精品解析：山东滨州市首都师范大学附属滨州中学2026-2027学年高二上学期开学测试数学试题

高二开学考数学测试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知两个向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示可求得，进而得到结果. 【详解】，，，，. 故选：C. 2. 若空间向量，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量夹角的坐标表示即可求解. 【详解】由题意，得. 故选:C. 3. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量在向量上投影向量的计算公式求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 故选：A 4. 如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】， 故选：B. 5. 已知直线所在方向向量为，平面的一个法向量为，则直线和平面的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 在面内或平行 【答案】D 【解析】 【详解】设直线所在方向向量，平面的一个法向量为， ，所以 ，由此可得直线在平面内或与平面平行. 6. 在四面体中，是的重心.记，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由空间向量的运算，用表示，即可得到结果. 【详解】连接并延长交于，则为的中点， 所以，， 所以， 所以，，所以. 故选：B. 7. 已知正三棱柱的侧面积是底面积的倍，点E为四边形的中心，点F为棱的中点，则异面直线BF与CE所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一：作出辅助线，找到异面直线BF与CE所成角，求出各边长，利用余弦定理求出答案； 法二：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量求出异面直线的夹角； 法三：设，，，表达出，，求出两向量数量积和模长，利用求出答案. 【详解】法一：如图所示，取的中点G，连接FG，EG， 因为点E为四边形的中心，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以或其补角就是异面直线BF与CE所成的角． 设该三棱柱的底面边长为2，正三棱柱的侧面积是底面积的倍， 则， 所以．连接BG， 则，，． 在中，由余弦定理得，所以异面直线BF与CE所成角的余弦值为， 法二：设，则由题得，所以． 以A为坐标原点，AC，所在直线分别为y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，所以，，故， 所以异面直线BF与CE所成角的余弦值为． 法三：设，则由题得，所以． 设，，，则，，，的夹角为， ，，， ， ， ， 所以 ， 所以异面直线BF与CE所成角的余弦值为. 故选：B． 8. 已知空间四点，，，，则四面体的体积为（ ） A. B. C. 15 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知点坐标求平面的一个法向量，向量法求到面的距离，且为边长为的等边三角形，最后应用棱锥的体积公式求体积. 【详解】由题设为边长为的等边三角形， 且，，， 若是面的一个法向量，则， 令，则， 则到面的距离， 所以四面体的体积为. 故选：B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若，，，是空间任意四点，则有 B. 若，则存在唯一的实数，使得 C. 若，共线，则 D. 对空间任意一点与不共线的三点，，，若（其中）且，则，，，四点共面 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量加法运算判断A；利用共线向量定理判断B；利用向量共线的意义判断C；利用共面向量定理判断D即可. 【详解】对于A， ，故A错误； 对于B，当时，不存在，故B错误； 对于C，若共线，可以在同一条直线上，故C错误； 对于D，若（其中）， 所以四点共面，故D正确. 故选：ABC. 10. 下列四个结论中正确的是（ ） A. 已知是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 C. 若A，B，C，D四点共面，则存在实数，，使 D. 已知空间中的点，，，，则直线与直线的夹角的余弦值为 【答案】AD 【解析】 【分析】设，判断x，y是否有解即可判断A；根据投影向量公式计算即可判断B；根据平面向量基底的条件即可判断C；求出，利用向量夹角公式求解可判断D. 【详解】对于A选项，设， 因为是空间的一组基底， 所以，无实数解，故不共面， 所以也是空间的一组基底，A正确； 对于B选项，因为，， 所以在方向上的投影向量为．故B项错误； 对于C选项，若A、C、D共线，即共线，不能作为平面向量的基底， 故当B不在A、C、D所在直线上时，不存在实数，，使得，C错误； 对于D选项，由条件可知，， 则，故D项正确． 故选：AD． 11. 如图，四棱锥中，底面为正方形，，平面，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为； C. 与平面所成角的正弦值为 D. 到平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系后，借助向量模长公式可得A；借助向量夹角余弦公式计算可得B；求出平面法向量后，借助向量夹角余弦公式计算可得C；求出平面法向量后，借助空间中点到平面距离公式计算可得D. 【详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则、、、、、； 对A：，则，故A错误； 对B：，， 则， 故异面直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对C：，，， 设平面的法向量为， 则有，取，则，故， 则有， 则与平面所成角的正弦值为，故C正确； 对D：，， 设平面的法向量为， 则有，取，则，，故， 又，则到平面的距离，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 下列关于空间向量的命题中，正确的有________． ①若向量、与空间任意向量都不能构成空间向量的一组基底，则； ②若非零向量、、满足，，则有； ③若、、是空间向量的一组基底，且，则、、、四点共面； ④若向量、、是空间向量的一组基底，则、、也是空间向量的一组基底． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用反证法可判断①④；利用空间向量的位置关系可判断②；利用共面向量的基本定理可判断可判断③. 【详解】对于①，假设、不共线，则存在空间向量，使得当与、不共线， 此时，、、能构成空间向量的一组基底，与题设矛盾，假设不成立， 所以，若向量、与空间任意向量都不能构成空间向量的一组基，则，①对； 对于②，若非零向量、、满足，，则与不一定共线，②错； 对于③，若、、是空间向量的一组基，且， 则， 即， 所以，、、、四点共面，③对； 对于④，因为向量、、是空间向量的一组基底， 假设、、共面，若，不妨设，设存在、，使得，， 所以，，，， 此时，向量、、共线，与题设矛盾； 若、、共面，且、不共线，则存在、，使得， 则，， 所以，、、共面，与题设矛盾，故、、也是空间向量的一组基底，④对. 故答案为：①③④. 13. 已知空间向量，，，若共面，则实数______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用空间向量共面的条件，设出实数，，使，列出方程组，求出的值即可． 【详解】解：向量、、共面， 存在实数，使得， 即， ；解得 故答案为：. 【点睛】本题考查了空间向量的共面问题，也考查了方程组的解法与应用问题，是基础题目． 14. 如图，三棱柱的所有棱长均相等，，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】以为基底，利用向量法求异面直线所成角的余弦值. 【详解】设三棱柱的所有棱长均为1， 记， 由，得， 得，，， 又， ， 所以.， 又， ， 所以， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 三. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，且． （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1）9； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据，可得，从而可得，再根据向量模的坐标求法计算即可； （2）结合（1）可得，，再由夹角公式求解即可. 【小问1详解】 解：因为， 所以，解得， 所以， 则， 所以； 【小问2详解】 解：， ， ， 设向量与夹角为， 所以， 所以向量与夹角的余弦值为． 16. 如图，在正方体中，，，，点M，N分别是，的中点． （1）试用，，表示． （2）求证：平面． 【答案】（1） （2） 因为，所以，即， 因为平面，平面，所以平面． 【解析】 【分析】（1）根据点M，N的位置用基底表示向量； （2）证明向量与平面中的向量共线，即可证明平面． 【小问1详解】 因为，所以， 同理，， 所以； 【小问2详解】 略 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，直线与平面所成角为，为线段的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：取中点，连接， 则，. 又因为，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以. 又因为平面，平面， 所以平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，由题意可得四边形是平行四边形，从而得，由线面平行的判定定理即可得证； （2）以为坐标原点，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为平面，， 所以以为坐标原点，分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系： 又直线与平面所成角为，即. 又因为， 所以，， 所以， 易知平面的法向量为. 因为， 设平面的法向量为， 则，则有，取， 设平面与平面的夹角为， 所以. 18. 如图，在多面体中，．侧面为矩形，平面平面ABC. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用空间向量求出线面角的正弦值. （2）由（1）中信息，利用空间向量求出点到面距离. 【小问1详解】 由侧面为矩形，得，又平面，平面， 则，即直线两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为，则，令，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 由（1）知，平面的法向量，， 点到平面的距离. 19. 如图，在四棱台中，平面，，，． （1）求证：； （2）若三棱锥的外接球表面积为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析. （2）. 【解析】 【分析】（1）先证平面，便可证得. （2）先由外接球表面积求出，建立空间直角坐标系，利用空间向量分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式求得二面角余弦值. 【小问1详解】 由题可知，，，， 由余弦定理得， 则，所以. 由平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面，而平面，则有. 【小问2详解】 由（1）可知，，两两垂直，则三棱锥的外接球 半径， 则外接球的表面积为，解得. 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则有，，，，， 所以，. 设平面的法向量， 则有，取，则得. 由题可知平面，则取平面法向量. 则， 则平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二开学考数学测试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知两个向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 若空间向量，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线所在方向向量为，平面的一个法向量为，则直线和平面的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 在面内或平行 6. 在四面体中，是的重心.记，，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知正三棱柱的侧面积是底面积的倍，点E为四边形的中心，点F为棱的中点，则异面直线BF与CE所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知空间四点，，，，则四面体的体积为（ ） A. B. C. 15 D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若，，，是空间任意四点，则有 B. 若，则存在唯一的实数，使得 C. 若，共线，则 D. 对空间任意一点与不共线的三点，，，若（其中）且，则，，，四点共面 10. 下列四个结论中正确的是（ ） A. 已知是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 C. 若A，B，C，D四点共面，则存在实数，，使 D. 已知空间中的点，，，，则直线与直线的夹角的余弦值为 11. 如图，四棱锥中，底面为正方形，，平面，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为； C. 与平面所成角的正弦值为 D. 到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 下列关于空间向量的命题中，正确的有________． ①若向量、与空间任意向量都不能构成空间向量的一组基底，则； ②若非零向量、、满足，，则有； ③若、、是空间向量的一组基底，且，则、、、四点共面； ④若向量、、是空间向量的一组基底，则、、也是空间向量的一组基底． 13. 已知空间向量，，，若共面，则实数______． 14. 如图，三棱柱的所有棱长均相等，，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 三. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，且． （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值． 16. 如图，在正方体中，，，，点M，N分别是，的中点． （1）试用，，表示． （2）求证：平面． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，直线与平面所成角为，为线段的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 如图，在多面体中，．侧面为矩形，平面平面ABC. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 19. 如图，在四棱台中，平面，，，． （1）求证：； （2）若三棱锥的外接球表面积为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $