学易金卷：八年级数学上学期9月学情自测卷（河南专用，范围：新教材人教版八年级上册第13～14章）

**基本信息** 立足人教版八年级上册13-14章，以鼎的稳定性、测角仪测距、六分仪原理等文化与生活情境为载体，考查三角形概念、全等判定及性质，体现数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形概念（1）、全等定义（5）、三边关系（3）|结合火柴拼图（1）、测角仪（2）等直观情境| |填空题|5/15|全等符号表示（11）、三角形稳定性（12）、正多边形分割（13）|融入鼎文化（12）、古代数学（7）| |解答题|8/75|等腰三角形计算（16）、全等命题证明（17）、项目化测距（22）、手拉手模型（23）|解答题22以河两岸测距为项目，融合全等应用与实践操作；23通过手拉手模型深化推理能力|

2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第13~14章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，所以选项符合题意.故选. 2．把一根细线固定在半圆形盘角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，如图所示，细线与边重合，则∠A的度数为（    ） A．30° B．40° C．50° D．75° 【答案】B 【解析】解：由量角器得， ∵， ∴， ∴．故选B. 3．如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得，，那么A，B之间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：在中，，，， 则，A，B间的距离不可能是，故选D． 4．已知三边长，且满足，则此三角形一定是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．三边都不相等的三角形 【答案】C 【解析】解：由题意得：，∴， ∴此三角形一定是底边和腰不相等的等腰三角形，故选C. 5.小郑、小洛和小开在学习全等三角形时，关于“全等形”提出了三种不同的说法． 小郑说：形状、大小相同的图形是全等形． 小洛说：能够完全重合的图形是全等形． 小开说：各边都相等的图形是全等形． 他们的说法中，正确的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】形状、大小相同的图形是全等形，正确；能够完全重合的图形是全等形，正确；各边都相等的图形不一定是全等形，原说法错误.故选C. 6．在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 【答案】B 【解析】解：由图1得，， 是的角平分线； 由图2得，， ，即， ，是的高线； 由图3得，，是的中线； 综上所述，依次是的角平分线、高线、中线．故选B. 7．割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补” ．著名的数学著作《九章算术》已经能十分灵活地应用“出入相补”原理解决平面图形的面积问题．在《九章算术》中，三角形被称为圭田，圭田术曰：“半广以乘正纵”， 也就是说三角形的面积等于底的一半乘高，说明三角形的面积是应用出入相补原理，由长方形面积导出的．  如图中的三角形下盈上虚，以下补上．如果图中矩形的面积为20，那么图中阴影部分的面积是（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【解析】解：连接，由“出入相补”原理得到，， ， ，， 图中阴影部分的面积．故选A. 8．如图所示是地球截面图，其中，分别表示南回归线和北回归线，表示赤道，点表示某市的位置，现已知地球南回归线的纬度是（），该市的纬度是北纬（），而冬至正午时，太阳光直射南回归线（光线的延长线经过地心），则该市冬至正午时，太阳光线与地面水平线的夹角的度数是（     ） A． B．25° C． D． 【答案】D 【解析】解：设与交于点， ∵，，∴， ∵为地面水平线，∴，即， 在中，， ∵太阳光线平行，即，∴．故选D． 9．如图，在中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（      ） A． B．5 C．12 D．24 【答案】A 【解析】解：∵垂线段最短，∴当时，最小， ∵此时，∴．故选A. 10．对于题目“如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动也随之结束）．在射线上取一点，在点M，N运动到某处时，存在与全等，求此时的值．”甲的结果是，乙的结果是1，丙的结果是，则下列说法正确的是（    ） A．甲、乙两人的结果合起来才对 B．乙、丙两人的结果合起来才对 C．甲、丙两人的结果合起来才对 D．甲、乙、丙三人的结果合起来才对 【答案】B 【解析】解：点在线段上以的速度由点向点运动， ∴点从的时间为， ∵它们运动的时间为，∴，，则， 当时， ∴，∴，解得，； 当时， ∴，∴，解得，． 综上所述，乙、丙两人的结果合起来才对．故选B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．已知在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：_____． 【答案】 【解析】解：A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为． 12．鼎是文明的见证，也是文化的载体，早期鼎多为三足设计（如图），其三个足的底部可构成三角形结构．且《史记·淮阴侯列传》有“三分天下，鼎足而居”的说法，也暗含三足形成类似三角形的结构关系，从数学角度看，这其中蕴含的核心原理是______________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】鼎的三个足的底部可构成三角形结构，这是利用了三角形具有稳定性． 13. 洛阳天堂·明堂遗址复原工程中，仿唐代斗拱的底座设计为正八边形，若从一个顶点出发作对角线，可以将这个正八边形分割成__________个三角形. 【答案】5 【解析】解：连接对角线可知，可分割成8-3=5个三角形. 14．将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，则图中的度数是______． 【答案】 【解析】解：如图，由题意知， ∴． 15．如图，已知，是的平分线，将三角尺的直角顶点P放在射线上，两直角边分别与交于点C，D，，垂足为点N，，则四边形的面积为__________． 【答案】 【解析】解：过点作于点， 是的平分线，，， ，， ∴，∴，是等腰直角三角形， ，， ，， 在和中，，，， .   三、解答题：本题共8小题，共75分。 16．（8分）一个三角形的两边，． (1)当各边均为整数时，可以组成多少个不同的三角形． (2)若此三角形是等腰三角形，求其周长． 【解析】（1）解：一个三角形的两边，， 第三边的取值范围为，即，（2分） 各边均为整数， 第三边的可能取值为2、3、4、5、6， 可以组成5个不同的三角形． （4分） （2）解：当等腰三角形的腰长为，底边为时，满足三角形的三边关系，可以组成三角形， 此时周长为； （6分） 当等腰三角形的腰长为，底边为时，满足三角形的三边关系，可以组成三角形， 此时周长为； 综上可知，等腰三角形的周长为或． （8分） 17．（8分）如图,点D是△ABC外一点,连接BD,AD,AD与BC交于点O.下列三个等式:①BC=AD;②∠ABC=∠BAD;③AC=BD．请从这三个等式中,任选两个作为已知条件,剩下的一个作为结论,组成一个真命题,将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上,然后对该真命题进行证明. 已知:　　　　,　　　　.  求证:　　　　.  【解析】已知:①BC=AD,②∠ABC=∠BAD. （2分） 求证:③AC=BD.(选择不唯一) （4分） 证明:∵BC=AD,∠ABC=∠BAD,AB=BA, ∴△ABC≌△BAD(SAS),∴AC=BD.（8分） 18．（9分）凡凡在物理课上学习了“发声物体的振动实验”后，对其作了进一步的探究，如图①，凡凡在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，表示小球静止时的位置，如图②，凡凡用发声物体靠近小球，当小球从摆到位置时，小球到的水平距离，当小球摆到位置时，于点，此时与恰好垂直，小球在两次摆动中点和点的高度差，求小球摆动到位置时，小球到的水平距离的长．（图中所有的点在同一平面上） 【解析】解：根据题意知，，，∴． ∵，∴，∴， ∴． （3分） 在和中，，∴， ∴，．（6分） ∵，∴，∴．（9分） 19．（10分）小阳做作业时遇到这样一个题目：如图， ，点A，B分别是射线，上的动点，平分，平分．当点A，B在，上运动时，的大小是否变化？请说明理由． 小阳想了许久，对于求的度数没有思路，就去请教好朋友小溪，小溪给了她下面的提示． （1）填空：以上提示中① ；② ． （2）请参考提示，帮助小雯写出完整的解答过程． 【解析】（1）①；② (2分) （2）的大小不变化. (4分) 理由：，. ，，， . (6分) 平分，平分，， ， ， (8分) 在中，，的大小不变化． (10分) 20．(10分)阅读下面的材料： “百年器象——清华大学科学博物馆筹备展”上展出了一件清华校友捐赠的历史文物“Husun型六分仪”(图(1))，它见证了中国人民解放军海军的发展历程，六分仪是测量天体高度的手提式光学仪器，它的主要原理是几何光学中的反射定律．观测者手持六分仪(图(2))按照一定的观测步骤(图(3)显示的是其中一步)读出六分仪圆弧标尺上的刻度，再经过一定计算得出观测点的地理坐标． 图(1)　　　　　图(2)　　　　　　　　　图(3) 请大家证明在使用六分仪测量时用到的一个重要结论(两次反射原理)． 已知：在图(4)所示的“六分仪原理图”中，所观测星体记为S，两个反射镜面位于A，B两处，B处的镜面所在直线FBC自动与0°刻度线AE保持平行(即BC∥AE)，并与A处的镜面所在直线NA交于点C，SA所在直线与水平线MB交于点D，AC与0°刻度线的夹角∠EAC＝ω，观测角为∠SDM．(请注意小贴士中的信息) 图(4) 小贴士： 光线经过镜子反射时，反射角等于入射角，所以图(4)中∠BAC＝∠SAN＝α，∠DBC＝∠ABF＝β 猜想∠SDM与ω的数量关系，并说明理由． 【解析】∠SDM＝2ω. (3分) 理由如下：∵BC∥AE，∴∠C＝∠EAC. ∵∠EAC＝ω，∴∠C＝ω. (5分) ∵∠SAN＝∠CAD，∠BAC＝∠SAN＝α，∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝2α. (7分) ∵∠FBA是△ABC的外角，∴∠FBA＝∠BAC＋∠C，即β＝α＋ω， (9分) ∴∠SDM＝180°－∠DAB－∠ABD＝180°－2α－(180°－2β)＝2(β－α)＝2ω. (10分) 21．（10分）角是常见的轴对称图形，角平分线所在直线就是它的对称轴，数学课上同学们对角平分线的作法展开了研究． 课本学习 数学工具 操作探索 【作图步骤】 ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点C： ③作射线， 射线就是 的平分线． 【工具介绍】仪器是一个角平分仪，其中， ． 【操作步骤】 ①将角平分仪的顶点Q与 的顶点O重合； ②调整角平分仪，使点D落在边上，点E落在边上； ③沿作一条射线，交于点L，即为的角平分线． 【工具介绍】把两个全等的含的和按如图所示放置． 【操作步骤】 ①将等角与重合后放置在的顶点O处， 边， 落在边上，边，落在边上； ②标记边与的交点为P，作射线，则射线即为的平分线． （1）如图1，射线是的平分线的依据是______； A．    B．    C．    D． （2）如图2，小明使用角平分仪作的角平分线，过点L作于点K，若，求的面积； （3）如图3，小明受到启发后研究了一种角平分线的作法．此时射线是否为的平分线？请说明理由． 【解析】（1）C (2分) （2） (4分) （3）解：射线是的平分线. (6分) 理由如下：∵，∴，，， ∴，即． ，，∴． (8分) 在和中：，， ，即是的平分线．(10分) 22．（10分）为了激发学生的学习兴趣，某学校开展了“依数学之托，解生活之谜”的数学项目化实践活动． 项目主题 依数学之托，解生活之谜 项目背景 测量分别位于河两岸的A，B两栋建筑物之间的距离 项目工具 测角仪、皮尺 项目实施 1．先在点B所在的河岸上取一点C，连接，并延长到点D，使； 2．利用测角仪测得等于，并保证A，C，E三点在同一直线上； 3．用皮尺测出D，E两点的距离．    项目结论 ？ 项目推广 用项目方法解决生活中的其他问题 （1）项目结论：你得出的结论是______；并写出证明过程； （2）项目推广：如图①是一个青花瓷瓶，底部和瓶口皆为圆形，现在想知道它的底面圆内部的直径的长度，请你设计一个测量方法，在图②中画出示意图并完成下表． 任务 测量青花瓷瓶内部底面圆的直径 测量工具 实施步骤 简要步骤：    【解析】（1）解：；（2分） 证明：由题意得，， ∵，． ∴， ∴；（5分） （2）解：测量工具：两根足够长的细木棍、皮尺．（7分） 简要步骤：将两根细木棍的端点分别抵在青花瓷瓶底部的M，N处，两根细木棍在瓶口处相交，交点记为点O，用手固定住点O，取出两根木棍，然后在射线、上截取、，使，，再将木棍放入瓶中，同前面一样使木棍端点分别抵在M，N处（注意交点O的位置不变），用皮尺测出C、D的距离即为青花瓷瓶内部底面圆的直径． （10分） 23．（10分）综合与探究 问题情境： 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现：将两个顶角相同的等腰三角形的顶角顶点放在一起时，存在一对全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，与都是等腰三角形，其中，，，则，即，所以，以上判定全等的依据是 ． A．    B．    C．    D． 兴趣小组成员发现顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型” 【模型运用】 （2）如图2，、是等腰直角三角形，，，，连接、，试探究、的数量关系与位置关系，并说明理由． 【模型深化】 （3）如图3，已知、、三点共线，分别以、为边向外作等边和等边（三边都相等，三个内角都相等），、交于点，请直接写出的度数． 【解析】（1）C （2分） （2），且.（4分） 理由：如图，设交于点， ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴；（7分） （3）解：如图，设与交于点， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴.（10分） / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第13~14章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（ ） A. B. C. D. 2．把一根细线固定在半圆形盘角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，如图所示，细线与边重合，则∠A的度数为（    ） A．30° B．40° C．50° D．75° 3．如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得，，那么A，B之间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 4．已知三边长，且满足，则此三角形一定是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．三边都不相等的三角形 5.小郑、小洛和小开在学习全等三角形时，关于“全等形”提出了三种不同的说法． 小郑说：形状、大小相同的图形是全等形． 小洛说：能够完全重合的图形是全等形． 小开说：各边都相等的图形是全等形． 他们的说法中，正确的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 7．割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补” ．著名的数学著作《九章算术》已经能十分灵活地应用“出入相补”原理解决平面图形的面积问题．在《九章算术》中，三角形被称为圭田，圭田术曰：“半广以乘正纵”， 也就是说三角形的面积等于底的一半乘高，说明三角形的面积是应用出入相补原理，由长方形面积导出的．  如图中的三角形下盈上虚，以下补上．如果图中矩形的面积为20，那么图中阴影部分的面积是（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 8．如图所示是地球截面图，其中，分别表示南回归线和北回归线，表示赤道，点表示某市的位置，现已知地球南回归线的纬度是（），该市的纬度是北纬（），而冬至正午时，太阳光直射南回归线（光线的延长线经过地心），则该市冬至正午时，太阳光线与地面水平线的夹角的度数是（     ） A． B．25° C． D． 9．如图，在中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（      ） A． B．5 C．12 D．24 10．对于题目“如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动也随之结束）．在射线上取一点，在点M，N运动到某处时，存在与全等，求此时的值．”甲的结果是，乙的结果是1，丙的结果是，则下列说法正确的是（    ） A．甲、乙两人的结果合起来才对 B．乙、丙两人的结果合起来才对 C．甲、丙两人的结果合起来才对 D．甲、乙、丙三人的结果合起来才对 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．已知在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：_____． 12．鼎是文明的见证，也是文化的载体，早期鼎多为三足设计（如图），其三个足的底部可构成三角形结构．且《史记·淮阴侯列传》有“三分天下，鼎足而居”的说法，也暗含三足形成类似三角形的结构关系，从数学角度看，这其中蕴含的核心原理是______________． 13. 洛阳天堂·明堂遗址复原工程中，仿唐代斗拱的底座设计为正八边形，若从一个顶点出发作对角线，可以将这个正八边形分割成__________个三角形. 14．将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，则图中的度数是______． 15．如图，已知，是的平分线，将三角尺的直角顶点P放在射线上，两直角边分别与交于点C，D，，垂足为点N，，则四边形的面积为__________． 三、解答题：本题共8小题，共75分。 16．（8分）一个三角形的两边，． (1)当各边均为整数时，可以组成多少个不同的三角形． (2)若此三角形是等腰三角形，求其周长． 17．（8分）如图,点D是△ABC外一点,连接BD,AD,AD与BC交于点O.下列三个等式:①BC=AD;②∠ABC=∠BAD;③AC=BD．请从这三个等式中,任选两个作为已知条件,剩下的一个作为结论,组成一个真命题,将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上,然后对该真命题进行证明. 已知:　　　　,　　　　.  求证:　　　　.  18．（9分）凡凡在物理课上学习了“发声物体的振动实验”后，对其作了进一步的探究，如图①，凡凡在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，表示小球静止时的位置，如图②，凡凡用发声物体靠近小球，当小球从摆到位置时，小球到的水平距离，当小球摆到位置时，于点，此时与恰好垂直，小球在两次摆动中点和点的高度差，求小球摆动到位置时，小球到的水平距离的长．（图中所有的点在同一平面上） 19．（10分）小阳做作业时遇到这样一个题目：如图， ，点A，B分别是射线，上的动点，平分，平分．当点A，B在，上运动时，的大小是否变化？请说明理由． 小阳想了许久，对于求的度数没有思路，就去请教好朋友小溪，小溪给了她下面的提示． （1）填空：以上提示中① ；② ． （2）请参考提示，帮助小雯写出完整的解答过程． 20．(10分)阅读下面的材料： “百年器象——清华大学科学博物馆筹备展”上展出了一件清华校友捐赠的历史文物“Husun型六分仪”(图(1))，它见证了中国人民解放军海军的发展历程，六分仪是测量天体高度的手提式光学仪器，它的主要原理是几何光学中的反射定律．观测者手持六分仪(图(2))按照一定的观测步骤(图(3)显示的是其中一步)读出六分仪圆弧标尺上的刻度，再经过一定计算得出观测点的地理坐标． 图(1)　　　　　图(2)　　　　　　　　　图(3) 请大家证明在使用六分仪测量时用到的一个重要结论(两次反射原理)． 已知：在图(4)所示的“六分仪原理图”中，所观测星体记为S，两个反射镜面位于A，B两处，B处的镜面所在直线FBC自动与0°刻度线AE保持平行(即BC∥AE)，并与A处的镜面所在直线NA交于点C，SA所在直线与水平线MB交于点D，AC与0°刻度线的夹角∠EAC＝ω，观测角为∠SDM．(请注意小贴士中的信息) 图(4) 小贴士： 光线经过镜子反射时，反射角等于入射角，所以图(4)中∠BAC＝∠SAN＝α，∠DBC＝∠ABF＝β 猜想∠SDM与ω的数量关系，并说明理由． 21．（10分）角是常见的轴对称图形，角平分线所在直线就是它的对称轴，数学课上同学们对角平分线的作法展开了研究． 课本学习 数学工具 操作探索 【作图步骤】 ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点C： ③作射线， 射线就是 的平分线． 【工具介绍】仪器是一个角平分仪，其中， ． 【操作步骤】 ①将角平分仪的顶点Q与 的顶点O重合； ②调整角平分仪，使点D落在边上，点E落在边上； ③沿作一条射线，交于点L，即为的角平分线． 【工具介绍】把两个全等的含的和按如图所示放置． 【操作步骤】 ①将等角与重合后放置在的顶点O处， 边， 落在边上，边，落在边上； ②标记边与的交点为P，作射线，则射线即为的平分线． （1）如图1，射线是的平分线的依据是______； A．    B．    C．    D． （2）如图2，小明使用角平分仪作的角平分线，过点L作于点K，若，求的面积； （3）如图3，小明受到启发后研究了一种角平分线的作法．此时射线是否为的平分线？请说明理由． 22．（10分）为了激发学生的学习兴趣，某学校开展了“依数学之托，解生活之谜”的数学项目化实践活动． 项目主题 依数学之托，解生活之谜 项目背景 测量分别位于河两岸的A，B两栋建筑物之间的距离 项目工具 测角仪、皮尺 项目实施 1．先在点B所在的河岸上取一点C，连接，并延长到点D，使； 2．利用测角仪测得等于，并保证A，C，E三点在同一直线上； 3．用皮尺测出D，E两点的距离．    项目结论 ？ 项目推广 用项目方法解决生活中的其他问题 （1）项目结论：你得出的结论是______；并写出证明过程； （2）项目推广：如图①是一个青花瓷瓶，底部和瓶口皆为圆形，现在想知道它的底面圆内部的直径的长度，请你设计一个测量方法，在图②中画出示意图并完成下表． 任务 测量青花瓷瓶内部底面圆的直径 测量工具 实施步骤 简要步骤： 23．（10分）综合与探究 问题情境： 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现：将两个顶角相同的等腰三角形的顶角顶点放在一起时，存在一对全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，与都是等腰三角形，其中，，，则，即，所以，以上判定全等的依据是 ． A．    B．    C．    D． 兴趣小组成员发现顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型” 【模型运用】 （2）如图2，、是等腰直角三角形，，，，连接、，试探究、的数量关系与位置关系，并说明理由． 【模型深化】 （3）如图3，已知、、三点共线，分别以、为边向外作等边和等边（三边都相等，三个内角都相等），、交于点，请直接写出的度数． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B D C C B A D A B 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11． 12．三角形具有稳定性 13．5 14． 15． 三、解答题：本题共8小题，共75分。 16.【解析】（1）解：一个三角形的两边，， 第三边的取值范围为，即，（2分） 各边均为整数， 第三边的可能取值为2、3、4、5、6， 可以组成5个不同的三角形． （4分） （2）解：当等腰三角形的腰长为，底边为时，满足三角形的三边关系，可以组成三角形， 此时周长为； （6分） 当等腰三角形的腰长为，底边为时，满足三角形的三边关系，可以组成三角形， 此时周长为； 综上可知，等腰三角形的周长为或． （8分） 17.【解析】已知:①BC=AD,②∠ABC=∠BAD. （2分） 求证:③AC=BD.(选择不唯一) （4分） 证明:∵BC=AD,∠ABC=∠BAD,AB=BA, ∴△ABC≌△BAD(SAS),∴AC=BD.（8分） 18.【解析】解：根据题意知，，，∴． ∵，∴，∴， ∴． （3分） 在和中，，∴， ∴，．（6分） ∵，∴，∴．（9分） 19.【解析】（1）①；② (2分) （2）的大小不变化. (4分) 理由：，. ，，， . (6分) 平分，平分，， ， ， (8分) 在中，，的大小不变化． (10分) 20.【解析】∠SDM＝2ω. (3分) 理由如下：∵BC∥AE，∴∠C＝∠EAC. ∵∠EAC＝ω，∴∠C＝ω. (5分) ∵∠SAN＝∠CAD，∠BAC＝∠SAN＝α，∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝2α. (7分) ∵∠FBA是△ABC的外角，∴∠FBA＝∠BAC＋∠C，即β＝α＋ω， (9分) ∴∠SDM＝180°－∠DAB－∠ABD＝180°－2α－(180°－2β)＝2(β－α)＝2ω. (10分) 21.【解析】（1）C (2分) （2） (4分) （3）解：射线是的平分线. (6分) 理由如下：∵，∴，，， ∴，即．，， ∴． (8分) 在和中：，， ，即是的平分线．(10分) 22．【解析】（1）解：；（2分） 证明：由题意得，， ∵，． ∴， ∴；（5分） （2）解：测量工具：两根足够长的细木棍、皮尺．（7分） 简要步骤：将两根细木棍的端点分别抵在青花瓷瓶底部的M，N处，两根细木棍在瓶口处相交，交点记为点O，用手固定住点O，取出两根木棍，然后在射线、上截取、，使，，再将木棍放入瓶中，同前面一样使木棍端点分别抵在M，N处（注意交点O的位置不变），用皮尺测出C、D的距离即为青花瓷瓶内部底面圆的直径． （10分） 23．【解析】（1）C （2分） （2），且.（4分） 理由：如图，设交于点， ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴；（7分） （3）解：如图，设与交于点， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴.（10分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.__________ 12. ___________ 13. __________ 14. ___________ 15. _________ 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（8分） 18．（9分） 19．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（10分） 21．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂！【W1I1 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1AJIBIICIIDI 5.AIIBIICIIDI 9.ABIICIDI 2.[AJIB][CIID] 6.[A][B][CJID] 10.A]B][C1ID1 3.[AJIBI[CIID] 7AJIBIICIID] 4.[AIIBIICIIDI 8.[A]IBIICIIDI 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11 12. 13. 14 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 16.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(8分) 18.(9分) E B--D A 图① 图② 19.(10分) M ò 2 0 B N 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(10分) 21.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) D E 23.(10分) Q B D B C 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第13~14章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（ ） A. B. C. D. 2．把一根细线固定在半圆形盘角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，如图所示，细线与边重合，则∠A的度数为（    ） A．30° B．40° C．50° D．75° 3．如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得，，那么A，B之间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 4．已知三边长，且满足，则此三角形一定是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．三边都不相等的三角形 5.小郑、小洛和小开在学习全等三角形时，关于“全等形”提出了三种不同的说法． 小郑说：形状、大小相同的图形是全等形． 小洛说：能够完全重合的图形是全等形． 小开说：各边都相等的图形是全等形． 他们的说法中，正确的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 7．割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补” ．著名的数学著作《九章算术》已经能十分灵活地应用“出入相补”原理解决平面图形的面积问题．在《九章算术》中，三角形被称为圭田，圭田术曰：“半广以乘正纵”， 也就是说三角形的面积等于底的一半乘高，说明三角形的面积是应用出入相补原理，由长方形面积导出的．  如图中的三角形下盈上虚，以下补上．如果图中矩形的面积为20，那么图中阴影部分的面积是（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 8．如图所示是地球截面图，其中，分别表示南回归线和北回归线，表示赤道，点表示某市的位置，现已知地球南回归线的纬度是（），该市的纬度是北纬（），而冬至正午时，太阳光直射南回归线（光线的延长线经过地心），则该市冬至正午时，太阳光线与地面水平线的夹角的度数是（     ） A． B．25° C． D． 9．如图，在中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（      ） A． B．5 C．12 D．24 10．对于题目“如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动也随之结束）．在射线上取一点，在点M，N运动到某处时，存在与全等，求此时的值．”甲的结果是，乙的结果是1，丙的结果是，则下列说法正确的是（    ） A．甲、乙两人的结果合起来才对 B．乙、丙两人的结果合起来才对 C．甲、丙两人的结果合起来才对 D．甲、乙、丙三人的结果合起来才对 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．已知在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：_____． 12．鼎是文明的见证，也是文化的载体，早期鼎多为三足设计（如图），其三个足的底部可构成三角形结构．且《史记·淮阴侯列传》有“三分天下，鼎足而居”的说法，也暗含三足形成类似三角形的结构关系，从数学角度看，这其中蕴含的核心原理是______________． 13. 洛阳天堂·明堂遗址复原工程中，仿唐代斗拱的底座设计为正八边形，若从一个顶点出发作对角线，可以将这个正八边形分割成__________个三角形. 14．将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，则图中的度数是______． 15．如图，已知，是的平分线，将三角尺的直角顶点P放在射线上，两直角边分别与交于点C，D，，垂足为点N，，则四边形的面积为__________． 三、解答题：本题共8小题，共75分。 16．（8分）一个三角形的两边，． (1)当各边均为整数时，可以组成多少个不同的三角形． (2)若此三角形是等腰三角形，求其周长． 17．（8分）如图,点D是△ABC外一点,连接BD,AD,AD与BC交于点O.下列三个等式:①BC=AD;②∠ABC=∠BAD;③AC=BD．请从这三个等式中,任选两个作为已知条件,剩下的一个作为结论,组成一个真命题,将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上,然后对该真命题进行证明. 已知:　　　　,　　　　.  求证:　　　　.  18．（9分）凡凡在物理课上学习了“发声物体的振动实验”后，对其作了进一步的探究，如图①，凡凡在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，表示小球静止时的位置，如图②，凡凡用发声物体靠近小球，当小球从摆到位置时，小球到的水平距离，当小球摆到位置时，于点，此时与恰好垂直，小球在两次摆动中点和点的高度差，求小球摆动到位置时，小球到的水平距离的长．（图中所有的点在同一平面上） 19．（10分）小阳做作业时遇到这样一个题目：如图， ，点A，B分别是射线，上的动点，平分，平分．当点A，B在，上运动时，的大小是否变化？请说明理由． 小阳想了许久，对于求的度数没有思路，就去请教好朋友小溪，小溪给了她下面的提示． （1）填空：以上提示中① ；② ． （2）请参考提示，帮助小雯写出完整的解答过程． 20．(10分)阅读下面的材料： “百年器象——清华大学科学博物馆筹备展”上展出了一件清华校友捐赠的历史文物“Husun型六分仪”(图(1))，它见证了中国人民解放军海军的发展历程，六分仪是测量天体高度的手提式光学仪器，它的主要原理是几何光学中的反射定律．观测者手持六分仪(图(2))按照一定的观测步骤(图(3)显示的是其中一步)读出六分仪圆弧标尺上的刻度，再经过一定计算得出观测点的地理坐标． 图(1)　　　　　图(2)　　　　　　　　　图(3) 请大家证明在使用六分仪测量时用到的一个重要结论(两次反射原理)． 已知：在图(4)所示的“六分仪原理图”中，所观测星体记为S，两个反射镜面位于A，B两处，B处的镜面所在直线FBC自动与0°刻度线AE保持平行(即BC∥AE)，并与A处的镜面所在直线NA交于点C，SA所在直线与水平线MB交于点D，AC与0°刻度线的夹角∠EAC＝ω，观测角为∠SDM．(请注意小贴士中的信息) 图(4) 小贴士： 光线经过镜子反射时，反射角等于入射角，所以图(4)中∠BAC＝∠SAN＝α，∠DBC＝∠ABF＝β 猜想∠SDM与ω的数量关系，并说明理由． 21．（10分）角是常见的轴对称图形，角平分线所在直线就是它的对称轴，数学课上同学们对角平分线的作法展开了研究． 课本学习 数学工具 操作探索 【作图步骤】 ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点C： ③作射线， 射线就是 的平分线． 【工具介绍】仪器是一个角平分仪，其中， ． 【操作步骤】 ①将角平分仪的顶点Q与 的顶点O重合； ②调整角平分仪，使点D落在边上，点E落在边上； ③沿作一条射线，交于点L，即为的角平分线． 【工具介绍】把两个全等的含的和按如图所示放置． 【操作步骤】 ①将等角与重合后放置在的顶点O处， 边， 落在边上，边，落在边上； ②标记边与的交点为P，作射线，则射线即为的平分线． （1）如图1，射线是的平分线的依据是______； A．    B．    C．    D． （2）如图2，小明使用角平分仪作的角平分线，过点L作于点K，若，求的面积； （3）如图3，小明受到启发后研究了一种角平分线的作法．此时射线是否为的平分线？请说明理由． 22．（10分）为了激发学生的学习兴趣，某学校开展了“依数学之托，解生活之谜”的数学项目化实践活动． 项目主题 依数学之托，解生活之谜 项目背景 测量分别位于河两岸的A，B两栋建筑物之间的距离 项目工具 测角仪、皮尺 项目实施 1．先在点B所在的河岸上取一点C，连接，并延长到点D，使； 2．利用测角仪测得等于，并保证A，C，E三点在同一直线上； 3．用皮尺测出D，E两点的距离．    项目结论 ？ 项目推广 用项目方法解决生活中的其他问题 （1）项目结论：你得出的结论是______；并写出证明过程； （2）项目推广：如图①是一个青花瓷瓶，底部和瓶口皆为圆形，现在想知道它的底面圆内部的直径的长度，请你设计一个测量方法，在图②中画出示意图并完成下表． 任务 测量青花瓷瓶内部底面圆的直径 测量工具 实施步骤 简要步骤： 23．（10分）综合与探究 问题情境： 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现：将两个顶角相同的等腰三角形的顶角顶点放在一起时，存在一对全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，与都是等腰三角形，其中，，，则，即，所以，以上判定全等的依据是 ． A．    B．    C．    D． 兴趣小组成员发现顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型” 【模型运用】 （2）如图2，、是等腰直角三角形，，，，连接、，试探究、的数量关系与位置关系，并说明理由． 【模型深化】 （3）如图3，已知、、三点共线，分别以、为边向外作等边和等边（三边都相等，三个内角都相等），、交于点，请直接写出的度数． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $