5.3一元一次方程的应用题型分类解答题专题训练2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程应用，按行程、费用、工程问题分类，通过基础到拓展的分层设计，强化方程建模与分类讨论能力，适配单元复习巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解层|单一情境（追及/相遇、基础分段计费）|直接套用公式建模，如行程相遇时间计算| |综合应用层|多情境综合（多次相距、多阶梯费用）|需分类讨论，如费用问题分段计费反推| |拓展提升层|复杂情境拓展（往返行程、含效率/费用工程）|结合实际生活场景，如工程费用优化|

5.3一元一次方程的应用 题型分类解答题专题训练 一、行程问题 1．一辆客车和一辆轿车先后沿相同的道路从上海出发去南京，客车先行40千米后轿车出发，客车的速度为80千米/小时，轿车的速度为100千米/小时． (1)当轿车追上客车时，求轿车行驶的路程？ (2)如果从上海去南京的行程为300千米，那么此次行程中，轿车和客车能三次相距30千米吗？请通过计算进行说明，并求出当轿车和客车相距30千米时，客车行驶的时间． 2．为响应学校“阳光体育”活动的倡议，锤炼学子持之以恒的运动精神．小红和小星每天早晨坚持跑步，小红每秒跑4m，小星每秒跑6m．他们站在百米跑道的两端同时相向起跑． (1)求两人相遇的时间； (2)若小红和小星相遇后，仍以原来速度继续往前跑，当小红和小星相距10m时，求小星从起跑开始所跑的总路程． 3．A，B两地相距，甲乙两位老人分别同时从A地与B地出发，步行前往另一地．已知甲老人走路的速度为，乙老人走路的速度为． (1)经过多长时间，甲乙老人相遇？ (2)一天，当两位老人出发时，一只狗与甲老人一同出发跑向乙老人，当狗与乙老人相遇时，立刻回头跑向甲老人，当狗与甲老人相遇时再立刻回头跑向乙老人……，当甲乙两位老人相遇时，狗停止运动．已知狗跑动的速度是．问：当狗停止运动时，狗已经跑了多少米？ 4．，两地相距180米，甲从地出发前往地，速度为；乙从地出发前往地，速度为，他们同时出发，到达终点后各自停止． (1)求甲、乙第一次相遇的时间． (2)出发后经过多少时间，甲、乙两人相距？ (3)若他们到达各自终点后折返，求甲、乙第二次相遇的时间，以及相遇位置离地的距离． 5．小新周末去爬山，路程由一段坡路和一段平路组成．去时，上坡路段用了0.8小时，平路用了0.3小时；原路返回时，平路速度保持不变，下坡速度比上坡速度快1.5千米/小时，下坡路段用了0.5小时．已知往返的总路程为6.4千米． (1)求小新上坡时的平均速度； (2)小新在平路路段的平均速度是多少？ 6．小阳计划和爸爸周末去甲秀楼游玩，他家距离甲秀楼有．小阳骑自行车以的速度先行出发，5分钟后，爸爸再骑摩托车以的速度追赶小阳，到甲秀楼游玩一段时间之后，爸爸和小阳按照原来的速度原路返回到家． (1)爸爸经过多长时间能追上小阳呢？ (2)若爸爸出发前摩托车的油量有5L，摩托车的油耗为0.05L/km，请问爸爸不加油，骑摩托车能否回到家？ 二、电费和水费问题 7．为了节约用水，某市决定调整居民用水收费方法，规定：如果每户每月用水不超过20吨，每吨水收费3元，如果每户每月用水超过20吨，则超过部分每吨水收费4元． (1)如果小红家每月用水18吨，水费是多少?如果每月用水25吨，水费是多少? (2)如果用字母x表示小红家每月用水的吨数，那么小红家每月的水费该用怎样的代数式表示呢? (3)如果某月小红家缴水费100元，那么该月小红家用了多少吨水? 8．为了倡导和鼓励居民节约用水，水务部门对居民生活用水通常按户阶梯计价，例如某户年用水量为，则该用户一年的水费为：元，下表是某城市居民生活用水的收费标准（户内人口不超过4人）． 收费方式 年用水量/m3 费用/（元/m3） 第一阶梯 0~180 4.5 第二阶梯 超过180但不超过240的部分 6 第三阶梯 超过240以上的部分 8 (1)某户年用水量为，则该户应缴水费___元（直接写出结果）； (2)已知某户居民一年的水费为930元，这户居民的年用水量是多少立方米? (3)若某户居民2025年前10个月的用水量为，最后两个月用水量为该户全年的水费为1330元，求t的值． 9．某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 (1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ (2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 10．某市为了鼓励居民节约使用天然气，采用按月分段计费的方式收费，收费标准如下：每户每月用气量在立方米及以下，每立方米收费元；超过立方米不超过立方米的部分，每立方米收费元；超过立方米的部分，每立方米收费元． (1)月份张阿姨家因做饭、洗澡用气较多，用气量为立方米，张阿姨家月份天然气费是多少元？ (2)月份张阿姨家天然气费是元，张阿姨家月份用气量为多少立方米？ 11．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； (1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； (2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 12．为鼓励居民节约用电，某电力公司规定了如下计费方法：月用电不超过100度，按每度电元计费．月用电每超过100度，超出部分就增加元计费．王奶奶家2026年4月交电费167元，王奶奶家4月份用电多少度？ 三、工程问题 13．一项工程，甲独做需20天，乙独做需30天．如果两人合作，他们的工作效率就要降低，甲只能完成原来的乙只能完成原来的现在要16天完成这项工程，且要两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？ 14．中国基础建设快速发展，各地修建了许多高速公路，带动了当地的经济发展，提高了人们的生活水平．某市招标建设一段长为14千米的无桥梁高速公路路基，现有A，B两家公司竞标了这项工程，已知A公司每天能修建路基0.5千米，B公司每天能修建路基1千米，若由A，B两家公司合作完成任务，且B公司的工作时间比A公司工作时间的2倍多4天，则A公司的工作时间为多少天？ 15．学校准备利用假期维修操场，如果甲工程队单独进行维修需要8天，乙工程队单独进行维修需要12天，学校经过与甲、乙两个工程队协商后，决定让乙工程队先修2天，然后甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务． (1)甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要多少天？ (2)乙工程队每天的工程费为12000元，甲工程队每天的工程费比乙多2000元，操场维修完成后，学校需要支付给甲、乙两个工程队共多少钱？ 16．一项工程，甲队单独施工需要6个月完成，乙队单独施工需要10个月完成．为了加快施工进度，在甲队施工2个月后，乙队加入与甲队共同施工，那么还需要几个月才能完成？ 17．把一批图书分给七年级某班的学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则差25本． (1)这个班有多少名学生？ (2)读书周期间，这个班级的学生去图书馆整理图书，由1个人做要完成．现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做，正好完成这项任务．假设这些人的效率相同，具体应先安排多少人整理图书？ 18．甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的2倍，若甲、乙两工程队一起挖掘300米长度的隧道时，共用时间5天． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米？ (2)已知该段隧道挖掘工程为800米，甲工程队每天的挖掘费用为8万元，乙工程队每天的挖掘费用为5万元．若安排甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好184万元，求甲工程队应先单独挖掘多少天？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)200千米 (2)不能三次相距30千米；客车行驶的时间为小时和1小时 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用： （1）设当轿车追上客车时，轿车行驶的时间为小时，根据题意，列出方程，即可求解； （2）分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：设当轿车追上客车时，轿车行驶的时间为小时，根据题意得： ， 解得：， 此时轿车行驶的路程为千米， 答：轿车行驶的路程为200千米； （2）解：此次行程中，轿车和客车不能三次相距30千米， 当轿车未出发时，此时小时； 当轿车出发且客车在轿车前时，， 解得：； 当客车在轿车后时， ∵从上海去南京的行程为300千米， ∴轿车到达南京所用时间为小时， 此时客车行驶了千米， ∵千米千米， ∴此时轿车和客车不能相距30千米； 综上所述，轿车和客不能三次相距30千米；当轿车和客车相距30千米时，客车行驶的时间为小时或1小时． 2．(1) 10秒 (2) 66米 【分析】（1）利用行程中的相遇问题解答，两人所行路程和等于总路程； （2）利用行程中的相离问题解答，两人所行路程和等于． 本题考查了一元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键． 【详解】（1）解：设他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，秒后两人相遇， 则, 解得, 故答案为：10秒． （2）解：设小红和小星相遇后，仍以原来速度继续往前跑，秒后两人相距， , 解得， 由（1）可知10秒两人相遇时，则小星所跑的时间 则小星所跑的路程为：（米） 故答案为：66米． 3．(1) 经过300秒，甲乙老人相遇. (2) 狗已经跑了2400米. 【分析】 （1）根据相遇时两人路程和等于A、B两地总距离，列一元一次方程求解； （2）狗跑动的总时间等于甲乙相遇时间，利用路程公式直接计算总路程． 【详解】（1）解：设经过秒甲乙两位老人相遇， ∵ 甲的速度为，乙的速度为，相向而行相遇时路程和等于两地距离 ， ∴， 解得； 答：经过300秒甲乙两位老人相遇； （2）解：∵狗从出发到停止的总时间等于甲乙两人的相遇时间，即，狗的速度为， ∴狗跑的总路程为 ； 答：狗已经跑了2400米． 4．(1) (2)或 (3)时第二次相遇，此时距离的距离为 【详解】（1）解：设运动时间为t秒， 由题意得， ， 答：的时候第一次相遇． （2）解：当相遇前相距时， ， 解得 当相遇后相距时 解得 答：或． （3）解：当时， 甲距离A点的位置表达式为 ， 乙距离A点的位置表达式为 ， ∵， ∴， 解得，不合题意， 当时， 甲距离A点的位置表达式为 乙距离A点的位置表达式为 ， 此时， 即第二次相遇在A点，距离A的距离为0 答：时第二次相遇，此时距离A的距离为． 5．(1) 小新上坡时的平均速度为2.5千米/小时 (2) 小新在平路路段的平均速度为4千米/小时 【分析】（1）设小新上坡时的平均速度为千米/小时，则下坡速度为千米/小时，根据上坡和下坡的路程相等建立方程求解即可； （2）求出坡路的长度，进而求出平路的长度，再根据速度等于路程除以时间可得答案． 【详解】（1）解：设小新上坡时的平均速度为千米/小时，则下坡速度为千米/小时， 由题意得， 解得， 答：小新上坡时的平均速度为千米/小时； （2）解：千米， 千米， 千米/小时， 答：小新在平路路段的平均速度是4千米/小时． 6．(1)2.5分钟 (2)能 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析求解是解题的关键． （1）设爸爸经过小时追上小阳，根据爸爸的路程小阳总路程列出方程求解即可； （2）根据已知条件算出爸爸所行路程的总油耗，对比即可； 【详解】（1）设爸爸经过小时追上小阳， 小阳速度：， 爸爸速度：， 先行的时间：， 爸爸行驶的路程，小阳行驶的路程， ， 解得：， ； 爸爸经过分钟能追上小阳； （2）由题可知：爸爸从出发到回家的总路程为，摩托车的油耗为0.05L/km， 摩托车油耗为； ， 爸爸不加油，能回到家． 7．(1)如果小红家每月用水吨，水费是元，如果每月用水吨，水费是元； (2)当时，应缴水费元；当时，应缴水费元； (3)该月小红家用了吨水 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用． （1）理解题意，根据不超过20吨，每吨水收费3元，如果每户每月用水超过20吨，则超过部分每吨水收费4元，进行列式计算，即可作答． （2）结合收费情况列式并化简即可作答； （3）设该月小红家用了吨水，先得出，即，得，求解即可． 【详解】（1）解：（元），（元）． 答：如果小红家每月用水吨，水费是元，如果每月用水吨，水费是元； （2）解：当时，应缴水费元； 当时，应缴水费元； （3）解：设该月小红家用水吨． ∵， ∴， ∴， 解得． 答：该月小红家用了吨水． 8．(1)1050 (2)200 (3)60 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据用水量所在阶梯分段计算水费，或根据水费反推用水量． （1）根据表格中的数据列式计算即可； （2）设年用水量为，先判断年用水量在第二阶梯，再根据某户居民一年的水费为930元，列出方程，解方程即可； （3）设该户全年用水量，根据某户居民2025年前10个月的用水量为，最后两个月用水量为，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：年用水量，其中按计费，按计费， 水费（元）， 故答案为：1050； （2）解：设年用水量为， ∵水费，， ∴年用水量介于与间， 列方程， 解得， 答：这户居民的年用水量是200立方米； （3）解：全年用水量，水费元， ∵， ∴，即， 列方程， 即， 解得． 答：t的值为60． 9．(1)1133.20元 (2)500立方米 【分析】（1）根据燃气缴费方式求解即可． （2）先计算600立方米用气量的总费用，然后再算出平均每立方米的费用，比较得出用气量不足600立方米，设赵刚家用气量为立方米，根据题意列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：（元） 答：李强家需交燃气费1133.20元． （2）解：600立方米用气量的总费用：（元） 平均每立方米的费用：（元） ，因此用气量不足600立方米． 设赵刚家用气量为立方米． 答：赵刚家年用气量是500立方米． 10．(1) 元 (2) 立方米 【分析】（1）根据天然气收费标准，分段计算张阿姨家月份天然气费用； （2）根据月份张阿姨家天然气费是元，可知月份张阿姨家用气量超过了立方米，少于立方米，设月份张阿姨家用气量为立方米，列方程求解即可． 【详解】（1）解：月份用气量为立方米， 月份的费用是（元）， 答：张阿姨家月份天然气费元； （2）解：当用气量为立方米时， 所需费用为（元）， 当用气量为立方米时， 所需费用为（元）， 月份张阿姨家天然气费是元， 月份张阿姨家用气量超过了立方米，少于立方米， 设月份张阿姨家用气量为立方米， 根据题意可得：， 解得：， 答：张阿姨家月份用气量为立方米． 11．(1)； (2) 老李家11月份的用电量为300度 【分析】（1）利用10月的用电数据列等式求，再按阶梯电价分三档计算420度的总电费； （2）先通过临界电费判断用电量所属档位，再列一元一次方程求解； 【详解】（1）解：∵用电200度未超过240度，属第1档， ∴，解得， 用电420度时，分三档计费： 第1档费用：（元）， 第2档费用：（元）， 第3档费用：（元）， 总电费：（元）； （2）解：用电240度时，电费为（元）， 用电400度时，电费为（元）， ∵， ∴11月份用电量在第2档， 设11月份用电量为度， 则， 解得， 答：老李家11月份的用电量为300度． 12．295度 【分析】设王奶奶家4月份用电x度，推导出，再根据题意列出一元一次方程并求解即可． 【详解】解：设王奶奶家4月份用电x度， ∵， ∴， 依题意，得 ， ， ． 答：王奶奶家4月份用电295度． 13．10天 【分析】本题考查一元一次方程的应用，工程问题，明确要使两队合作的天数尽可能少就要让效率快的甲队尽量多做是完成是本题的关键．由题意得，甲的工效为，乙的工效为，甲乙合作的工作效率为，可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效，又因为要求“两队合作的天数尽可能少”，所以要使合作天数尽可能少，则非合作日的工作效率应尽可能高。因为甲的独做效率高于乙，所以应安排甲在非合作日独做，只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”，所以可设合作时间为x天，则甲独做时间为天，由此可得等量关系式：，解此方程即可． 【详解】解：两队合作的工作效率为：， 设合作时间为x天，则甲独做时间为天， 可得方程：， 解得：， 答：两人要合作10天． 14．公司的工作时间为4天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设公司的工作时间为天，则公司的工作时间为天，利用工作总量工作效率工作时间，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设公司的工作时间为天，则公司的工作时间为天， 根据题意得：， 解得：． 答：公司的工作时间为4天． 15．(1)甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要4天 (2)学校共支付给甲、乙两个工程队128000元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是将工作总量看成单位 “1”，并根据工作时间、工作效率和工作总量的关系来求解， （1）设甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要x天，依据题意列出方程求解即可； （2）根据甲乙各自工作时间和每天工程费求出总工程费． 【详解】（1）解：设甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要天，根据题意，得 ， 解得， 答：甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要4天． （2）解：乙工程队的工程费为：元， 甲工程队的工程费为：元， 学校需要支付的总费用为：（元）， 答：学校共支付给甲、乙两个工程队128000元． 16．还需要个月才能完成 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设还需要几个月才能完成，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设还需要个月才能完成，根据题意得， ． 解得：． 答：还需要个月才能完成． 17．(1)这个班有45名学生 (2)应先安排2人整理图书 【分析】（1）设这个班有名学生，根据如果每人分本，则剩余本；如果每人分本，则差本．列出一元一次方程，解方程即可； （2）设应先安排人整理图书，现计划由一部分人先做，然后增加人与他们一起做，正好完成这项任务，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设这个班有名学生． 由题意，得， 解得． 答：这个班有名学生． （2）解：设应先安排人整理图书． 由题意，得， 解得． 答：应先安排人整理图书． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 18．(1)甲工程队每天可挖掘隧道40米，乙工程队每天可挖掘隧道20米 (2)8天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道米，根据甲、乙两工程队一起挖掘300米长度的隧道时，共用时间5天．列出一元一次方程，解方程即可； （2）设甲工程队应先单独挖掘y天，则乙工程队单独挖掘天，根据总费用刚好184万元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道米， 根据题意，得 解得： ∴ 答：甲工程队每天可挖掘隧道40米，乙工程队每天可挖掘隧道20米． （2）解：设甲工程队应先单独挖掘y天，则乙工程队单独挖掘天， 根据题意，得 解得： 答：甲工程队应先单独挖掘8天． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $