6.4 数列通项公式的求法讲义 -2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦数列通项公式求法核心考点，涵盖a_n与S_n关系、累加累乘法等八大类型，按“知识点梳理-解题策略归纳-考点对应训练”逻辑架构知识体系。通过步骤拆解、方法对比（如待定系数法与阶差法）、真题案例精讲，帮助学生构建递推关系转化模型，突破由递推式求通项的难点，体现复习的系统性与高考针对性。 讲义创新采用“类型归类+策略优化”教学模式，如针对a_{n+1}=pa_n+q^n型，设计“同除q^{n+1}构造等比数列”与“待定系数法”双策略对比教学，培养学生数学思维中的推理能力与模型观念。设置基础巩固到综合应用分层练习，配合2026年模拟题实战训练，确保短时间内高效掌握通性通法，既提升学生递推关系转化能力，又为教师提供精准复习节奏把控的教学资源。

6.4 数列通项公式的求法 知识点1、an与Sn的关系求通项公式 Sn与an关系问题的解题策略 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． 策略一 利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解 策略二 利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解 已知Sn求an的步骤 步骤一 利用a1＝S1，求出a1 步骤二 用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出当n≥2时an的表达式 知识点2、累加与累乘法求通项公式 形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求数列{an}的通项公式． 形如＝f(n)的数列，常令n分别为1，2，3，…，n－1，代入＝f(n)，再把所得的(n－1)个等式相乘，利用an＝a1···…·(n≥2)即可求数列{an}的通项公式． 知识点3、an＋1＝can＋d(c≠0) 形如an＋1＝can＋d(c≠0)： (1)当c＝1时，数列{an}为等差数列； (2)当d＝0，a1≠0时，数列{an}为等比数列； (3)当c≠1，d≠0时，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求． ①待定系数法：设an＋1＋λ＝c(an＋λ)，得an＋1＝can＋(c－1)λ， 与题设an＋1＝can＋d比较系数，得(c－1)λ＝d，所以λ＝(c≠1)， 所以有an＋1＋＝c， 当a1＋≠0时，数列是以a1＋为首项，c为公比的等比数列． ②逐项相减法(阶差法)：有时我们从递推关系an＋1＝can＋d中把n换成n－1，有an＝can－1＋d，两式相减有an＋1－an＝c(an－an－1)，从而化为公比为c的等比数列{an＋1－an}，进而求得通项公式an＋1－an＝cn－1(a2－a1)，再利用累加法即可求得通项公式，这种方法会比较复杂． 知识点4、an＋1＝pan＋kn＋b(p≠0，1，k≠0) 形如an＋1＝pan＋kn＋b(p≠0，1，k≠0)： 待定系数法：通过配凑可转化为an＋1＋x(n＋1)＋y＝p[an＋xn＋y]． 解题的基本步骤： ①设等比数列{bn}满足bn＝an＋xn＋y，公比为p； ②列出关系式an＋1＋x(n＋1)＋y＝p[an＋xn＋y]，即bn＋1＝pbn； ③比较系数求x，y； ④求出数列{an＋xn＋y}的通项公式，进而得出数列{an}的通项公式． 知识点5、an＋1＝pan＋qn(p≠0，q≠0，1) 形如an＋1＝pan＋qn(p≠0，q≠0，1)： (1)当p＝1时，即an＋1＝an＋qn累加即可； (2)当p≠1时，即an＋1＝pan＋qn求通项的方法有以下三种： ①两边同除以pn＋1.目的是把所求数列构造成等差数列，即＝＋·， 令bn＝，则bn＋1－bn＝·，然后用累加法求通项； ②两边同除以qn＋1.目的是把所求数列构造成等比数列，即＝·＋， 令bn＝，则bn＋1＝bn＋，然后用待定系数法求通项； ③待定系数法．目的是把所求数列构造成等差数列， 设an＋1＋λqn＋1＝p(an＋λqn)，通过比较系数，求出λ，转化为等比数列求通项． 知识点6、an＋1＝(p≠0，r≠0，s≠0) 对于形如an＋1＝(p≠0，r≠0，s≠0)型的递推关系式，可以两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为bn＋1＝mbn＋q型，求出的表达式，再求an. 知识点7、an＋1＝pan＋qan－1(p≠0，1，q≠0，1) 对于形如an＋1＝pan＋qan－1(p≠0，1，q≠0，1)型的递推关系式，可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求an. 知识点8、an＋1＝pa(p＞0，an＞0) 对于形如an＋1＝pa(p＞0，an＞0)型的递推关系式，可以两边同时取对数转化为logtan＋1＝logtp＋mlogtan的形式，化归为bn＋1＝mbn＋logtp型，求出logtan的表达式，再求an. 考点一　利用an与Sn的关系求通项公式 考点二　累加与累乘法求通项公式 考点三　an＋1＝can＋d(c≠0)型求通项 考点四　an＋1＝pan＋kn＋b型求通项 考点五　an＋1＝pan＋qn型求通项 考点六　an＋1＝型求通项 考点七　an＋1＝pan＋qan－1型求通项 考点八　an＋1＝pa型求通项 考点一　利用an与Sn的关系求通项公式 1．（2026·辽宁·模拟预测）已知数列的前项和为，且，，，则（     ） A．162 B．243 C．384 D．512 【答案】C 【分析】利用，可求得，再利用求解即可. 【详解】因为，即，所以， 可得数列为等比数列，首项为，公比， 所以， 所以. 2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）数列的前项和为，，，则______. 【答案】 【分析】先通过将换为得到新等式，再与原式作差并结合化简，最后根据等差数列定义求出通项公式. 【详解】已知，当时，将换为得： 两式作差可得： ， 又因为，所以， 整理得：， 因为时，两边约去得： ，即是首项、公差的等差数列， 由等差数列通项公式可得： ， 当时也满足，故. 3．（2026·山东济宁·三模）已知数列的前项和为，若，，成等差数列，则______． 【答案】 【详解】因为，，成等差数列，所以， 当时，可得，解得， 当时，可得， 则， 得到，化简得， 设，则，得到， 则，即数列是公比为2的等比数列， 得到，故. 4．（2026高三·全国·专题练习）已知正项数列的前项和为，且，则（   ） A．4047 B．4044 C．4042 D．4045 【答案】A 【分析】由求解可以得到为等差数列，将代入即可. 【详解】①， ∴当时，②， ①-②可得， ， ，，， ∴当时，，解得， 是首项为1，公差为2的等差数列，则， 于是有． 5．（25-26高一下·上海闵行·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式_____． 【答案】 【分析】通过与作差求出的通项，并在最后讨论该数列是否分段. 【详解】当时，. 当时，. 此时时， 所以. 6．（25-26高二下·江西南昌·期中）设数列满足，则的前2026项和为_________ 【答案】 【分析】先求出的通项公式，再求前项和为，最后代入计算即可. 【详解】当时，； 当时，；， 所以，即， 当时，不满足； 所以 所以的前项和为. 所以 考点二　累加与累乘法求通项公式 7．（26-27高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，求数列的通项公式. 【答案】 【详解】因为，所以， 当时， ， 当时，也满足上式，故数列的通项公式为． 8．（26-27高三上·贵州·开学考试）已知数列满足递推关系，且首项，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用累加法，结合等比数列前项和公式分析即可. 【详解】当时，由， 则， ， ， ， ， ， 累加得：， 即， 因为，所以 ， 当时，满足题意，故数列的通项公式为：. 9．（25-26高二下·福建福州·期中）已知数列中，满足，，则数列的通项公式___________ 【答案】 【分析】利用累加法可求得数列的通项公式. 【详解】在数列中，，， 当时，，，，， 上述所有等式相加得， 所以， 也满足，故对任意的，. 10．（26-27高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，求数列的通项公式. 【答案】 【详解】由，得， 所以， 将以上各式相乘，可得， 因为，所以， 又因为满足上式，所以数列的通项公式为． 11．（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）已知数列满足，，则的前7项和为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据累乘法，可求得数列的通项公式，根据裂项相消求和法，即可得答案. 【详解】因为，， 所以， 则，即， 所以， 又，满足上式，所以， 所以的前7项和为. 故选：C 12．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知为数列的前项和，若，则等于（   ） A．2026 B．2025 C．0 D．1013 【答案】D 【分析】根据，结合已知条件，得到数列的递推关系.利用累乘法求得，代入2027求得；或先求出，再求得. 【详解】因为，所以 即. 所以. 因为，所以. 所以……. 由累乘法得：. 所以，，， 所以. 方法二： 因为，所以. 两式相减，得，即. 由，得. 所以. 所以. 故选：D. 考点三　an＋1＝can＋d(c≠0)型求通项 13．（25-26高二下·河南·期末）在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用构造等比数列的方法结合等比数列的通项公式求解即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以．所以数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以，所以． 14．（25-26高二上·福建厦门·期中）若数列满足，，则（ ） A．1020 B．1024 C．2044 D．2048 【答案】C 【分析】整理可得，可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解. 【详解】因为，则， 且，可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列， 则，即， 所以. 故选：C. 15．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足（）且，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】构造法得到为公比为4的等比数列，且，求出通项公式. 【详解】，设，故，所以， 解得，所以， 所以为公比为4的等比数列，且，所以， 故. 16．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）已知数列的前n项和为，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等比数列 D．是等差数列 【答案】C 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项公式，再逐项判断可得答案. 【详解】数列中，，由，得，解得. 因为，所以， 因为，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列， 所以，故. 对于A，，A错误； 对于B，，故，B错误； 对于C，是等比数列，C正确； 对于D，，而不成等差数列， 所以不是等差数列，D错误. 故选：C. 考点四　an＋1＝pan＋kn＋b型求通项 17．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段检测）已知，当时，，则的通项公式为___________ 【答案】 【分析】由题意设，展开后对照已知列方程组求出，再结合等比数列的通项公式，即可求得答案. 【详解】由于当时，①， 故设，即②， 由①，②对照可得，，解得， 即， 又，则是以3为首项，为公比的等比数列， 故，则 故答案为： 18．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，则____________． 【答案】 【分析】由，可得，再根据等比数列的定义及通项即可得解. 【详解】由，可得， 又，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以. 故答案为：. 19．（25-26高三上·河南新乡·期中）在数列中，，，则__________. 【答案】 【分析】由已知的递推公式构造等比数列，求得该等比数列的通项公式，从而得到数列的通项公式. 【详解】由，得. 由，得，则， 所以. 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以. 所以. 故答案为：. 20．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，求出数列的通项公式. 【答案】 【详解】因为，令，即，得，，故，因为，所以，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，得，所以. 考点五　an＋1＝pan＋qn型求通项 21．（25-26高三·全国·一轮复习）在数列中，且，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【详解】由，两边同除以，可得，即， 因为，可得，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 可得，所以， 即数列的通项公式为． 22．（25-26高三上·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【分析】由得，构造等比数列即可求解. 【详解】由，，，可得， 所以是以3为首项、3为公比的等比数列，所以， 则，； 故答案为：. 23．（26-27高三·全国·一轮复习）在数列中，已知，，求的通项公式． 【答案】 【分析】通过凑配法证得是等比数列，进而求的通项公式. 【详解】由，得， 整理得， 所以是首项为，公比为的等比数列． 故，则． 24．（25-26高二下·安徽芜湖·期中）已知数列的前项和为，，则的通项公式为________． 【答案】 【分析】通过对递推公式变形，构造出等差数列来求解数列的通项公式. 【详解】对两边同时除以， 得，即， 则是首项为，公差为的等差数列， 故，得． 考点六　an＋1＝型求通项 25．（26-27高二上·全国·课堂例题）已知数列的首项，且满足．求数列的通项公式； 【答案】 【分析】由已知及构造法得，再由等比数列的定义可得答案. 【详解】因为，，易知， 取倒数得，，即， 因为，所以，所以为常数， 所以是以为首项，为公比的等比数列； 所以，则， 所以，即数列的通项公式为. 26．（26-27高三·全国·一轮复习）数列满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造，然后根据等差数列的通项公式计算即可. 【详解】求不动点，令，解得（等根）.构造， 那么数列是首项为，公差为的等差数列， 故，. 27．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列中，，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】由，得，再利用待定系数法构造新的数列，结合等比数列的定义及通项即可得解. 【详解】由，得，即， 又，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以. 28．（26-27高三·全国·一轮复习）已知数列中，，求． 【答案】 【分析】通过递推关系寻找规律，然后构造新数列转化成等差数列形式，即可求得. 【详解】， 所以， 又，则是首项为公差为的等差数列， 得，故． 考点七　an＋1＝pan＋qan－1型求通项 29．（26-27高三·全国·一轮复习）已知数列中，，求． 【答案】 【分析】由已知可得，令，可得，从而得数列是等比数列，求得，即有，即可得是等比数列，求出其首项和公比，可得，即可得． 【详解】解：因为， 所以， 令， 则， 所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以， 所以， 所以，， 所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以， 所以， 即， 所以． 30．（26-27高三·全国·一轮复习）在数列中，，且对任意的，都有，求数列的通项公式； 【答案】 【分析】根据题意，由构造法可得首项为，公比为的等比数列，再由累加法，即可得到结果. 【详解】由，可得 又，， 所以． 所以首项为，公比为的等比数列． 所以． 所以． 又满足上式，所以 31．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，且，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】将条件变为，根据等比数列的定义，可证是以3为首项，3为公比的等比数列，可得，变形可得，根据等比数列的定义，可证是以为首项，为公比的等比数列，整理计算，即可得答案. 【详解】因为， 所以，即， 又， 所以是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， 左右同除得：， 所以，即， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 则，所以. 32．（26-27高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，，则通项公式______ 【答案】 【分析】根据题中递推关系构造两个等比数列，联立方程求解通项公式； 【详解】因为变形为 所以数列是等比数列，首项为，公比为3， 因此①， 又因为变形为 所以数列是等比数列，首项为，公比为2， 因此②， ① ②两式相减可得. 故答案为：. 考点八　an＋1＝pa型求通项 33．（25-26高二·全国·课后作业）设正项数列满足，，则数列的通项公式是______． 【答案】 【分析】将等式两边同时取对数后，转化为的形式，再利用构造法求通项公式． 【详解】原式两边同时取对数，得， 即．设，则， 又， 所以是以2为公比，1为首项的等比数列， 所以，所以，所以． 故答案为：. 34．（26-27高三·全国·一轮复习）数列满足，（），则____ 【答案】 【解析】由题得，所以是公比为2的等比数列，再利用等比数列的通项公式即得解. 【详解】因为数列满足，（）， 所以 所以是公比为2的等比数列， 所以. 故答案为： 【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查等比数列的判定和通项的求法，考查对数的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 35．（25-26高二下·湖北·期中）已知数列满足，，则__________. 【答案】 【分析】两边取以为底的对数，得到构造数列得到数列是首项为、公比为的等比数列，利用等比数列的通项公式得到，从而求出，即可得到 【详解】令则 由两边取以为底的对数， 得 所以数列满足 令 则 且 因此数列是首项为、公比为的等比数列，所以 于是从而即 36．（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）已知正项数列满足，，则________． 【答案】 【详解】由，得，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即． 1．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知数列的前项和公式为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知为数列的前项和，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由条件可得，再由与的关系可得，进而可得，从而可得所求和. 【详解】当时，，因为，所以. 当时，由，得， 两式相减可得，即. 因为，所以，又，所以. 因此数列是公差为0，首项为的等差数列， 可得，所以. 3．（25-26高二下·河南许昌·期中）已知数列满足，且，则（   ） A．223 B．233 C．243 D．253 【答案】D 【详解】由递推公式，可得. 则，，，. 将以上个式子累加得： . ，故. 4．（2025高三上·江西南昌·专题练习）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由累积法可得，根据与的关系计算即可求解. 【详解】因为，则， 所以， 当时，， 当时，满足， 所以数列的通项公式为. 故选：C 5．（2026·四川广元·三模）已知数列满足：，，，则（   ） A．127 B．128 C．255 D．256 【答案】C 【详解】在数列中，由，得，而， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 所以. 6．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题中所给的递推关系，可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，从而可求得其通项公式，代入，解方程即可. 【详解】由题意知，，所以，即， 又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以， 所以，解得. 故选：C 7．（25-26高二上·广东河源·期末）在正项数列中，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过参变分离将转化为，再利用递推公式，求出数列的通项，分为奇数和偶数讨论求得的最大值即可得答案. 【详解】由，得，，又， 所以， 则是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即. 由，得， 当为奇数时，为递增数列， 所以，即. 当为偶数时，为递减数列， 所以，所以. 所以. 故选：C. 8．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）（多选）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（     ） A．是递减数列 B． C．，，成等差数列 D．当或4时，取得最大值 【答案】ACD 【分析】由的关系求得通项公式，再结合等差数列的性质逐项判断即可. 【详解】当时，， 又，所以，则是递减数列，故A正确； ，故B错误； 因为，所以，故数列为等差数列， 所以，，成等差数列，故C正确； 因为的对称轴为，开口向下，而是正整数，且或距离对称轴一样远， 所以当或时，取得最大值，故D正确． 9．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）（多选）已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是递增数列 C．数列是等比数列 D． 【答案】BC 【详解】对于A，，A错误； 对于CD，，， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列，C正确； ，即，D错误； 对于B，，， 数列是递增数列，B正确. 10．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）（多选）已知数列满足，则（   ） A．数列是等差数列 B． C．数列的前项和 D．数列是递减数列 【答案】AC 【分析】根据等差数列的定义即可判断A；根据等差数列的通项公式即可判断B；根据等差数列的前项和公式即可判断C；根据等差数列的单调性即可判断D. 【详解】对于A，由， 可得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故A正确； 对于B，由A知，所以，故B错误； 对于C，由A，B知，，故C正确； 对于D，由A知，， 所以数列是递增数列，故D错误. 故选：AC. 11．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列满足，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】根据的递推关系式，构造，得到数列为等比数列，根据等比数列的通项公式得到的通项公式． 【详解】由题意得，而， 故是以1为首项，5为公比的等比数列， 故；故；可得． 12．（25-26高二下·广西贺州·阶段检测）已知数列满足，且，则______． 【答案】 【详解】设，即， 和比较可得，则， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以． 13．（2026高三下·宁夏银川·专题练习）数列满足：，且对任意正整数，均有，则的通项公式为_____． 【答案】 【分析】利用对数运算将幂运算降次，再通过构造等比数列，最后通过 指对互化求出的通项公式. 【详解】因为，所以， 又， 则数列是以为首项，2为公比的等比数列， 因此即， 所以. 故答案为：. 14．（25-26高二下·广东茂名·期末）数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得，作差可得，从而得到数列是等比数列，再利用等比数列的通项公式即可. （2）将代入可得其通项公式，从而转化出，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）因为， 当时，. 所以，即. 又，满足. 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以. （2） 所以. 所以. 15．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足：，，，求数列通项公式. 【答案】 【分析】根据递推关系式，可令，解出两根； 方法一：根据方程两根可构造两个等比数列和，结合两个等比数列通项公式，可消元求得通项； 方法二：根据方程两根可构造通项公式的一般形式，代入，解方程组即可求得通项. 【详解】方法一（构造两个等比数列）：令，解得：或， ， 又，， 数列是以为首项，为公比的等比数列；数列是以为首项，为公比的等比数列； …①；…②； ①②得：，化简得：. 方法二（特征根法）：，，； 令，解得：或， 故令，代入得， 解得：，. 16．（25-26高三下·河南·阶段检测）记为数列的前项和，． (1)求数列的前项和； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用退位相减法可得，结合等比数列的定义，得到为等比数列，进而求得其前项和； （2）由（1）化简得到，得到数列为等差数列，求得，利用乘公比错位相减法求和，即可求解. 【详解】（1）解：由为数列的前项和，，可得， 两式相减，可得，即， 所以， 令，可得，即，解得， 再令，可得，即，解得， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 则数列的前项和为． （2）解：由（1）知：，可得，且， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，可得， 所以数列的通项公式为， 则， 可得 两式相减，可得 ，所以． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4 数列通项公式的求法 知识点1、an与Sn的关系求通项公式 Sn与an关系问题的解题策略 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． 策略一 利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解 策略二 利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解 已知Sn求an的步骤 步骤一 利用a1＝S1，求出a1 步骤二 用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出当n≥2时an的表达式 知识点2、累加与累乘法求通项公式 形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求数列{an}的通项公式． 形如＝f(n)的数列，常令n分别为1，2，3，…，n－1，代入＝f(n)，再把所得的(n－1)个等式相乘，利用an＝a1···…·(n≥2)即可求数列{an}的通项公式． 知识点3、an＋1＝can＋d(c≠0) 形如an＋1＝can＋d(c≠0)： (1)当c＝1时，数列{an}为等差数列； (2)当d＝0，a1≠0时，数列{an}为等比数列； (3)当c≠1，d≠0时，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求． ①待定系数法：设an＋1＋λ＝c(an＋λ)，得an＋1＝can＋(c－1)λ， 与题设an＋1＝can＋d比较系数，得(c－1)λ＝d，所以λ＝(c≠1)， 所以有an＋1＋＝c， 当a1＋≠0时，数列是以a1＋为首项，c为公比的等比数列． ②逐项相减法(阶差法)：有时我们从递推关系an＋1＝can＋d中把n换成n－1，有an＝can－1＋d，两式相减有an＋1－an＝c(an－an－1)，从而化为公比为c的等比数列{an＋1－an}，进而求得通项公式an＋1－an＝cn－1(a2－a1)，再利用累加法即可求得通项公式，这种方法会比较复杂． 知识点4、an＋1＝pan＋kn＋b(p≠0，1，k≠0) 形如an＋1＝pan＋kn＋b(p≠0，1，k≠0)： 待定系数法：通过配凑可转化为an＋1＋x(n＋1)＋y＝p[an＋xn＋y]． 解题的基本步骤： ①设等比数列{bn}满足bn＝an＋xn＋y，公比为p； ②列出关系式an＋1＋x(n＋1)＋y＝p[an＋xn＋y]，即bn＋1＝pbn； ③比较系数求x，y； ④求出数列{an＋xn＋y}的通项公式，进而得出数列{an}的通项公式． 知识点5、an＋1＝pan＋qn(p≠0，q≠0，1) 形如an＋1＝pan＋qn(p≠0，q≠0，1)： (1)当p＝1时，即an＋1＝an＋qn累加即可； (2)当p≠1时，即an＋1＝pan＋qn求通项的方法有以下三种： ①两边同除以pn＋1.目的是把所求数列构造成等差数列，即＝＋·， 令bn＝，则bn＋1－bn＝·，然后用累加法求通项； ②两边同除以qn＋1.目的是把所求数列构造成等比数列，即＝·＋， 令bn＝，则bn＋1＝bn＋，然后用待定系数法求通项； ③待定系数法．目的是把所求数列构造成等差数列， 设an＋1＋λqn＋1＝p(an＋λqn)，通过比较系数，求出λ，转化为等比数列求通项． 知识点6、an＋1＝(p≠0，r≠0，s≠0) 对于形如an＋1＝(p≠0，r≠0，s≠0)型的递推关系式，可以两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为bn＋1＝mbn＋q型，求出的表达式，再求an. 知识点7、an＋1＝pan＋qan－1(p≠0，1，q≠0，1) 对于形如an＋1＝pan＋qan－1(p≠0，1，q≠0，1)型的递推关系式，可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求an. 知识点8、an＋1＝pa(p＞0，an＞0) 对于形如an＋1＝pa(p＞0，an＞0)型的递推关系式，可以两边同时取对数转化为logtan＋1＝logtp＋mlogtan的形式，化归为bn＋1＝mbn＋logtp型，求出logtan的表达式，再求an. 考点一　利用an与Sn的关系求通项公式 考点二　累加与累乘法求通项公式 考点三　an＋1＝can＋d(c≠0)型求通项 考点四　an＋1＝pan＋kn＋b型求通项 考点五　an＋1＝pan＋qn型求通项 考点六　an＋1＝型求通项 考点七　an＋1＝pan＋qan－1型求通项 考点八　an＋1＝pa型求通项 考点一　利用an与Sn的关系求通项公式 1．（2026·辽宁·模拟预测）已知数列的前项和为，且，，，则（     ） A．162 B．243 C．384 D．512 2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）数列的前项和为，，，则______. 3．（2026·山东济宁·三模）已知数列的前项和为，若，，成等差数列，则______． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知正项数列的前项和为，且，则（   ） A．4047 B．4044 C．4042 D．4045 5．（25-26高一下·上海闵行·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式_____． 6．（25-26高二下·江西南昌·期中）设数列满足，则的前2026项和为_________ 考点二　累加与累乘法求通项公式 7．（26-27高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，求数列的通项公式. 8．（26-27高三上·贵州·开学考试）已知数列满足递推关系，且首项，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·福建福州·期中）已知数列中，满足，，则数列的通项公式___________ 10．（26-27高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，求数列的通项公式. 11．（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）已知数列满足，，则的前7项和为（    ）． A． B． C． D． 12．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知为数列的前项和，若，则等于（   ） A．2026 B．2025 C．0 D．1013 考点三　an＋1＝can＋d(c≠0)型求通项 13．（25-26高二下·河南·期末）在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·福建厦门·期中）若数列满足，，则（ ） A．1020 B．1024 C．2044 D．2048 15．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足（）且，求数列的通项公式． 16．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）已知数列的前n项和为，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等比数列 D．是等差数列 考点四　an＋1＝pan＋kn＋b型求通项 17．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段检测）已知，当时，，则的通项公式为___________ 18．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，则____________． 19．（25-26高三上·河南新乡·期中）在数列中，，，则__________. 20．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，求出数列的通项公式. 考点五　an＋1＝pan＋qn型求通项 21．（25-26高三·全国·一轮复习）在数列中，且，则数列的通项公式为__________． 22．（25-26高三上·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为__________． 23．（26-27高三·全国·一轮复习）在数列中，已知，，求的通项公式． 24．（25-26高二下·安徽芜湖·期中）已知数列的前项和为，，则的通项公式为________． 考点六　an＋1＝型求通项 25．（26-27高二上·全国·课堂例题）已知数列的首项，且满足．求数列的通项公式； 26．（26-27高三·全国·一轮复习）数列满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列中，，求数列的通项公式． 28．（26-27高三·全国·一轮复习）已知数列中，，求． 考点七　an＋1＝pan＋qan－1型求通项 29．（26-27高三·全国·一轮复习）已知数列中，，求． 30．（26-27高三·全国·一轮复习）在数列中，，且对任意的，都有，求数列的通项公式； 31．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，且，求数列的通项公式． 32．（26-27高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，，则通项公式______ 考点八　an＋1＝pa型求通项 33．（25-26高二·全国·课后作业）设正项数列满足，，则数列的通项公式是______． 34．（26-27高三·全国·一轮复习）数列满足，（），则____ 35．（25-26高二下·湖北·期中）已知数列满足，，则__________. 36．（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）已知正项数列满足，，则________． 1．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知数列的前项和公式为，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知为数列的前项和，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南许昌·期中）已知数列满足，且，则（   ） A．223 B．233 C．243 D．253 4．（2025高三上·江西南昌·专题练习）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ） A． B． C． D． 5．（2026·四川广元·三模）已知数列满足：，，，则（   ） A．127 B．128 C．255 D．256 6．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·广东河源·期末）在正项数列中，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）（多选）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（     ） A．是递减数列 B． C．，，成等差数列 D．当或4时，取得最大值 9．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）（多选）已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是递增数列 C．数列是等比数列 D． 10．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）（多选）已知数列满足，则（   ） A．数列是等差数列 B． C．数列的前项和 D．数列是递减数列 11．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列满足，则的值为___________． 12．（25-26高二下·广西贺州·阶段检测）已知数列满足，且，则______． 13．（2026高三下·宁夏银川·专题练习）数列满足：，且对任意正整数，均有，则的通项公式为_____． 14．（25-26高二下·广东茂名·期末）数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 15．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足：，，，求数列通项公式. 16．（25-26高三下·河南·阶段检测）记为数列的前项和，． (1)求数列的前项和； (2)求． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $