山东滨州市首都师范大学附属滨州中学2026-2027学年高二上学期开学测试数学试题

**基本信息** 高二开学考数学试卷聚焦空间向量与立体几何，通过基础概念辨析、空间模型应用及综合问题解决，检测学生抽象能力、空间观念与推理能力，适配开学初知识掌握情况评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|向量垂直、夹角、投影、线面位置关系|基础概念与空间形式结合，如平行六面体向量表示| |多选|3/18|基底判断、四点共面、线线夹角|辨析向量基本性质，如基底判定与投影向量计算| |填空|3/15|共面向量、异面直线夹角|空间向量工具性应用，如共面向量参数求解| |解答|5/77|正方体向量表示、四棱锥面面夹角、四棱台垂直证明|综合立体几何模型，如四棱锥中线面平行与面面夹角计算，体现推理与表达能力|

高二开学考数学测试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知两个向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 若空间向量，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4．如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 5．已知直线所在方向向量为，平面的一个法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．在面内或平行 6．在四面体中，是的重心.记，若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知正三棱柱的侧面积是底面积的倍，点E为四边形的中心，点F为棱的中点，则异面直线BF与CE所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．已知空间四点，，，，则四面体的体积为（   ） A． B． C．15 D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9．下列说法错误的是（ ） A．若是空间任意四点，则有 B．若，则存在唯一的实数，使得 C．若共线，则 D．对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面 10．下列四个结论中正确的是（    ） A．已知是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 C．若A，B，C，D四点共面，则存在实数，，使 D．已知空间中的点，，，，则直线与直线的夹角的余弦值为 11．如图，四棱锥中，底面为正方形，，平面，为的中点，则（    ） A． B．异面直线与所成角的余弦值为； C．与平面所成角的正弦值为 D．到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．下列关于空间向量的命题中，正确的有________． ①若向量、与空间任意向量都不能构成空间向量的一组基底，则； ②若非零向量、、满足，，则有； ③若、、是空间向量的一组基底，且，则、、、四点共面； ④若向量、、是空间向量的一组基底，则、、也是空间向量的一组基底． 13．已知空间向量，，，若共面，则实数______． 14．如图，三棱柱的所有棱长均相等，，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 3. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15（13分）已知向量，且． （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值． 16.（15分）如图，在正方体中，，，，点M，N分别是，的中点．    (1)试用，，表示． (2)求证：平面． 17（15分）．如图，在四棱锥中，平面，，，，直线与平面所成角为，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 18（17分）．如图，在多面体中，．侧面为矩形，平面平面ABC． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 19（17分）如图，在四棱台中，平面，，. （1）求证：； （2）若三棱锥的外接球表面积为，求平面与平面夹角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $高二开学考数学测试题答案 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的) 1C 2C 3A 4B 5D 6B7.B 8.B 9.【答案】BC10,【答案】AD11.【答案】BCD 12.【答案】①@④13.【答案】414【答案】 6 15(13分) 【解析】(1)因为ā=(2，-1，m),b=(1,4,1),a⊥b, 所以āb=2-4+m=0,解得m=2, 所以ā=(2，-1,2)，b=(1,4,1), 则ā+2b=(2,-1,2)+2(1,4,1)=(4,7,4), 所以a+2b=V42+7+4=9; (2)ā-b=(2,-1,2)-(1,4,1)=(1,-5,1), a-万=V2+(-5+1=35, (a+26)(a-b)=4×1+7×(-5)+4×1=-27, 设向量a+2b与ā-b夹角为0， (a+2b)-(a-b)）-27 所以cos0= - a+2b.a-b 9x35=-3, 所以向量ā+25与a-6夹角的余弦值为-5 16.(15分) 【解析】(1) D A B M D B 因为D=D-A-8-a,所以44De-动， 同理，4N=)6+列， 所以-4N-4=6+de-)-6++5; 2 (2)正明：因为瓜-4+西=0+5，所以而-}孤，印N8, 因为AB,C平面ABB,A,,MN文平面ABB,A,所以MNI∥平面ABB,A, 17(15分). 【答案】(1)证明：取PA中点N,连接MN,DN, 则MNI/AB,A-AB. 1 又因为CD1IAB,CD=2AB, 所以MN/ICD,MN=CD, 所以四边形MNDC是平行四边形， 所以CM//DN 又因为DNc平面PAD,CME平面PAD, 所以CMII平面PAD; D (2)因为PA⊥平面ABCD,AB⊥AD, 所以以A为坐标原点，AB,AD,AP分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系： ZA 长B 又直线PB与平面ABCD所成角为60°，即∠PBA=60°. 又因为AB=2AD=2CD=2, 所以PA=AB tan60°=23，AD=CD=1, 所以A0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2√3)，M,0,V3), 易知平面PAD的法向量为n=1,0,0). 因为AC=L,1,0),AM=1,0,V3), 设平面ACM的法向量为m=(x,y,z), AC.m=x+y=0 则 则有y=-x=V3z,取m=(-V3,V3,), AM.m=x+3z=0 设平面PAD与平面ACM的夹角为O, 所以cos0=cos(m,n= mn5√2i mn √77 18(17分) (1)由侧面ABB1A1为矩形，得AB⊥AA1,又CA⊥平面ABB1A1,AA1,ABC平面ABB1A1, 则AC⊥AA1,AC⊥AB,即直线AB,AC,AA两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， A B B 则A(0,0,0)A1(0,0,4)C1(0,4,2),B(3,0,0),A1C1=(0,4,-2),AB=(3,0,0)AC1=(0,4,2), 设平面ABC1的法向量为n=x,,则元AC4y+2z=0,令y=1,得元=(0,1，-2， (元.AB=3x=0 所以直线4，G1与平面18G,所成角的正弦位机asA,G-品--号 (2)由(1)知，平面ABC1的法向量元=(0,1，-2)，A1C1=(0,4,-2), 点A1到平面ABG的距离h=B国-号=5 5 19(17分) 【解析】(1)因为AD=BC,AB=CD,所以四边形ABCD为平行四边形， ∠DAB=∠BCD=60°. 在△ABD中，DA=2,AB=4,∠DAB=60° 由余弦定理可得，DB2=AB2+AD2-2AB·ADc0s60°=16+4-8=12， 所以DA+DB2=AB2,所以△ADB为直角三角形，所以AD⊥BD 因为DD⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以DD⊥BD, 因为ADC平面ADDA,DDC平面ADDA,且DA∩DD=D, 所以BD⊥平面ADDA, 因为ADC平面ADDA,所以BD⊥AD· (2)由(1)知，DD,DA,DB两两垂直， 所以三棱锥D-ABD的外接球的直径长为、D4'+DB'+DD,半径为VD4+DB+DD 2 故π(DD+DA+DB2)=17π，解得DD=1 因为AD=1,AD=2,所以B弘=4D=1 BD AD 2 由DD⊥平面ABCD,知点B在底面的投影是BD的中点. 以D为坐标原点，如图所示建立空间直角坐标系，则B(0V5,1,C(-2,2V5,0,D,(0,0,1), ZA A 所以BC=（-2,5,-1,BD=（0,-5,0】 n-BC=-2x+5y-z=0 设方=(x,y,2)为平面B,CD的一个法向量，则 n.BD=-V3y=0 令x=1,则n=(1,0,-2)为平面B,CD的一个法向量 易知平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1), 则cos(m,训= m.22V5 m防√55， 即平面BCD与平面ABCD夹角的余弦值为2N5▣▣ 高二开学考数学测试题 学校： 姓名： 班级： 考场/座位号： 贴码区 贴二维码/条形码，勿贴出框外 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的) 1【A]IB]IC]ID] 4 [A]IB]IC]ID] 7【A][BIIC]ID] 2 [A]IB]IC]ID] 5 [A]IB]ICIID] 8 [A][B]IC]ID] 3【A]IB]IC]ID] 6【A]IB]IC]ID] 二 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） IA]IB]IC]ID] 10 [A][B]IC][D]11 [A][B]ICIID] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12 13 14 第1页（共6页） 三解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步 15(13分) 第2页（共6页） 16(15分) C B M D I 1 ■ 第3页（共6页） 17(15分) ■ 第4页（共6页） 18(17分) A B C B I 1 I I 第5页（共6页） 19(17分)》 D A B 1 第6页（共6页） ■