第05讲 数列求和（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

第05讲 数列求和 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 倒序相加法 知识点2 分组求和法 知识点3 并项求和法 知识点4 裂项相消法 知识点5 错位相减法 题型破译 (含超链接） 题型1 倒序相加求和 题型2 分组求和 【方法技巧】分组转化法求和的常见类型 题型3 奇偶项求和 题型4 片段数列求和 题型5 分式型裂项求和 【方法技巧】裂项相消法求和的步骤 题型6 根式型裂项求和 题型7 指数型裂项求和 题型7 错位相减求和 【方法技巧】错位相减法求和的步骤 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 考情·分析解读 课标要求 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式及倒序相加求和、错位相减求和法. 2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法. 考题统计 核心考点 考情预览 2022 2023 2024 2025 2026 分组转化求和与并项求和 全国乙卷T18 全国甲卷T17 裂项相消法求和 全国Ⅰ卷T17 错位相减法求和 全国甲卷T17 全国1卷T16 考情解读 高考对数列求和考查稳定，题型、难度变化较小，多设置在数列解答题第(2)小问，属中档必考题型。命题常先借助递推、Sn与an关系证明等差、等比数列，再构造新数列求和。高频方法为错位相减法，侧重代数变形与运算能力。近三年全国卷真题运算量大，易在错位对齐、等比求和分类讨论处失分，整体侧重基础方法熟练运用。 备考策略 1.理解五类数列求和方法的适用条件，熟记等差、等比基础求和公式，能准确区分各类求和题型特征。 2.熟练掌握错位相减、裂项相消核心解法，规范书写步骤，规避错项对齐、项数判断等常见计算失误。 3.会处理奇偶分段、等差乘等比综合数列，能结合递推关系先求通项再完成求和运算。 知识・归纳梳理 知识点1 倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法. 【自主检测】（2026·广东珠海一模）已知函数，则（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，所以， 记， 则，所以， 故.故选C. 知识点2 分组求和法 分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成的，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减 【自主检测】（2025·青海海南·一模）数列的前100项和（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的前100项和为： .故选：B 知识点3 并项求和法 “并项求和”一般包括两类问题：①同一数列相邻多项合并：相邻2项/3项合并为一个新项，合并后的新数列呈现等差、等比规律，对合并后的大项求和；②两个数列对应项的和(差)并成“大项”：通过求“大项”的和得出结果． 【自主检测】（2026·北京顺义一模）若数列{}的通项公式是 则 （   ） A．15 B．12 C．- 12 D．- 15 【答案】A 【解析】由题意可得，奇数项为负数，偶数项为正数且相邻项数的绝对值之差的绝对值为3， 故 知识点4 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． ① ② ③ ④ 【自主检测】（2026·山东菏泽二模）数列中，，若的前项和为，则项数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则的前项和为， 由，解得. 知识点5错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法 【自主检测】（2026·江苏镇江一模）已知数列的前n项和为且，则_____________． 【答案】 【解析】因为，所以①， 则②， ， 所以， 重难・核心突破 题型1 倒序相加法 【例1】（2026·河南·模拟）若函数，则（   ） A．6322 B． C．6321 D． 【答案】D 【解析】令，则， 所以， 则， 所以， 令，则， 两式相加得，所以. 【变式1】（2026·广西桂林·一模）已知函数，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D． 【答案】D 【解析】因为， 所以 ，即：， 令， 则， 所以，所以. 【变式2】（2026·山西临汾·一模）已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 【答案】B 【解析】由函数，得 ， 令， 则，两式相加得， 所以，解得. 题型2 分组求和法 【例2】（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求. 【解】（1）因为，所以当时，； 当时，， 又因为，满足上式， 所以的通项公式为； （2）由（1）知，，所以， 所以 ． 【方法技巧】分组转化法求和的常见类型 数列{an}的特征 求前n项和的方法 数列{an}可以看作其他两个（或更多个）数列之和，即an＝bn＋cn 分别求数列{bn}，{cn}的前n项和，相加得解 数列的奇偶项满足不同规律，即an＝ 把奇数项和偶数项看作两个数列，分别求和，相加得解，往往需要分n为奇数和偶数进行讨论 数列通项中含绝对值 先不考虑绝对值，求解数列从哪一项开始变号，把正数项和非正数项分开看作两个数列，分别求和（此时需考虑绝对值），相加得解 【变式1】（2026·上海徐汇三模）已知等比数列的公比为q（且），等差数列的公差为d，满足条件：，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【解】（1）由于等比数列的通项公式：且，所以， 故，因为且，所以，所以， 因为数列是等差数列，公差为， 所以，故，所以， 所以， 因此等比数列通项公式为，等差数列的通项公式为. （2）因为，根据题意得：， 由（1）得，. 故. 【变式2】（2026·北京昌平三模）已知数列是公差不为零的等差数列，，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【解】（1）设等差数列的公差为，． 由，，，成等比数列，得， 即． 解得或（舍去）． 所以． （2）由（1）知，所以． 从而数列的前项和 . 【变式3】（2026·江西赣州二模）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求的值． (3)设，求数列的前项和． 【解】（1）设公差为d，由，解得，故. （2）， 则 . （3）由题可得， 则 题型3 奇偶项求和法 【例3】（2026·江苏南京·三模）已知数列中，其前项和记为，且. (1)数列满足对于恒成立，则称数列是等差数列.证明：数列是等差数列； (2)若，记，求的前20项的和. 【解】（1）当时，，解得， 当时，，， 所以，化简得 ①， ，化简得   ②， ①-②得，化简得， 所以数列是以1为首项的等差数列. （2）由（1）可知，数列是以1为首项的等差数列，，公差为2， 所以， 因为， 所以， 所以 . 【变式1】（2026·重庆渝中一模）已知数列的前项和为，且 ，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)若满足，求的前项和. 【解】（1）已知数列的前项和， 当时，，解得， 当时，，即，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故， 所以； （2）由（1）可得， 所以数列奇数项是以为首项，为公差的等差数列， 偶数项是以为首项，为公比的等比数列， 数列的前项，包含个奇数项，和个偶数项， 所以. 【变式2】（2026·湖南随州二模）已知为等比数列的前n项和，若，． (1)求； (2)为数列的前n项和，，，求数列的前项和． 【解】（1） ， ， . （2）当时，， 当时，， 也满足的情况，所以， 当n为偶数时，， . 【变式3】（2026·山东临沂二模）已知正项数列的前项和为，且满足，数列为等比数列，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)数列满足（），求的前项和． 【解】（1）因为①，时，②． 由①-②得， 所以，则， 因为，所以， 因为，．则为首项1，公差1的等差数列， 所以， 因为，，则公比，， 所以． （2）当为偶数时， ， 当为奇数时，是偶数， 则， 把偶数公式中替换成： 则， 所以 题型4 片段数列求和 【例4】（2026·广东广州·三模）已知数列满足，且对任意的，都有. (1)设，求数列的通项公式； (2)数列表示不超过的最大整数，求的前350项和. 【解】（1）由可得， 又，所以，即是以3为公差的等差数列， 又，得，， 所以，解得，故， 所以. （2）由（1）可得， 又 所以， 所以. 【变式1】在数列中，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解】（1）解：因为在数列中，，， 所以，， 所以，等式两边同加上得， 因为， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，． （2）解：因为，即 所以，为单调递减数列， 因为，， 所以，时，，时，， 记的前项和为，则， 所以，当时，，； 当时，，，① ，② 所以，①②得：，即， 综上， 【变式2】（2026年全国著名重点中学领航高考冲刺试卷）已知等差数列的前n项和为，且，．若数列满足，其前n项和为． (1)求的通项公式 (2)若，求数列的前n项和． 【解】（1）设等差数列的公差为d， 由题意可知，，， 解得，所以，所以． （2）由（1）知，， 则 设数列的前n项和为， 则当时， ； 当时，． 综上，数列的前n项和为. 题型5 分式型裂项求和 【例5】（2026·海南三亚·一模）已知等差数列的公差 ，且 ，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，记的前 项和为，求证：． 【解】（1）设等差数列首项为，公差，由，成等比数列， 可得：，由，解得：， 所以的通项公式为. （2）证明：因为， ： 所以. 所以 因为为正整数，，所以， 因此：. 【方法技巧】裂项相消法求和的步骤 【变式1】（2026·河北秦皇岛·一模）在正项数列中，设的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)令，求的前项和． 【解】（1）由题意得，当时，，， 则， 所以， 故，，， 由累乘法得，， 当时，依然成立， 所以 （2）， 则 ． 【变式2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且满足，. (1)求的通项公式； (2)求的最大值； (3)记，求数列的前项和. 【解】（1）设等差数列的公差为， 由题意知，解得， 所以； （2）令，得. 所以当时，；当时，， 所以的最大值为； （3）由题知. 所以. ． 【变式3】（2026·陕西榆林·模拟）已知数列的前项和为，且，数列是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求使得成立的最小正整数的值． 【解】（1）因为，数列是公差为的等差数列，所以， 则，当时，， 整理得到，则，所以数列是常数列， 又，则，所以． （2）由题意知， 所以， 又， 所以是递增数列， 又，， 所以使得成立的最小正整数的值为． 题型6 根式型裂项求和 【例6】（2026·福建泉州·一模）已知数列，则数列的前9项和为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 【答案】A 【详解】， 则、 . 【变式1】（2026·四川巴中·模拟预测）已知数列的通项公式为的前项和为，若，则的最大值为（ ） A．46 B．45 C．44 D．43 【答案】C 【详解】根据题意， 则， 因为，又，， 则的最大值为44.故选：C 【变式2】（2026·湖南邵阳·一模）数列的前n项和为，且，，则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】数列的前n项和， 当时，，而满足上式， 因此，， 所以. 故选：D 【变式3】（2026·山东潍坊·一模）设数列满足．设，若数列的前n项和为，求n的最小值． 【答案】 【详解】由，得， 所以数列是公差为2，首项为的等差数列， 即．所以， 故，， 所以． 由，得，解得． 又，故的最小值为． 题型7 指数型裂项求和 【例7】（2026·江苏徐州·模拟预测）设是等比数列的前项和，已知，． (1)求和； (2)设，求数列的前项和． 【解】（1）设的公比为，则，而，得， 已知，所以， 所以，则. （2）， ． 【变式1】（2026·江苏南京·模拟预测）已知数列中，，. (1)设，证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【解】（1）在数列中，由，得，， 而，则，， 于是 ，而 ， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列. （2）由（1）得，，， 则， 所以. 【变式2】（2026·山东烟台·二模）已知正项数列的前项和为，，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解】（1）由，得． 所以，即． 当时，，整理得， 所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以． （2）由（1）得， 所以， 所以， 整理得． 【变式3】（2026·广东佛山二模）已知数列中，，且满足（）． (1)求的通项公式； (2)令，为数列的前n项和，证明：． 【解】（1）由得，， 由于，故，故， 故数列是以3为首项，公比为3的等比数列， 所以，故 （2）由（1）得，所以， 故 ， 由于，故， 又， 故，所以 题型8 错位相减法 【例8】（2026·河北雄安·三模）已知在数列中，，当时，． (1)证明：为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 【解】（1）由，则， 又，故数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可得，则，故， 则， 故， 则 ， 故. 【方法技巧】错位相减法求和的步骤 【变式1】（2026·内蒙古赤峰·模拟）设数列是首项为的等比数列，已知，，成等差数列. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，记为数列的前项和，求. 【解】（1）设数列的公比为， 因为是首项为1的等比数列且成等差数列， 所以，所以，即， 解得，所以 （2）由（1）． ，① 则，② ①－②得， 所以 【变式2】（2026·甘肃兰州·模拟）已知数列满足． (1)记，证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和． 【解】（1）因为，所以 ， 因为，所以，所以， 由，得 ， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）得，则 所以， 令， 则， 两式相减得． 所以， 所以． 【变式3】（2026·河南信阳二模）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求满足的最大正整数． 【解】（1）设数列的公差为，数列的公比为． 因为，，所以，即． 因为，所以． 联立解得或（舍去）． 所以，． （2）由（1）知，，所以单调递增． 所以， 则， 两式相减，得， 所以， 因为，所以解不等式，即， 当时，，成立；当时，，成立； 当时，，成立；当时，，成立； 当时，，不成立， 所以满足的最大正整数为． 拔高・分层集训 基础演练 1．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知数列且满足，令，则数列的前项和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，可得， 由变形可得， 则， 所以是以为首项，为公差的等差数列，所以， 则， 故数列的前项和为. 2．（2026·新疆·二模）已知数列的前n项和为，且，，则的值为（    ） A．300 B．270 C．207 D．171 【答案】D 【解析】在数列中，由，得， 因此，即，而， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，， ，所以 . 3．（2026·天津·一模）已知数列，则数列的前9项和为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 【答案】A 【解析】， 则、 . 4．（2023·全国·模拟预测）对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若，请你根据这一发现计算：（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【解析】由题意可知，所以，令，则， 所以，由题意可知函数的对称中心为， 所以，即， 所以， 所以 ， 所以. 故选：C 5．（多选）（25-26高二下·四川巴中·期中）记为数列的前项和，已知则（   ） A．2026是数列中的项 B．数列是公比为2的等比数列 C． D．若，则数列的前项和小于 【答案】AD 【解析】对于A，当是奇数时，，因为，所以方程无正整数解，即2026不是数列的奇数项； 当是偶数时，，令，解得，即，所以2026是数列中的偶数项，故A正确. 对于B，由数列的通项公式可知，且，为非零常数， 所以数列是公比为4的等比数列，故B错误. 对于C，由数列的通项公式可知，故C错误. 对于D，因为，所以， 所以数列的前项和为，小于，故D正确. 6．（多选）（2026·四川遂宁·模拟预测）在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于选项A：由题可知，对任意的，， 则对任意的，， 则，所以，故A正确； 对于选项B：因为，，即， 由选项A可知：，所以，故B正确； 对于选项C：因为， 所以，故C错误； 对于选项D：因为，所以，故D正确. 7．（2026·山西大同·三模）已知数列满足，，则______． 【答案】103 【解析】由题意得， ． 8．（2026·陕西榆林·三模）已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和为，若对于任意正整数恒成立，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】设的公差为，则， 所以，所以， ， 且当时，， 所以为使若对于任意正整数恒成立，则， 则的最小值为． 9．（2026·江苏南通一模）已知数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解】（1）在数列中，由，得， 则，数列是首项为，公比为的等比数列，， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得，则， 两式相减得， 所以数列的前项和. 10．（2026·四川资阳·模拟）已知数列的前n项和为，，当时，． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前n项和． 【解】（1）数列的前n项和为，当时，，而， 则，依题意，因此， 所以数列是等差数列. （2）数列是以为首项，为公差的等差数列，则，， 则， 因此， 两式相减得 所以． 11．（2026·湖南衡阳·模拟）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，令，是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解】（1）当时，， 当时， ， 因为也满足，所以． （2）①当时，， 所以， 所以当时，为递增数列， 又当时，， 当时，， 当时，， 故存在正整数，使得． ②当时，， 所以， 因为，所以， 所以当时，为递减数列，所以， 故不存在正整数，使得． 综上，存在满足条件的正整数，其取值为所有不小于的偶数． 12．（2026·安徽合肥·模拟）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列， . (1)求的通项公式； (2)设，求满足的的最小值. 【解】（1）设的首项为，因为是公差为2的等差数列，故，， 当时，，平方得，因此， 由，得，令，则，解得（负根舍去），故， 因此，即， 当时，；当时，，符合上式， 综上，的通项公式为. （2）由，得： ， 因此： ， 代入不等式，得： ， 化简得， 解得， 又，故的最小值为. 13．（2026·山西晋中·模拟）已知数列是等差数列，是正项等比数列，且，，，对任意的，都有. (1)求数列和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求满足的最大正整数. 【解】（1）因为， 所以， 当时，，两项相除得， 当时，，所以，满足式， 综上所述，， 所以，， 设数列的公差为， 则，解得或， 因为，所以， 所以； （2）由（1）知，所以单调递增， 因为①， ②， ①－②得， 所以， 因为，，所以， 故满足的最大正整数为8. 14．（2026·江西九江·模拟预测）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【解】（1）将递推式两边同除以， 得 ， 令，则，且， 当时，由累加法得 ，所以 ， 因此，经检验时满足上式，故. （2）由（1）得， 其前项和， 则， 两式相减可得 ， 即. 能力进阶 15．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； 【解】（1）因为， 所以等比数列的公比为， 所以. 所以， 所以等差数列的公差为， 所以. （2）由（1）知， 所以， ， . 16．（2026·西藏林芝·二模）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解】（1）设等差数列的公差为，则， 即，解得. 所以的通项公式为. （2）由（1）知，， 所以. 所以 . 17．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在数列中，. (1)求证：数列是等差数列； (2)令，数列的前n项和为，证明：. 【解】(1)由，可得， 又因为，所以， 所以是首项为1，公差为3的等差数列. (2)由（1）知，，所以. ，① ，② ①-②得， ， 所以， 又，所以. 18．（2026·江苏·模拟预测）设数列满足，，且．记． (1)证明：数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)设数列的前项和为，试比较和的大小． 【解】（1）∵， ∴， ∴，即 ∴数列是以为首项，1为公差的等差数列. ∴． （2）由，解得， ∵， ∴， ∵，∴． 19．（25-26高二下·江西鹰潭·期中）设数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和； (3)令，记数列的前n项和为，求证：． 【解】（1）由，当时，，解得， 当，，则，即， 故是公比为3的等比数列，，所以，也适合此式，. （2）因为所以，. 从而， ， 两式相减得:， ，解得 （3）由（1）可知：，， ， ， 所以{}为递增数列，， 所以. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·全国二卷·高考真题）（多选）设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由等比数列的公比为，则，即. 因为，所以，即. 因为，所以，所以，即，所以A正确. 因为，则，所以B错误. ， ，所以C正确. ， 当n为奇数时，； 当n为偶数时，因为；所以， 所以，即，所以D正确. 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 【解】（1）证明：由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【解】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 4．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【解】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 5．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【解】（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 6.（2023·全国乙卷T18）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， （2）因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 7.（2022·新高考全国Ⅰ卷T17）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【解】（1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； （2） ∴ 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．求和： （1）（； （2）． 【解】（1） = = （2）当时： 当时： 当时：记 化简得：，(也适合该式） 综上所述： 2．已知数列的首项为，且满足. (1)求证：是等比数列. (2)求数列的前项和. 【解】（1）证明如下： 由题意，数列满足，即， 则， 又由，可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）知，得到， 所以数列的前项和. 3．已知数列的首项，，，，． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，若，求最大正整数． 【解】（1）证明：，， 可得，又， 数列为等比数列，首项为，公比为． （2）由（1）知，，， ， 由，则， 在定义域内单调递增， 且时，，时，， 所以． 4．已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和. 【解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则前项和为. 所以，即， 解得，，所以. 因此数列的通项公式为. （2）. ， ， 所以 ， 即， 所以. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 数列求和 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 倒序相加法 知识点2 分组求和法 知识点3 并项求和法 知识点4 裂项相消法 知识点5 错位相减法 题型破译 (含超链接） 题型1 倒序相加求和 题型2 分组求和 【方法技巧】分组转化法求和的常见类型 题型3 奇偶项求和 题型4 片段数列求和 题型5 分式型裂项求和 【方法技巧】裂项相消法求和的步骤 题型6 根式型裂项求和 题型7 指数型裂项求和 题型7 错位相减求和 【方法技巧】错位相减法求和的步骤 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 考情·分析解读 课标要求 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式及倒序相加求和、错位相减求和法. 2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法. 考题统计 核心考点 考情预览 2022 2023 2024 2025 2026 分组转化求和与并项求和 全国乙卷T18 全国甲卷T17 裂项相消法求和 全国Ⅰ卷T17 错位相减法求和 全国甲卷T17 全国1卷T16 考情解读 高考对数列求和考查稳定，题型、难度变化较小，多设置在数列解答题第(2)小问，属中档必考题型。命题常先借助递推、Sn与an关系证明等差、等比数列，再构造新数列求和。高频方法为错位相减法，侧重代数变形与运算能力。近三年全国卷真题运算量大，易在错位对齐、等比求和分类讨论处失分，整体侧重基础方法熟练运用。 备考策略 1.理解五类数列求和方法的适用条件，熟记等差、等比基础求和公式，能准确区分各类求和题型特征。 2.熟练掌握错位相减、裂项相消核心解法，规范书写步骤，规避错项对齐、项数判断等常见计算失误。 3.会处理奇偶分段、等差乘等比综合数列，能结合递推关系先求通项再完成求和运算。 知识・归纳梳理 知识点1 倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法. 【自主检测】（2026·广东珠海一模）已知函数，则（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，所以， 记， 则，所以， 故.故选C. 知识点2 分组求和法 分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成的，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减 【自主检测】（2025·青海海南·一模）数列的前100项和（   ） A． B． C． D． 知识点3 并项求和法 “并项求和”一般包括两类问题：①同一数列相邻多项合并：相邻2项/3项合并为一个新项，合并后的新数列呈现等差、等比规律，对合并后的大项求和；②两个数列对应项的和(差)并成“大项”：通过求“大项”的和得出结果． 【自主检测】（2026·北京顺义一模）若数列{}的通项公式是 则 （   ） A．15 B．12 C．- 12 D．- 15 知识点4 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． ① ② ③ ④ 【自主检测】（2026·山东菏泽二模）数列中，，若的前项和为，则项数为（   ） A． B． C． D． 知识点5错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法 【自主检测】（2026·江苏镇江一模）已知数列的前n项和为且，则_____________． 重难・核心突破 题型1 倒序相加法 【例1】（2026·河南·模拟）若函数，则（   ） A．6322 B． C．6321 D． 【变式1】（2026·广西桂林·一模）已知函数，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D． 【变式2】（2026·山西临汾·一模）已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 题型2 分组求和法 【例2】（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求. 【方法技巧】分组转化法求和的常见类型 数列{an}的特征 求前n项和的方法 数列{an}可以看作其他两个（或更多个）数列之和，即an＝bn＋cn 分别求数列{bn}，{cn}的前n项和，相加得解 数列的奇偶项满足不同规律，即an＝ 把奇数项和偶数项看作两个数列，分别求和，相加得解，往往需要分n为奇数和偶数进行讨论 数列通项中含绝对值 先不考虑绝对值，求解数列从哪一项开始变号，把正数项和非正数项分开看作两个数列，分别求和（此时需考虑绝对值），相加得解 【变式1】（2026·上海徐汇三模）已知等比数列的公比为q（且），等差数列的公差为d，满足条件：，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【变式2】（2026·北京昌平三模）已知数列是公差不为零的等差数列，，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【变式3】（2026·江西赣州二模）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求的值． (3)设，求数列的前项和． 题型3 奇偶项求和法 【例3】（2026·江苏南京·三模）已知数列中，其前项和记为，且. (1)数列满足对于恒成立，则称数列是等差数列.证明：数列是等差数列； (2)若，记，求的前20项的和. 【变式1】（2026·重庆渝中一模）已知数列的前项和为，且 ，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)若满足，求的前项和. 【变式2】（2026·湖南随州二模）已知为等比数列的前n项和，若，． (1)求； (2)为数列的前n项和，，，求数列的前项和． 【变式3】（2026·山东临沂二模）已知正项数列的前项和为，且满足，数列为等比数列，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)数列满足（），求的前项和． 题型4 片段数列求和 【例4】（2026·广东广州·三模）已知数列满足，且对任意的，都有. (1)设，求数列的通项公式； (2)数列表示不超过的最大整数，求的前350项和. 【变式1】在数列中，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【变式2】（2026年全国著名重点中学领航高考冲刺试卷）已知等差数列的前n项和为，且，．若数列满足，其前n项和为． (1)求的通项公式 (2)若，求数列的前n项和． 题型5 分式型裂项求和 【例5】（2026·海南三亚·一模）已知等差数列的公差 ，且 ，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，记的前 项和为，求证：． 【方法技巧】裂项相消法求和的步骤 【变式1】（2026·河北秦皇岛·一模）在正项数列中，设的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)令，求的前项和． 【变式2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且满足，. (1)求的通项公式； (2)求的最大值； (3)记，求数列的前项和. 【变式3】（2026·陕西榆林·模拟）已知数列的前项和为，且，数列是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求使得成立的最小正整数的值． 题型6 根式型裂项求和 【例6】（2026·福建泉州·一模）已知数列，则数列的前9项和为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 【变式1】（2026·四川巴中·模拟预测）已知数列的通项公式为的前项和为，若，则的最大值为（ ） A．46 B．45 C．44 D．43 【变式2】（2026·湖南邵阳·一模）数列的前n项和为，且，，则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·山东潍坊·一模）设数列满足．设，若数列的前n项和为，求n的最小值． 题型7 指数型裂项求和 【例7】（2026·江苏徐州·模拟预测）设是等比数列的前项和，已知，． (1)求和； (2)设，求数列的前项和． 【变式1】（2026·江苏南京·模拟预测）已知数列中，，. (1)设，证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【变式2】（2026·山东烟台·二模）已知正项数列的前项和为，，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【变式3】（2026·广东佛山二模）已知数列中，，且满足（）． (1)求的通项公式； (2)令，为数列的前n项和，证明：． 题型8 错位相减法 【例8】（2026·河北雄安·三模）已知在数列中，，当时，． (1)证明：为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 【方法技巧】错位相减法求和的步骤 【变式1】（2026·内蒙古赤峰·模拟）设数列是首项为的等比数列，已知，，成等差数列. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，记为数列的前项和，求. 【变式2】（2026·甘肃兰州·模拟）已知数列满足． (1)记，证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和． 【变式3】（2026·河南信阳二模）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求满足的最大正整数． 拔高・分层集训 基础演练 1．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知数列且满足，令，则数列的前项和为（　　） A． B． C． D． 2．（2026·新疆·二模）已知数列的前n项和为，且，，则的值为（    ） A．300 B．270 C．207 D．171 3．（2026·天津·一模）已知数列，则数列的前9项和为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 4．（2023·全国·模拟预测）对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若，请你根据这一发现计算：（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 5．（多选）（25-26高二下·四川巴中·期中）记为数列的前项和，已知则（   ） A．2026是数列中的项 B．数列是公比为2的等比数列 C． D．若，则数列的前项和小于 6．（多选）（2026·四川遂宁·模拟预测）在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，，则（     ） A． B． C． D． 7．（2026·山西大同·三模）已知数列满足，，则______． 8．（2026·陕西榆林·三模）已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和为，若对于任意正整数恒成立，则的最小值为___________． 9．（2026·江苏南通一模）已知数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 10．（2026·四川资阳·模拟）已知数列的前n项和为，，当时，． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前n项和． 11．（2026·湖南衡阳·模拟）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，令，是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 12．（2026·安徽合肥·模拟）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列， . (1)求的通项公式； (2)设，求满足的的最小值. 13．（2026·山西晋中·模拟）已知数列是等差数列，是正项等比数列，且，，，对任意的，都有. (1)求数列和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求满足的最大正整数. 14．（2026·江西九江·模拟预测）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 能力进阶 15．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； 16．（2026·西藏林芝·二模）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 17．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在数列中，. (1)求证：数列是等差数列； (2)令，数列的前n项和为，证明：. 18．（2026·江苏·模拟预测）设数列满足，，且．记． (1)证明：数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)设数列的前项和为，试比较和的大小． 19．（25-26高二下·江西鹰潭·期中）设数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和； (3)令，记数列的前n项和为，求证：． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·全国二卷·高考真题）（多选）设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则（     ） A． B． C． D． 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 4．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 5．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 6.（2023·全国乙卷T18）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 7.（2022·新高考全国Ⅰ卷T17）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．求和： （1）（； （2）． 2．已知数列的首项为，且满足. (1)求证：是等比数列. (2)求数列的前项和. 3．已知数列的首项，，，，． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，若，求最大正整数． 4．已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $