25.3实际问题与一元二次方程 同步讲义 2026--2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦“实际问题与一元二次方程”核心知识点，衔接一元二次方程解法，构建“审设列解验答”六步法建模支架，系统梳理传播、平均变化率、几何面积、商品利润等四大核心题型的数量关系与经典模型。 该资料以新课标核心素养为导向，通过表格法提炼等量关系培养数学思维，结合“埃博拉病毒传播”“亚运会吉祥物销售”等生活实例强化模型意识，分层设计A、B、C组练习，课中辅助教师精准教学，课后助力学生查漏补缺，提升用数学语言解决实际问题的能力。

25.3实际问题与一元二次方程 学习目标和重难点 1、掌握建模通法：熟练运用“审、设、列、解、验、答”六步法，将复杂的文字信息转化为数学模型。 2、攻克四大核心题型：能准确识别并解答传播问题、平均变化率问题、几何图形面积问题及商品利润问题。 3、强化检验意识：深刻理解一元二次方程双根的实际意义，能结合生活常识（如边长、人数、增长率等）准确舍去不合题意的根。 学习重点 1、找准等量关系：学会从冗长的题干中提炼核心数量关系，并熟练运用表格法梳理变量。 2、熟记经典模型：掌握平均变化率公式 a(1±x)n=b、传播问题公式 (1+x)n 以及利润问题的基本等式（单件利润 × 销量 = 总利润）。 学习难点 1、突破“设元”瓶颈：在复杂的利润或动点问题中，灵活运用“直接设元”或“间接设元”，理顺变量间的联动关系。 2、防范“丢根”陷阱：在含参问题中，极易忽略二次项系数 a≠0a=0 的隐含条件；在求解后，常因未结合实际意义检验而导致多答或错答。 教材◆核心知识 知识点1：列一元二次方程解应用题 ①审：理解题意，明确 未知量 、 已知量 以及它们之间的数量关系； ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； ③列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的 代数式 表示其他未知量，从而列出方程； ④解：选择适当的方法，准确求出方程的解； ⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题； ⑥答：写出答案。 知识点2：常见相关问题的数量关系及表示方法 1.传播问题 比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ． 传播问题：，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数． 2.增长率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 3.数字与行程问题 数字问题： 熟练掌握多位数的代数表示法。例如，设两位数的十位数字为 ，个位数字为 ，则该数应表示为 ，切忌直接写成 。 行程问题： 依然围绕“路程=速度 时间”展开。在一元二次方程的应用中，常结合勾股定理（如直角三角形路线）或面积公式来构建等量关系。 4：利润（销售）问题 利润(销售)问题 　　利润(销售)问题中常用的等量关系： 　　利润=售价-进价(成本) 　　总利润=每件的利润×总件数 　　 5.与图形有关的静态几何问题 ①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长． ②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程。 6.握手、循环赛问题 ①握手问题（及单循环赛制）：设有x个人互相握手（或x支球队进行单循环赛，即每两队之间只赛一场）；每一个人都要与其他(x−1) 个人握手，每一对组合都被重复计数了两次，因此，实际握手的总次数为 ②双循环赛问题：设有x 支球队进行主客场双循环比赛，一次在主场，一次在客场，所以比赛双方不需要考虑“组合重复”的问题，总场次不需要除以 2。总场次直接为。 核心题型◆归纳 【题型1】传播问题 【题型2】握手、循环比赛问题 【题型3】增长率问题 【题型4】面积问题 【题型5】销售问题 【题型6】数字问题 【题型7】几何动点问题 【题型8行程问题】 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 题型解析◆精准备考 【题型1】传播问题 1．“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强．一个美国人在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有64人受到感染． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 2．化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求的值． 【题型2】握手、循环比赛问题 3．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，求航空公司共有多少个飞机场？ 4．以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： (1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ (2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 【题型3】增长率问题 5．某种商品原价为元，经过连续两次降价，发现第二次降价后的价格为元．若两次降价的百分率相同，求降价的百分率． 6．为丰富学生课后活动，学校成立了“课外阅读社团”，并且不断完善藏书数量，今年3月份课外阅读社团有藏书500册，到今年5月份藏书数量增长到720册． (1)求课外阅读社团这两个月藏书的平均增长率． (2)按照这样的增长方式，今年6月份课外阅读社团的藏书量是多少册？ 【题型4】面积问题 7．现有可建造围墙的材料，准备依靠原有旧墙围成如图所示的仓库，墙长为． (1)若，能否围成总面积为的仓库？若能，和的长分别为多少米？ (2)能否围成总面积为的仓库？说说你的理由． 8．如图，在矩形空地上，修建两条平行于 边、一条平行于边的小路，条路等宽，其余部分铺草坪．已知的长为，的长为，铺草坪的单价是元 ，铺草坪的总价为元，求每条小路的宽度. 【题型5】销售问题 9．杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件25元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件40元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该件吉祥物每降价1元，月销售量就会在6月的销量基础上增加5件．当该件吉祥物降价多少元时，月销售利润达4250元． 10．重庆2023年马拉松于3月19日在南滨路开赛，为了重庆马拉松的顺利进行，组委会委托甲乙两个厂家共同生产纪念恤．根据调研统计，甲厂每小时生产恤80件，乙厂每小时生产恤100件． (1)若甲、乙两厂一天一共工作20个小时，且共生产1820件恤，则乙厂生产恤多少小时？ (2)在（1）的条件下，为了满足组委会的需求，甲厂生产时间每减少1小时，该厂每小时的产量将增加10件，乙厂生产时间不变，产量也不变，这样一天两厂的总产量仍为1820件，求甲厂减少的生产时间． 【题型6】数字问题 11．如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【题型7】几何动点问题 12．如图，中，，，，动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4mm/s的速度移动（不与点重合），如果、分别从、同时出发，问四边形的面积能否等于，若能，求出运动时间；若不能，说明理由． 13．如图，在矩形中，，，点从点开始以的速度沿边向移动，点从点开始以的速度沿边向点移动．如果、分别从、同时出发，设移动的时间为t． 求： (1)当t为多少时，的面积等于？ (2)当t为多少时，是以为斜边的直角三角形？ 【题型8行程问题】 14．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 15．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 1．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为．设道路的宽为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．秋冬季节是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有168人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．某商品原价为100元，第一次降价打折，第二次又在第一次的基础上打折出售，此时的价格为64元，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 4．南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步．设阔步，根据题意可列方程为___________． 5．在某云平台的一次网络安全事件中，最初有5台服务器感染了病毒．经过两轮感染后，共有245台服务器感染了病毒，则每轮感染中平均每台服务器感染___________台服务器． 6．随着科技的不断进步，人工智能（）正逐渐渗透到我们的生活和工作．某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元．某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，则参加活动的学生人数为______． 7．某公园有一块长是宽的两倍的长方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原长方形的空地长的一边减少了2m，短的一边减少了1m，剩余空地的面积为，求原长方形空地的周长． 8．某区大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全区学校的设施和设备进行全面改造．2025年区政府已投资5亿元人民币，若每年投资的年平均增长率相同，预计2027年投资7.2亿元人民币，求每年投资的年平均增长率． 9．“滇超联赛”是一项覆盖全省、全域联动的足球赛事，本届“滇超联赛”汇聚全省多个州市代表队，赛程长达8个月，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），赛事主办方计划安排120场比赛，则共有多少个州市代表队参加比赛？ 10．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长和宽各为多少步？设这块长方形田地的长为步，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 11．小聪解决了一道拓展题，并把解法教会了名同学，然后所有会做该题的每名同学又各自教会了名同学，这样全班共有人会做该题，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 12．《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 13．如图，某停车场为了解决充电难的问题，现将长为20米，宽为10米的矩形停车场进行改造．将矩形停车场的边和边分别减少相等的长度，减少的这部分区域用于修建充电桩，剩余停车场的面积为119平方米，求边和边减少的长度是______米． 14．某市年年底自然保护区覆盖率为，经过两年努力，该市年年底自然保护区覆盖率达到，则该市这两年自然保护区覆盖率的年平均增长率为____． 15．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽，”其大意如下：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则可列方程为________． 16．一个美丽的乡村计划新建一个现代化的猪舍，以改善农场的养殖条件．农场主希望这个猪舍是一个矩形，且面积为25平方米，其中一边将利用现有的围墙（墙长为8米），这样可以节省材料成本．为了建造这个猪舍，农场主购买了长为15米的木板来围住其余的三边．现在，农场主要计算猪舍的边的长度，以便他能够合理地利用这些木板，并确保猪舍的面积符合要求．请你帮他算一算吧． 17．某农业园区采用“智慧水稻”系统，在可控制环境的温室中进行多批次、高密度、连续栽培试验．十二月初水稻采收产量为吨，二月初水稻采收产量增至吨．假设技术稳定，每月产量的增长率相同． (1)求在该栽培模式下，每月产量的平均增长率． (2)按此增长率，预计三月初水稻采收的产量将达到多少吨？ 18．云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，该赛事以“一州（市）一队”的形式组织（每个州市都参赛），小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．求云南共有多少个州（市）？ 19．如图是我国汉代数学家赵爽用来说明勾股定理的弦图，他用四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．某工厂因生产技术落后等因素，造成去年的利润比前年减少了．该工厂今年年初开展了技术革新，计划今年的利润比去年增长，设该工厂按计划完成任务后今年和去年这两年平均增长的百分数为．则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 21．《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于年．该书是一部成就辉煌的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位．小明对其中的“买椽多少”问题进行了改编：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．下列说法不正确的是（   ） A．设这批椽的数量为x株，则 B．一株椽的价钱为27文 C．一株椽的价钱为24文 D．这批椽一共有9株 22．如图，一块长12米、宽8米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，则石板小径的宽度为_______米． 23．化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班36人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_____名同学． 24．数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少_________人？” 25．如图，在中，，，，动点P、Q分别从点A、B同时开始运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点的速度为，点Q运动到点C后停止，点P也随之停止运动.若使的面积为，则点P运动的时间是_____s． 26．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人数，并说明理由． 27．在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫作匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间段内，初速度为10米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为（米/秒）．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少________米，从开始到滚动了秒后小球的速度为________米/秒． (2)小球从开始到滚动21米用了多少秒？ (3)小球在最后一秒滚动了多少米？ 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3实际问题与一元二次方程 学习目标和重难点 1、掌握建模通法：熟练运用“审、设、列、解、验、答”六步法，将复杂的文字信息转化为数学模型。 2、攻克四大核心题型：能准确识别并解答传播问题、平均变化率问题、几何图形面积问题及商品利润问题。 3、强化检验意识：深刻理解一元二次方程双根的实际意义，能结合生活常识（如边长、人数、增长率等）准确舍去不合题意的根。 学习重点 1、找准等量关系：学会从冗长的题干中提炼核心数量关系，并熟练运用表格法梳理变量。 2、熟记经典模型：掌握平均变化率公式 a(1±x)n=b、传播问题公式 (1+x)n 以及利润问题的基本等式（单件利润 × 销量 = 总利润）。 学习难点 1、突破“设元”瓶颈：在复杂的利润或动点问题中，灵活运用“直接设元”或“间接设元”，理顺变量间的联动关系。 2、防范“丢根”陷阱：在含参问题中，极易忽略二次项系数 a≠0a=0 的隐含条件；在求解后，常因未结合实际意义检验而导致多答或错答。 教材◆核心知识 知识点1：列一元二次方程解应用题 ①审：理解题意，明确 未知量 、 已知量 以及它们之间的数量关系； ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； ③列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的 代数式 表示其他未知量，从而列出方程； ④解：选择适当的方法，准确求出方程的解； ⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题； ⑥答：写出答案。 知识点2：常见相关问题的数量关系及表示方法 1.传播问题 比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ． 传播问题：，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数． 2.增长率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 3.数字与行程问题 数字问题： 熟练掌握多位数的代数表示法。例如，设两位数的十位数字为 ，个位数字为 ，则该数应表示为 ，切忌直接写成 。 行程问题： 依然围绕“路程=速度 时间”展开。在一元二次方程的应用中，常结合勾股定理（如直角三角形路线）或面积公式来构建等量关系。 4：利润（销售）问题 利润(销售)问题 　　利润(销售)问题中常用的等量关系： 　　利润=售价-进价(成本) 　　总利润=每件的利润×总件数 　　 5.与图形有关的静态几何问题 ①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长． ②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程。 6.握手、循环赛问题 ①握手问题（及单循环赛制）：设有x个人互相握手（或x支球队进行单循环赛，即每两队之间只赛一场）；每一个人都要与其他(x−1) 个人握手，每一对组合都被重复计数了两次，因此，实际握手的总次数为 ②双循环赛问题：设有x 支球队进行主客场双循环比赛，一次在主场，一次在客场，所以比赛双方不需要考虑“组合重复”的问题，总场次不需要除以 2。总场次直接为。 核心题型◆归纳 【题型1】传播问题 【题型2】握手、循环比赛问题 【题型3】增长率问题 【题型4】面积问题 【题型5】销售问题 【题型6】数字问题 【题型7】几何动点问题 【题型8行程问题】 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 题型解析◆精准备考 【题型1】传播问题 1．“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强．一个美国人在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有64人受到感染． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7个人 (2)第三轮将又有448人被传染 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据经过两轮传染后共有64人受到感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）第三轮被传染人数就是用第二轮感染的64人乘以每人每轮的传染人数7即可． 【详解】（1）解∶设每轮传染中平均每人传染了x人，根据题意得 ， 解得或(舍)． 答∶每轮传染中平均一个人传染了7个人． （2）由（1）可知每轮传染中平均一个人传染7个人，经过两轮传染后有64人感染． 那么第三轮被传染的人数为人． 答：第三轮将又有448人被传染． 2．化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求的值． 【答案】的值为6 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解题目中数量关系，掌握一元二次方程的运用是解题的关键． 小华第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，全班43名同学恰好都会做，由此数量关系列式即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：的值为6． 【题型2】握手、循环比赛问题 3．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，求航空公司共有多少个飞机场？ 【答案】5个 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． 设这个航空公司共有x个飞机场，根据等量关系，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这航空公司共有x个飞机场，根据题意，得： 整理，得： 解得，（不符合题意，舍去）， 答：航空公司共有5个飞机场． 4．以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： (1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ (2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 【答案】(1)平均增长率为 (2)此次参赛一共有8个球队 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）设每年接待游客人数的增长率为，根据题意可得，求解得到合适的x值； （2）设此次参赛一共有个球队，根据题意可得，求解得到合适的x值即可． 【详解】（1）解：设每年接待游客人数的增长率为， 可列方程：，解得（舍去） 答：平均增长率为． （2）解：设此次参赛一共有个球队， 可列方程：，解得，（舍去） 答：此次参赛一共有8个球队． 【题型3】增长率问题 5．某种商品原价为元，经过连续两次降价，发现第二次降价后的价格为元．若两次降价的百分率相同，求降价的百分率． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析计算是解题的关键．设降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设降价的百分率为， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 答：降价百分率为． 6．为丰富学生课后活动，学校成立了“课外阅读社团”，并且不断完善藏书数量，今年3月份课外阅读社团有藏书500册，到今年5月份藏书数量增长到720册． (1)求课外阅读社团这两个月藏书的平均增长率． (2)按照这样的增长方式，今年6月份课外阅读社团的藏书量是多少册？ 【答案】(1)阅读公园这两个月藏书的平均增长率 (2)估算出今月6月份阅读公园的藏书量是864册 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这两个月藏书的月平均增长率为x，利用该校“阅读公园”5月底的藏书量=该校“阅读公园”3月的藏书量×，即可得出关于x的一元二次方程，解之，取其正值即可得出结论； （2）利用该校“阅读公园”6月的藏书量=该校“阅读公园”5月的藏书量×（1+藏书的月平均增长率），即可求出该校“阅读公园”6月的藏书量． 【详解】（1）解：设该校这两个月藏书的月均增长率为x， 根据题意，得 解得，（不合题意，舍去） 该校这两个月藏书的月均增长率为； （2）解；（册）， 所以，预测到6月该校“阅读公园”的藏书量是册． 【题型4】面积问题 7．现有可建造围墙的材料，准备依靠原有旧墙围成如图所示的仓库，墙长为． (1)若，能否围成总面积为的仓库？若能，和的长分别为多少米？ (2)能否围成总面积为的仓库？说说你的理由． 【答案】(1)能，的长为，的长为；或的长为，的长为； (2)不能围成面积为的仓库，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程与几何图形的应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键． （1）设，则，根据矩形面积公式列出方程求解即可； （2）设，则，根据矩形面积公式列出方程，看方程是否有解即可得到答案． 【详解】（1）解：设，则， 根据题意得：， 解得：或， ∵， ∴和都满足题意， ∴当时，； 当时，； ∴当，能围成总面积为的仓库，的长为，的长为；或的长为，的长为； （2）解：不能围成面积为的仓库，理由如下： 设，则， 根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴此方程无实数根，即不能围成面积为的仓库． 8．如图，在矩形空地上，修建两条平行于 边、一条平行于边的小路，条路等宽，其余部分铺草坪．已知的长为，的长为，铺草坪的单价是元 ，铺草坪的总价为元，求每条小路的宽度. 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每条小路的宽度为，由平移的性质可得，解方程即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：设每条小路的宽度为， 由题意可得，， 整理得，， 解得，（不合，舍去）， 答：每条小路的宽度为． 【题型5】销售问题 9．杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件25元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件40元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该件吉祥物每降价1元，月销售量就会在6月的销量基础上增加5件．当该件吉祥物降价多少元时，月销售利润达4250元． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为，列方程即可； （2）设该件吉祥物降价元，则售价为元，每件的利润为元，销售量为件，列方程即可． 【详解】（1）解：设吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为，根据题意得， 解得，，（舍去） ∴该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该件吉祥物降价元，则售价为元，每件的利润为元，销售量为件， 根据题意得，， 解得，，（舍去）， 所以，当该件吉祥物降价5元时，月销售利润达4250元． 10．重庆2023年马拉松于3月19日在南滨路开赛，为了重庆马拉松的顺利进行，组委会委托甲乙两个厂家共同生产纪念恤．根据调研统计，甲厂每小时生产恤80件，乙厂每小时生产恤100件． (1)若甲、乙两厂一天一共工作20个小时，且共生产1820件恤，则乙厂生产恤多少小时？ (2)在（1）的条件下，为了满足组委会的需求，甲厂生产时间每减少1小时，该厂每小时的产量将增加10件，乙厂生产时间不变，产量也不变，这样一天两厂的总产量仍为1820件，求甲厂减少的生产时间． 【答案】(1)乙厂生产恤11小时 (2)甲厂减少1小时 【分析】本题考查一元一次方程，一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． （1）设乙厂生产恤小时，根据共生产1820件恤得，即可解得答案； （2）设甲厂减少小时，求出乙厂生产恤11小时，产量为1100件，故，即可解得答案． 【详解】（1）解：设乙厂生产恤小时，则甲厂生产恤小时， 根据题意得：， 解得：， ∴乙厂生产恤11小时； （2）解：设甲厂减少小时，则每小时产量为件， 由（1）知，乙厂生产恤11小时，产量为1100件， ， 解得：或（舍去）， ∴甲厂减少1小时． 【题型6】数字问题 11．如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)最小数为10 (2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设最小数是，则最大数是，根据“最大数与最小数的乘积为180”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设最小数为，则另外三个数分别是，，，根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为80，列出一元二次方程，解之可得出的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设最小数为，则最大数为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 从日历表中可以看出10是第二行第6个数，符合要求， 答：最小数为10； （2）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由如下： 设最小数为，则另外三个数分别是，，， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80． 【题型7】几何动点问题 12．如图，中，，，，动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4mm/s的速度移动（不与点重合），如果、分别从、同时出发，问四边形的面积能否等于，若能，求出运动时间；若不能，说明理由． 【答案】不能，理由见详解 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程解决实际问题，解题的关键是根据题意找准等量关系并判断自变量的取值范围． 根据题目要求假设出时间来，根据面积的间接求法列出等量关系，求解并进行判断取值即可． 【详解】解：不能，理由如下： 假设运动时间为，根据题意得， 即 整理得， 解得，或 ，，所以自变量的取值范围为， 当时，不符合题意； ∴不存在这样的点， ∴四边形的面积不能等于． 13．如图，在矩形中，，，点从点开始以的速度沿边向移动，点从点开始以的速度沿边向点移动．如果、分别从、同时出发，设移动的时间为t． 求： (1)当t为多少时，的面积等于？ (2)当t为多少时，是以为斜边的直角三角形？ 【答案】(1)不存在某一时刻使得的面积等于 (2)当为秒或6秒时，是以为斜边的直角三角形 【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理，一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式列出方程可得出答案． （2）用含的代数式分别表示图中各线段，在中，利用勾股定理可求出，同理，在中利用勾股定理也可以求出，联合起来，得到关于的一元二次方程，解即可，然后根据实际意义确定的值． 【详解】（1）解：不存在． 设出发秒时的面积等于． ， ， ， ， 原方程无实数根， 即不存在某一时刻使得的面积等于． （2）解：， ，，， 是以为斜边的直角三角形， ，即， 整理得， 解之得，， 即当为秒或6秒时，是以为斜边的直角三角形． 【题型8行程问题】 14．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【答案】(1)15米/秒；2秒 (2)15米/秒 (3)秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． （1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 15．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时 (2)的值为 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度； （2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； （2）根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 1．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为．设道路的宽为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平移解决实际问题、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据平移的性质可得草坪正好是一个长方形，其长为，宽为，据此列出方程即可． 【详解】解：由平移的性质可知，草坪正好是一个长方形，其长为，宽为， 则可列方程为． 2．秋冬季节是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有168人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】利用两轮总患病人数为，建立方程即可得解． 【详解】解：∵初始患病人数为1，每轮传染中平均1人传染个人， ∴第一轮传染后，新增患病人数为，总患病人数为， 第二轮传染中，个患者每人传染人，新增患病人数为， ∴两轮传染后总患病人数为，由题意两轮后共有168人患病，因此列方程为． 3．某商品原价为100元，第一次降价打折，第二次又在第一次的基础上打折出售，此时的价格为64元，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，第一次打折后的售价为元，则第二次打折后的售价为元，据此列方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 4．南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步．设阔步，根据题意可列方程为___________． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】先根据宽与长的数量关系表示出矩形的长，再利用矩形面积公式即可列出方程． 【详解】解：设矩形的阔为步，则矩形的长为步， 由题意得，． 5．在某云平台的一次网络安全事件中，最初有5台服务器感染了病毒．经过两轮感染后，共有245台服务器感染了病毒，则每轮感染中平均每台服务器感染___________台服务器． 【答案】6 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】设每轮传播中平均一台服务器会感染x台服务器，由经过两轮感染后共有245台服务器感染了病毒，建立方程求出其解即可． 【详解】解：设每轮中平均每台服务器感染服务器的台数为x，根据题意可得： ， 解得，（舍）， ∴每轮感染中平均每台服务器感染6台服务器． 6．随着科技的不断进步，人工智能（）正逐渐渗透到我们的生活和工作．某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元．某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，则参加活动的学生人数为______． 【答案】18 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 设参加活动的学生人数为x人，则人均费用为元或元，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设参加活动的学生人数为x人，则人均费用为元或元， ∵， ∴， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，人均费用为，符合题意；   当时，人均费用为，不符合题意，舍去．   答：参加活动的学生人数为18人． 故答案为：18 7．某公园有一块长是宽的两倍的长方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原长方形的空地长的一边减少了2m，短的一边减少了1m，剩余空地的面积为，求原长方形空地的周长． 【答案】原长方形的周长为24米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】设原来长方形的宽为米，则长为米，由题意可得，求出x，再计算周长即可． 【详解】解：设原来长方形的宽为米，则长为米． 由题意可得：． 解之得：，（不符合题意，舍去）． ∴原长方形的宽为4米，长为8米． ∴原长方形的周长（米）． 答：原长方形的周长为24米． 8．某区大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全区学校的设施和设备进行全面改造．2025年区政府已投资5亿元人民币，若每年投资的年平均增长率相同，预计2027年投资7.2亿元人民币，求每年投资的年平均增长率． 【答案】每年投资的平均增长率为． 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】设每年投资的年平均增长率为x，根据题意可得，2025年投资额年的投资额，据此列方程求解． 【详解】解：设每年投资的年平均增长率为x， 根据题意，得：， 解得：，（舍去）， 答：每年投资的平均增长率为． 9．“滇超联赛”是一项覆盖全省、全域联动的足球赛事，本届“滇超联赛”汇聚全省多个州市代表队，赛程长达8个月，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），赛事主办方计划安排120场比赛，则共有多少个州市代表队参加比赛？ 【答案】16个 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，利用单循环比赛的场次计算公式列方程求解即可． 【详解】解：设共有x个州市代表队参加比赛 根据题意，单循环赛制中每两队之间赛一场， ∴总比赛场次为， ∵赛事主办方计划安排120场比赛 ∴， ∴， 解得，； ∵代表队的数量不能为负数， ∴舍去， 答：共有16个州市代表队参加比赛． 10．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长和宽各为多少步？设这块长方形田地的长为步，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【详解】设长方形田地的长为步，宽比长小步， 宽为步， 长方形田地的面积为平方步， 可得方程． 11．小聪解决了一道拓展题，并把解法教会了名同学，然后所有会做该题的每名同学又各自教会了名同学，这样全班共有人会做该题，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设每名同学各自教会了名同学，根据全班共有人会做该题，再根据题意列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设每名同学各自教会了名同学， 根据题意得：． 故选：B． 12．《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程，熟练运用实际问题列一元二次方程是解题的关键．由题意可得这匹锦卖掉三尺后的长和一尺锦的价格，再列出方程即可． 【详解】这匹锦的长为x尺，则这匹锦卖掉三尺后的长为尺，一尺锦的价格为文， 根据题意，得． 故选：D． 13．如图，某停车场为了解决充电难的问题，现将长为20米，宽为10米的矩形停车场进行改造．将矩形停车场的边和边分别减少相等的长度，减少的这部分区域用于修建充电桩，剩余停车场的面积为119平方米，求边和边减少的长度是______米． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设边和边减少的长度为x米，则剩余停车场是一个长为米，宽为米的长方形，据此根据长方形的面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设边和边减少的长度是x米． 由题意得，， 整理得 解得，（不符合题意，舍去） ∴边和边减少的长度是3米． 故答案为：3． 14．某市年年底自然保护区覆盖率为，经过两年努力，该市年年底自然保护区覆盖率达到，则该市这两年自然保护区覆盖率的年平均增长率为____． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【详解】解：设该市这两年自然保护区面积的年平均增长率为， 根据题意得：， 两边同时除以得：， 开平方得：， 解得 ，（负值舍去）， ∴这两年的平均增长率为． 15．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽，”其大意如下：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则可列方程为________． 【答案】 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了列一元二次方程，设这批椽的数量为x株，再结合题意列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设这批椽的数量为x株， 由题意可列方程为， 故答案为：． 16．一个美丽的乡村计划新建一个现代化的猪舍，以改善农场的养殖条件．农场主希望这个猪舍是一个矩形，且面积为25平方米，其中一边将利用现有的围墙（墙长为8米），这样可以节省材料成本．为了建造这个猪舍，农场主购买了长为15米的木板来围住其余的三边．现在，农场主要计算猪舍的边的长度，以便他能够合理地利用这些木板，并确保猪舍的面积符合要求．请你帮他算一算吧． 【答案】的长是5米． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】设的长为米，则，根据面积列方程求解． 【详解】解：设的长为米，， 根据题意得， 整理得，， 解得， ∴的长是5米． 17．某农业园区采用“智慧水稻”系统，在可控制环境的温室中进行多批次、高密度、连续栽培试验．十二月初水稻采收产量为吨，二月初水稻采收产量增至吨．假设技术稳定，每月产量的增长率相同． (1)求在该栽培模式下，每月产量的平均增长率． (2)按此增长率，预计三月初水稻采收的产量将达到多少吨？ 【答案】(1)在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为 (2)预计三月初水稻采收的产量将达到吨 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设每月产量的平均增长率为，根据等量关系，则二月初水稻采收产量增至，列出方程求解即可； （2）根据每月产量的增长率相同，列式计算即可． 【详解】（1）解：设在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为． 由题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为． （2）解：（吨）， 答：预计三月初水稻采收的产量将达到吨． 18．云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，该赛事以“一州（市）一队”的形式组织（每个州市都参赛），小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．求云南共有多少个州（市）？ 【答案】云南共有16个州（市） 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 设云南共有个州（市），根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设云南共有个州（市）， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意舍去）， 答：云南共有16个州（市）． 19．如图是我国汉代数学家赵爽用来说明勾股定理的弦图，他用四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】以弦图为背景的计算题、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、根据正方形的性质求面积 【分析】根据题意得，，，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值，求出的长，再利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图， ∵四个直角三角形都全等的，正方形的面积为5，小正方形的面积为1， ∴，，， 设，则， 在中，， ， 解得：，（舍去）， ， ． 20．某工厂因生产技术落后等因素，造成去年的利润比前年减少了．该工厂今年年初开展了技术革新，计划今年的利润比去年增长，设该工厂按计划完成任务后今年和去年这两年平均增长的百分数为．则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】设前年该工厂的利润为单位，分别用两种方式表示今年的利润，根据相等关系列出方程即可． 【详解】设前年该工厂的利润为单位， ∵去年利润比前年减少，今年计划比去年增长， ∴今年计划完成后的利润为 ； ∵两年平均增长的百分数为，即从前年到今年经过两年平均增长，年均增长率为， ∴今年的利润也可表示为 ； 由于两种方式表示的今年利润相等，因此可得方程． 21．《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于年．该书是一部成就辉煌的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位．小明对其中的“买椽多少”问题进行了改编：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．下列说法不正确的是（   ） A．设这批椽的数量为x株，则 B．一株椽的价钱为27文 C．一株椽的价钱为24文 D．这批椽一共有9株 【答案】B 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 根据题意，找出等量关系，列方程求解，对各选项进行分析即可． 【详解】解：设这批椽一共有x株， 根据题意得，， 即， 解得，，（舍去）， ∴这批椽一共有株， ∴一株椽的价钱为：（文）； ．设这批椽的数量为株，则，说法正确，不符合题意； ．一株椽的价钱为文，说法不正确，符合题意； ．一株椽的价钱为文，说法正确，不符合题意； ．这批椽一共有株，说法正确，不符合题意． 故选：． 22．如图，一块长12米、宽8米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，则石板小径的宽度为_______米． 【答案】1 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】设石板小径的宽度为米，利用平移法将剩余草坪拼成一个长方形，根据剩余草坪面积等于总面积乘以剩余比例列出一元二次方程，求解并取合适的值即可． 【详解】设石板小径的宽度为米， 根据题意，利用平移法，剩余草坪可视为长为米，宽为米的长方形， 草坪总面积为平方米， 石板小径的总面积占草坪总面积的，则剩余草坪面积占总面积的， 列方程得： ， 解得： ， 当时，，不合题意，舍去， 所以． 即石板小径的宽度为1米． 故答案为：1． 23．化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班36人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_____名同学． 【答案】5 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出一元二次方程是解题的关键． 设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可解答． 【详解】解：设1人每次能手把手教会名同学． 由题意，得， 解得：（不合题意，舍去）， ∴1人每次能手把手教会名同学． 故答案为：． 24．数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少_________人？” 【答案】19 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这群人共有x人，则共摘了个石榴，根据“如果平均分配，每个人可以得到10个石榴”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设这群人共有x人，则共摘了个石榴， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴这群人共有19人． 故答案为：19． 25．如图，在中，，，，动点P、Q分别从点A、B同时开始运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点的速度为，点Q运动到点C后停止，点P也随之停止运动.若使的面积为，则点P运动的时间是_____s． 【答案】 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，勾股定理的应用，理解题意，熟练地建立方程求解是解本题的关键．先求解，设运动时间为，可得，再利用面积建立方程求解，即可求出时间t． 【详解】解：， ， 设运动时间为， ， 的面积为， ， 解得：， 当时，，不成立，舍去， ． 故答案为：． 26．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人数，并说明理由． 【答案】(1)月平均增长率为 (2) 解：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次； 理由：由于进馆人次的月平均增长率为， 则第四个月的进馆人次为：； 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由等量关系列出方程是解题的关键； （1）设进馆人次的月平均增长率为x，根据三个月进馆人次和等于608，列出一元二次方程求解即可； （2）根据（1）计算出的月平均增长率，可计算出第四个的进馆人次，再与500比较大小即可． 【详解】（1）解：设进馆人次的月平均增长率为x， 由题意得：， 化简得：， 解得：（舍去）； 答：进馆人次月平均增长率为； （2）略 27．在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫作匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间段内，初速度为10米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为（米/秒）．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少________米，从开始到滚动了秒后小球的速度为________米/秒． (2)小球从开始到滚动21米用了多少秒？ (3)小球在最后一秒滚动了多少米？ 【答案】(1)2， (2)秒 (3)米 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、列代数式 【分析】（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动21米用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． （3）根据（1）中结论得出小球滚动距离，再代入和作差即可解答． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 从开始到滚动了秒后小球的速度为米/秒， （2）解：设小球滚动21米用了秒，此时小球的末速度为 米/秒， 根据题意，得 整理得 解得 ， 当 时， ，不符合实际，舍去 因此 答：小球从开始到滚动21米用了3秒． （3）解：∵小球的滚动速度平均每秒减少，从开始到滚动了秒后小球的速度为米/秒， ∴小球滚动距离， 当时，， ∴小球滚动25米后停止， 当时，， 故小球在最后一秒滚动了米． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $