2026-2027学年高二上学期数学开学模拟卷三（山东潍坊适用）

**基本信息** 新高二开学收心卷，聚焦复数、解三角形、立体几何核心知识，通过基础题（如复数坐标与共轭）、能力题（如三角形角平分线面积最值）、创新题（如圆台与球相切），分层考查数学抽象、逻辑推理与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|复数坐标、三角形中线、圆锥侧面积、线面平行|基础概念与运算，如第1题直接考查复数坐标与共轭，第8题结合正方体模型判断线面平行| |多选题|3题15分|复数性质、三角形边角关系、正方体中点线面|选项分层设计，如第10题综合判断三角形最大角、正弦定理及钝角，培养批判性思维| |填空题|3题15分|三棱锥外接球、纯虚数参数、正弦定理应用|知识综合，如第12题结合线面垂直求外接球表面积，考查空间想象与运算| |解答题|3题30分|三角形角平分线面积、复数几何意义、梯形翻折二面角|多问递进，如第17题先证线面垂直再求二面角，体现逻辑推理与空间观念，贴合高考命题趋势|

2026-2027学年度高中数学新高二开学收心模拟卷3 试卷 考试时间：100分钟；分数：100分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）在中，内角，，的对边分别为，，，，点为边的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 3．（本题5分）复平面上点对应复数，将点绕原点顺时针旋转，再关于虚轴对称，所得点对应复数，则（     ） A． B．2 C． D．4 4．（本题5分）已知中，假如，则的面积为（　　） A． B． C． D． 5．（本题5分）为圆锥底面圆的直径，，则圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 6．（本题5分）如图，已知球的表面积为，圆台的上、下底面半径之比为，球与圆台的两个底面及侧面都相切，则圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知复数（为虚数单位），则（    ）． A． B． C． D． 8．（本题5分）在正方体中，以下直线与平面平行的是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 二、多选题（共15分） 9．（本题5分）下列关于复数的说法正确的是（    ） A．当时，是纯虚数 B．若复数，满足，则 C．当时，复数在复平面内对应的点在第一象限 D．若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，则 10．（本题5分）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，，下面说法正确的是（     ） A．最大内角为 B． C．的外接圆半径为 D．是钝角三角形 11．（本题5分）如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则下列结论正确的是（   ） A． B．二面角的正切值为 C．异面直线与EF所成角的余弦值为 D．点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）在三棱锥中，，，，中点为，，则该三棱锥的外接球的表面积为______． 13．（本题5分）已知，是虚数单位，复数.若是纯虚数，则的值为__________. 14．（本题5分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则_____ 四、解答题（共30分） 15．（本题10分）在中，角所对的边分别为，角为钝角，且． (1)若，求角； (2)设的平分线交于点，若面积为，求的最大值． 16．（本题10分）设复数，，其中，且复数所对应的点都在复平面第一象限内． (1)若，求实数，的值； (2)设所对应的向量为，若与共线，求的最小值． 17．（本题10分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠BAD＝，AB＝BC＝2AD＝4，E，F分别是AB，CD上的点，EF∥BC，AE＝2，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图）． (1)证明：EF⊥平面ABE； (2)求二面角D﹣BF﹣E的余弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年度高中数学新高二开学收心模拟卷3》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C D B B D C CD BCD 题号 11 答案 BCD 1．C 【详解】由复数对应点坐标，得， 根据共轭复数定义，. 2．B 【分析】先分别在及中由余弦定理并结合条件，可得，进而可得，最后在中用正弦定理可得. 【详解】设，则，由题意. 在中，​， 由余弦定理， ，即. 同理在中，由余弦定理， 即. 已知，即，， 化简得，因为，解得. 所以，即. 在中，，，，由正弦定理， 得， 因此. 3．C 【分析】利用复数变换的保模性及共轭复数的模的性质可直接求解，也可通过逆运算求出原复数后再计算模. 【详解】方法一：由题意可知：， 所以； 方法二：点对应复数，坐标为；关于虚轴对称得点坐标为， 可得坐标为，对应复数， 则，所以. 4．D 【分析】根据余弦定理及三角形面积公式即可求解． 【详解】， 因为，所以， 所以． 5．B 【详解】由题可知底面圆心为，是底面半径，因此， 圆锥的高底面，故是直角三角形， 由勾股定理得母线长， . 6．B 【分析】通过球的表面积公式求出球的半径，再根据圆台上下底面半径比设未知数，结合相切性质求圆台半径与母线长，最后根据圆台侧面积公式计算出结果. 【详解】设球的半径为，由球的表面积公式， 解得，即，设圆台的上底面半径为， 依题意，下底面半径为，圆台的高， 则母线长， 又因为球与圆台的两个底面及侧面都相切， 所以母线长，即得，解得， 则圆台的上下底面半径分别为1和3，母线长, 故圆台侧面积为：. 7．D 【分析】先根据复数三角形式的乘法法则求出，再相减结合三角函数值化简结果. 【详解】由，， ，， 所以. 8．C 【分析】根据线面平行的判定定理判断即可. 【详解】对于A，，与平面相交，故与平面相交，A错误. 对于B，，与平面相交，故与平面相交，B错误. 对于C，，平面，平面，则平面，C正确. 对于D，，与平面相交，故与平面相交，D错误. 9．CD 【详解】对于A，时，，故A错误； 取，，满足，但，故B错误； 复数在复平面内对应的点为，当时，，，故C正确； 设复数在复平面内对应的点为，则复数在复平面内对应的点为，则，，则，故D正确． 10．BCD 【分析】由大边对大角即可判断A；由正弦定理即可判断B；先利用余弦定理求，进而得到，再利用正弦定理求外接圆半径即可判断C；解三角形可得即可判断D． 【详解】，，，最大边为，则最大内角为，故A错误； 由正弦定理，故B正确； ，， ，解得， 则的外接圆半径为，故C正确； ，，则，即是钝角三角形，故D正确． 11．BCD 【分析】由平行得到异面直线的夹角，判断AC选项，由二面角的平面角的定义求出平面角，即可判断B选项，由等体积转化法求得三棱锥和的体积的倍数关系即可判断D选项. 【详解】在正方体中，，所以为异面直线与的所成的角， 显然，所以不垂直，A选项错误； 在正方体中，平面，过点作直线于点，则为二面角的平面角， ，因为，所以，所以，B选项正确； 取中点，连接，因为分别为正方形四边中点，所以且， 所以为异面直线与EF所成的角，所以，C选项正确； ，， 所以，即，所以点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍，D选项正确. 12． 【分析】由题意可得是边长为的等边三角形，由线面垂直的判定定理可得平面,从而得,结合余弦定理及勾股定理的逆定理可得,从而可得平面,设三棱锥的外接球心为,过作于，则有平面,在、中，根据勾股定理求出外接球的半径的值，由球的表面积公式求解即可. 【详解】如图所示: 因为，， 所以， 又因为， 所以是边长为的等边三角形， 又因为是中点，所以, 又因为平面,, 所以平面, 又因为平面，所以, 又因为， ,， 在中，由余弦定理可得, 所以，所以, 又平面,，所以平面, 即为三棱锥的高， 设三棱锥的外接球心为, 因为是外接圆的圆心，则平面, 过作于，易知四边形为矩形， 所以, 设三棱锥的外接球的半径为, , 在中，, 即①， 在中，, 即②， 由①②可得， 所以三棱锥的外接球的表面积. 13． 【详解】因为是纯虚数， 所以且， 由得或1，因为， 所以的值为． 14． 【分析】由正弦定理及合比性质即可得； 【详解】由正弦定理可知， 所以， 所以. 15．(1) (2)的最大值为 【分析】（1）利用正弦定理，辅助角公式结合已知条件求解即可； （2）利用三角形面积公式以及基本不等式分析求解即可. 【详解】（1）由正弦定理有：， 从而， 在中，由， 所以， 即，也即， 因为，， 所以，又，所以， 由正弦定理以及得：， 所以，所以. （2）由（1）知，且得：， 因为为的平分线，所以， 又，即，解得：， 由，当且仅当即时等号成立， 所以的最大值为. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据复数的几何意义以及复数的模长公式即可求解. （2）由复数的几何意义以及基本不等式即可求解. 【详解】（1），对应的点分别为，且，， 由可得：，， 故，. （2），，因为与共线，所以. 由基本不等式可得：，当且仅当，时等号成立. 所以的最小值为. 17．(1) 证明：在直角梯形ABCD中，因为，故DA⊥AB，BC⊥AB， 因为EF∥BC，故EF⊥AB． 所以在折叠后的几何体中，有EF⊥AE，EF⊥BE， 而AE∩BE＝E，故EF⊥平面ABE． (2) 【分析】（1）根据题意，利用线面垂直的判定定理即可求证； （2）在平面AEFD中，过D作DG⊥EF交EF于G，在平面DBF中，过D作DH⊥BF交BF于H，连接GH，可得二面角D﹣BF﹣E的平面角∠DHG，计算∠DHG的余弦值即可. 【详解】（1）略 （2）如图，在平面AEFD中，过D作DG⊥EF交EF于G． 在平面DBF中，过D作DH⊥BF交BF于H，连接GH． 因为平面AEFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF＝EF，DG⊂平面AEFD，故DG⊥平面EBCF， 因为BF⊂平面EBCF，故DG⊥BF，而DG∩DH＝D， 故BF⊥平面DGH，又GH⊂平面DGH，故GH⊥BF， 所以∠DHG为二面角D﹣BF﹣E的平面角， 在平面AEFD中，因为AE⊥EF，DG⊥EF， 故AE∥DG， 又在直角梯形ABCD中，EF∥BC且EF＝（BC+AD）＝3， 故EF∥AD，故四边形AEGD为平行四边形， 故DG＝AE＝2，GF＝1， 在Rt△BEF中，， 因为∠BFE为三角形的内角， 故，故， 故， 因为∠DHG为三角形的内角， 故． 所以二面角D﹣BF﹣E的平面角的余弦值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $