6.2 等差数列及其前n项和讲义-2027届高三数学一轮复习（全国通用）

该高中数学讲义聚焦等差数列及其前n项和，覆盖定义、公式、性质及11个核心考点，按概念-公式-性质-应用的逻辑架构组织，通过考点梳理、方法指导（如基本量运算、性质应用）、真题训练（分层练习题）等环节，帮助学生构建知识体系，突破难点。 资料以分层设计和核心素养为特色，如在判定与证明中引导学生用定义推理培养数学思维，在最值问题中用二次函数模型强化数学语言表达。设置基础到综合练习，配合即时反馈，保障复习效果，提升学生应考能力，为教师把控节奏提供支撑。

6.2 等差数列及其前n项和 1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示． 数学语言表达式：an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)． (2)等差中项：若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b． 提醒：在等差数列{an}中，从第2项起，每一项都是它前后两项的等差中项，即{an}成等差数列⇔an＋1＋an－1＝2an(n≥2)． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d． (2)前n项和公式：Sn＝或Sn＝na1＋d． 3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，当m＋n＝2p时，am＋an＝2ap. (3)若已知等差数列{an}，公差为d，前n项和为Sn，则 ①等间距抽取ap，ap＋t，ap＋2t，…，ap＋(n－1)t，…为等差数列，公差为td； ②等长度截取Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…为等差数列，公差为m2d； ③算术平均值，，，…，即数列为等差数列，公差为. (4)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝； 若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an，S奇－S偶＝an，＝. (5)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}(其中p，q为常数)也是等差数列． 常用结论 1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 2．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值． 3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列． 4．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 5．若{an}与{bn}为等差数列，且前n项和分别为Sn与Tn，则＝. 考点一　等差数列的基本量运算 考点二　等差数列的判定与证明 考点三　等差数列片段和的性质及应用 考点四　前n项和与n的比所组成的等差数列 考点五　两个等差数列前n项和之比问题 考点六　等差数列奇数项或偶数项的和 考点七　等差数列的单调性与最值 考点八　含绝对值的等差数列前n项和 考点九　二次函数法求等差数列前n项和的最值 考点十　根据等差数列前n项和的最值求参数 考点十一　等差数列的简单应用 考点一　等差数列的基本量运算 1．（26-27高三上·福建泉州·开学考试）已知数列为等差数列，且，则（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·云南·阶段检测）等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，若，则________． 4．（25-26高二下·广东潮州·期末）已知是等差数列的前项和，，则（     ） A． B． C．66 D．33 5．（25-26高二下·湖北随州·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．24 B．36 C．48 D．60 6．（25-26高二下·广西南宁·期末）已知等差数列的前项和为，，，则____． 考点二　等差数列的判定与证明 7．（26-27高三上·江西吉安·开学考试）已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前项和． 8．（25-26高二下·四川雅安·期末）已知数列中，，． (1)证明：是等差数列； (2)记为的前项和，求数列的前项和． 9．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）已知数列满足，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 10．（2026·广东·一模）在数列中，，，且对任意的，都有． (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)求数列的前n项和． 考点三　等差数列片段和的性质及应用 11．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知等差数列的前项和为，且，，则_________． 12．（25-26高二下·四川攀枝花·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 13．（2026·陕西西安·三模）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二下·江西上饶·阶段检测）已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．36 B．48 C．60 D．120 考点四　前n项和与n的比所组成的等差数列 15．（2026·湖南郴州·三模）设等差数列的前项和为，公差为，若，则（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 16．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·全国·课后作业）在等差数列中，，其前n项和为，若，则______． 18．（2026·江苏泰州·模拟预测）设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（   ） A．49 B．50 C．51 D．52 考点五　两个等差数列前n项和之比问题 19．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高二下·江西·期中）设等差数列的前项和分别为，且，则__________. 21．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，若，则______． 22．（25-26高二下·浙江·期中）设等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 考点六　等差数列奇数项或偶数项的和 23．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）在项数为奇数的等差数列中，奇数项之和为220，偶数项之和为165，则此数列的中间项是______. 24．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知等差数列共有10项，其所有奇数项和为60，所有偶数项和为80，则（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 25．（25-26高二下·广东江门·阶段检测）某等差数列共有13项，其中偶数项之和为30，则奇数项之和为（    ） A．34 B．35 C．36 D．不能确定 26．（25-26高二下·江西上饶·期末）等差数列中，前项和为104，其中奇数项之和为40，且，则数列公差为（    ） A． B． C． D． 考点七　等差数列的单调性与最值 27．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）（多选）记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．是递增数列 B．当时，取得最小值 C．若，则的最小值为11 D．数列的前10项和为50 28．（2026·广东肇庆·模拟预测）（多选）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A．数列为递增数列 B． C． D．的最大值为 29．（2026·江苏常州·三模）（多选）设为等差数列的前项和，且，若，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C． D． 30．（25-26高三下·宁夏中卫·开学考试）设是等差数列的前项和，若，，则下列选项错误的是（   ） A． B．使成立的最大整数为13 C．当取得最大值时， D．中最小值为 考点八　含绝对值的等差数列前n项和 31．（25-26高二下·陕西渭南·阶段检测）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 32．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）在数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前100项和. 33．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知等差数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前10项和． (3)求数列的前项和. 34．（25-26高二上·新疆喀什·期末）已知是等差数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)求的最大值； (3)求数列的前项和． 考点九　二次函数法求等差数列前n项和的最值 35．（2026·西藏日喀则·模拟预测）（多选）设为等差数列的前n项和，已知，，则（    ） A．数列的公差为2 B． C． D．当取得最大值时，或7 36．（25-26高二下·安徽安庆·阶段检测）设为等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D．当或时，最大 37．（2026高三·全国·专题练习）（多选）已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（   ） A． B． C．当时，取得最大值 D．取得最小正值时为31 38．（25-26高二上·湖北随州·期末）已知数列为等差数列，为其前项和，，，则________时，最小. 考点十　根据等差数列前n项和的最值求参数 39．（26-27高三·全国·一轮复习）1.已知等差数列的前项和为，且，则公差_________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为_________． 40．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）已知等差数列为递减数列，且，. (1)求数列的通项公式; (2)若数列的前项和，求的最小值. 41．（2026·贵州毕节·三模）已知公差为d的等差数列的前n项和为，，是中的唯一最大项，则d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 42．（25-26高二下·辽宁大连·期中）已知等差数列的前项和为，首项，为的最小值，则的值可以为______（写出符合条件的一个值即可）. 考点十一　等差数列的简单应用 43．（2026高三·全国·专题练习）据科学计算，运载“神七”的“长征二号”系列火箭，在点火后第一秒钟通过的路程为2km，以后每秒钟通过的路程增加2km，在达到离地面240km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是（   ） A．10秒钟 B．13秒钟 C．15秒钟 D．20秒钟 44．（25-26高二下·重庆·期末）（多选）随着国产新能源汽车的发展，我国新能源汽车销量逐月攀高，2026年5月全品类乘用车销量排行榜前15名都是新能源汽车．某新能源汽车企业在2018年的年产量为万辆，由于技术升级和市场需求增长，该企业每年的产量构成一个等差数列，年产量逐年增加且每年增加固定的万辆．已知该企业在2018年、2020年、2022年这三年的年产量之积等于其2018年至2026年这九年总产量的三分之一．记该企业前年的累计产量为万辆．则下列结论正确的有（   ） A．若2018年的年产量为1万辆，则每年增加1万辆 B．若2018年的年产量大于每年增加的固定产量，则每年增加固定产量小于1万辆 C．2018年与2019年的年产量之和的最小值为2万辆 D．2018年的年产量的取值范围是万辆 45．（25-26高二下·湖南张家界·期末）一百零八塔，位于宁夏回族自治区吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（    ） A．15 B．16 C．17 D．19 46．（2026·北京丰台·三模）《九章算术・均输篇》记录了古代物资统筹核算算法，现如今借鉴这一统筹思路，某地乡村振兴落地光伏储能惠民工程，分年度分批采购储能光伏组件.项目采购方案规定：每年新增采购的组件箱数构成等差数列，项目第一年采购 16 箱，往后每一年都比上一年多采购 3 箱；受原材料价格浮动影响，组件单箱采购市价逐年成等比数列，首年定价 4 元，价格每年变为原来的 3 倍.项目财务制度约定，前年所有入库储存的组件，不在每年分次结账，统一留存至第年年末，按照当期最新市场单价一次性核算全部货款.则项目运行满 4 年时，结算总货款为______元；运行年末核算总货款的最简代数式为______ 1．（2026·河北沧州·一模）已知数列是等差数列，是其前项和，，，则公差（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知等差数列前项和为，若，则（     ） A． B． C．1 D． 3．（25-26高二下·江西九江·期中）已知是等差数列的前项和，若，，则等于（   ） A． B．2026 C． D．4052 4．（25-26高二下·湖北·期中）已知等差数列，的前项和分别为，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·山东淄博·期末）记为数列的前项和，已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B．是等差数列 C．不是等差数列 D．当且仅当时，取到最小值 6．（2026·湖南岳阳·二模）等差数列的首项为1，公差不为0.若成等比数列，则数列的前6项和为（   ） A． B． C．26 D．24 7．（2026·江西九江·二模）已知是首项为6的等差数列．当且仅当时，的前项和取得最大值，则公差的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·天津·阶段检测）设等差数列的前n项和为，且（），若，则（   ） A．的最大项是 B．的最小项是 C．的最大项是 D．的最小项是 9．（26-27高三上·湖北·开学考试）（多选）记数列的前项和为，若，，则下列选项正确的有（    ） A．数列为等差数列 B． C． D．数列为周期数列 10．（26-27高三上·浙江·开学考试）（多选）已知等差数列的前项和为，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．，，可能成等差数列 D．，，可能成等比数列 11．（25-26高二下·河南·期末）（多选）已知数列的前项和，则下列说法正确的有（   ） A．数列是递减的等差数列 B． C．，，成等比数列 D．当或4时，取得最大值 12．（26-27高二上·全国·课堂例题）若等差数列中的，是方程的两个根，则______. 13．（26-27高三上·安徽阜阳·开学考试）记等差数列的前项和为，且，，则____. 14．（26-27高二上·福建龙岩·阶段检测）已知数列满足，，若数列满足，则数列的前n项和=____________ 15．（26-27高三·全国·一轮复习）在数列中，， (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前n项和． 16．（25-26高二上·上海嘉定·期末）设等差数列的前项和为，且. (1)若，求数列的通项公式； (2)若，且是数列中最大的项，求所有可能的值. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2 等差数列及其前n项和 1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示． 数学语言表达式：an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)． (2)等差中项：若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b． 提醒：在等差数列{an}中，从第2项起，每一项都是它前后两项的等差中项，即{an}成等差数列⇔an＋1＋an－1＝2an(n≥2)． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d． (2)前n项和公式：Sn＝或Sn＝na1＋d． 3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，当m＋n＝2p时，am＋an＝2ap. (3)若已知等差数列{an}，公差为d，前n项和为Sn，则 ①等间距抽取ap，ap＋t，ap＋2t，…，ap＋(n－1)t，…为等差数列，公差为td； ②等长度截取Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…为等差数列，公差为m2d； ③算术平均值，，，…，即数列为等差数列，公差为. (4)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝； 若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an，S奇－S偶＝an，＝. (5)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}(其中p，q为常数)也是等差数列． 常用结论 1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 2．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值． 3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列． 4．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 5．若{an}与{bn}为等差数列，且前n项和分别为Sn与Tn，则＝. 考点一　等差数列的基本量运算 考点二　等差数列的判定与证明 考点三　等差数列片段和的性质及应用 考点四　前n项和与n的比所组成的等差数列 考点五　两个等差数列前n项和之比问题 考点六　等差数列奇数项或偶数项的和 考点七　等差数列的单调性与最值 考点八　含绝对值的等差数列前n项和 考点九　二次函数法求等差数列前n项和的最值 考点十　根据等差数列前n项和的最值求参数 考点十一　等差数列的简单应用 考点一　等差数列的基本量运算 1．（26-27高三上·福建泉州·开学考试）已知数列为等差数列，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】可知，化简得，即. 2．（26-27高三上·云南·阶段检测）等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以，即，， 又，故，所以. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，若，则________． 【答案】7 【分析】利用等差数列的性质计算即得． 【详解】由题意，得，. 所以 4．（25-26高二下·广东潮州·期末）已知是等差数列的前项和，，则（     ） A． B． C．66 D．33 【答案】D 【分析】利用等差数列的性质即可求解. 【详解】由题意得：，所以，解得， 所以. 5．（25-26高二下·湖北随州·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．24 B．36 C．48 D．60 【答案】A 【分析】先根据等差数列的性质得出，再代入等差数列前项和公式即可求解. 【详解】因为是等差数列，所以，即， 所以. 6．（25-26高二下·广西南宁·期末）已知等差数列的前项和为，，，则____． 【答案】 【分析】由相邻两项差直接得公差，结合算出首项，代入等差数列前项和公式求出． 【详解】设等差数列的公差为， ，， 所以． 考点二　等差数列的判定与证明 7．（26-27高三上·江西吉安·开学考试）已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明：因为，所以， 即， 所以， 所以数列是公差为4的等差数列． (2) 【详解】（1）略 （2）因为，所以，，     所以，     所以， ， 两式相减得 ，     所以． 8．（25-26高二下·四川雅安·期末）已知数列中，，． (1)证明：是等差数列； (2)记为的前项和，求数列的前项和． 【答案】(1)已知，由，结合递推关系可知对任意，， 等式两边同时除以，整理得， 又首项，因此是首项为、公差为的等差数列，得证. (2) 【分析】（1）构造等差数列递推式即可证明； （2）先用等差数列求和，再利用裂项相消法来求和即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 则的前项和为， 因此， 裂项相消得：. 9．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）已知数列满足，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明：由， 两边同时除以，得，即， 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列． (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义，结合题干条件进行证明即可； （2）先求出数列的通项公式，再利用错位相减法进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）由（1）得，故， 故， ，   两式相减，得 ， 因此． 10．（2026·广东·一模）在数列中，，，且对任意的，都有． (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明：因为，，所以． 因为，所以， 又，则有，所以， 所以是以4为首项，2为公比的等比数列； ； (2) 【分析】（1）先利用等比数列的定义求证数列是等比数列，再构造数列求证其为等差数列，利用等差数列的通项公式求解； （2）利用错位相减法求和. 【详解】（1）证明略；由是以4为首项，2为公比的等比数列． 可得，所以， 又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以． （2）设， 则， 两式相减得， 则. 考点三　等差数列片段和的性质及应用 11．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知等差数列的前项和为，且，，则_________． 【答案】3 【分析】利用等差数列片断和性质求解. 【详解】是等差数列，则成等差数列， 所以，所以. 12．（25-26高二下·四川攀枝花·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一用等差数列片段和性质. 方法二用等差数列的基本量计算. 【详解】方法一：因为等差数列的前项和为，由片段和性质可知 、、、也成等差数列. 因为，，所以， 所以，， 所以 ，. 方法二：因为等差数列中，， 所以，解得， 所以. 13．（2026·陕西西安·三模）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用等差数列的“片段和性质”，即可求解. 【详解】因为是等差数列的前项和，则，，成等差数列， 又，得到，所以，，所以， 则. 14．（25-26高二下·江西上饶·阶段检测）已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．36 B．48 C．60 D．120 【答案】B 【分析】根据等差数列片段和的性质及等差中项的性质求. 【详解】由等差数列片段和的性质，，，，成等差数列， 故，则. 故选：B 考点四　前n项和与n的比所组成的等差数列 15．（2026·湖南郴州·三模）设等差数列的前项和为，公差为，若，则（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】A 【详解】， 由等差数列前项和的性质可知，即， 又， ，，， . 16．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合等差数列求和公式可推导证得数列为等差数列，进而求得等差数列的公差，根据等差数列通项公式可求得结果. 【详解】设等差数列的公差为， 则， 数列是公差为的等差数列，，解得：， . 故选：D. 17．（25-26高二上·全国·课后作业）在等差数列中，，其前n项和为，若，则______． 【答案】 【分析】由等差数列前n项和的性质,知也为等差数列，由题意得其公差，，根据等差数列的通项公式可得，即可求解. 【详解】由等差数列前n项和的性质可知，数列也为等差数列， 设其公差为d，则由， 可得，即． 又， 所以， 所以． 故答案为：. 18．（2026·江苏泰州·模拟预测）设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（   ） A．49 B．50 C．51 D．52 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组求得的值，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，所以， 所以. 故答案为：C. 考点五　两个等差数列前n项和之比问题 19．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为等差数列的前项和分别为，且. 所以可设. 所以，所以. 20．（25-26高二下·江西·期中）设等差数列的前项和分别为，且，则__________. 【答案】 【分析】利用等差数列前项和性质可得、，利用等差中项性质可得，即可得，代入计算即可得解. 【详解】，同理可得， 则. 21．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，若，则______． 【答案】 【分析】由，可设，，再利用即可求解. 【详解】因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 因为，所以可设，，， 则，，所以. 22．（25-26高二下·浙江·期中）设等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据等差数列的性质得，， ∴原式可化为     ∵ 为等差数列， ∴ ， 原式进一步化简为。 ∵ 等差数列前项和为常数项为0的二次函数，且， ∴ 可设，（且）。 由等差数列通项与前项和的关系：，： ∴， 将，代入化简后的原式得 考点六　等差数列奇数项或偶数项的和 23．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）在项数为奇数的等差数列中，奇数项之和为220，偶数项之和为165，则此数列的中间项是______. 【答案】55 【分析】根据奇数项和与偶数项和的关系即可求解. 【详解】设等差数列的项数为， ＝＝， ＝＝， 所以，解得，所以项数， 所以此数列的中间项为，又， 所以为所求中间项. 24．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知等差数列共有10项，其所有奇数项和为60，所有偶数项和为80，则（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】利用等差数列的偶数项的和与奇数项的和的性质可求答案. 【详解】设的公差为．依题意，，解得， 又，解得，则． 25．（25-26高二下·广东江门·阶段检测）某等差数列共有13项，其中偶数项之和为30，则奇数项之和为（    ） A．34 B．35 C．36 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据等差数列性质即可化简求出奇数项之和. 【详解】解：由题可知，， 根据等差数列的性质可知，所以，所以， 同理，根据等差数列性质可得. 26．（25-26高二下·江西上饶·期末）等差数列中，前项和为104，其中奇数项之和为40，且，则数列公差为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，根据已知有得，再结合求公差. 【详解】前项中，奇数项共项，偶数项共项， 由前项和为，奇数项和为， 因此偶数项和为， 设等差数列的公差为， 每一个偶数项比对应前一个奇数项多1个公差，共组， 因此， 由，得， 两式相减， 因此数列公差为. 考点七　等差数列的单调性与最值 27．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）（多选）记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．是递增数列 B．当时，取得最小值 C．若，则的最小值为11 D．数列的前10项和为50 【答案】ACD 【分析】先根据等差数列已知的首项和前10项和求出公差，得到通项公式与前项和公式，再逐一判断各选项． 【详解】设等差数列公差为，由， 代入，得，解得， 因此通项公式为，前项和， 选项A：公差，所以是递增数列，A正确； 选项B：令，解得，即，， 前项均为负，第项起为正，故在时取得最小值，B错误； 选项C：令，解得（为正整数）， 因此时的最小值为，C正确； 选项D：前项和为，D正确． 28．（2026·广东肇庆·模拟预测）（多选）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A．数列为递增数列 B． C． D．的最大值为 【答案】ABC 【详解】因为，故，故B正确； 因为，所以，即等差数列为递增数列，故A正确； 因为，故C正确； 因为时，，当时，，所以的最小值为，故D错误. 29．（2026·江苏常州·三模）（多选）设为等差数列的前项和，且，若，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用等差数列的求和公式，结合题意，化简得到，得到数列为递增数列，再由，求得且，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】因为为等差数列的前项和，可得， 又因为，可得， 即，可得，所以数列为递增数列， 因为，且数列为递增数列，可得且， 由， 对于A，因为数列为递增数列，所以无最大值，所以A不正确； 对于B，由，可得时，取得最小值，所以B正确； 对于C，由，可得，所以C正确； 对于D，由，可得，所以D正确. 30．（25-26高三下·宁夏中卫·开学考试）设是等差数列的前项和，若，，则下列选项错误的是（   ） A． B．使成立的最大整数为13 C．当取得最大值时， D．中最小值为 【答案】B 【分析】根据题意，利用等差数列的求和公式和等差数列的性质，求得，且，，结合选项，逐项分析判断，即可求解． 【详解】对于A，由，可得， 又因为，可得，即，所以， 所以，所以A正确； 对于B，由，且， 所以使得成立的最大整数为14，所以B错误； 对于C，在等差数列中，由且， 则当，时，可得；当，时，可得， 所以当取得最大值时，，所以C正确； 对于D，因为，且，所以且，所以D正确． 故选：B． 考点八　含绝对值的等差数列前n项和 31．（25-26高二下·陕西渭南·阶段检测）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的关系，根据，求得数列的通项公式； （2）分析和两种情况，即可数列的前n项和． 【详解】（1）当时，，即， 当时，， 时，满足上式，所以. （2）.令，解得，且， 所以当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：． 32．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）在数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前100项和. 【答案】(1)； (2)4222. 【分析】（1）将递推关系式变形，构造常数列，从而求得通项公式； （2）由（1）的结论求出，再分组并结合等差数列前项和公式求解. 【详解】（1）当时，由，得，因此数列是常数列，，则， 时，，也满足, 则，所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，则， 所以. 33．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知等差数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前10项和． (3)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意求解和，再根据等差数列定义求解通项公式； （2）计算前6项为正项，后4项为负项，再结合等差数列求和公式求解即可; （3）结合等差数列求和公式分类讨论和时数列的求和公式即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由，得，即， 由，得，即， 联立，解得，故， 所以. （2）由（1）知，若，解得， 故时，，时，， 所以， 又因为 所以数列的前10项和为. （3）由（2）知故，时，， 所以； 当时，， 所以 综上所述. 34．（25-26高二上·新疆喀什·期末）已知是等差数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)求的最大值； (3)求数列的前项和． 【答案】(1) (2)25 (3) 【分析】（1）根据题意结合等差数列通项公式和求和公式可得，即可得通项公式； （2）由（1）可知：，结合等差数列求和公式可得，进而分析最值； （3）分和两种情况，讨论的符号，结合运算求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 因为，可得，解得， 所以. （2）由（1）可知：， 则， 当时，取到最大值为25． （3）由（1）可知：， 时，当时， 当时，则； 当时，则； 综上所述：. 考点九　二次函数法求等差数列前n项和的最值 35．（2026·西藏日喀则·模拟预测）（多选）设为等差数列的前n项和，已知，，则（    ） A．数列的公差为2 B． C． D．当取得最大值时，或7 【答案】BC 【分析】先通过等差数列的基本量的运算求出和公差，确定数列的通项和前n项和，再求得取得最大值时的值． 【详解】设数列的公差为d，则解得，，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； 当取得最大值时，或，故D错误． 36．（25-26高二下·安徽安庆·阶段检测）设为等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D．当或时，最大 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为， 因为是等差数列，且， 所以，解得：， 所以， ， ， 又因为， 这是开口向上的二次函数，对称轴为，所以当或4时，最小，但没有最大值. 37．（2026高三·全国·专题练习）（多选）已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（   ） A． B． C．当时，取得最大值 D．取得最小正值时为31 【答案】ACD 【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差的正负判断A，根据等差数列性质可判断BC，根据二次函数性质可判断D. 【详解】对于A，设等差数列首项为，公差为， 则， 因为存在最大值，所以数列的公差，数列单调递减， 要使​存在最大值，则数列先正后负，首项，故A正确； 对于B，由等差数列性质可知，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以时，取得最大值，故C正确； 对于D，由可得， 由，可得， 所以取得最小正值时为31，故D正确. 38．（25-26高二上·湖北随州·期末）已知数列为等差数列，为其前项和，，，则________时，最小. 【答案】8或9 【分析】由题设条件列方程组求出等差数列的首项和公差，然后写出其前项和，由二次函数的对称轴可求得最小值时的。 【详解】设等差数列的公差为，首项为， 由题知，，解得， 故，为单调递增的等差数列， ，的对称轴为， 但，由二次函数的性质，或时，最小. 故答案为：8或9 考点十　根据等差数列前n项和的最值求参数 39．（26-27高三·全国·一轮复习）1.已知等差数列的前项和为，且，则公差_________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为_________． 【答案】 （答案不唯一，满足即可） 【详解】由，得， 即，得； 因为恒成立，所以，即， 解得，所以的一个取值可以是9. 40．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）已知等差数列为递减数列，且，. (1)求数列的通项公式; (2)若数列的前项和，求的最小值. 【答案】(1)； (2)10 【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为， 联立解得或， ∵等差数列为递减数列，，， . （2）由(1)知，故，可得， 化简整理得，解得或，又，所以的最小值为10. 41．（2026·贵州毕节·三模）已知公差为d的等差数列的前n项和为，，是中的唯一最大项，则d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】是的唯一最大项，说明数列前8项和最大，且第9项开始和递减，然后由等差数列通项公式解不等式组即可求解. 【详解】由是中的唯一最大项可得：，即， 代入，解得. 42．（25-26高二下·辽宁大连·期中）已知等差数列的前项和为，首项，为的最小值，则的值可以为______（写出符合条件的一个值即可）. 【答案】（填写之间的任意一个实数都可） 【分析】根据为的最小值得出公差的取值范围，然后将代入等差数列的前项和公式计算. 【详解】因为等差数列首项，且是前项和的最小值， 所以公差，且满足， 根据等差数列通项公式可得：， 解得：， 再根据前项和公式， 可得：， 化简得：，因此任取该区间内一个值即可，例如. 考点十一　等差数列的简单应用 43．（2026高三·全国·专题练习）据科学计算，运载“神七”的“长征二号”系列火箭，在点火后第一秒钟通过的路程为2km，以后每秒钟通过的路程增加2km，在达到离地面240km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是（   ） A．10秒钟 B．13秒钟 C．15秒钟 D．20秒钟 【答案】C 【详解】∵ 火箭点火后每秒通过的路程依次构成数列，由题意得，， ∴ 数列是首项，公差的等差数列，设该过程需要的时间为秒， ∵ 前秒的总路程为240km，等差数列前项和公式为， ∴ 代入数据得，整理得， ∵ ，∴ 解得，即该过程大约需要15秒钟. 44．（25-26高二下·重庆·期末）（多选）随着国产新能源汽车的发展，我国新能源汽车销量逐月攀高，2026年5月全品类乘用车销量排行榜前15名都是新能源汽车．某新能源汽车企业在2018年的年产量为万辆，由于技术升级和市场需求增长，该企业每年的产量构成一个等差数列，年产量逐年增加且每年增加固定的万辆．已知该企业在2018年、2020年、2022年这三年的年产量之积等于其2018年至2026年这九年总产量的三分之一．记该企业前年的累计产量为万辆．则下列结论正确的有（   ） A．若2018年的年产量为1万辆，则每年增加1万辆 B．若2018年的年产量大于每年增加的固定产量，则每年增加固定产量小于1万辆 C．2018年与2019年的年产量之和的最小值为2万辆 D．2018年的年产量的取值范围是万辆 【答案】AB 【分析】由题意分析可得，进而得到，，即可判断D；对于A，代值即可求解判断；对于B，由得，进而由结合函数的单调性求解判断即可；对于C，化简结合基本不等式求解判断即可. 【详解】由题意，数列为等差数列，且公差为，， 则，即， 由于，解得，故D错误. 对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则，解得， 则， 因为函数在上单调递减，且时，， 所以，故B正确； 对于C，由于， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为3，故C错误； 45．（25-26高二下·湖南张家界·期末）一百零八塔，位于宁夏回族自治区吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（    ） A．15 B．16 C．17 D．19 【答案】C 【分析】先计算等差数列10项的总和，结合公差为正整数的约束确定等差数列的各项，再根据非递减序列的特征确定第11层的塔数. 【详解】∵ 12层塔的总数量为108，剩余两层的塔数之和为8， ∴ 构成等差数列的10层塔总数量为. 设该等差数列首项为，公差为，由题意知， 由等差数列求和公式得，整理得. ∵ 为偶数，20为偶数，∴ 为偶数，即为偶数，结合，得， 代入得，解得. ∴ 该等差数列的10项为. ∵ 每层塔数不少于上一层，即12层塔数构成非递减正整数序列， ∴ 剩余两个和为8的正整数均不大于等差数列的最大项，插入序列后不会改变序列末尾的顺序， ∴ 12层塔数按从小到大排列后，最后两项为17,19，即第11层的塔数为17. 46．（2026·北京丰台·三模）《九章算术・均输篇》记录了古代物资统筹核算算法，现如今借鉴这一统筹思路，某地乡村振兴落地光伏储能惠民工程，分年度分批采购储能光伏组件.项目采购方案规定：每年新增采购的组件箱数构成等差数列，项目第一年采购 16 箱，往后每一年都比上一年多采购 3 箱；受原材料价格浮动影响，组件单箱采购市价逐年成等比数列，首年定价 4 元，价格每年变为原来的 3 倍.项目财务制度约定，前年所有入库储存的组件，不在每年分次结账，统一留存至第年年末，按照当期最新市场单价一次性核算全部货款.则项目运行满 4 年时，结算总货款为______元；运行年末核算总货款的最简代数式为______ 【答案】 【分析】先分别计算前年采购组件的总箱数和第年末的组件单价，二者相乘得到总货款，代入即可得满年的结算款. 【详解】设第年采购的组件箱数为， 由题意是首项、公差的等差数列， 则， 前年总采购箱数为的前项和： ， 设第年组件单价为，由题意是首项、公比的等比数列， 第年末的单价为： ， 计算满年的总货款： 代入，得， ，故总货款； 计算年末总货款： 根据题意总货款为总箱数乘以第年末单价， 即. 1．（2026·河北沧州·一模）已知数列是等差数列，是其前项和，，，则公差（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件建立关于首项和公差的方程组求解. 【详解】由题意：，化简可得：， 所以，解得：. 2．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知等差数列前项和为，若，则（     ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】使用等差数列前项和的性质求解. 【详解】因为，所以. 3．（25-26高二下·江西九江·期中）已知是等差数列的前项和，若，，则等于（   ） A． B．2026 C． D．4052 【答案】C 【分析】根据是等差数列的前项和，推得数列是等差数列，利用基本量运算即可求解. 【详解】因为是等差数列的前项和， 所以数列是等差数列. 又，， 则数列的公差，首项为， 所以，. 4．（25-26高二下·湖北·期中）已知等差数列，的前项和分别为，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的前项和的性质求解. 【详解】， 因为，则，， ，， 所以，即的值为. 5．（25-26高二下·山东淄博·期末）记为数列的前项和，已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B．是等差数列 C．不是等差数列 D．当且仅当时，取到最小值 【答案】D 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法推理判断C；求出判断A；求出及求解判断BD. 【详解】对于C，由， 得到，则数列是公差为2的等差数列，C错误； 对于A，，A错误； 对于B，，则， 当时，， 满足上式，因此，，不是等差数列，B错误； 对于D，， 因此当且仅当时，取到最小值，D正确. 6．（2026·湖南岳阳·二模）等差数列的首项为1，公差不为0.若成等比数列，则数列的前6项和为（   ） A． B． C．26 D．24 【答案】C 【分析】根据等比中项结合等差数列通项公式可得，，再结合的正负性以及等差数列性质运算求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，则，且， 即，整理可得，解得或（舍去）， 可得， 令，解得， 所以数列的前6项和为. 7．（2026·江西九江·二模）已知是首项为6的等差数列．当且仅当时，的前项和取得最大值，则公差的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等差数列的通项公式表示出，再结合前项和取得最大值的条件，得到关于公差的不等式组，进而求解的取值范围. 【详解】因为是首项的等差数列，所以， 因为当且仅当时，的前项和取得最大值，则且， 当时：，则，所以， 当时：，则，所以， 综上，， 即公差的取值范围是. 8．（25-26高二上·天津·阶段检测）设等差数列的前n项和为，且（），若，则（   ） A．的最大项是 B．的最小项是 C．的最大项是 D．的最小项是 【答案】D 【分析】由已知不等式推出公差，再结合得出且，从而判断出前项和的最小项为. 【详解】， 对于等差数列，，代入得：， 又因为，代入化简可得：， 对所有成立，故公差； 因为，数列递增，故，由，且； 因此：当时，，当时，； 前项和在由负转正时取得最小值，即是最小项. 故选：D 9．（26-27高三上·湖北·开学考试）（多选）记数列的前项和为，若，，则下列选项正确的有（    ） A．数列为等差数列 B． C． D．数列为周期数列 【答案】AC 【分析】令得到，结合，可判断A，再结合A进一步可判断BCD. 【详解】令，则． 因为，所以． 于是，所以，即． 所以是以为首项，公差为的等差数列． 所以，所以． 选项A：因为，所以为等差数列，所以A正确． 选项B：．因为时，所以不恒成立，B错误． 选项C：由， 得． 而，所以，C正确． 选项D：通项随变化，对应的点分布在函数的图象上，不是周期数列，D错误． 10．（26-27高三上·浙江·开学考试）（多选）已知等差数列的前项和为，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．，，可能成等差数列 D．，，可能成等比数列 【答案】BC 【分析】根据等差数列的前项和公式及性质，再结合片段和性质，及等差数列等比数列的判定逐一分析即可． 【详解】对于A，由是等差数列，则， 若，则，即， 所以，即当，且时，，即不恒成立，故A错误； 对于B，由是等差数列，则对任意的整数，都有，，成等差数列， 令，则，，成等差数列， 所以，故B正确； 设等差数列的公差为，则，，， 对于C，若成等差数列，则，即，解得， 则，，，即，，所以， 即当时，，，成等差数列，故C正确； 对于D，若成等比数列，则，即，解得， 将看成是关于的一元二次方程， 则，只有当时，方程有解，且解为， 此时，则，，不可能成等比数列，故D错误． 11．（25-26高二下·河南·期末）（多选）已知数列的前项和，则下列说法正确的有（   ） A．数列是递减的等差数列 B． C．，，成等比数列 D．当或4时，取得最大值 【答案】ACD 【分析】使用等差数列与等比数列的定义，通项公式，使用与的递推关系分析选项A，使用通项公式求解选项B，使用等比数列的定义分析选项C，使用等差数列的性质分析选项D. 【详解】因为， 所以当时，； 当时，，所以， 所以数列是首项，公差的等差数列． 因为，所以数列是递减数列，故A正确； ，故B错误； 因为，可得，，， 即，所以，，成等比数列，故C正确； 当时，令，解得，； 令，解得，； 令，解得，； 所以当或4时，取得最大值，故D正确． 12．（26-27高二上·全国·课堂例题）若等差数列中的，是方程的两个根，则______. 【答案】 【详解】由题意得. 由等差数列的性质可知： ，，…，，， 所以. 13．（26-27高三上·安徽阜阳·开学考试）记等差数列的前项和为，且，，则____. 【答案】5 【分析】利用等差数列性质得，推出，再对递推式赋值得到另一关系式，联立方程求解出. 【详解】因为，又，， 所以，又，则，可得， 因为，所以，令，可得，又， 所以. 14．（26-27高二上·福建龙岩·阶段检测）已知数列满足，，若数列满足，则数列的前n项和=____________ 【答案】 【分析】先对递推式变形构造等差数列求出的通项，进而得到的通项，再分段计算的前15项和即可. 【详解】由题意得：，所以， 所以，即，， 所以数列是以首项为，公差为的等差数列， 所以，所以， 所以， 所以， 所以. 15．（26-27高三·全国·一轮复习）在数列中，， (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义（为常数）证明； （2）由（1）可得的通项公式，再用错位相减法和等差数列求和公式分别求和. 【详解】（1）                     所以数列是公差为3的等差数列． （2）由题得，由（1）可得所以                                             记  ①， 所以   ②， ①-②得 则                         所以 16．（25-26高二上·上海嘉定·期末）设等差数列的前项和为，且. (1)若，求数列的通项公式； (2)若，且是数列中最大的项，求所有可能的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得的公差和首项，进而可求通项. （2）根据数列中的最大项列不等式，从而求得的所有可能取值. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则 ，解得， ∴. （2）由（1）得， 由于是数列中最大的项， ∴，则 ， 所以，即 即 解得， 由于是整数，所以的可能取值是. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $