专题04 角平分线、垂直平分线有关的八类热考题型 （压轴题专项训练）数学新教材华东师大版八年级上册

**基本信息** 以“性质↔判定”双向转化为核心，构建“由线得等—由等定线”解题主线，系统覆盖角平分线与垂直平分线八类热考题型，注重方法迁移与实际应用，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1核心方法|“性质↔判定”双向转化，辅助线（垂线/连两端）|从概念本质（等距线）到解题主线（由线得等/由等定线）| |题型精讲|8典例+24变式|每类题型特征+方法+易错提醒，如性质证等距、判定证平分线|从单一性质/判定到综合应用，再到多结论问题，层层递进| |压轴挑战|12综合题|结合全等、等腰三角形及实际情境转化|衔接中考高频考点，提升复杂问题解决能力，体现应用意识|

专题04 角平分线、垂直平分线有关的八类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、角平分线的性质定理 1 类型二、角平分线的判定定理 2 类型三、角平分线判定与性质综合 9 类型四、与角平分线有关的多结论问题 11 类型五、垂直平分线的性质 23 类型六、线段垂直平分线的判定定理 26 类型七、垂直平分线的判定与性质综合 31 类型八、角平分线、垂直平分线与实际问题 36 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 角平分线与垂直平分线是初中几何的两大 "等距线"，是轴对称、等腰三角形与全等证明的重要工具。所有题型均围绕"性质↔判定" 双向转化展开：角平分线 ——"角平分线上的点到角两边距离相等" 与 "到角两边距离相等的点在角平分线上" 互推；垂直平分线 ——"垂直平分线上的点到线段两端距离相等" 与 "到线段两端距离相等的点在垂直平分线上" 互推。解题贯穿两条主线：一是由线得等（用性质直接得距离或线段相等），二是由等定线（用判定确定点的位置），复杂题常需作辅助线（角平分线作垂线、垂直平分线连两端），所有结果均需结合图形实际意义检验。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、角平分线的性质定理 典例精讲1（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，是的一条角平分线，是边上的中线，若的面积是18，的面积是6，，则的长为________． 【答案】6 【分析】先根据三角形中线的性质求出，即可求解，过点D作于F，过D作于G，然后根据角平分线的性质定理得到，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵的面积是6，是边上的中线， ∴， ∵的面积是18 ∴ 如图所示，过点D作于F，过D作于G， 是的角平分线， ， ， ， ∴． 题型归纳 1.特征：已知某条射线是角的平分线，点在该平分线上，要求求点到角两边的距离，或证明两条垂线段相等。2.方法：直接用性质定理 —— 角平分线上的点到角两边的距离相等；过平分线上的点作角两边的垂线，两条垂线段相等，结合勾股定理或面积法求解。 3.易错提醒："距离" 必须是点到角两边的垂线段，不是任意线段；作辅助线时须标明垂直，否则不能直接用性质。 变式训练1（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，，为上的点，连接，点关于的对称点恰好是中点，连接，，若，则点到的距离为________． 【答案】 【分析】作于点G，作于点H，由轴对称的性质得，，由角平分线的性质得，然后根据求解即可． 【详解】解：作于点G，作于点H， ∵点关于的对称点恰好是中点， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即点到的距离为4． 变式训练2（25-26八年级下·江西抚州·期末）如图，点是内部的一点，点到三边，，，的距离，，则的度数为_______________． 【答案】/130度 【分析】由，根据证明全等得到、分别平分、，先利用三角形内角和求出，再求出，最后再次用三角形内角和算出． 【详解】解：点到三边的距离， 在和中， ， ， ， 平分， 同理，平分， ，， 在中，根据三角形内角和定理：， 即， ， ． 变式训练3（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直，若的面积为，那么四边形的面积为______． 【答案】 【分析】过作于点，，根据角平分线性质可得，，证明，，所以，，又的面积为，即，最后通过四边形的面积为即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∵，， ∴， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵的面积为， ∴， ∴四边形的面积为． 类型二、角平分线的判定定理 典例精讲2（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在中，，，，和的平分线交于点O，于点M，则的长为________． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的性质定理．用角平分线的性质定理求得，再利用等积法求解即可． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， 过O分别作的垂线，垂足为D、E，连接， ∵O是和的平分线的交点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得． 题型归纳 1.特征：已知点到角两边的距离相等（或两条垂线段相等），要求证明该点在角的平分线上，或证明某条射线是角平分线。 2.方法：用判定定理 —— 到角两边距离相等的点在角的平分线上；过该点作角两边的垂线，证明两条垂线段相等，即可判定点在平分线上。 3.易错提醒：必须是到角两边的距离相等，不是到任意两条线的距离；两条垂线须从同一点出发，且垂足分别在角的两边上。 变式训练1（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，于点C，于点D，，若，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题考查角平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用角平分线的判定定理证明是角平分线即可解决问题． 【详解】解：于点，于点，且， ， ， ， 故答案为：． 变式训练2（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点和在这把直尺上的刻度数分别是和，则的长为__________． 【答案】 【分析】作交于点，结合角平分线的判定定理得平分，结合平行线性质推得，即可根据等角对等边得解． 【详解】解：作交于点， 依题得：，，， 点在的平分线上，即平分， ， 又， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是角平分线的判定定理、平行线的性质、等角对等边，解题关键是熟练掌握角平分线的判定定理． 变式训练3（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知，如图所示，于点E，于点F，． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）根据角平分线的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）证明：∵于点E，于点F， 在与中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵于点E，于点F，， ∴平分． 变式训练4（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，，，垂足分别为点和点，，与相交于点．求证：平分． 【答案】 证明：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质以及角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据易证，由全等三角形的对应角相等可得，又因，，根据角平分线的性质即可得平分． 【详解】证明：略． 类型三、角平分线判定与性质综合 典例精讲3（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，点为的中点，平分，． (1)求证：平分． (2)猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) 证明：如图，作交于点， 点为的中点， ， 平分，，， ， ， 又，即， 点在的平分线上， 即平分； (2) 解：猜想：， 证明如下， 由（1）可知，， 又， （）， ， 同理可得，，， ， ． 【分析】本题考查线段中点的定义，角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，正确掌握角平分线的性质和判定是解题的关键． （1）作交于点，根据线段中点的定义和角平分线的性质，易证，再根据角平分线的判定即可求证； （2）利用“”，易证，，从而，，进而根据，可证． 【详解】（1）略 （2）略 题型归纳 1.特征：综合题中需同时运用角平分线的性质与判定，常涉及作垂线、证明全等、求线段长或角度。 2.方法：按 "判定识平分线→性质得等距" 或 "性质得等距→判定平分线" 的链条推进；常用辅助线是过角平分线上的点作两边垂线，构造全等直角三角形。 3.易错提醒：性质与判定的方向不可用反 —— 由平分线得等距是性质，由等距得平分线是判定；作垂线后须证明全等，不可直接默认三角形全等。 变式训练1（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，在中，点在边的延长线上，连接，的平分线交于点，连接，过点作于点，若，． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) 证明：如图，过点作于点，于点． 平分， ． ，， ， 平分， ， ， 平分． (2) 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于点，于点根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：，，，且， ， ， ， ， 故的面积为32． 变式训练2（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）在中，的度数为，分别是、的平分线． (1)求的度数（用含的式子表示）； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2) 证明：作， ∵分别是，的外角平分线， ∴， 则， 即平分． 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定，三角形内角和性质，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据三角形的外角等于与他不相邻的两个内角的和，得，，然后根据三角形内角和性质列式计算，即可作答． （2）结合角平分线是性质得，又根据角平分线的判定即可作答． 【详解】（1）解：∵ 的度数为，，， ∴ 则． （2）略 变式训练3（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，的外角的角平分线与内角的角平分线交于点E，点F在边的延长线上，的延长线交边的延长线于点D，过点E作于点H． (1)求证：平分； (2)若，求的度数； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) 证明：如图，过点作于点，作于点， 平分，，， ， 平分，，， ， ， 又点在的内部， 平分； (2) (3)26 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的判定即可得证； （2）由为的角平分线，为的角平分线，可得，，再由，，可得，，再求解即可； （3）设，再根据求得，再利用三角形的面积公式可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：是的一个外角，为的角平分线，为的角平分线， ，， ，， ，， ． （3）解：由（1）已得：， 设， ， ， ， ， ． 类型四、与角平分线有关的多结论问题 典例精讲4（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，为的角平分线，，过点作于点，交的延长线于点，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定证明①正确；再证明，得到，证明，故②错误；设与交于点，证明，得到③正确；根据证明④正确． 【详解】解：，为的角平分线， ， ，故①正确； ， ，故②错误； 设与交于点，如图， ，故③正确； ，故④正确． 题型归纳 1.特征：给出含角平分线的复杂图形及若干结论，要求判断正确结论的个数或选出正确结论。 2.方法：逐一验证每个结论 —— 利用角平分线性质（等距）、判定（等距→平分线）、全等三角形、等腰三角形等进行证明；错误结论尝试举反例或计算具体数值排除。 3.易错提醒：每个结论独立验证，不可因前几个正确就默认后续正确；角平分线只能保证 "到两边距离相等"，不能直接推出 "线段相等"" 角相等 " 等其他结论，须有中间推导。 变式训练1（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，分别以的边，向外作两个等边三角形与，连接、交点F，连接．以下四个结论：①；②；③平分；④，其中正确结论的是（   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的判定等知识，证明，即可判断①；由①中，得出，然后结合三角形外角的性质即可判断②；过A作于M，于N，根据等面积法证明，然后根据角平分线的判定即可判断③；由②得，延长至点K，使，连接，可得是等边三角形，得到，，证明得到，根据线段的和差即可判断④． 【详解】解：、都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 设和相交于O， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 过A作于M，于N， ∵， ∴，即， 又， ∴， ∴平分，故③正确； 由②知，， 延长至点K，使，连接， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．故④正确． 综上所述，正确的结论是①②③④． 故选：A． 变式训练2（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在和中，，，，，连接，交于点H，则下列结论：①；②；③平分；④平分．则一定正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．由证明得出，，①正确；由全等三角形的性质得出，由三角形内角和定理得到，②正确；作于点M，于点N，，由全等三角形对应边上的高相等得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；假设平分，证明出，得到，从而证明，与已知矛盾，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴，，故①正确； 设与交于点E， ∵，， 又∵， ∴，故②正确； 作于点M，于点N，如图所示： ∵， ∴（全等三角形对应边上的高相等）， ∴平分，故④正确； ∴， ∵， ∴， 即， 假设平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， 这与矛盾，故③错误； 正确的有①②④． 故选：B． 变式训练3（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，三边的长分别为，与的平分线交于点，若点到的距离为，则有下列结论：①垂直平分；②；③点到点的距离为；④．其中一定正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和定义，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和，三角形面积计算，熟练掌握相应知识是解题的关键．利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④进行判断即可求解． 【详解】解：由平分，与不一定相等，因此不一定垂直平分，故不正确； ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴，故正确； ∵平分， ∴点到的距离等于点到的距离， 如图，过点作于，则，连接， ∴点到的距离大于，故不正确； 如图，连接，过点作于，过点作于，过点作于， ∵、分别平分、， ∴， ∴，故正确； 综上所述，正确． 故选：C． 变式训练4（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，交于点．则下列结论中，一定正确的是（   ） ①；②； ③； ④． A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的性质和判定，作辅助线，构造建三角形全等是关键． ①和②根据三角形内角和定理可得然后根据平分，平分，可得再根据三角形内角和定理即可进行判断；③作平分可得证明可得进而可以判断；④作，由平分可得，所以，进而可以进行判断． 【详解】解：①在中，， 平分，平分， ． 故①错，②对． ③作平分交于，则 在和中, 同理 故③对． ④作分别交于 由③知平分 故④对． 故答案为D． 类型五、垂直平分线的性质 典例精讲5（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，中，，分别是、边上的垂直平分线，、相交于点，连接、、，已知，则的度数为_____°． 【答案】25 【分析】根据垂直平分线的性质得到，再根据等边对等角，得到，求出，继而根据垂直平分线的性质与等边对等角进行求解即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 题型归纳 1.特征：已知某条直线是线段的垂直平分线，点在该直线上，要求求点到线段两端的距离，或证明两条线段相等、求周长。 2.方法：直接用性质定理 —— 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；连接点与线段两端点，得到等腰三角形，结合等边对等角、周长公式求解。 3.易错提醒：必须同时满足 "垂直" 且 "平分" 两个条件，仅垂直不平分或仅平分不垂直都不能用性质；相等的是 "点到两端点" 的两条线段，不是原线段被分成的两段。 变式训练1（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，若，，则的周长为___________． 【答案】 【分析】根据作图可得，是的垂直平分线，得到，再通过线段等量代换将的周长转化为，进而求出三角形周长． 【详解】解：由作图可知，， ， ， 由作图可知，直线是的垂直平分线， 点在直线上， ， ， 将代入得，， ，， ． 变式训练2（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）已知中，，分别以、为圆心，以大于为半径作弧，两弧相交于；作直线交于点D，连接，平分，交于点E，，的面积为12，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作，由题意得，垂直平分，则，由角平分线性质得，根据的面积为12，列关于的式子，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， 由题意得，垂直平分， ， 平分，，， ， 的面积为12， ，即， ． 变式训练3（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，，于点，，垂直平分交于点，交于点，点是线段上一个动点，则的周长的最小值是____________． 【答案】9 【分析】连接，由垂直平分，推出，则，由，推出，则的最小值为5，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为5， ∴的周长的最小值为． 类型六、线段垂直平分线的判定定理 典例精讲6（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，，，连接，交于点E．若，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定、等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据垂直平分线的判定可知是的垂直平分线，则有，再证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 题型归纳 1.特征：已知点到线段两端点的距离相等，要求证明该点在线段的垂直平分线上，或证明某条直线是线段的垂直平分线。 2.方法：用判定定理 —— 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；证明直线是垂直平分线时，需找到直线上两个到两端等距的点（两点确定一条直线）。 3.易错提醒：一个等距点只能确定 "点在垂直平分线上"，不能确定整条直线；证明某直线是垂直平分线，须有两个点满足等距条件，或同时证明垂直且平分。 变式训练1（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点B与点A重合，已知的周长是18，的周长是26，则_________． 【答案】8 【分析】本题考查了垂直平分线性质，由折叠的性质易得为的垂直平分线，根据垂直平分线性质得到，再结合，，即可解题． 【详解】解：由折叠的性质得， ∴为的垂直平分线， ， ，， ∴． 故答案为：． 变式训练2（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，中，，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且．若周长为，，，_______cm． 【答案】1 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定．先根据线段垂直平分线的性质和判定得，再根据的周长为，，求出，然后等量代换可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵的周长为，， ∴， ∴， 则， ∴， 即． 故答案为：． 变式训练3（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 【答案】(1)证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， 点和点在的垂直平分线上， 垂直平分； (2)30 【分析】（1）证明，可得，从而得到点和点在的垂直平分线上即可． （2）由三角形的面积可求出，根据三角形周长公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ，， ， ， 的周长为30． 变式训练4（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，，的角平分线交于点． (1)是等腰三角形吗？为什么？ (2)连接，是的垂直平分线吗？为什么？ 【答案】(1) 解：是等腰三角形， 理由是：∵， ∴， ∵，的角平分线交于点． ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 解：是的垂直平分线，理由： ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵ ∴点在线段的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线． 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是关键． （1）根据等边对等角和等腰三角形的判定进行解答即可； （2）根据等角对等边和线段垂直平分线的判定进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 类型七、垂直平分线的判定与性质综合 典例精讲7（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图， 在 中，，，是的垂直平分线，交，于点，，连接， ． (1)求证： ； (2)点在线段的垂直平分线上吗？请说明理由． 【答案】(1) 证明：在中，，，   ∴， ， ∵是的垂直平分线  ， ∴， ∴，   ∴是等边三角形 ，   ∴； (2) 在，理由如下： ∵是的垂直平分线 ， ∴， ∴， ∴， ∴平分，   ∵， ∴ ， ∵是等边三角形， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，垂直平分线的判定与性质，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据含度角的直角三角形的性质可得，根据是的垂直平分线，可得，即可证明是等边三角形； （2）根据垂直平分线的性质可得，进而可得平分，根据角平分线的性质可得，根据等边三角形的性质可得，然后即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 题型归纳 1.特征：综合题中需同时运用垂直平分线的性质与判定，常涉及等腰三角形、周长、角度、证明线段相等或垂直。 2.方法：按 "判定识中垂线→性质得等距→等腰→等边对等角" 的链条推进；常用辅助线是连接中垂线上的点与线段两端点，构造等腰三角形，结合周长转化求解。 3.易错提醒：性质与判定方向不可用反；垂直平分线得到的等腰三角形中，顶角在中垂线上的点，底角在线段两端点，角的对应关系不可标错。 变式训练1（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，四边形的对角线，相交于点，，点在上，． (1)求证：； (2)连接，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴． (2) 证明：∵， ∴， ∴点A在的垂直平分线上．     ∵， ∴点E在的垂直平分线上， ∴所在直线为的垂直平分线， ∴．     ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴． 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，垂直平分线；等腰三角形； （1）根据角边角判定三角形全等即可； （2）连接，结合三角形全等的性质证出所在直线为的垂直平分线，再证，即可证明，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 变式训练2（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，，，是边上的中线，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点．作直线分别交于点，连接． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若的长为2，求的长． 【答案】(1) 解：是等边三角形． 理由是：在中，，， ， 以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线分别交，于点，， 是的垂直平分线， ， ， ． 在中，，是边上的中线， ， ， 是等边三角形； (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一，三角形内角和性质，垂直平分线的性质． （1）先运用三角形内角和性质算出，因为是的垂直平分线，所以，则，故，再结合在中，，是边上的中线，即可作答； （2）因为是的垂直平分线，则，结合，，得，因为，得，因为是等边三角形，得，，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，是的垂直平分线， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 变式训练3（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若为中点，连接并延长交的延长线于点，连接，求证：． 【答案】(1)证明：，， ， ， 又， ， ， ； (2)证明：由（1）可知，， 为中点， 垂直平分， 点在延长线上， ， ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， ， ， ，即． 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，垂直平分线的判定与性质； （1）先由，，得到，即可得到，则； （2）先证明垂直平分，得到，即可得到，，得到，结合，即． 【详解】（1）略 （2）略 类型八、角平分线、垂直平分线与实际问题 典例精讲8（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条笔直公路围成的内修建一个度假村．要使这个度假村到这三条公路的距离都相等，应在（    ）处修建这个度假村． A．三条中线的交点 B．三条高线的交点 C．三个内角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线交点 【答案】C 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得出答案． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点处． 题型归纳 1.特征：以选址、修路、供水、消防等实际情境为背景，要求找到满足 "到两点等距" 或 "到两边等距" 的点的位置。 2.方法：先把实际需求转化为几何条件 ——"到两地等距" 用垂直平分线（作两点连线的垂直平分线），"到两条路等距" 用角平分线（作角的平分线）；两者结合时取交点，再用性质求解。 3.易错提醒：先分清是 "到两点等距" 还是 "到两边等距"，用错线会全题皆错；实际问题中单位须统一，求出的位置要验证是否在题目限定的范围内（如某条路段上）。 变式训练1（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，如果想在，，三地之间建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，则货物中转仓的位置应选在的（    ） A．三边中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三边垂直平分线的交点处 D．三边高线的交点处 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，到三地距离相等的点在三边垂直平分线的交点． 【详解】解：∵货物中转仓到三地的距离相等， ∴货物中转仓的位置应选在的三边垂直平分线的交点处， 故选：C ． 变式训练2（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，某地一条公路旁有两个居民点，它们各自到公路的垂直距离分别为，公路上的两地相距．现准备在公路上修建一所医院E，因两地居民需求基本一致，考虑选择合适的地点建造，使得两地到医院的距离相等．试在图上确定医院E的建造位置，并求出该医院离A地的距离． 【答案】 该医院离A地的距离 【分析】作的垂直平分线与交于点，交于点，则点即为所作；连接，设，用勾股定理表示出，利用列出方程求值即可． 【详解】解：连接，作线段的垂直平分线，交于E，交于点，则点E就是医院的建造位置，图略，连接，设，则． ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得， 答：该医院离A地的距离． 变式训练3（25-26八年级·全国·暑假作业）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P，并简要写出作法及作图依据． 【答案】解：如图所示，作线段的垂直平分线，再作的角平分线交线段的垂直平分线于点P，则点P即为所求； 由线段垂直平分线的性质可得点P到两个城镇A，B的距离相等，由角平分线的性质可得点P到两条高速公路和的距离也相等． 【分析】点P到两个城镇A，B的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，点P到两条高速公路和的距离相等，则点P在的角平分线上，据此作图即可． 【详解】略 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26八年级下·广东佛山·期末）在中，，，，，的平分线相交于点，则到边的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出的长，根据角平分线的性质和等积法，进行求解即可. 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，的平分线相交于点， ∴点到的距离都相等， 设点到的距离为， ∵， ∴， ∴， 解得； 故到边的距离为2. 2．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，中，是角平分线，是的中线，若的面积是20，，，则的面积是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质和三角形的面积先求出点D到的距离，然后再根据三角形中线的性质即可得出结论． 【详解】解：过点作，，垂足分别为， 是角平分线， ，设，， ∴， ， 解得，， ， 是的中线， ． 3．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，外角的平分线与内角的平分线交于点P，若，请你求出（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】添加辅助线，作，，，根据角平分线的性质以及三角形外角的性质求解的度数，再结合角平分线的性质可得，可得平分，由此求解即可． 【详解】解：作交的延长线于点H，交的延长线于点F，作于点E，如图， ∵外角的平分线与内角的平分线交于点P， ∴，， ∵在中，， 在中，， ∵， ∴，即， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分， ∵， ∴． 4．（25-26八年级下·河北保定·阶段检测）图1为嘉嘉制作的测量角的大小的仪器，可绕点转动，可通过点处的圆规测量的大小．如图2，测量时通过调整测量工具和的位置，使点在边上，落在边上，恰好经过点．若测得，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据题意可得垂直平分，进而根据角平分线的判定定理可得得出，进而证明，设，则，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 依题意，垂直平分 ∴ ∴ ∵ ∴是的角平分线， ∴ ∴ 设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 5．（25-26八年级上·福建龙岩·期末）如图，中，，为角平分线，，为直线上一动点，连接，则线段长的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、垂线段最短等知识，首先解得，根据题意易得当时，线段的长度取最小值，然后由角平分线的性质定理即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵为直线上一动点， ∴当时，线段的长度取最小值，如下图， ∵为的角平分线，，， ∴， ∴线段长度的最小值是4． 故选：A． 6．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图， 在中， 与的角平分线相交于点， 连接， 并过点作交于点 ， 交于点， 那么下列结论： ①的周长等于；②； ③． 其中一定正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质；关键是熟练应用知识点解题；根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， 同理：， ∴的周长，①正确； ∵与的角平分线相交于点， ∴平分， ∴，②正确； ∵， ∴，③错误． 故选：A． 7．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一性质及线段垂直平分线性质得出及的度数，进而求解. 【详解】解：连接， ，， ，， 平分， ， 垂直平分， ， ， ，平分， 垂直平分， ， ， 8．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分，于点，于点，则下列结论：是等腰三角形；；平分；垂直平分．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及线段垂直平分线的判定，首先根据等角对等边得出，再利用全等三角形的判定与性质逐一判断各个结论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，只有当时，，题目未给出的度数，故不一定是等腰三角形，即错误； ∵，， ∴，即，即正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，即正确； ∵，， ∴点、都在线段的垂直平分线上，即垂直平分，即正确； 综上所述，正确的结论有，共个． 9．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形的内角和定理可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，由线段垂直平分线的性质，结合等边对等角，可得的度数，用的度数减去的度数，即可得的度数． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，中，，点E，F分别为边，上的点，将沿折叠得，连接，，过点P作于点D，点D恰好是的中点．若，平分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点，连接，利用等腰三角形的性质求得，，由，点D恰好是的中点，求得，再求得，由折叠的性质即可求解． 【详解】解：延长交于点，连接， ∵，平分， ∴是线段的垂直平分线，，， ∴， ∵，点D恰好是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质，得， ∴， ∴． 11．（25-26八年级上·云南楚雄·期末）如图，以兔子的三个洞口为顶点作，猎狗想捕捉洞里的兔子，它的最佳位置应到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（　　） A．三条角平分线的交点处 B．三条边的垂直平分线的交点处 C．三角形三条高的交点处 D．三角形三条中线的交点处 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等作答即可． 【详解】解：线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等， 猎狗想到的三个洞口的距离都相等，则应蹲守在三条边的垂直平分线的交点处． 故选：B． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，是外的一点，交的延长线于点，于点，交的延长线于点，连接，，若，，则的度数为__________． 【答案】/32度 【分析】先说明平分，平分，可得．再根据三角形外角的性质得，然后说明，可得答案． 【详解】解：∵且， ∴平分，平分， ∴． ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴， 即． 13．（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）如图，的角平分线交于点，于，若，的周长为，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，连接，作，垂足分别为，根据角平分线的性质，得到，分割法求出三角形的面积即可． 【详解】解：作，垂足分别为， ∵的角平分线交于点O，于D，， ∴， ∴ ； ∵的周长为17， ∴， ∴； 故答案为：． 14．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，点为内，和平分线的交点．连接，过点作交于点，交于点边上有两点．若，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理与判定定理、等边三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形的角平分线、等边三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 过点O分别作，垂足分别为P、M、N，由题意易得，则有，然后可得，根据全等三角形的性质可得，，进而可得，则有，，通过证明是等边三角形，则问题可求解． 【详解】解：过点O分别作，垂足分别为P、M、N，如图所示： ∵平分，平分， ∴， ∴点O在的角平分线上，即平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 同理可得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图所示，平分，，垂足为E，交的延长线于点F．若恰好平分，有以下结论：①是的高；②；③；④．其中正确的有______．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查角平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 根据平行线的性质可得，进而得到是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到是的高；易证得，根据全等三角形的性质得到、，进而得到、，据此解答即可． 【详解】解：恰好平分 是等腰三角形 平分 、 是的高 故①正确； 在和中 、 、 故②错误，③④正确； 综上所述，正确的有①③④． 故答案为：①③④ 16．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，直线与直线相交于点，过点作于点．若的周长为30，则的长为______． 【答案】15 【分析】连接，，，由线段垂直平分线的性质得出， ，由三角形周长得出，由线段垂直平分线的性质得出，由等腰三角形三线合一的性质得出． 【详解】解：连接，，， ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∴的周长为∶， ∵F是、垂直平分线的交点， ∴． ∵， ∴M是的中点， ∴． 17．（25-26七年级下·福建宁德·期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点是直线上一个动点，若周长的最小值是，则的最大值是________． 【答案】 【分析】将的周长转化为的形式，从而求出的长，再利用三角形三边关系确定最大值即可．　 【详解】如图，连接， 是的垂直平分线， ， 的周长为：， 长度是定值， 要使的周长最小，即的值最小， 根据两点之间，线段最短可知，当，，三点共线时，的值最小，最小值为线段的长度，为， 周长的最小值为：， 则， 根据三角形任意两边之差小于第三边，可得， 当，，三点共线时，取得最大值， 即的最大值是． 18．（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，点D是外一点，连接，过点C作，垂足为E．，的面积为14． (1)求证：是的平分线； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：如图1，过点C作交的延长线于点F， ∵的面积为14，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，，点C在的内部， ∴点C在的平分线上， ∴是的平分线； (2)证明：如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，垂足为E， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 由（1）可知：是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）过点C作交的延长线于点F，利用三角形面积公式求得，然后根据角平分线的判定定理，即可证明结论； （2）在上截取，连接，首先证明，易得是线段的垂直平分线，进而可得，再证明，进而利用“”证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 19．（26-27八年级上·湖北武汉·开学考试）已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 【答案】(1)证明：平分，平分， 设，， ，， ； (2)证明：过作于点，作于点，作于点， 平分， ， 平分， ， ． 平分． 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理得到，，即可得到结论； （2）过作于点，作于点，作于点，根据角平分线的性质得到，，则．根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 20．（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，点，分别在，边上，连接，交于点，且垂直平分，连接． (1)若，，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，根据垂直平分线的性质得出，，即可证明，得出，，根据平行线的性质得出，，，根据平角的定义即可求出的度数； （2）根据的周长为，结合得出，根据的周长为得出，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵垂直平分， ∴，， 在与中，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为，， ∴， ∵的周长为， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 21．（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，某足球训练基地内有两条训练通道，，主训练场、备用训练场分别位于，两处．现计划在基地内设置一个球员休息区，请你帮忙确定休息区的位置． 要求：①休息区到通道和的距离相等； ②休息区到主训练场点和备用训练场点的距离相等； ③尺规作图，保留作图痕迹，不写作法． 【答案】P点位置如图所示： 【分析】作的平分线和的垂直平分线，它们的交点即为所求． 【详解】解：由休息区到通道和的距离相等， ∴休息区在的平分线上； 由休息区到主训练场点和备用训练场点的距离相等， ∴休息区在的垂直平分线上； ∴作的平分线和的垂直平分线，它们的交点即为所求． 22.（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）证明： (1)如图1，在中，，点D为中点，于点E，于点F，求证：． (2)如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点G，连接并延长，交于点D，求证：点D为的中点． 【答案】(1) 证明：，点D为中点， 平分， 于点E，于点F， ； (2) 证明：， ， 和分别为等边三角形， ， ， 即， ， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 垂直平分， 点D为的中点． 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，垂直平分线的性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据三线合一证明平分，再利用角平分线的性质进行判断即可； （2）根据等边三角形的性质得到，证明，得到垂直平分，即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 角平分线、垂直平分线有关的八类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、角平分线的性质定理 1 类型二、角平分线的判定定理 2 类型三、角平分线判定与性质综合 4 类型四、与角平分线有关的多结论问题 4 类型五、垂直平分线的性质 7 类型六、线段垂直平分线的判定定理 8 类型七、垂直平分线的判定与性质综合 10 类型八、角平分线、垂直平分线与实际问题 11 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 角平分线与垂直平分线是初中几何的两大 "等距线"，是轴对称、等腰三角形与全等证明的重要工具。所有题型均围绕"性质↔判定" 双向转化展开：角平分线 ——"角平分线上的点到角两边距离相等" 与 "到角两边距离相等的点在角平分线上" 互推；垂直平分线 ——"垂直平分线上的点到线段两端距离相等" 与 "到线段两端距离相等的点在垂直平分线上" 互推。解题贯穿两条主线：一是由线得等（用性质直接得距离或线段相等），二是由等定线（用判定确定点的位置），复杂题常需作辅助线（角平分线作垂线、垂直平分线连两端），所有结果均需结合图形实际意义检验。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、角平分线的性质定理 典例精讲1（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，是的一条角平分线，是边上的中线，若的面积是18，的面积是6，，则的长为________． 题型归纳 1.特征：已知某条射线是角的平分线，点在该平分线上，要求求点到角两边的距离，或证明两条垂线段相等。2.方法：直接用性质定理 —— 角平分线上的点到角两边的距离相等；过平分线上的点作角两边的垂线，两条垂线段相等，结合勾股定理或面积法求解。 3.易错提醒："距离" 必须是点到角两边的垂线段，不是任意线段；作辅助线时须标明垂直，否则不能直接用性质。 变式训练1（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，，为上的点，连接，点关于的对称点恰好是中点，连接，，若，则点到的距离为________． 变式训练2（25-26八年级下·江西抚州·期末）如图，点是内部的一点，点到三边，，，的距离，，则的度数为_______________． 变式训练3（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直，若的面积为，那么四边形的面积为______． 类型二、角平分线的判定定理 典例精讲2（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在中，，，，和的平分线交于点O，于点M，则的长为________． 题型归纳 1.特征：已知点到角两边的距离相等（或两条垂线段相等），要求证明该点在角的平分线上，或证明某条射线是角平分线。 2.方法：用判定定理 —— 到角两边距离相等的点在角的平分线上；过该点作角两边的垂线，证明两条垂线段相等，即可判定点在平分线上。 3.易错提醒：必须是到角两边的距离相等，不是到任意两条线的距离；两条垂线须从同一点出发，且垂足分别在角的两边上。 变式训练1（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，于点C，于点D，，若，则的度数为______． 变式训练2（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点和在这把直尺上的刻度数分别是和，则的长为__________． 变式训练3（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知，如图所示，于点E，于点F，． (1)求证：； (2)求证：平分． 变式训练4（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，，，垂足分别为点和点，，与相交于点．求证：平分． 类型三、角平分线判定与性质综合 典例精讲3（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，点为的中点，平分，． (1)求证：平分． (2)猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 题型归纳 1.特征：综合题中需同时运用角平分线的性质与判定，常涉及作垂线、证明全等、求线段长或角度。 2.方法：按 "判定识平分线→性质得等距" 或 "性质得等距→判定平分线" 的链条推进；常用辅助线是过角平分线上的点作两边垂线，构造全等直角三角形。 3.易错提醒：性质与判定的方向不可用反 —— 由平分线得等距是性质，由等距得平分线是判定；作垂线后须证明全等，不可直接默认三角形全等。 变式训练1（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，在中，点在边的延长线上，连接，的平分线交于点，连接，过点作于点，若，． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 变式训练2（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）在中，的度数为，分别是、的平分线． (1)求的度数（用含的式子表示）； (2)求证：平分． 变式训练3（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，的外角的角平分线与内角的角平分线交于点E，点F在边的延长线上，的延长线交边的延长线于点D，过点E作于点H． (1)求证：平分； (2)若，求的度数； (3)若，，，且，求的面积． 类型四、与角平分线有关的多结论问题 典例精讲4（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，为的角平分线，，过点作于点，交的延长线于点，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 题型归纳 1.特征：给出含角平分线的复杂图形及若干结论，要求判断正确结论的个数或选出正确结论。 2.方法：逐一验证每个结论 —— 利用角平分线性质（等距）、判定（等距→平分线）、全等三角形、等腰三角形等进行证明；错误结论尝试举反例或计算具体数值排除。 3.易错提醒：每个结论独立验证，不可因前几个正确就默认后续正确；角平分线只能保证 "到两边距离相等"，不能直接推出 "线段相等"" 角相等 " 等其他结论，须有中间推导。 变式训练1（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，分别以的边，向外作两个等边三角形与，连接、交点F，连接．以下四个结论：①；②；③平分；④，其中正确结论的是（   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 变式训练2（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在和中，，，，，连接，交于点H，则下列结论：①；②；③平分；④平分．则一定正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 变式训练3（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，三边的长分别为，与的平分线交于点，若点到的距离为，则有下列结论：①垂直平分；②；③点到点的距离为；④．其中一定正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 变式训练4（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，交于点．则下列结论中，一定正确的是（   ） ①；②； ③； ④． A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 类型五、垂直平分线的性质 典例精讲5（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，中，，分别是、边上的垂直平分线，、相交于点，连接、、，已知，则的度数为_____°． 题型归纳 1.特征：已知某条直线是线段的垂直平分线，点在该直线上，要求求点到线段两端的距离，或证明两条线段相等、求周长。 2.方法：直接用性质定理 —— 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；连接点与线段两端点，得到等腰三角形，结合等边对等角、周长公式求解。 3.易错提醒：必须同时满足 "垂直" 且 "平分" 两个条件，仅垂直不平分或仅平分不垂直都不能用性质；相等的是 "点到两端点" 的两条线段，不是原线段被分成的两段。 变式训练1（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，若，，则的周长为___________． 变式训练2（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）已知中，，分别以、为圆心，以大于为半径作弧，两弧相交于；作直线交于点D，连接，平分，交于点E，，的面积为12，则的长为______． 变式训练3（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，，于点，，垂直平分交于点，交于点，点是线段上一个动点，则的周长的最小值是____________． 类型六、线段垂直平分线的判定定理 典例精讲6（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，，，连接，交于点E．若，，则________． 题型归纳 1.特征：已知点到线段两端点的距离相等，要求证明该点在线段的垂直平分线上，或证明某条直线是线段的垂直平分线。 2.方法：用判定定理 —— 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；证明直线是垂直平分线时，需找到直线上两个到两端等距的点（两点确定一条直线）。 3.易错提醒：一个等距点只能确定 "点在垂直平分线上"，不能确定整条直线；证明某直线是垂直平分线，须有两个点满足等距条件，或同时证明垂直且平分。 变式训练1（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点B与点A重合，已知的周长是18，的周长是26，则_________． 变式训练2（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，中，，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且．若周长为，，，_______cm． 变式训练3（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 变式训练4（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，，的角平分线交于点． (1)是等腰三角形吗？为什么？ (2)连接，是的垂直平分线吗？为什么？ 类型七、垂直平分线的判定与性质综合 典例精讲7（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图， 在 中，，，是的垂直平分线，交，于点，，连接， ． (1)求证： ； (2)点在线段的垂直平分线上吗？请说明理由． 题型归纳 1.特征：综合题中需同时运用垂直平分线的性质与判定，常涉及等腰三角形、周长、角度、证明线段相等或垂直。 2.方法：按 "判定识中垂线→性质得等距→等腰→等边对等角" 的链条推进；常用辅助线是连接中垂线上的点与线段两端点，构造等腰三角形，结合周长转化求解。 3.易错提醒：性质与判定方向不可用反；垂直平分线得到的等腰三角形中，顶角在中垂线上的点，底角在线段两端点，角的对应关系不可标错。 变式训练1（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，四边形的对角线，相交于点，，点在上，． (1)求证：； (2)连接，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 变式训练2（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，，，是边上的中线，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点．作直线分别交于点，连接． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若的长为2，求的长． 变式训练3（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若为中点，连接并延长交的延长线于点，连接，求证：． 类型八、角平分线、垂直平分线与实际问题 典例精讲8（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条笔直公路围成的内修建一个度假村．要使这个度假村到这三条公路的距离都相等，应在（    ）处修建这个度假村． A．三条中线的交点 B．三条高线的交点 C．三个内角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线交点 题型归纳 1.特征：以选址、修路、供水、消防等实际情境为背景，要求找到满足 "到两点等距" 或 "到两边等距" 的点的位置。 2.方法：先把实际需求转化为几何条件 ——"到两地等距" 用垂直平分线（作两点连线的垂直平分线），"到两条路等距" 用角平分线（作角的平分线）；两者结合时取交点，再用性质求解。 3.易错提醒：先分清是 "到两点等距" 还是 "到两边等距"，用错线会全题皆错；实际问题中单位须统一，求出的位置要验证是否在题目限定的范围内（如某条路段上）。 变式训练1（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，如果想在，，三地之间建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，则货物中转仓的位置应选在的（    ） A．三边中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三边垂直平分线的交点处 D．三边高线的交点处 变式训练2（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，某地一条公路旁有两个居民点，它们各自到公路的垂直距离分别为，公路上的两地相距．现准备在公路上修建一所医院E，因两地居民需求基本一致，考虑选择合适的地点建造，使得两地到医院的距离相等．试在图上确定医院E的建造位置，并求出该医院离A地的距离． 变式训练3（25-26八年级·全国·暑假作业）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P，并简要写出作法及作图依据． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26八年级下·广东佛山·期末）在中，，，，，的平分线相交于点，则到边的距离为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，中，是角平分线，是的中线，若的面积是20，，，则的面积是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，外角的平分线与内角的平分线交于点P，若，请你求出（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·河北保定·阶段检测）图1为嘉嘉制作的测量角的大小的仪器，可绕点转动，可通过点处的圆规测量的大小．如图2，测量时通过调整测量工具和的位置，使点在边上，落在边上，恰好经过点．若测得，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·福建龙岩·期末）如图，中，，为角平分线，，为直线上一动点，连接，则线段长的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 6．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图， 在中， 与的角平分线相交于点， 连接， 并过点作交于点 ， 交于点， 那么下列结论： ①的周长等于；②； ③． 其中一定正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 7．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为（） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分，于点，于点，则下列结论：是等腰三角形；；平分；垂直平分．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，中，，点E，F分别为边，上的点，将沿折叠得，连接，，过点P作于点D，点D恰好是的中点．若，平分，则（    ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·云南楚雄·期末）如图，以兔子的三个洞口为顶点作，猎狗想捕捉洞里的兔子，它的最佳位置应到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（　　） A．三条角平分线的交点处 B．三条边的垂直平分线的交点处 C．三角形三条高的交点处 D．三角形三条中线的交点处 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，是外的一点，交的延长线于点，于点，交的延长线于点，连接，，若，，则的度数为__________． 13．（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）如图，的角平分线交于点，于，若，的周长为，则的面积为______． 14．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，点为内，和平分线的交点．连接，过点作交于点，交于点边上有两点．若，则的长为___________． 15．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图所示，平分，，垂足为E，交的延长线于点F．若恰好平分，有以下结论：①是的高；②；③；④．其中正确的有______．（填序号） 16．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，直线与直线相交于点，过点作于点．若的周长为30，则的长为______． 17．（25-26七年级下·福建宁德·期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点是直线上一个动点，若周长的最小值是，则的最大值是________． 18．（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，点D是外一点，连接，过点C作，垂足为E．，的面积为14． (1)求证：是的平分线； (2)若，求证：． 19．（26-27八年级上·湖北武汉·开学考试）已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 20．（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，点，分别在，边上，连接，交于点，且垂直平分，连接． (1)若，，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 21．（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，某足球训练基地内有两条训练通道，，主训练场、备用训练场分别位于，两处．现计划在基地内设置一个球员休息区，请你帮忙确定休息区的位置． 要求：①休息区到通道和的距离相等； ②休息区到主训练场点和备用训练场点的距离相等； ③尺规作图，保留作图痕迹，不写作法． 22.（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）证明： (1)如图1，在中，，点D为中点，于点E，于点F，求证：． (2)如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点G，连接并延长，交于点D，求证：点D为的中点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $