海里.…-8分 21.(1)证明：，AB=AC, .∠ABC=∠ACB .180°-∠ABC=180°-∠ACB .∠ABD=∠DCE, :∠ADE=∠ADB+∠EDC,∠ABC=∠ADB+∠DAB,∠ADE=∠ABC, .∠DAB=∠EDC, 又∠ABD=∠DCE, .△ABDDCE, AB DB 'DC CE 4/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB.CE=DB·DC, ..AB=AC, ACCE=DBDC;5分 (2)证明：，点D在线段AC的垂直平分线上， .DA=DC, .∠DAC=∠DCA. ,∠DAC=∠DAB+∠BAC,∠DCA=LEDC+∠E, ∴.∠DAB+∠BAC=∠EDC+∠E, ∠DAB=∠EDC, .∠BAC=∠E 又∠ACB=∠ABC=∠ADE, ∴.△ABC∽△EAD, AB BC :.AE AD' ..AD=CD. BC AB ∴CDAE -10分 24 22.(1)5 2,PQ=24 , W:9 【详解】(1)解：：四边形PQMN为正方形，AD是BC边上的高， ∴.PQ=PN=EDPN∥OM :.△APN△ABC, PNAE PO 8-PO BCAD,即12 8 24 P0=54分 (2)解：：四边形POMN是矩形， .PN∥QM,PQ=ED, 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.△APN∽△ABC, PNAE ·BCAD, 设PO=y则PN=2y, 2y_8-y 24 即12=8，解得y= 7 PO-4,PN=袋 7. --10分 23.(1)1 4 (2)7 (3)证明：过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H, ュH .CG⊥EG .∠G=∠H=∠A=∠B=90°， 四边形ABCH为矩形， :AB=CH,∠FCH+∠CFH=∠DFG+∠FDG=90°， ∠CFH=∠DFG. .∠FCH=∠FDG=∠ADE, .△DEA∽△CFH, DE AD CF CH' DE AD :CF AB' 即DE·AB=CF·AD 【详解】(1)解：，正方形ABCD, .∠A=∠ADC=90°.AD=CD, .∠AED+∠ADE=90°， DE⊥CF, 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠DFC+∠ADE=90°， .∠AED=∠DFC. △AED≌△DFC(AAS) .DE=CF, .DE=1.3分 :CF (2)解：设DB与CE交于点G, G 四边形ABCD是矩形， .∠A=∠EDC=90°，即∠ADB+∠CDG=90°. CE⊥BD, .∠DGC=90° .∠CDG+∠ECD=90°， .∠ECD=∠ADB, .△DEC∽△ABD. CE DC 4 BDAD78分 (3)证明：过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H, .H ,CG⊥EG, LG=∠H=∠A=LB=90°， .四边形ABCH为矩形， .AB=CH,∠FCH+∠CFH=∠DFG+∠FDG=90°， .∠CFH=∠DFG. .∠FCH=∠FDG=∠ADE. 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△DEA∽△CFH, DE AD :CF CH' DE=AD ∴.CFAB· 即DE·AB=CF·AD.---12分 24.（1)45°.--3分 △CFG (2) 为等腰直角三角形，理由如下： 如图，连接EH, D 据(1)可知∠ECF=45°」 ~四边形ABCD为正方形， .∠ADG=∠CDG=45°， ∠ADG=∠ECF, ·∠FHD=∠GHC, .△FHDAGHC, FH DH .GH HC, FH GH .DH HC, ∠FHG=∠DHC, .△FHGn△DHC, .∠GFC=∠HDC=45°， .∠GFC=∠ECF=45°，∠FGC=180°-45°-45°=90°， .△FGC是等腰直角三角形.…7分 (3)证明：四边形ABCD为正方形， .∠ABC=90°， 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB⊥BC QP⊥BC, AB∥QP ∴.∠BEG=∠EGM. 根据题意可知∠BEG=∠MEG, .∠MEG=∠MGE, ∴.ME=MG, 据(2)可知∠FGC=90°， .∠FGE=90° ∠MGE+∠FGM=90°，∠MEG+∠EFG=90°， ∴.∠FGM=∠EFG. .MG=MF, .ME=MF.…10分 k2-2k (4)k2-2k+2---12分 【详解】(1)解：如图， B(D) E 根据题意可知，1=∠2，∠3=∠4， :在图1中，四边形ABCD为正方形， .∠BCD=90° ∴.∠1+∠2+∠3+∠4=90°，即2∠2+2∠3=90°， ∴.∠2+∠3=45° .∠ECF=45 (2)略 (3)略 9/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)解：如图，连接AC, 分 D H E 四边形 为正方形， G B C.. ABCD ∴.∠ACD=∠DAC=∠BAC=45°， ∠1+∠2=45°， 据(1)可知∠ECF=45°，即∠2+∠3=45°， .∠1=∠3 ∠BAC=LBDC, .△CDH∽△CAE, DH DC .AE AC, :在RtaACD中，∠ACD=45°， Cos∠ACD= DC√2 AC2, DH .AE2, BD .BG =k, 设BD=k,BG=1, BC=CD=BD·cOS∠BDC= -k=AB 2 AB‖CD ∴.∠EBG=∠CDG, .∠EGB=∠CGD. ∴.△BEGP△DCG. 10/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE BG .DC GD, BE 1 2 k-1, . 2k BE= k-1 4E-4B-BE- k(k-2) k-2 2k-12k-2 DH-2E--2k 2 Γ2k-2, .GH=k-1-2-2k-2-2+2 2k-22k-2’ DH k2-2k 2k-2 k2-2k .GH2k-2k2-2k+2k2-2k+2· 11/11学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 (考试时间：120分钟，分值：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.测试范围：新教材湘教版九年级上册第1~2章。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.已知线段a,b,c,d为成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,则d是() A.Icm B.5cm C.9cm D.12cm 2.如图，直线4，直线4C知DF被，b,所裁，B=5,8C=6,EF=4,则DE的长为 () A/ID B E C -3 号 B.3 C.4 D.2 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5,AC=4,则sin4的值是() B A C c.5 4 D.5 4.如图1，春白(chongjiu)是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图2是该春白的侧 1/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 面简易示意图，点0是支点，点O到地面的距离OC=15cm,且A0:OB=4:1,则点A到地面的距离 是() A B C 地面 图1 图2 A.30cm B.45cm C.60cm D.75cm 5.如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE,BD,且AE,BD交于点 F,SEr:S8r=4:25 则 S.DEF:S.ADF=() B A.23 B.2:5 C.3:5 D.3:2 6.如图是一款折叠椅打开时侧面示意图，椅面BC平行地面l,椅脚AD=80cm,AB=30cm, ∠ADE=70°，则BC到地面的距离为() (70° 50 50 A.50sin 70cm B.50cos70cm C.sin70cm D.cos70cm 7.如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，若 AB=3,BC=5,则tan∠EFC的值() 218 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E 3 B.5 3 C.4 D 8.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE沿DE翻折，点A的对应点为F,且点 F恰好落在BC边上.若∠B=30°，∠C=60°，则sinLEFC的值为() D 4号 √2 B.2 C.2 D.1 9.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED=∠B;② AD AE DE∥BC:③AC=AB:④AD-BC=DE·AC:⑤∠ADE=∠C,能满足△ADE∽aACB的条件有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.如图，在正方形ABCD中，点E,M是边AD,CD上的点，BE,BM与AC交于点F,G,如果 ∠EBM=45°，那么下列错误的是（) M D G E A.△AEFACBF B.△CMG∽△BFG C.△ABG∽△CMG D.△ABF∽△CBG 318 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 ac e 1 a+c+e 11.已知bdf3,则b+d+f 12.己知△ABC∽△DEF,面积比为l:4,AC的对应边为DF,AC=2,则DF的长为 13.如图，某渔船在A港观测到灯塔C在它的北偏东22°方向上：当渔船沿正北方向航行30海里至B港时， 观测到灯塔C在它的东北方向上，则灯塔C与B港之间的距离为 海里.（结果精确到0.1 海里，参考数据：V5≈1.41,5$m2°≈037.c0s2°0.93am2°0.40、 北 229 14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1.构建几何图形解决代数问题是“数形结 合”思想的重要应用，在计算tanl5°时，延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D=l5°，所以 tan15°=4C-12-V5 CD2+52+V52-V5)2-3 .类比这种方法，计算tan22.5°的值为 300 15° B 15.如图，D、g分别是△1BC的边8、BC上的点，DE‖4C,若5=1:l6.则5ae:Sae ,则 418 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.如图，矩形ABCD中，BC=1,将△ABC绕点A旋转，使点C落到AD延长线上的点F处，点B对应 点E,连接AC交EF于点G,若CG=2DF,则矩形的周长为 D G B 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：1718每题6分，19-20题每题8分，21-22题每题10分， 23-24题每题12分。 17.计算： )2cos45°，sin45°-2sin30°，tan45°+V6-tan60° a+1_b+2a-2b ②)已知2=4，求a+b的值。 l8.如图，直线a‖bc,分别交直线m于点A,B,C,交直线n于点D,E,F. m n D B d 1)若AB=3,BC=5,DE=4,求EF的长： AB 2 2)若BC=3,DE=6,求DF的长. 19,已：如图，在。8C中，4D是边BC上的商，B%边AC的中点，BC-2D=8:sm8 5. 518 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求线段DC的长： (2)计算tan∠EDC的值. 20.如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东23°方向上 距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东60°的方向前往监 视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只. 北 B 东 (1)求∠BAC及∠C的大小： (2)问不明船只从被发现到被拦截行驶了多少海里？此时海监执法船行驶了多少海里？（最后结果保留 整数)（参考数据：cos37°=0.8，sin37°=0.6，tan37°=0.75） 2L.己知：△ABC中，AB=AC,点D、E分别是线段CB、AC延长线上的点，满足∠ADE=∠ABC, (I)求证：ACCE=BD.DC: BC AB 2)若点D在线段AC的垂直平分线上，求证：CDAE 22.如图三角形ABC中，BC=12,AD是BC边上的高且AD=8.P,N分别是AB,AC边上的点，Q, M是BC上的点，连接PO、MN,PW交AD于E. 618 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B DM DM 图1 图2 (I)如图1，若四边形POMN是正方形，求P的长： PO 1 (2)如图2，若四边形PQMN是矩形，且PN=2·求PQ、PN的长. 23.某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 图1 图2 图3 I)如图l,在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,AD上的两点，连接DE,CF,DE⊥CF,则 DE CF的值为. 2②)如图2，在矩形ABCD中，AD=7,CD=4,点E是AD上的一点，连接CE,BD,且CE⊥BD, CE 则BD的值为. 【类比探究】 3)如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠B=9O°，点E为AB上一点，连接DE,过点C作DE的垂线 交ED的延长线于点G,交AD的延长线于点F,求证：DE·AB=CF·AD, 24.在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动. 【操作判断】 操作一：如图1，对折正方形纸片ABCD,得到折痕BD,把纸片展平： 操作二：如图2，在边AB上选一点E,沿CE折叠，使点B落在正方形内部，得到折痕CE: 操作三：如图3，在边AD上选一点F,沿CF折叠，使边CD与边CB重合，得到折痕CF.把正方形 纸片展平，得图4，折痕CE,CF与BD的交点分别为G,H. 7/8 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D A A D B B(D H E E ! E B B 图1 图2 图3 图4 F D A H M E B P 图5 图6 I)根据以上操作，得∠ECF的大小为 【探究证明】 (2)如图5，连接FG,试判断△CFG的形状并证明： )如图6，连接EF,过点G作BC的垂线，分别交BC,AD,EF于点P,Q,M,求证： EM=FM, 【深入研究】 BD DH 4)若BG k,请直接写出GH的值（用含k的代数式表示）· 8/8西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 (考试时间：120分钟，分值：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.测试范围：新教材湘教版九年级上册第1~2章。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.已知线段a,b,c,d为成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,则d是() A.Icm B.5cm C.9cm D.12cm 【答案】C 【分析】按成比例线段的给定顺序列比例式计算的值即可. 【详解】解：：a,b,C,d是成比例线段， a c :bd' a=2cm,b=3cm,c=6cm, d--3x6-9om a 2 2.如图，直线，直线4C和DF被，，所裁，B=5,BC=6,F=4,则DE的长为 () A/ID B E F A. B.3 C.4 D.2 【答案】A 1/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：：直线 ,直线4C和DF被，.所截， AB DE ·BCEF, AB=5,BC=6,EF=4, 5 DE 64’ 解得：DE=, 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5,AC=4,则sinA的值是() B A. 3 4 B. 3 c.5 D.5 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出BC,再根据正弦的定义求解即可： 【详解】∠C=90°，AB=5,AC=4, .BC=VAB2-AC2=V52-42=3 ..sin BC 3 AB5· 4.如图1，春白(chōngi)是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图2是该春白的侧 面简易示意图，点O是支点，点O到地面的距离OC=15cm,且A0:OB=4:1,则点A到地面的距离 是() B C 地面 图1 图2 2/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.30cm B.45cm C.60cm D.75cm 【答案】D 【分析】过点A作AH垂直地面于点H,证明△BCO∽△BHA,根据相似三角形的性质即可求解 【详解】解：如图，过点A作AH垂直地面于点H,则OC∥AH, B C H地面 、∠BAH=LBOC,∠BHA=∠BCO、 .△BCOABHA, .OB OC ”ABAH· 由题意OBCH地面知AO:OB=4:1, :0B1m115 AB5,即5AH: ∴.AH=75cm. 5.如图，在ABCD中，B为CD上一点，连接1E,BD,且4E,BD交于点 ,5rSr=4:25,则 S.DEF :S.ADF=) E B A.23 B.2:5 C.3:5 D.3:2 【答案】B 【详解】四边形ABCD是平行四边形， DC∥AB, ∴.△DFE∽△BFA. S.DEF :S.AF=4:25 3/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF:FA=2:5, .SDEr:S。ADF=2:5 6.如图是一款折叠椅打开时侧面示意图，椅面BC平行地面l,椅脚AD=80cm,AB=30cm, ∠ADE=70°，则BC到地面的距离为() A B 70° 50 50 A. 50sin70°cm B.50cos70cm C.sin70 cm D. cos70 cm 【答案】A 【分析】过点B作BF⊥DE于点F,解直角三角形即可解答. 【详解】解：如图，过点B作BF⊥DE于点F, B 72Tl E .AD=80cm AB=30cm .BD=AD-AB =50cm. ∴.BF=BD·sin∠ADE=50sin70cm 7.如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，若 AB=3,BC=5,则tanZEFC的值() 4/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 C.4 4 B.5 D.3 【答案】D 【分析】由矩形的性质、折叠的性质求得BF,进而求得CF,设CE=x,在Rt△ECF中，利用勾股定 理建立方程求得x的值，再由正切函数的定义即可求解. 【详解】解：：四边形ABCD为矩形， .'AD=BC=5,AB=CD=3, ,矩形ABCD沿直线AE折叠，使点D落在BC边上的F处， .AF AD=5,EF DE. 在Ra1BF中，BF=hF2-AB=-=i6=4 ∴.CF=BC-BF=5-4=1, 设CE=x,则DE=EF=3-x, 在RtAECF中，，CE2+FC2=EF2, 4 x2+1=(3-x,解得x=3 即CEs4 3 tan∠EFc=CE=3_4 CF 1 3 8.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE沿DE翻折，点A的对应点为F,且点 F恰好落在BC边上.若∠B=30°，∠C=60°，则sin∠EFC的值为() D B √2 3 A.2 B.2 C.2 D.1 【答案】C 【分析】证明EC=FE=AE,得到∠EFC=∠C=6O°求解即可： 5/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：根据折叠的性质，得FE=AE,E是AC的中点， 故CE=AE 故EC=FE=AE, 故∠EFC=∠C=60°， nLEFC= 华 2: 9.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED=∠B;② AD AE DE∥BC:③AC=AB:④AD.BC=DE·AC:⑤∠ADE=∠C,能满足ADEAACB的条件有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可. 【详解】解：∠AED=∠B,∠A=∠A, .△ADE∽△ACB,故①符合题意： DE∥BC, ∴.△ADE一△ABC,不能判定△ADE∽△ACB,故②不符合题意： AD AE ③.AC=AB,且夹角∠A=∠A' △ADE∽aACB,故③符合题意； ④ADBC=DE·AC, AD DE ..AC BC' 不确定∠ADE=∠C, ∴.不能确定△ADEAACB,故④不符合题意： ⑤∠ADE=LC,∠A=∠A, ∴△ADEAACB,故⑤符合题意； 6/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上所述，能满足的条件有3个， 故选：C 10.如图，在正方形ABCD中，点E,M是边AD,CD上的点，BE,BM与AC交于点F,G,如果 ∠EBM=45°，那么下列错误的是（) M D E A.△AEF∽ACBF B.△CMG∽△BFG C.△ABG∽△CMG D.△ABF∽△CBG 【答案】D 【分析】在正方形ABCD中，根据正方形的性质对角线AC平分∠DAB和∠DCB,又因为∠EBM=4°， 所以∠DCA=∠ACB=∠DAC=∠CAB=∠EBM=45°，又因为对顶角相等，再结合相似三角形的判定 定理即可求解. 【详解】 B :在正方形ABCD中，点E,M是边AD,CD上的点，∠EBM=45°， .ABICD,ADBC,∠DCA=∠ACB=∠DAC=∠CAB=∠EBM=45°， 即∠EAF=∠BCF=45°， ,∠AFE=∠CFB .△AEFACBF, 故A正确，该选项不符合题意； 7/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D M C G B ,∠MCG=∠FBG=45°，∠MGC=∠BGF, .△CMG∽△BFG, 故B正确，该选项不符合题意； D M C G E B :∠MCG=∠GAB=45°，∠AGB=∠CGM ∴.△ABG∽△CMG 故C正确，该选项不符合题意； D M G E B ,∠CAB=∠ACB=∠FBG=45°， .∠ABF+∠CBG=45°， 而∠ABF不一定等于∠CBG, ∴.△ABF与aCBG不一定相似， 故D错误，该选项符合题意 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 8/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a+c+e 11.已知bd了3，则b+d+f 【答案】3 【分析】根据已知比例关系，将a,c,e分别用b,，d,于表示，代入所求分式化简即可得到结果 a ce I 【详解】解：女b=a了3，且6’d”f作为分母不为0’ 1 1 a=3b,c=3d,e=3f 3 3 将其代入所求分式得： a+ote}6+db+d中 3 3 b+d+f b+d+f b+d+f3 12.己知△ABC∽△DEF,面积比为l:4,AC的对应边为DF,AC=2,则DF的长为. 【答案】4 【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方，结合己知条件列比例式求解对应边DF的长度即 可 【详解】解：：△ABC△DEF,△ABC与△DEF的面积比为1：4， (4C 1 .(DF4, ,三角形边长为正数， AC 1 DF 2' .AC=2, ∴.DF=2×2=4. 13.如图，某渔船在A港观测到灯塔C在它的北偏东22°方向上：当渔船沿正北方向航行30海里至B港时， 观测到灯塔C在它的东北方向上，则灯塔C与B港之间的距离为 海里.（结果精确到0.1 海里，参考数据：V21.41,sin22°≈0.37，c0s22°0.93an2°≈0.40 9/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 22 【答案】 28.2 【分析】过点C作AB延长线的垂线构造直角三角形，设垂线段长为未知数，利用两个直角三角形的 公共边和已知角度建立方程求解。 【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D. 北 B 229 设CD=x海里， 在Rt△BCD中，灯塔C在B港的东北方向， .∠CBD=45 BD=CD=x海里，BC=CD sin45 =2x海里。 在RtACD中，∠A=22,AD=AB+BD=(30+x 海里。 tan A=CD AD ∴.tan22°= 30+x 即0.40≈ 0+x 解得x≈20 10128 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC=V2x≈1.41×20=28.2 (海里). 故灯塔C与B港之间的距离约为28.2海里. 14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1.构建几何图形解决代数问题是“数形结 合”思想的重要应用，在计算tanl5°时，延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D=l5°，所以 tanl5°=4C=1 2-V3 CD2+g2+V3x2-52-5 类比这种方法，计算tan22.5°的值为 30 15 B V2-1 【答案】 【分析】作Rt△ABC,使∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB到D,使BD=AB,连接AD,根据等腰三 角形的性质可得∠D=2.59,再求出4C=BC,设4C=BC=x(>0),则CD=(+v2)r,然后利用 正切的定义计算即可得. 【详解】解：如图，作Rt△ABC,使∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB到D,使BD=AB,连接AD, ∴.∠BAD=∠D, ,∠BAD+∠D=∠ABC=45°， .∠D=22.5°， 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=45°， .∠BAC=∠ABC=45°， .AC=BC, 11/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC=BC=x(x>0 ,则BD=AB=AC2+BC=V2x CD=BC+BD-(1+)x tan22.5°=anD=AC- 。1 √2-1 oi+5+尔司5- 15,如图，D,B分别是△1C的边4B、BC上的点，DE4C,若5aae:Sam=1:l6.则Sme,ac= ,则 D 【答案】1：3 DE 1 BE 1 【分析】证明ADOE∽aCOA得出CA4,证明ABDE∽ABAC得出EC3,进而求出结论. 【详解】解：DE‖AC, .ADOE∽aCOA SADOE:SACO4=1:16 DE 1 CA SACOA 4. :DEI‖AC, .△BDE∽△BAC, BE-DE=1 BC AC 4, BE1 EC3· :SBDE与 SACDE等高， 12128 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S△BDE=BE1 SACDE CE3 l6.如图，矩形ABCD中，BC=L,将△ABC绕点A旋转，使点C落到AD延长线上的点F处，点B对应 点E,连接AC交EF于点G,若CG=2DF,则矩形的周长为 D G 【答案】2V5-25+2 【分析】设DC与GF交于M,设DF=a,则CG=2a,根据矩形性质以及旋转性质证明 RtAFDM∽RtAFEA FM=d2+a,则 AG=GF=a2+3a AC=a2+5a 利用相似比可表示 ,得到 于是利用AC=AF得到a2+5a=1+a,解出a的值，利用勾股定理求出AB的长，从而求出最后结果 【详解】解：设DC与GF交于M,如图， G 设DF=a,则CG=2a, ~四边形ABCD为矩形， ∴AD=BC=1,∠BCD=∠B=∠ADC=90°，AD∥BC, .AF=AD+DF=1+a. :将△ABC绕点A旋转，使点C落到AD延长线上的点F处， ∴AF=AC,EF=BC=1,∠E=∠B=90°，∠F=∠ACB, AD∥BC, ∴，∠ACB=∠CAF. ∠CAF=∠F, ∴.AG=FG, 13128 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ACD=90°-∠ACB,∠DMF=90°-∠F, .∠ACD=∠DMF, :∠DMF=∠GMC, .∠ACD=∠GMC, ..GM=CG=2a, :∠DFM=∠EFA, .Rt△FDM∽Rt△FEA, FM FD FM a FA=FE,即1+a1, ∴.FM=a2+a .AG=GF GM+FM=2a+a2+a=a2+3a .AC=AG+CG=a2+3a+2a=a2+5a AC=AF, .a2+5a=1+a 解得4=5-2.4=-5-2（含去）， .AC=V5-1 在R△ABC中，AB=VAC2-BC-=5--P=5-2W5, 矩形的周长=25-25+1-25-25+2 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-18每题6分，19-20题每题8分，21-22题每题10分， 23-24题每题12分。 17.计算： a2cos45°，sin45°-2sin30.tan45+6.tan60 a+1_b+2a-2b 2)已知2=4，求a+b的值. 14128 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】)32 (2)-1 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，比例的性质. (1)代入特殊角的三角函数值，根据二次根式的运算法则计算即可： ©由-2，用到后-，求号子设号，即20代入治 a+1b+2 a-2b 即可求解 【1,欧2号要246w万 2 =1-1+3W2 =3V2 a+1b+2 (2)解：24· 0+1-b,1 .2242’ ab .24 设号-合，即72达：为 a-2b_2k-2×4k-1 a+b 2k+4k l8.如图，直线a‖blc,分别交直线m于点A,B,C,交直线n于点D,E,F. m n D a B 6 (I)若AB=3,BC=5,DE=4,求EF的长： AB 2 ②)若BC=3,DE=6求DF的长. 15128 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 【答案】)3 215 【分析】(1)(2)根据平行线分线段成比例定理进行求解即可. 【详解】(1)解：：a∥b∥c, .AB DE BC EF 34 即5EF, ·EF=20 : (2)解：a∥b∥c, AB DE ACDF· AB2 BC 3 AB 2 AC-5 6_2 。 DF5 DF=15 9已知：如图，在。18C中，AD是边8CL的商，g为边4C的申点，BC=2AD=8,sm8-号 (I)求线段DC的长： (②)计算tan∠EDC的值. 【答案】(1)15 8 @ 【分析】(I)在Rt△ABD中，根据己知条件求出边AB的长，再由BC的长，可以求出CD的长： (2)根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得出ED=EC,即可得∠C=∠EDC，从而 16128 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 求出∠C的正切值即求出了tan∠EDC的值 【详解】(1)解：~AD是BC边上的高， :.△ABD和△ACD是直角三角形， 在RtABD中，：sinB=4D=4 AB 5 AD=8 ∴.AB=10 .BD=√AB2-AD2=6 又：BC=21, :CD=BC-BD=15: (2)解：在RtAACD中，'E为斜边AC的中点， :.ED=EC=2 C, 1 .∠C=∠EDC, tan∠EDC=tan∠C=AD=& DC15· 20.如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东23°方向上 距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东60°的方向前往监 视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只， 北 东 (I)求∠BAC及∠C的大小： (2)问不明船只从被发现到被拦截行驶了多少海里？此时海监执法船行驶了多少海里？（最后结果保留 整数)（参考数据：cos37°=0.8，sin37°=0.6，tan37°=0.75） 【答案】(1)∠BAC=37°，∠C=30° (2)不明船只从被发现到被拦截行驶了24海里，此时海监执法船行驶了37海里 【分析】(1)根据方位角可以求出∠BAC=37°，根据平行线的性质即可求出∠C=∠CAE=30°： (2)过B作BF⊥AC,在RtAABF中，解直角三角形得到BF与AF的长，在RtBCF中，求出CF 17/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的长，由AF+FC求出AC的长即可. 【详解】(1)解：如下图所示， ∠BAD=23°，∠DAC=60°， .∠BAC=60°-23°=37°，∠CAE=30°， .BC AE ∠C=∠CAE=30°： 北D B A 龙东 (2)解：如下图所示，过点B作BF⊥AC, 北D B C A 正东 在RtAABF中，∠BAF=37°，∠AFB=90°，AB=20海里， BF=ABsin37°=0.6×20=12海里，AF=AB cos37°=20×0.8=16海里， 在RIABCF中，∠C=30°，∠CBF=60°， tan∠CBF= BF,BC=2BF=24海里， ∴.CF=BFtan60°=l2√3 海里， ∴.AC=AF+FC=16+12V3≈37 海里， 答：不明船只从被发现到被拦截行驶了24海里，此时海监执法船行驶了37海里 21.已知：△ABC中，AB=AC,点D、E分别是线段CB、AC延长线上的点，满足∠ADE=∠ABC 18128 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 I)求证：ACCE=BDDC: BC AB ②)若点D在线段4C的垂直平分线上，求证： CDAE· 【答案】(I)证明：，AB=AC, .∠ABC=∠ACB .180°-∠ABC=180°-∠ACB .∠ABD=∠DCE, ,∠ADE=∠ADB+∠EDC,∠ABC=∠ADB+∠DAB,∠ADE=∠ABC, .∠DAB=∠EDC, 又∠ABD=∠DCE, .△ABD DCE, AB DB .DC CE .AB.CE=DB.DC, .AB=AC, 'AC.CE=DB.DC: (2)证明：：点D在线段AC的垂直平分线上， ∴DA=DC, .∠DAC=∠DCA, :∠DAC=∠DAB+∠BAC,∠DCA=∠EDC+∠E, ∴.∠DAB+∠BAC=∠EDC+∠E, :∠DAB=∠EDC, .∠BAC=∠E 又∠ACB=∠ABC=∠ADE, ,△ABC∽△EAD. 19128 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB BC :AE AD' AD=CD, BC AB :CD AE 【分析】(I)根据等边对等角和三角形外角的性质，易证△ABD∽aDCE,再结合相似三角形对应边成 比例求证即可： (2)根据垂直平分线的性质和等边对等角，易证△ABC∽△EAD,再结合相似三角形对应边成比例 求证即可 【详解】(1)略 (2)略 22.如图三角形ABC中，BC=12,AD是BC边上的高且AD=8.P,N分别是AB,AC边上的点，Q, M是BC上的点，连接PO、MN,PN交AD于E. 图1 图2 1)如图1，若四边形POMN是正方形，求PQ的长； P9-1 ②)如图2，若四边形PQMW是矩形，且PN2,求PQ、PN的长. 4 【答案】)5 2Pg=24 7， PW=48 【分析】根据相似三角形的对应边上的高的比=相似比，构建方程即可解决问题； 【详解】(1)解：四边形PQMN为正方形，AD是BC边上的高， ∴.PQ=PN=EDPN∥QM .△APN∽△ABC, 20128 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PN AE P9_8-P9 BCAD,即1 8 24 ..PO= 5； (2)解：：四边形PQMN是矩形， ∴.PN∥QM,PQ=ED .△APNn△ABC, PNAE BC AD, 设PO=y则PN=2y, 2y8-y 24 即12 =8,解得y= 7, ·PQ=24 PW=48 23.某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 D 图1 图2 图3 I)如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,AD上的两点，连接DE,CF,DE⊥CF,则 DE CF的值为 2)如图2，在矩形ABCD中，AD=7,CD=4,点E是AD上的一点，连接CE,BD,且CE⊥BD, CE 则BD的值为 【类比探究】 3)如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB上一点，连接DE,过点C作DE的垂线 交ED的延长线于点G,交AD的延长线于点F,求证：DE·AB=CF·AD. 21128 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】I)1 @7 )证明：过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H, ,CG⊥EG, .∠G=∠H=∠A=∠B=90°， “.四边形ABCH为矩形， .AB=CH,∠FCH+∠CFH=∠DFG+∠FDG=90°， ,∠CFH=∠DFG .∠FCH=∠FDG=∠ADE, .△DEA∽△CFH. DE AD ∴CFCH' DE AD .CFAB· 即DE·AB=CF·AD 【分析】(1)首先根据正方形的性质得到∠A=∠ADC=90°.AD=CD,然后证明出 DE △AED≌△DFC(AAS),得到DE=CF,即可得到CF: (2)设DB与CE交于点G,根据矩形的性质得到∠A=∠EDC=90°，即∠ADB+∠CDG=90°，进而 CE DC 4 得到∠ECD=∠ADB,然后证明出△DEC△ABD,即可得到BD=AD7: (3)过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H,得出四边形ABCH为矩形，证明出△DEA∽△CFH, DE AD 得到CFCH,然后即可得出DE,AB=CF,AD, 【详解】(1)解：，正方形ABCD, .∠A=∠ADC=90°.AD=CD, 22128 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠AED+∠ADE=90°， DE⊥CF, .∠DFC+∠ADE=90° ∠AED=LDFC, △AED≌△DFC(AAS) .DE=CF, DE .CF =1 (2)解：设DB与CE交于点G, ,四边形ABCD是矩形， ∠A=∠EDC=90°，即∠ADB+∠CDG=90°， CE⊥BD, .∠DGC=90°， ∴∠CDG+LECD=90°， .∠ECD=∠ADB, .△DEC∽△ABD CE DC 4 ∴BDAD7· (3)略： 24.在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动. 【操作判断】 操作一：如图1，对折正方形纸片ABCD,得到折痕BD,把纸片展平； 操作二：如图2，在边AB上选一点E,沿CE折叠，使点B落在正方形内部，得到折痕CE: 操作三：如图3，在边AD上选一点F,沿CF折叠，使边CD与边CB重合，得到折痕CF.把正方形 纸片展平，得图4，折痕CE,CF与BD的交点分别为G,H. 23128 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A A D B B(D H E E B 图1 图2 图3 图4 D A D M E E P 图5 图6 I)根据以上操作，得∠ECF的大小为 【探究证明】 (2)如图5，连接FG,试判断△CFG的形状并证明： )如图6，连接EF,过点G作BC的垂线，分别交BC,AD,EF于点P,Q,M,求证： EM=FM, 【深入研究】 BD DH 4)若BG k,请直接写出GH的值（用含k的代数式表示）· 【答案】1)45° (②)△CFG为等腰直角三角形，理由如下： 如图，连接EH, A 分 D E 据(1)可知∠ECF=45°， :四边形ABCD为正方形， 24128 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ADG=∠CDG=45°， ∠ADG=∠ECF, ·∠FHD=∠GHC, .△FHD∽aGHC, FH DH .GH HC, FH GH .DH HC, :∠FHG=∠DHC, ∴.△FHG∽aDHC. .∠GFC=∠HDC=45° .∠GFC=∠ECF=45°，∠FGC=180°-45°-45°=90°， .△FGC是等腰直角三角形， B)证明：~四边形ABCD为正方形， ∠ABC=90°， AB⊥BC, QP⊥BC, AB∥QP .∠BEG=∠EGM, 根据题意可知∠BEG=∠MEG, ∴.∠MEG=∠MGE, .ME =MG 据(2)可知∠FGC=90°， .∠FGE=90°. .∠MGE+∠FGM=90°，∠MEG+∠EFG=90°， .∠FGM=∠EFG. :MG=MF, :ME=MF. K2-2k 4-2k+2 25128 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：如图， B(D) 根据题意可知，∠1=∠2，∠3=∠4， 在图1中，四边形ABCD为正方形， .∠BCD=90°， .1+∠2+∠3+∠4=90°，即2∠2+2∠3=90°， .∠2+∠3=45° ∴.∠ECF=45° (2)略 (3)略 (4)解：如图，连接AC, D H E 四边形 为正方形， G C. ABCD .∠ACD=LDAC=∠BAC=45°， .∠1+∠2=45°， 据(1)可知∠ECF=45°，即∠2+∠3=45°. .∠1=∠3， ∠BAC=∠BDC, .△CDH∽△CAE, DH DC .AE AC, 在RtAACD中，∠ACD=45°， 26128 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 cos∠ACD= DC_ AC 2, DH .AE2, BD k, .BG ∴设BD=k,BG=1, BC=CD=BD.es∠BDC= -k=AB 2 ABII CD .LEBG=∠CDG, ·∠EGB=∠CGD. ..△BEGC∽△DCG BE BG .DC GD' BE 1 12k k-1. .2 水 BE=2 -1 AE-4B-BE= 2k2k-2) k、2 2 k-12k-2 DH 2 2k-2, GH=k-1--2k=2-2k+2 2k-22k-2 DH k2-2k 2k-2 k2-2k .GH2k-2k2-2k+2k2-2k+2· 27/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 28128