6.5 数列求和讲义 -2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦数列求和专题，涵盖公式法、裂项相消、错位相减等8大核心方法，按从基础运算到复杂情境的逻辑层次构建知识体系。通过考点梳理（方法归纳与常用结论）、方法指导（题型策略拆解）、真题训练（分考点例题精讲）三个环节，帮助学生系统掌握求和技巧，突破高考高频难点。 讲义突出分层教学与模型建构特色，如裂项相消法中归纳分式、指数等四类裂项模型，培养学生数学思维与问题转化能力。设置基础巩固、能力提升、综合应用三级练习，配合即时反馈机制，确保高效突破考点。既助力学生提升解题速度与准确性，也为教师提供清晰的复习进度把控方案。

6.5 数列求和 数列求和的几种常用方法 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式 ①已知等差数列的第1项和第n项求前n项和Sn＝； ②已知等差数列的第1项和公差求前n项和Sn＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式 当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时， ①已知等比数列的第1项和第n项求前n项和Sn＝； ②已知等比数列的第1项和公比求前n项和Sn＝. 2．分组求和法与并项求和法 (1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)形如an＝(－1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 4．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的． 5．倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解，如等差数列的前n项和公式就是用此法推导的． 6．奇偶项问题 奇偶项问题的求解策略 (1)对于通项公式奇、偶项不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以先求出S2k，再利用S2k－1＝S2k－a2k求S2k－1. (2)含有(－1)n的数列求和问题一般采用分组(并项)法求和 7．公共项问题 求解公共项问题的策略 (1)最小公倍数法：两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数． (2)不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式． (3)周期法：通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律(周期)，分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式． 8．增减项问题 增减项问题的求解策略 对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，我们要把握两点：(1)先判断数列之间共插入(减少)了多少项(可运用等差、等比求和或者项数公式进行判断)；(2)根据题目给出的条件，确定它包含了哪些项．在求新数列的和时，一般采用分组求和法，即把原数列部分和增加(减少)部分分别求和，再相加(相减)即可． 常用结论 1．1＋2＋3＋4＋…＋n＝. 2．12＋22＋…＋n2＝. 3．裂项求和常用的变形 (1)分式型：＝， ＝， ＝等． (2)指数型：＝－，＝－ 等． (3)根式型：＝(－)等． (4)对数型：logm＝logman＋1－logman，an>0，m>0且m≠1. 考点一　公式法求和 考点二　倒序相加法 考点三　错位相减法 考点四　裂项相消法 考点五　分组(并项)法求和 考点六　奇偶项问题 考点七　公共项问题 考点八　增减项问题 考点一　公式法求和 1．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知是等差数列，是的前项和，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值． 2．（25-26高二下·广东珠海·期中）已知正项数列的前项和为，且（）. (1)求证：数列是等差数列. (2)令，求数列的前项的和最小值. 3．（25-26高三上·宁夏固原·开学考试）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 4．（25-26高二下·四川泸州·期末）已知数列为等差数列，是其前项和，且．数列满足， (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 考点二　倒序相加法 5．（2026高二·全国·专题练习）若等差数列满足，则_____. 6．（25-26高二下·江西九江·阶段检测）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则________. 7．（2026·山西临汾·一模）已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 8．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列是等比数列，若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．1013 B． C．2023 D．1022 考点三　错位相减法 9．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 10．（25-26高二下·贵州黔南·期末）已知数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 11．（25-26高二下·四川自贡·期末）已知数列，满足：，且是公差为的等差数列，是公比为的等比数列． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和． 12．（25-26高二下·四川成都·期末）已知是等差数列，是等比数列，.设的前项和为，且，. (1)求和的通项公式； (2)若数列的前项和对任意都成立，求整数的最小值. 考点四　裂项相消法 13．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知正项数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：． 14．（2026·陕西·三模）已知数列的前项和为，，且数列是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 15．（25-26高二上·海南海口·阶段检测）已知数列的前项和为，且有，数列的前项和为，满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)设，数列的前项和为，求证：． 16．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）设是等比数列的前项和，已知，． (1)求和； (2)设，求数列的前项和． 17．（25-26高二下·辽宁鞍山·期末）已知数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，设为数列的前n项和，求 (3)证明：对，． 18．（25-26高二下·江西·期末）在数列中，，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)在（2）的条件下，令，求数列的前项和. 考点五　分组(并项)法求和 19．（26-27高三上·安徽·开学考试）已知数列的前项和，且，，成等比数列，数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 20．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，，． (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 21．（25-26高二下·广东广州·期末）已知等差数列的前项和为，且满足，，数列满足，． (1)求和； (2)若，求数列的前项和． 22．（2026·山东烟台·模拟预测）在数列中，，． (1)证明：为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 23．（2026·山东青岛·三模）已知数列的前项和为．．，则（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 24．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知复数，且对任意正整数，（为虚数单位），记（表示复数的实部）． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 考点六　奇偶项问题 25．（25-26高二下·山东潍坊·开学考试）记为数列的前n项和，已知， ，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记数列的前项和为，若对任意，求实数的取值范围. 26．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和． 27．（25-26高二下·四川南充·期末）（多选）已知数列满足，且，为前n项和，下列说法正确的是（  ） A． B．偶数项是等比数列 C． D． 28．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知正项数列的前项和为，且满足，数列为等比数列，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)数列满足（），求的前项和． 考点七　公共项问题 29．（25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且满足，，现将数列与数列的公共项从小到大排列可以得到新数列，则下列说法错误的是（     ） A． B．数列的前20项和为 C． D． 30．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）已知，将数列与的公共项从小到大排列得到新数列，则________． 31．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）等差数列的前项和为，，，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)将数列与数列项从小到大排在一起，公共项只记一次，得到新的数列，求数列的前50项和. 32．（25-26高三下·江西景德镇·期中）已知各项均为正数的数列中， ，且满足，数列的前项和，满足 . (1)求数列的通项公式； (2)将数列中的公共项按照从小到大重新排列构成新数列，求数列的前项和. 考点八　增减项问题 33．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知数列满足，且． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)在数列的任意相邻两项与（）之间，插入k个相同的数，组成一个新的数列，记数列的前n项和为，求． 34．（2026·黑龙江大庆·二模）已知正项数列的前项和为，且.若在和中插入个相同的数，构成一个新数列，即，记数列的前项和为，则___________. 35．（2026·山东日照·二模）已知数列的前项和为，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列是公差为2的等差数列，且．若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值． 36．（25-26高三上·广东梅州·期末）在数列中，，，数列满足．若在数列中去掉的项，余下的项按照原来的顺序组成数列，则数列的前25项的和为______． 1．（25-26高二下·广东湛江·期末）已知数列的通项公式为，则数列的前10项和为（     ） A．127 B．192 C．235 D．747 2．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）记为数列的前项和，已知，，则下列正确的是（     ） A． B．取最小值时 C．不是等差数列 D． 3．（25-26高一下·河北保定·期末）（多选）在等比数列中，，，则（    ） A．的前12项积为 B．的前8项和为 C．是公比为4的等比数列 D．的前n项和为 4．（25-26高二下·湖北·期末）（多选）设数列的前n项和为，满足.则下列说法中正确的是（   ） A． B． C．是等比数列 D．若数列，则数列的前n项和 5．（25-26高三下·山东烟台·阶段检测）已知数列的前项和，将数列与数列的公共项从小到大依次排列得到数列，为数列的前项和，则________． 6．（25-26高二上·天津河西·期末）已知数列的通项公式，在其相邻两项和之间插入个3，得到新数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为__________． 7．（26-27高三上·浙江·阶段检测）已知数列满足，且对任意，都有． (1)求数列的通项； (2)设，若，求满足条件的最大整数． 8．（2026·贵州黔南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，数列是各项均为正数的等比数列，且满足，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列，求数列的前项和． 9．（26-27高三上·江西吉安·开学考试）已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前项和． 10．（25-26高一下·上海·期末）已知等差数列的首项，公差为2，等比数列的首项，公比为2，数列满足：. (1)依次写出数列的前6项； (2)设数列的前n项和为，求． 11．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，数列满足.求证：为定值，并求数列的通项公式； 12．（25-26高二下·辽宁沈阳·期末）已知在正项数列中，，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前100项和. 13．（25-26高二下·江西萍乡·期末）已知数列的首项，前项和满足，数列的首项，且满足，其中. (1)求和的通项公式； (2)分别在与之间插入个数，使这个数构成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 14．（25-26高二下·江西吉安·期末）已知等差数列的首项，且，，成等比数列，公差． (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围． 15．（25-26高二下·广东广州·期末）已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)已知数列满足，．若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值． 16．（25-26高二下·广东佛山·期末）记等差数列的前n项和为，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)在和之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，设为数列的前n项和． （i）证明：； （ii）证明：． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.5 数列求和 数列求和的几种常用方法 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式 ①已知等差数列的第1项和第n项求前n项和Sn＝； ②已知等差数列的第1项和公差求前n项和Sn＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式 当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时， ①已知等比数列的第1项和第n项求前n项和Sn＝； ②已知等比数列的第1项和公比求前n项和Sn＝. 2．分组求和法与并项求和法 (1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)形如an＝(－1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 4．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的． 5．倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解，如等差数列的前n项和公式就是用此法推导的． 6．奇偶项问题 奇偶项问题的求解策略 (1)对于通项公式奇、偶项不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以先求出S2k，再利用S2k－1＝S2k－a2k求S2k－1. (2)含有(－1)n的数列求和问题一般采用分组(并项)法求和 7．公共项问题 求解公共项问题的策略 (1)最小公倍数法：两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数． (2)不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式． (3)周期法：通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律(周期)，分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式． 8．增减项问题 增减项问题的求解策略 对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，我们要把握两点：(1)先判断数列之间共插入(减少)了多少项(可运用等差、等比求和或者项数公式进行判断)；(2)根据题目给出的条件，确定它包含了哪些项．在求新数列的和时，一般采用分组求和法，即把原数列部分和增加(减少)部分分别求和，再相加(相减)即可． 常用结论 1．1＋2＋3＋4＋…＋n＝. 2．12＋22＋…＋n2＝. 3．裂项求和常用的变形 (1)分式型：＝， ＝， ＝等． (2)指数型：＝－，＝－ 等． (3)根式型：＝(－)等． (4)对数型：logm＝logman＋1－logman，an>0，m>0且m≠1. 考点一　公式法求和 考点二　倒序相加法 考点三　错位相减法 考点四　裂项相消法 考点五　分组(并项)法求和 考点六　奇偶项问题 考点七　公共项问题 考点八　增减项问题 考点一　公式法求和 1．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知是等差数列，是的前项和，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前项和公式求解即可. （2）根据等差数列的前项和公式及数列的函数性质求解即可. 【详解】（1）设公差为 ，则 ，解得， 故 . （2），， 当 时， 取得最大值 . 2．（25-26高二下·广东珠海·期中）已知正项数列的前项和为，且（）. (1)求证：数列是等差数列. (2)令，求数列的前项的和最小值. 【答案】(1) 由题意得，，① 当，得，解得：， 当，得，② 得，， 化简得，，进而得到， ，又由为正项数列得，，故有， ，所以，， 故数列是等差数列，又，所以. (2) 【分析】（1）利用的关系式，把转化成关于的递推公式，因式分解，利用等差数列的定义即可证明； （2）求出的通项公式，利用等差数列的求和公式求出前项和的表达式，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，，易知为等差数列， 设的前项和为，故有， 根据二次函数的性质，的对称轴为， 因为为正整数，明显地，取或时，有最小值， 故最小值为， 所以数列前项的和最小值为. 3．（25-26高三上·宁夏固原·开学考试）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)（或） (2)设的前项和为，则（或）. 【分析】（1）利用与的关系作差推导公比，结合的条件求首项，进而得通项公式. （2）先求等比数列前项和，再对分组，利用等比数列求和公式计算前项和. 【详解】（1）当时，，由得； 当且时，有， 所以，整理得，即. 当时，联立，解得， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 因此其通项公式为. （2）由（1）得，，则. 设的前项和为，则. 4．（25-26高二下·四川泸州·期末）已知数列为等差数列，是其前项和，且．数列满足， (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，即， 又因为，即， 可得，，所以； 因为，，可知数列是首项和公比均为的等比数列， 所以. （2）因为，则， 可知数列是首项为，公比为的等比数列， 是以. 考点二　倒序相加法 5．（2026高二·全国·专题练习）若等差数列满足，则_____. 【答案】 【分析】根据题意，利用等差中项的性质，当时，得到，化简求得，结合倒序相加法，即可求解. 【详解】由等差数列满足， 根据等差数列的性质，可得对于，当时，， 则， 设，则， 两式相加，可得，解得. 6．（25-26高二下·江西九江·阶段检测）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则________. 【答案】4046 【详解】由数列是公比为的正项等比数列，故，， 故，即有. 由，则当时，有， 故， 故所求和为. 故. 7．（2026·山西临汾·一模）已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 【答案】B 【分析】根据给定函数，得，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由函数，得 ， 令， 则， 两式相加得， 所以，解得. 8．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列是等比数列，若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．1013 B． C．2023 D．1022 【答案】A 【分析】先根据韦达定理得到，再利用等比数列的性质得到，最后利用倒序相加法求和. 【详解】由题设及韦达定理，得， 由等比数列性质，得， 设， 所以， 则， 得， 所以. 故选：A 考点三　错位相减法 9．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合等差数列的求和公式和等比中项的定义，建立关于的方程，解方程求出，进而得出数列的通项公式； （2）由于，利用错位相减法，分别写出和的表达式，两式相减即可计算． 【详解】（1）在等差数列中，公差， ，，， 因为，，成等比数列， 所以，即， 解得，所以． （2）因为，所以， 所以， ， 两式相减得 ， 所以． 10．（25-26高二下·贵州黔南·期末）已知数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用数列前n项和与通项的递推关系求出数列通项的递推式，利用等比数列定义即可求出通项； (2)利用错位相减法即可求得数列的前n项和. 【详解】（1）由题意得，当时，， 两式作差得：，即， 当时，，符合上述递推关系， 因此是首项为1、公比为2的等比数列，通项公式为； （2）由(1)得，故， 则 ① ， 由①： ②， ①-②得： ， 因为， 代入得： ， 整理得. 11．（25-26高二下·四川自贡·期末）已知数列，满足：，且是公差为的等差数列，是公比为的等比数列． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)， () (2) 【分析】（1）使用等差数列，等比数列的通项公式求解； （2）使用错位相减法求和. 【详解】（1）因为， 所以，① ，②， 则①②除以2得，②①除以2得. （2）由（1）知， ③， 两边同时乘以3得④， ③④得：， 即， 所以. 12．（25-26高二下·四川成都·期末）已知是等差数列，是等比数列，.设的前项和为，且，. (1)求和的通项公式； (2)若数列的前项和对任意都成立，求整数的最小值. 【答案】(1)，，其中. (2)6 【分析】（1）将条件分解成有关的方程组进行求解，进而可求得和的通项公式； （2）运用“错位相减法”求出数列前n项和的最大值以确定整数的最小值. 【详解】（1）设的公差为，的公比为. 由及，得，即.     由及，得，即.     将代入，得，因为，所以，故.     所以数列的通项公式为.     数列的通项公式为，其中. （2）因为，所以.     故.     相减得.     .     故.     因为，所以.     又，故.     所以整数的最小值为6. 考点四　裂项相消法 13．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知正项数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)， (2)证明：由（1）得，， 所以， 所以 ． 【分析】（1）先求出，再由题意得，根据的关系可得，最后求出等差数列的通项公式； （2）利用裂项相消法进行证明. 【详解】（1）当时，， 当时，，， 两式相减得：， ． 又因为是正项数列，则， 则是首项为1，公差是2的等差数列，则，； （2）略 14．（2026·陕西·三模）已知数列的前项和为，，且数列是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列是等差数列，求得数列的通项公式，从而求得，再由与的关系求得，即数列的通项公式； （2）结合（1）的结论，对裂项，并讨论的奇偶，可得数列的前项和． 【详解】（1）由题意知，所以 当时，， 作差得， 所以，即； 当时，，符合上式. 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，则， 所以， . 15．（25-26高二上·海南海口·阶段检测）已知数列的前项和为，且有，数列的前项和为，满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2) (3)由（1）（2）知，， 则， 即， ， ， ，证毕. 【分析】（1）应用计算求解； （2）应用等差数列求和公式及等差数列通项公式计算求解； （3）应用裂项相消法计算证明. 【详解】（1）已知， 故当时，， 当时，，满足上式， 所以的通项公式为； （2）， ， 即为等差数列，设公差为， 则有， 解得：， ， 的通项公式为； （3）略 16．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）设是等比数列的前项和，已知，． (1)求和； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】 (1)    利用等比数列通项公式及前项和公式计算基本量； (2)    使用裂项求和方法求解的前项和. 【详解】（1）设的公比为，则，而，得， 已知，所以，， 所以，则． （2）， . 17．（25-26高二下·辽宁鞍山·期末）已知数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，设为数列的前n项和，求 (3)证明：对，． 【答案】(1) (2) (3)证明：由上分析， 故对，， ， 因为，所以 即 【分析】（1）由题设可得，据此可得数列是首项为3，公差为1的等差数列； （2）由（1）结合错位相减法及题设可得答案； （3）由题设结合裂项求和法可完成证明. 【详解】（1）由可得， ，，依此类推可得 ， 数列是首项为3，公差为1的等差数列， ，即； （2） 用错位相减法求和： 两式相减得：． 其中等比数列部分：，代入得： ． ． （3）略 18．（25-26高二下·江西·期末）在数列中，，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)在（2）的条件下，令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据递推公式得数列是等差数列，进而求出通项公式； （2）利用错位相减求和法求解； （3）由（2）求出，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）由，得， 又，，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以，所以. （2）， 两边同乘以2，得， 两式相减，得， 所以. （3）由（2）知，所以， 所以 考点五　分组(并项)法求和 19．（26-27高三上·安徽·开学考试）已知数列的前项和，且，，成等比数列，数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，求出，再利用累加法，即可求解； （2）根据条件，利用分组求和、错位相减法和等差数列的前项和公式，即可求解. 【详解】（1）由题意知，当时，， 当时，，满足上式， 所以， 因为，，成等比数列， 所以，整理得到，解得， 所以， 因为数列满足，，所以， 当时，， 所以， 所以时， ， 适合上式，所以的通项公式为. （2）由（1）知， 令， ， 则， 所以 ， 所以，又， 所以． 20．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，，． (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列基本量的运算得到，，再求通项即可； （2）根据等比数列及等差数列的求和公式，分组求和即可． 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为． 由题意可得，解得，， 则． （2）由（1）可知，， 故 21．（25-26高二下·广东广州·期末）已知等差数列的前项和为，且满足，，数列满足，． (1)求和； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)，. (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 由等差数列求和公式得， 化简得， 因为且,所以是常数， 因此是等比数列，设其公比为，则， 即数列是以为首项，为公比的等比数列， 由等比数列通项公式得， 所以，. （2）因为， 设数列的前项和为，则         所以数列的前项和为. 22．（2026·山东烟台·模拟预测）在数列中，，． (1)证明：为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)在数列中，，，则， 所以，即，解得， ，即，解得，， 以此类推可知，对任意的，，所以，即， 所以，所以数列为等比数列，首项为，公比为. (2) 【分析】（1）将等式变形为，再结合等比数列的定义证明即可； （2）求出的表达式，利用错位相减法结合分组求和法可求得的表达式. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，所以， 所以， 设数列的前项和为， 则， ①， ②， ①②得 ，所以， 故. 23．（2026·山东青岛·三模）已知数列的前项和为．．，则（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据给定的递推公式，利用分组求和法列式求解. 【详解】依题意，，则， 又，则， ，由， 得，所以. 24．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知复数，且对任意正整数，（为虚数单位），记（表示复数的实部）． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）分析可知复数数列是以为首项，公差为的等差数列，结合等差数列的通项公式可得出数列的通项公式，结合复数的概念可得出数列的通项公式； （2）利用分组求和公式、等比数列、等差数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）对任意正整数，（为虚数单位），则， 所以，复数数列是以为首项，公差为的等差数列， 故，故. （2）由题意可知数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以 . 故当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 综上所述，. 考点六　奇偶项问题 25．（25-26高二下·山东潍坊·开学考试）记为数列的前n项和，已知， ，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记数列的前项和为，若对任意，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）考虑利用作差，结合，得出，根据等差数列求得数列的通项公式； （2）根据的通项公式得到的通项公式，然后对奇数项与偶数项分组求和即可； （3）根据的通项公式，得到的前项和的表达式，然后根据的奇偶性分别讨论数列不等式的恒成立问题即可求解. 【详解】（1）令，则， 化简得，又，所以 由题意 于是两式相减可得 化简可得 因为，所以，所以， 所以为首项为3，公差为2的等差数列. 所以数列的通项公式为. （2）由上可知，当为奇数时，设，则，. 当为偶数时，设，则， 所以当为偶数时,. （3）由上可知，当为偶数时，设，, ,即 考虑二次函数的性质，对称轴在，且开口向上， 最接近对称轴的整数为，所以当时,有最小值，即. 当为奇数时，设，. ，化简得 考虑二次函数的性质，对称轴在，且开口向上 最接近对称轴的整数为，所以当时有最小值.即. 综上所述， 26．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系进行求解； （2）利用分组求和法及等差数列和等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 时满足上式，所以； （2）当为奇数时，；当为偶数时，； 所以 27．（25-26高二下·四川南充·期末）（多选）已知数列满足，且，为前n项和，下列说法正确的是（  ） A． B．偶数项是等比数列 C． D． 【答案】ADC 【分析】直接计算出判断A，计算出后可判断B，由递推关系得出数列的奇数项的关系，从而利用等比数列的通项公式求解判断C，利用分组求和法求和判断D. 【详解】对A，由已知，，A正确； 对B，由已知，，，， 显然，因此偶数项不是等比数列，B错； 对C，，所以， 又，所以是等比数列，且公比为， 所以，从而，C正确； 对D，由选项C得， ， 又 ， 所以，D正确. 28．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知正项数列的前项和为，且满足，数列为等比数列，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)数列满足（），求的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）对于数列，利用与的关系，通过和两种情况求出通项公式；对于数列，根据已知条件求出首项和公比，进而得到通项公式； （2）对于数列，根据的奇偶性分别求和，再将结果相加得到前项和即可. 【详解】（1）因为①，时，②． 由①-②得， 所以，则， 因为，所以， 因为，．则为首项1，公差1的等差数列， 所以， 因为，，则公比，， 所以． （2）当为偶数时， ， 当为奇数时，是偶数， 则， 把偶数公式中替换成： 则， 所以 考点七　公共项问题 29．（25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且满足，，现将数列与数列的公共项从小到大排列可以得到新数列，则下列说法错误的是（     ） A． B．数列的前20项和为 C． D． 【答案】B 【分析】由等差数列的通项公式求基本量，进而写出、，再由确定的通项公式，再依次判断各项的正误. 【详解】若的公差为，则，可得， 所以，，A、C对， 若且，则，易知为偶数， 不妨令，所以，于是有，D对， 所以，B错. 30．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）已知，将数列与的公共项从小到大排列得到新数列，则________． 【答案】 【分析】数列表示所有正奇数，分是奇数和偶数分析数列中项的奇偶性. 【详解】已知，数列的项为正奇数， 当为奇数时，设，则是偶数，则数列与没有公共项； 当为偶数时，设，则是奇数，符合要求，则数列与的公共项就是， 即， 故. 31．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）等差数列的前项和为，，，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)将数列与数列项从小到大排在一起，公共项只记一次，得到新的数列，求数列的前50项和. 【答案】(1)， (2)3421 【详解】（1）因数列是等差数列，则，得， 又，所以，所以等差数列的公差， 则； 因，① 当时，，② 得，，即， 当时， ，解得，满足上式， 则， 综上所述，数列的通项公式为， 数列的通项公式为. （2）由（1）可得，数列是递增数列，且，， 又因为，，，，，，，， 经验证数列中的，，均在中的前50项， 从而数列中需要取47项， 所以数列的前50项和. 32．（25-26高三下·江西景德镇·期中）已知各项均为正数的数列中， ，且满足，数列的前项和，满足 . (1)求数列的通项公式； (2)将数列中的公共项按照从小到大重新排列构成新数列，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）通过得到即可求出数列的通项公式，通过即可求出数列的通项公式； （2）首先确定数列的通项公式，然后利用错位相减法即可求出数列的前项和. 【详解】（1）已知且满足，将等式移项变形得， 由题意数列 的各项均为正数，所以 ，得， 说明数列是一个首项，公差的等差数列。 故数列的通项公式为， 由于数列的前项和满足，则，即， 当时，有和，两式相减得：，即， 这说明数列是一个首项，公比的等比数列， 因此，数列 的通项公式为. （2）首先找数列和的公共项，以确定数列的通项公式， 数列为：（即的倍数，且大于等于） 数列为：（即的幂次） 观察两数列，可以发现： 第个公共项是， 第个公共项是，第个公共项是， 以此类推，第个公共项对应的是数列中的第项，所以， 因此，则数列的前项和， 设，则， 两式相减得，即， 而， 因此. 考点八　增减项问题 33．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知数列满足，且． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)在数列的任意相邻两项与（）之间，插入k个相同的数，组成一个新的数列，记数列的前n项和为，求． 【答案】(1) 由，则，又， 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列， (2) (3) 【分析】（1）应用等差数列定义证明，再应用等差数列通项公式计算求解； （2）应用错位相减法计算求解； （3）应用等差数列计算求和再应用分组求和计算求解. 【详解】（1）则， 所以． （2）由， 则， 所以， 所以． （3）数列中在之前共有项，所以， 当时，，当时，，所以 ． 34．（2026·黑龙江大庆·二模）已知正项数列的前项和为，且.若在和中插入个相同的数，构成一个新数列，即，记数列的前项和为，则___________. 【答案】2646 【分析】由题意，结合，可得数列是首项和公差均为1的等差数列，从而求得，所以.进而求得.根据数列的特征可求出. 【详解】因为，所以前项和. 所以当时， 因为， 所以，可得， 所以数列是首项和公差均为1的等差数列，所以，即. 当时，， 又满足上式，所以. 新数列中从到共有项. 当时，；当时，. 所以 . 故答案为：2646. 35．（2026·山东日照·二模）已知数列的前项和为，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列是公差为2的等差数列，且．若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值． 【答案】(1) (2)1176 【分析】（1）根据等差中项的性质以及和的关系即可求解； （2）首先求出的通项公式，然后令，可得所有的都在中，最后根据去掉的项利用分组求和即可求解. 【详解】（1）由等差数列性质得： ①， 当时，，解得， 当时，有： ②， ①-②得：， 整理得： ， 因此是首项为，公比为2的等比数列， 故. （2）设，代入得： ， 因此，是首项为，公差为的等差数列， 令，即，得，为正整数， 故所有的都在中（小于，不在中）， 要得到的前30项，即从前项中去掉个属于的项，满足， 去掉的项为，共个（，故不在的前35项中）， 故，即的前30项和等于前35项和减去5个的和， 前35项和：， 去掉的5个的和：， 因此. 36．（25-26高三上·广东梅州·期末）在数列中，，，数列满足．若在数列中去掉的项，余下的项按照原来的顺序组成数列，则数列的前25项的和为______． 【答案】843 【分析】先根据数列的递推公式求出其通项公式，再根据与的关系求出的通项公式，然后分析数列的构成，最后计算其前25项和. 【详解】，即. 数列是以为首项，公比为2的等比数列. ，. 又. 数列的前5项为：，，，， . 数列的前30项中，的项有5项. 数列的前25项是数列的前30项去掉的前5项后余下的项. 数列是以为首项，公差的等差数列，数列的前30项和. 数列的前5项和. 数列的前25项的和为：. 故答案为：843 1．（25-26高二下·广东湛江·期末）已知数列的通项公式为，则数列的前10项和为（     ） A．127 B．192 C．235 D．747 【答案】D 【详解】设数列的前n项和为， 因为， 所以 . 2．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）记为数列的前项和，已知，，则下列正确的是（     ） A． B．取最小值时 C．不是等差数列 D． 【答案】D 【分析】先对已知递推式变形证明是等差数列，求出和的通项，再逐一判断各选项正误. 【详解】对于A，已知，取，得. 解得，即，故A错误； 对于B，将递推式两边同除以，得， 故是首项为、公差为1的等差数列， 因此，即. 则，，该二次函数开口向上，对称轴为， 故或时取最小值，故B错误； 对于C，当，时，， 时也满足该式，故，，则，即是公差为0的等差数列，故C错误； 对于D，由得， 因此，故D正确. 3．（25-26高一下·河北保定·期末）（多选）在等比数列中，，，则（    ） A．的前12项积为 B．的前8项和为 C．是公比为4的等比数列 D．的前n项和为 【答案】AC 【分析】先根据等比数列通项公式,,解得则且.然后计算新数列的积与和以及证明是否为等比数列. 【详解】为等比数列，q为公比，由，， 则，，解得，，， A．，所以A正确； B．为等比数列,首项为2,公比为,前8项和为,故B错误； C．，故C正确； D．，所以是首项为,公比为2的等比数列,前n项和为,故D错误． 4．（25-26高二下·湖北·期末）（多选）设数列的前n项和为，满足.则下列说法中正确的是（   ） A． B． C．是等比数列 D．若数列，则数列的前n项和 【答案】BCD 【分析】根据与的关系及等比数列的定义求数列的通项公式，进而判断A、B、C，应用裂项相消法求即可判断D. 【详解】当时，， 当时，，两式相减得：， 所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，是首项为8，公比为2的等比数列，故C正确； 对于D，， ，故D正确. 5．（25-26高三下·山东烟台·阶段检测）已知数列的前项和，将数列与数列的公共项从小到大依次排列得到数列，为数列的前项和，则________． 【答案】 【分析】根据题意得出数列以及数列的通项公式，从而得到数列的通项公式，最后利用错位相减法即可求解. 【详解】已知数列的前项和， 当时，； 当时，，当时也满足， 因此数列的通项公式为， 则数列是偶数数列：，数列为， 因此数列和数列的公共项为，即数列的通项公式为， 则数列的通项公式为， 则，， 两式相减得， 故. 6．（25-26高二上·天津河西·期末）已知数列的通项公式，在其相邻两项和之间插入个3，得到新数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为__________． 【答案】29 【分析】根据题意分析得的项的情况，求出当时和当时的，找出的最小值. 【详解】由题意得数列的结构为：在和之间插入个3， 即数列由，个3，，个3，等依次构成， 当时， ， 当时， ， 所以使成立的的最小值为. 故答案为： 7．（26-27高三上·浙江·阶段检测）已知数列满足，且对任意，都有． (1)求数列的通项； (2)设，若，求满足条件的最大整数． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）利用对数运算性质化简递推式得到数列相邻两项比值，通过累乘法求出通项，再验证的情况得到数列的通项公式； （2）先对裂项相消求出前项和，再解关于的不等式，结合正整数条件求出的最大值. 【详解】（1）当时，， 可得， 所以， 则， 当时，符合上式， 故，． （2）由（1）得，， 所以，     则，解得，又因为，所以的最大值为． 8．（2026·贵州黔南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，数列是各项均为正数的等比数列，且满足，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列，求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式，以及等比数列的通项公式，列出方程组，求得公差和公比，即可求得等差数列和等比数列的通项公式； （2）由（1）可得数列的通项公式，运用分组求和法，结合等差数列和等比数列的前项和公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，所以， 又，，所以，解得或（舍）， 所以等差数列的通项为，即， 等比数列的通项为，即； （2）由（1）可得，，， 所以， 所以 . 9．（26-27高三上·江西吉安·开学考试）已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明：因为，所以， 即， 所以， 所以数列是公差为4的等差数列． (2) 【详解】（1）略 （2）因为，所以，，     所以，     所以， ， 两式相减得 ，     所以． 10．（25-26高一下·上海·期末）已知等差数列的首项，公差为2，等比数列的首项，公比为2，数列满足：. (1)依次写出数列的前6项； (2)设数列的前n项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，，即可求得答案； （2）结合（1）的结果，利用分组求和法即可求解. 【详解】（1）由题意得，， 则，，，， ，． （2）中奇数项为，偶数项为． 奇数项：，， 和为． 偶数项：，，首项为，公比为，项数为6， 和为． 故． 11．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，数列满足.求证：为定值，并求数列的通项公式； 【答案】，由题意得 ， 则， 得到， 两式相加得，即. 【分析】根据对数运算证明为定值，再根据证明结果，利用倒序相加法求和，即可求解通项公式. 【详解】略 12．（25-26高二下·辽宁沈阳·期末）已知在正项数列中，，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前100项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得为等比数列，再利用解得即可求. （2）由得到，再利用为偶数时，分组求出，再把代入即可. 【详解】（1）成等差数列， ，即，而， 为等比数列，设公比为. 又，得. （2）， 当为偶数时， ， 所以. 13．（25-26高二下·江西萍乡·期末）已知数列的首项，前项和满足，数列的首项，且满足，其中. (1)求和的通项公式； (2)分别在与之间插入个数，使这个数构成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用与的关系求的通项公式，利用累乘法求的通项公式； （2）根据等差数列的通项公式求得，再利用错位相减法求和. 【详解】（1）由得：时，，两式相减得， 又，故，满足，故是首项为3，公比为2的等比数列， 所以； 由得：， 所以； （2）由题知，，则， 故， 则 两式相减得： ， 故． 14．（25-26高二下·江西吉安·期末）已知等差数列的首项，且，，成等比数列，公差． (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意知. 因为成等比数列，故. 又，所以，，，代入得 展开整理得，即. 由得，因此数列的通项公式为 . （2）， 数列的前项和 因为，所以，故， 因此，即的最大值为. 不等式对任意恒成立，等价于， 整理得，即， 解得或. 15．（25-26高二下·广东广州·期末）已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)已知数列满足，．若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值． 【答案】(1)已知数列的前项和为，且， 当时，，，解得， 当时，有，两式相减，得， 所以，即， 又因为，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. (2) 【分析】（1）利用得到，两式相减即可证明； （2）根据数列和的通项公式，找出数列的规律即可求解. 【详解】（1）略. （2）由（1）可知，，所以， 数列的前几项为，，，，，，， 所以，，所以是以为首项，为公差的等差数列， 即，所以数列为， 所以数列除外，其余项均在数列中， 由于，，，即， 所以数列的前项中包含的项有，共项，因此还需往后找个非的项， 由于，因此要剔除，是接下来的个项， 因此的值等于数列的前项和减去， 即. 16．（25-26高二下·广东佛山·期末）记等差数列的前n项和为，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)在和之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，设为数列的前n项和． （i）证明：； （ii）证明：． 【答案】(1)； (2)（i）由 (1) 可知，，则, 则, 因为在和之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列， 所以， 即，则， 先证明， 因为，所以， 即，所以 再证明： 因为，所以， 因此，得证； （ii）由（i）可知，则，， 当时，，， 因为，所以 当时， 由（i）可知， 所以， 设 ①，则 ② ①②得 =， 所以， 所以， 即, 因此，得证. 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前n项和公式列出关于首项和公差的方程组，进而求解通项公式； （2）（i）先根据等差数列的通项公式求出的表达式，再通过放缩法证明不等式； （ii）先求出的表达式，再利用错位相减法和放缩关系证明不等式. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，由，得 ， 解得，， 所以数列的通项公式， 即； （2）略. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $