广东深圳市第三高级中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题A组

**基本信息** 高二数学月考卷聚焦空间向量与立体几何核心内容，以第8题新定义向量运算、第19题立体几何探究等设计，考查空间观念与逻辑推理，适配高二学段能力培养需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|空间坐标对称、线面关系判断|第4题结合充分必要条件，考查逻辑推理| |多选|3/18|法向量应用、长方体性质|第11题综合外接球与距离最值，体现空间观念| |填空|3/15|空间距离计算、直线过定点|第14题结合直线交点与定点，考查数学应用| |解答|5/77|立体几何证明与探究、直线方程|第19题存在性探究，培养创新意识；第18题直线与坐标轴问题，体现数学语言表达|

深圳市第三高级中学2024-2025学年度第一学期月考 高二A组数学试题卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知，则点A关于平面的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知平面，其中点，法向量，则下列各点中不在平面内的是（    ） A． B． C． D． 4．已知直线和直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（    ） A． B． C． D． 6. 若直线l的一个方向向量为a＝（2，5，7），平面α的一个法向量为u＝（1，1，－1），则（　　） A. l∥α或l⊂α B. l⊥α C. l⊂α D. l与α斜交 7．过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（    ）    A． B．当时， C．若，，则 D．平行六面体的体积 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则下列说法正确的是（    ） A．是平面的一个法向量 B．四点共面 C． D． 10．已知直线，直线，则下列结论正确的是（    ） A．在轴上的截距为 B．过定点 C．若，则或 D．若，则 11．长方体，，则下列说法中正确的是（    ） A．长方体外接球的表面积等于 B．是线段上的一动点，则的最小值等于3 C．点到平面的距离等于 D．二面角的正切值等于2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如图，已知线段 AB 在平面α内，线段 AC ⊥α，线段 BD ⊥ AB ，线段DD'⊥α于点D'.如果∠DBD'＝30°， AB ＝ a ， AC ＝ BD ＝ b ，则 CD 的长为 　　　　. 13．在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中、，若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为 ． 14．直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点，则的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知的三个顶点是，，. (1)求BC边上的高所在直线的方程； (2)若直线过点C，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程. 16．(15分)已知平行六面体，底面是正方形，，，设． (1)试用表示； (2)求的长度． 17. (15分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(sinA-sinC)2=sin2B-sinAsinC。 （1）求B； （2）若b=1，ABC的面积为 ，求ABC的周长。 18．(17分)已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点， (1)求三角形面积取最小值时直线的方程； (2)求取最小值时直线的方程． 19.（17分）如图， C 是以 AB 为直径的圆 O 上异于 A ， B 的点，平面 PAC ⊥平面 ABC ， PA ＝ PC ＝ AC ＝2， BC ＝4， E ， F 分别是 PC ， PB 的中点，记平面 AEF 与平面 ABC 的交线为直线 l . （1）证明： l ⊥平面 PAC ； （2）直线 l 上是否存在点 Q ，使得直线 PQ 与平面 AEF 所成的角的正弦值为 ？若存在，求出｜ AQ ｜的值；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高二上学期第一次月考卷数学答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知，则点A关于平面的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】点A关于平面的对称点的坐标是，故选：D． 2．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】向量，则， 因，于是得，解得， 所以.故选：C. 3．已知平面，其中点，法向量，则下列各点中不在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，，，故选项A在平面内； 对于B，，，故选项B不在平面内； 对于C，，，故选项C在平面内； 对于D，，，故选项D在平面内.故选：B. 4．已知直线和直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由题设，可得，解得或. 当时，：，：，此时， 当时，：，：，此时， 所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A. 5．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，.故选：B 6. 若直线l的一个方向向量为a＝（2，5，7），平面α的一个法向量为u＝（1，1，－1），则（　　） A. l∥α或l⊂α B. l⊥α C. l⊂α D. l与α斜交 答案　A 解析　由条件知a·u＝2×1＋5×1＋7×（－1）＝0，所以a⊥u，故l∥α或l⊂α.故选A项. 7．（23-24高二上·山东·月考）过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 设直线的斜率为，倾斜角为，， ，， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以， 因为，所以.故选：B. 8．已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（    ）    A． B．当时， C．若，，则 D．平行六面体的体积 【答案】C 【解析】对于A，， 而，故，正确； 对于B，，当时，有意义， 则，正确； 对于C，因为，，所以，， 所以，错误； 对于D，的模长即为平行六面体底面OACB的面积，且方向垂直于底面， 由数量积的几何意义可知， 就是在垂直于底面的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高） 乘以底面的面积，即为平行六面体的体积，正确．故选：C 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则下列说法正确的是（    ） A．是平面的一个法向量 B．四点共面 C． D． 【答案】AD 【解析】， 所以平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量，故A正确； 设，则，无解，所以四点不共面，故B错误； ，所以与不平行，故C错误； ，故D正确；故选：AD. 10．已知直线，直线，则下列结论正确的是（    ） A．在轴上的截距为 B．过定点 C．若，则或 D．若，则 【答案】ABD 【解析】由易知，故A正确； 由，故B正确； 若两直线平行，则有且，解得，故C错误； 若两直线垂直，则有，故D正确.故选：ABD 11．（24-25高二上·河北邯郸·月考）长方体，，则下列说法中正确的是（    ） A．长方体外接球的表面积等于 B．是线段上的一动点，则的最小值等于3 C．点到平面的距离等于 D．二面角的正切值等于2 【答案】ABD 【解析】对于A，长方体外接球的直径， 故外接球的表面积为，故选项A正确； 对于D，把矩形和放置在同一平面内，如图所示， 其中，，，则， 连接交于点， 当点，，三点共线时，最小， 则，故，所以， 由余弦定理可得， ， 所以，即的最小值为，故B正确； 以点为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则 所以 设平面的一个法向量为， 则，则， 令，则，所以， 所以点到平面的距离为，故C错误； 作，交于点，由于， 平面，平面， 所以，则为二面角的平面角， 在中，，所以， 在中，，D正确.故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如图，已知线段 AB 在平面α内，线段 AC ⊥α，线段 BD ⊥ AB ，线段DD'⊥α于点D'.如果∠DBD'＝30°， AB ＝ a ， AC ＝ BD ＝ b ，则 CD 的长为 　　　　. 解析：由 AC ⊥α，可知 AC ⊥ AB . 由∠ DBD '＝30°，可知 ＜ ， ＞＝60°.因为｜ ｜2＝ · ＝（ ＋ ＋ ）2＝｜ ｜2＋ ＋｜ ｜2＋2（ · ＋ · ＋ · ）＝ b2＋ a2＋ b2＋2（0＋ b2 cos 60°＋0）＝ a2＋3 b2，所以｜ ｜＝ ，即 CD ＝ . 13．在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中、，若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为 ． 【答案】/ 【解析】因为、，所以, 记平面的一个法向量为， 则，解得， 故平面的一个法向量为. 因为，所以, 所以点到平面的距离为. 14．直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点，则的最大值为 【答案】4 【解析】直线化为， 当，得，即直线恒过点，即点， 直线化为， 当，得，即直线恒过点，即点， 且两条直线满足, ,即， , ,当且仅当时，等号成立， 的最大值为4. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知的三个顶点是，，. (1)求BC边上的高所在直线的方程； (2)若直线过点C，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）因为，所以BC边上的高所在直线的斜率为， 所以BC边上的高所在直线的方程，即. （2）因为点A，B到直线的距离相等，所以直线与AB平行或通过AB的中点， ①当直线与AB平行， 因为，且过点C， 所以方程为，即. ②当直线通过AB的中点， 所以， 所以的方程为，即. 综上：直线的方程为或. 16．已知平行六面体，底面是正方形，，，设． (1)试用表示； (2)求的长度． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）. （2）， ， 所以 . 所以. 17.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(sinA-sinC)2=sin2B-sinAsinC。 （1）求B； （2）若b=1，ABC的面积为 ，求ABC的周长。 【答案】 （1）将(sinA -sinC)2 =sin2 B - sin AsinC展开得 sin2A+sin2C-sin2B= sinAsinC，由正弦定理得a2+c2-b2=ac ， 由余弦定理得cosB= 因为0<B<π，所以B= （2）根据余弦定理，b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-3ac 因为ABC的面积为 acsinB= ,所以ac=1 因为b=1，所以1=(a+c)2-3， 解之，得a+c=2 ABC的周长为a+c+b = 3 18．已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点， (1)求三角形面积取最小值时直线的方程； (2)求取最小值时直线的方程． 【答案】(1)；；(2). 【解析】（1）由题意设，，其中，为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以， 由基本不等式可得， 所以，， 当且仅当即时，取得最小值， 所以面积， 所以当，时，面积最小， 此时直线的方程为，即， （2）因为，， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以当，时，的值最小， 此时直线的方程为，即． 19.如图， C 是以 AB 为直径的圆 O 上异于 A ， B 的点，平面 PAC ⊥平面 ABC ， PA ＝ PC ＝ AC ＝2， BC ＝4， E ， F 分别是 PC ， PB 的中点，记平面 AEF 与平面 ABC 的交线为直线 l . （1）证明： l ⊥平面 PAC ； （2）直线 l 上是否存在点 Q ，使得直线 PQ 与平面 AEF 所成的角的正弦值为 ？若存在，求出｜ AQ ｜的值；若不存在，请说明理由. 解析：（1）连接 CO 并延长，交圆 O 于点 S ，连接 AS ， SB ， SF ， 则 AB ＝ SC ，四边形 ASBC 为矩形， BC ∥ AS ， 因为 EF ∥ BC ，所以 EF ∥ AS ， 故平面 AEF 与平面 ABC 的交线为 AS 所在直线，即 AS 所在直线为直线 l ， 因为 CS 为直径，所以 AC ⊥ AS ， 因为平面 PAC ⊥平面 ABC ，交线为 AC ， AS ⊂平面 ABC ， 所以 AS ⊥平面 PAC ，即 l ⊥平面 PAC . （2）在 AS 上取点 Q ，连接 PQ ，以 C 为坐标原点， CA 所在直线为 x 轴， CB 所在直线为 y 轴，垂直 CA ， CB 的直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为 PA ＝ PC ＝ AC ＝2， BC ＝4， 所以 P （1，0， ）， E （ ，0， ）， A （2，0，0）， B （0，4，0）， F （ ，2， ）， Q （2， m ，0）， 设平面 AEF 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）， 则​ 解得 y ＝0，令 x ＝1，则 z ＝ ， 故 n ＝（1，0， ），又 ＝（1， m ，－ ）， 故｜ cos ＜ ， n ＞｜＝ ＝ ＝ ， 解得 m ＝±1，故｜ AQ ｜＝1，即直线 l 上存在点 Q ， 使得直线 PQ 与平面 AEF 所成的角的正弦值为 ，且｜ AQ ｜＝1. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $