专题08 角平分线的性质（题型专练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以角平分线性质为核心，构建“概念-性质-应用-综合”四层方法体系，通过11类题型系统训练距离计算、面积转化、辅助线构造等关键能力，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|题型1-4（4题型）|垂线段等量代换、等面积法|从性质定义到距离/面积/线段长计算| |作图与位置|题型5-7（3题型）|尺规作图步骤、内心性质|结合作图痕迹分析与位置确定| |综合应用|题型8-11（4题型）|全等转化、辅助线（作垂线）、截长法|性质与全等、几何证明的综合迁移|

专题08 角平分线的性质 （题型突破·举一反三） ▌题型01 利用角平分线的性质求点到直线的距离 【典例1】D． 【变式1-1】A． 【变式1-2】B． 【变式1-3】B． ▌题型02 利用角平分线的性质求面积 【典例1】A． 【变式1-1】A． 【变式1-2】D． 【变式1-3】D． ▌题型03 利用角平分线的性质求线段长 【典例1】B． 【变式1-1】B． 【变式1-2】B． 【变式1-3】C． ▌题型04 利用角平分线的性质确定位置 【典例1】D． 【变式1-1】A． 【变式1-2】C． 【变式1-3】D． ▌题型05 通过尺规作图的痕迹得到角平分线 【典例1】B． 【变式1-1】B． 【变式1-2】7． 【变式1-3】3． ▌题型06 周长与面积之间的联系（等面积法） 【典例1】A． 【变式1-1】A． 【变式1-2】D． 【变式1-3】D． ▌题型07 尺规作图（角平分线） 【典例1】 【解答】解：如图所示：点E即为所求作的点，理由如下： 过C作CH⊥OB于H， 由作图知CE⊥OA， ∵OM平分∠AOB， ∴CE＝CH， ∵△OCD的面积OD•CH＝24， ∵OD＝12， ∴CH＝4， ∴CE＝4． 【变式1-1】 【解答】解：（1）如图所示， （2）如图所示，过点D作DE⊥AB于点E， 由条件可知DE＝DC， 设DE＝DC＝x， 在Rt△ABC中，∵BC＝6，AC＝8，AB＝10， ∴， ∴， 解得：x＝3， 即CD的长为3． 【变式1-2】 【解答】解：（1）∠ABC的平分线如图所示． （2）作DH⊥AB于H． ∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥AB， ∴CD＝DH＝3， ∴△ABC的面积 ＝S△BCD+S△ABD BC•CDAB•DH 3BC3AB （BC+AB） 3×16＝24． 【变式1-3】 【解答】解：如图所示，作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线，二者的交点即为点P的位置． ▌题型08 角平分线的性质与全等三角形结合 【典例1】 【解答】解：（1）在DE上截取DH＝DA，连接FH，如图1所示： 在△ODE中，∠DOE＝60°， ∴∠ODE+∠OED＝180°﹣∠DOE＝120°， ∵DF，EF分别是∠ODE，∠OED的平分线， ∴∠FDE＝∠FDA∠ODE，∠FED＝∠FEB∠OED， ∴∠FED+∠FDE（∠OED+∠ODE）＝60°， ∵∠AFD是△DEF的外角， ∴∠AFD＝∠FED+∠FDE＝60°， ∴∠BFE＝∠AFD＝60°，∠DFE＝180°﹣∠AFD＝60°， 在△DAF和△DHF中， ， ∴△DAF≌△DHF（SAS）， ∴∠DFA＝∠DFH＝60°，DH＝AD， ∴∠HFE＝∠DFE﹣∠DFH＝60°， ∴∠EFH＝∠BFE＝60°， 在△EFH和△BFE中， ， ∴△EFH≌△BFE（ASA）， ∴HE＝BE， ∴DE＝DH+HE＝AD+BE， ∴BE＝DE﹣AD， ∵AD＝5，DE＝8， ∴BE＝3， 故答案为：3； （2）线段DE与AD、BE的数量关系是：DE＝AD+BE，理由如下： 在DE上截取DH＝DA，连接FH，如图2所示： 在△ODE中，∠DOE＝60°， ∴∠ODE+∠OED＝180°﹣∠DOE＝120°， ∵DF，EF分别是∠ODE，∠OED的平分线， ∴∠FDE＝∠FDA∠ODE，∠FED＝∠FEB∠OED， ∴∠FED+∠FDE（∠OED+∠ODE）＝60°， ∵∠AFD是△DEF的外角， ∴∠AFD＝∠FED+∠FDE＝60°， ∴∠BFE＝∠AFD＝60°，∠DFE＝180°﹣∠AFD＝60°， 在△DAF和△DHF中， ， ∴△DAF≌△DHF（SAS）， ∴∠DFA＝∠DFH＝60°，DH＝AD， ∴∠HFE＝∠DFE﹣∠DFH＝60°， ∴∠EFH＝∠BFE＝60°， 在△EFH和△BFE中， ， ∴△EFH≌△BFE（ASA）， ∴HE＝BE， ∴DE＝DH+HE＝AD+BE． 【变式1-1】 【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BED和△CFD中， ， ∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴DE＝DF， ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F， ∴点D在∠BAC的角平分线上， ∴AD平分∠BAC． 【变式1-2】 【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DC＝DE， 在△DCF和△DEB中， ， ∴△DCF≌△DEB，（SAS）， ∴BD＝DF． 【变式1-3】 【解答】证明：在△ABD和△CBD中， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB＝∠CDB． 又PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM＝PN． ▌题型09 利用角平分线的性质作辅助线 【典例1】 【解答】证明：如图，过点D作DE⊥AB交BA的延长线于E，作DF⊥BC于F， ∵BD平分∠ABC， ∴DE＝DF， ∵∠BAD与∠BCD互补，∠EAD+∠BAD＝180° ∴∠DAE＝∠C， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（AAS）， ∴AD＝CD． 【变式1-1】 【解答】证明：如图，过M作ME⊥AD于点E， ∵DM平分∠ADC，∠B＝∠C＝90°，ME⊥AD， ∴MC＝ME，2∠ADM＝∠ADC， ∵M为BC的中点， ∴BM＝MC＝ME， ∵ME⊥AD， ∴AM是∠DAB的平分线， ∴2∠DAM＝∠DAB． ∵∠B＝∠C＝90°， ∴∠B+∠C＝180°， ∴AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， ∴2∠DAM+2∠ADM＝180°， ∴∠ADM+∠DAM＝90°， ∴∠ADM+∠DAM＝90°． ∴∠DMA＝90°． 【变式1-2】 【解答】解：（1）结论：MD平分∠ADC． 理由：过点M作ME⊥AD于点E． ∵AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∵∠B＝90°， ∴∠C＝90°， ∵M是BC的中点， ∴MB＝MC， ∵AM平分∠DAB，ME⊥AD，MB⊥AB， ∴MB＝ME， ∴ME＝MC， ∵ME⊥DA，MC⊥CD， ∴DM平分∠ADC； （2）结论：AM⊥DM． 理由：∵AB∥CD， ∴∠DAB+∠ADC＝180°， ∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC， ∴∠ADM∠ADC，∠DAM∠DAB， ∴∠ADM+∠DAM∠ADC∠DAB（∠ADC+∠DAB）＝90°， ∴∠AMD＝90°， ∴AM⊥DM． 【变式1-3】 【解答】解：（1）①∵BE、BD分别平分∠ABC及其补角， ∴， ∵∠BMC＝20°， ∴∠BDC＝90°﹣∠BMC＝70°， 同理∠MCE＝90°， ∴∠MEC＝90°﹣∠MBC＝70°， ∴∠EBC+∠ECB＝∠MEC＝70°，∠BEC＝180°﹣∠MEC＝180°﹣70°＝110°， ∵BE、CE分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠ABC＝2∠EBC，∠ACB＝2∠ECB， ∴∠ABC+∠ACB＝2（∠EBC+∠ECB）＝140°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣140°＝40°； 故答案为：70°，110°，40°； ②过点M分别作射线BA、线段AC、射线BC的垂线，垂足分别为G、H、N，如图1， ∵BE平分∠ABC， ∴MG＝MN（角平分线的性质）， ∵CD平分∠ACB的外角，且点M在直线CD上， ∴CM平分∠ACN， ∴MH＝MN（角平分线的性质）， ∴MG＝MH， ∴点M为∠CAG的平分线， ∴（角平分线的性质）， 由①知，∠BAC＝40°， ∴； （2）如图2，过点M分别作射线BA、线段AC的垂线，垂足分别为G、H， ∵BM平分∠ABC， ∴MG＝MN（角平分线的性质）， ∵CM平分∠ACN， ∴MH＝MN（角平分线的性质）， 即MG＝MH＝MN， 设MN＝a，则MG＝MH＝MN＝a， ∵四边形ABCM的面积等于S△ABC+S△AMC＝S△ABM+S△ACM， ∴， 即15×8+17a＝15a+8a， 整理得，6a＝120， 解得a＝20， 即MN＝20cm． ▌题型10 利用角平分线的性质进行证明 【典例1】 【解答】（1）证明：如图，过点O分别作OF⊥BD，OG⊥AC，OH⊥BE，垂足分别为点F、G、H， ∵AO平分∠CAD，CO平分∠ACE， ∴OF＝OG，OH＝OG， ∴OF＝OH（等量代换）， ∵OF⊥BD，OH⊥BE， ∴点O在∠ABC的角平分线上， 即BO平分∠ABC； （2）解：∵△AOC的面积为12， ∴， ∵AC＝6， ∴， ∴OG＝4， ∴OF＝OH＝OG＝4， ∵S△ABO+S△BCO＝S△ABC+S△AOC＝12+18＝30， ∴， 即， 整理得AB+BC＝15， ∴AB+BC+AC＝15+6＝21， △ABC的周长为21． 【变式1-1】 【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB＝∠CDB， ∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM＝PN． 【变式1-2】 【解答】证明：（1）作PQ⊥AC于点Q， ∵∠ABC，∠EAC的平分线BP，AP交于点P， ∴PM＝PN，PM＝PQ， ∴PN＝PQ， ∴点P在∠ACF的平分线上， ∴CP平分∠ACF． （2）∵AP平分∠EAC，CP平分∠ACF， ∴∠PAC∠EAC（180°﹣∠BAC），∠PCA∠ACF（180°﹣∠BCA）， ∴∠APC＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝180°（180°﹣∠BAC）（180°﹣∠BCA）（∠BAC+∠BCA）， ∴2∠APC＝∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠ABC， ∴∠ABC+2∠APC＝180°． 【变式1-3】 【解答】（1）证明，过点G作GD⊥AB于点D，GE⊥BC于点E，GF⊥AC于点F，如图所示： ∵BG，CG是△ABC的角平分线， ∴GE＝GD，GE＝GF， ∴GE＝GD＝GF， ∴点G到三边AB，BC，AC的距离相等； （2）解：过点P作PM⊥BD于点M，PN⊥BA，交BA的延长线于点N，如图所示： ∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线， ∴PM＝PN，PM＝PQ， ∴PN＝PQ， 又∵点P在∠NAC的内部，且PQ⊥AC，PN⊥BA， ∴点P在∠NAC的平分线上， ∴AP是∠NAC的平分线， ∴∠PAC∠NAC， ∵∠BAC＝60°， ∴∠NAC＝180°﹣∠BAC＝120°， ∴∠PAC∠NAC＝60°． ▌题型11 角平分线与截长法 【典例1】 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°， ∵AB＞AC， 在AB上截取AE＝AC，连接DE，如图所示： ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠CAD， 在△EAD和△CAD中， ， ∴△EAD≌△CAD（SAS）， ∴ED＝CD，∠AED＝∠C＝90°， 在△BDE中，∠BED＝180°﹣∠AED＝90°， ∴BD＞DE， ∴BD＞CD． 【变式1-1】 【解答】解：（1）∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°． ∵AE平分∠CAB，∴∠EAB∠CAB． 同理可得∠EBA∠ABD． ∴∠EAB+∠EBA＝90°， ∴∠AEB＝90°； （2）如图，在AB上截取AF＝AC，连接EF， 在△ACE和△AFE中， ∴△ACE≌△AFE（SAS）． ∴CE＝FE，∠CEA＝∠FEA． ∵∠CEA+∠DEB＝90°，∠FEA+∠FEB＝90°， ∴∠DEB＝∠FEB． 在△DEB和△FEB中 ∴△DEB≌△FEB（ASA）． ∴ED＝EF． ∴ED＝CE． 【变式1-2】 【解答】证明：在BC上截取BE＝BA，连接DE， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠EBD， 在△ABD和△EBD中 ∴△ABD≌△EBD， ∴∠A＝∠BED，AD＝DE， ∵AD＝DC， ∴DE＝DC， ∴∠C＝∠DEC， ∵∠BED+∠DEC＝∠A+∠DEC＝∠A+C＝180°， 即∠BAD+∠C＝180°． 【变式1-3】 【解答】解：（1）AB＝AC+BD，理由是： 如图1，∵四边形ABCD是长方形， ∴∠C＝∠D＝∠CAB＝∠ABD＝90°， ∵∠CAB和∠ABD的平分线恰好交于CD边上的点E， ∴∠CAE∠CAB45°，∠DBE∠ABD＝45°， ∴△ACE和△BDE都是等腰直角三角形， ∴AC＝CE，DE＝BD， ∴CD＝CE+DE＝AC+BD＝AB， 故答案为：＝； （2）AB＝AC+BD，理由是： 如图2，过E作EG⊥AB于G， ∵AC⊥CD，AC∥BD， ∴CD⊥BD， ∵AE平分∠CAB，BE平分∠ABD， ∴CE＝EG＝ED， ∵AE＝AE， ∴Rt△ACE≌Rt△AGE（HL）， ∴AC＝AG， 同理可得：BG＝BD， ∴AB＝AG+BG＝AC+BD； （3），（2）题的结论还成立， 理由是：如图3，在AB上取一点G，使AG＝AC，连接EG， ∵∠CAE＝∠GAE，AE＝AE， ∴△CAE≌△GAE（SAS）， ∴∠C＝∠AGE， ∵AC∥BD， ∴∠C+∠D＝180°， ∵∠EGB+∠AGE＝180°， ∴∠D＝∠EGB， ∵BE＝BE，∠DBE＝∠EBG， ∴△DBE≌△GBE（AAS）， ∴BD＝BG， ∴AB＝AG+BG＝AC+BD． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 角平分线的性质 （题型突破·举一反三） 题型01 利用角平分线的性质求点到直线的距离 题型02 利用角平分线的性质求面积 题型03 利用角平分线的性质求线段长 题型04 利用角平分线的性质确定位置 题型05 通过尺规作图的痕迹得到角平分线 题型06 周长与面积之间的联系（等面积法） 题型07 尺规作图（角平分线） 题型08 角平分线的性质与全等三角形结合 题型09 利用角平分线的性质作辅助线 题型10 利用角平分线的性质进行证明 题型11 角平分线与截长法 ▌题型01 利用角平分线的性质求点到直线的距离 1. 角平分线上的任意一点，到角两边的垂线段长度相等。 几何语言： ∵ OP 平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB ∴ PC=PD 2. 解题步骤 ①识别角平分线 找到平分角的射线，确定角的两条边。 ②作两条垂线段 过角平分线上的点，分别向角的两边作垂线，标出直角。 ③等量代换 两条垂线段长度相等，已知一条就能求另一条。 ④代入数值计算 【典例1】（2026•碑林区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD＝3，则点D到AB的距离为（　　） A．4 B．3.5 C．3.2 D．3 【分析】作DF⊥AB于点F，由AD平分∠BAC，DF⊥AB于点F，CD⊥AC于点C，根据角平分线的性质得DF＝CD＝3，则点D到AB的距离为3，于是得到问题的答案． 【解答】解：作DF⊥AB于点F， ∵∠C＝90°，∴CD⊥AC于点C， ∵AD平分∠BAC，DF⊥AB于点F，CD⊥AC于点C， ∴DF＝CD＝3， ∴点D到AB的距离为3， 故选：D． 【变式1-1】（2026春•即墨区期末）如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为10，AB＝5，则线段DP的长不可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．5.5 【分析】过D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，由角平分线的性质推出DH＝DG，由三角形的面积公式求出DG＝4，由垂线段最短得到DP≥DH，于是得到答案． 【解答】解：过D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H， ∵BM是∠ABC的平分线， ∴DH＝DG， ∵△ABD的面积AB•DG＝10，AB＝5， ∴DG＝4， ∴DH＝4， ∵DP≥DH， ∴线段DP的长不可能是3． 故选：A． 【变式1-2】（2026春•龙岗区期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝16.8，DE＝2.8，AC＝5，则AB的长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【分析】由角平分线的性质推出DF＝DE＝2.8，由三角形的面积公式得到（AB+AC）•DE＝16.8，即可求出AB的长． 【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， ∴DF＝DE＝2.8， ∵△ABD的面积+△ACD的面积＝△ABC的面积， ∴AB•DEAC•DF（AB+AC）•DE＝16.8， ∵DE＝2.8，AC＝5， ∴AB＝7． 故选：B． 【变式1-3】（2025秋•张家川县期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】过点D作DF⊥AC于F，然后利用△ABC的面积公式列式计算即可得解． 【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AC，DE⊥AB， ∴DE＝DF＝2， ∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC＝9， ∴， ∵AB＝5， ∴， ∴AC＝4， 故选：B． ▌题型02 利用角平分线的性质求面积 角平分线上任意一点，到角两边的距离相等。 求面积关键：用这条相等的垂线段作高，结合底算面积。 已知：平分，则， 则 【典例1】（2026春•新城区期末）如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，AB＝5，DE＝2，则△ABD的面积是（　　） A．5 B．7 C．7.5 D．10 【分析】过D点作DH⊥AB于H，如图，根据角平分线的性质得到DH＝DE＝2，然后根据三角形面积公式计算． 【解答】解：过D点作DH⊥AB于H，如图， ∵BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC，DH⊥AB， ∴DH＝DE＝2， ∴S△ABD5×2＝5． 故选：A． 【变式1-1】（2026春•南海区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝8，CD＝3，则△ABD的面积是（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【分析】作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质和三角形面积公式即可求解． 【解答】解：作DE⊥AB于点E，如图， 由条件可知CD＝DE＝3， ∴． 故选：A． 【变式1-2】（2026•海州区二模）如图，在△ABC中，，∠ABC的平分线BD交AC边于点D．若△ABC的面积为25，则△BCD的面积是（　　） A．6 B．9 C．10 D．15 【分析】因为BD是∠ABC的角平分线，所以可根据角平分线的性质，得到点D到AB、BC的距离相等，即△ABD和△BCD的高相等；因为两个三角形高相等，所以面积比等于对应底AB和BC的长度比，结合已知BC与AB的比例，可得到△ABD和△BCD的面积比；因为△ABC的面积是△ABD和△ABD的面积之和，所以结合总面积和两个三角形的面积比，可求出△BCD的面积． 【解答】解：过点D作DE⊥AB，DF⊥BC， ∵BD平分∠ABC， ∴DE＝DF（角平分线的性质）， ∵， 即， ∴， ∴， 又∵△ABC的总面积25， ∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝25， ∴， 解得S△BCD＝15， 则△BCD的面积是15， 故选：D． 【变式1-3】（2026春•闵行区校级月考）如图，在△ABC中，BC＞BA，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连接PC．若△ABC的面积为4，则△BPC的面积为（　　） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【分析】利用全等三角形的性质和三角形中线平分其面积的性质，可推出△BPC的面积是△ABC面积的一半． 【解答】解：∵BP平分∠ABD， ∴∠ABP=∠DBP， ∵BD＝BA，PB=PB， ∴， ∴AP=PD， ∴BP为△ABD的中线，P为AD中点， ∴CP为△CAD的中线， ∵S△ABC＝4， ∴，， ∵S△BPC＝S△BPD+S△CPD，S△ABC＝S△ABD+S△ACD， ∴，即， ∴． 故选：D． ▌题型03 利用角平分线的性质求线段长 1. 过角平分线上的点，向角两边作垂直； 2. 写出两条垂线段相等； 3. 结合面积、全等列等式； 4. 解方程求出目标线段。 【典例1】（2026春•雁塔区校级月考）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，△ABC的面积为28，DE＝4，BC＝9，则AC的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】过点D作DF⊥AC于点F，利用角平分线的性质得出DF＝DE＝4，再根据S△ABC＝S△ACD+S△BCD即可求解． 【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F， ∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DE＝4， ∴DF＝DE＝4（角平分线的性质）， ∴， ∵S△ABC＝28，BC＝9， ∴28＝2AC+18， 解得AC＝5， 故选：B． 【变式1-1】（2026春•温江区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC＝3cm，那么AE+DE等于（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【分析】直接利用角平分线的性质得出EC＝DE，进而得出答案． 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴CE⊥BC， ∵BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，AC＝3cm， ∴EC＝DE， ∴AE+DE＝AE+EC＝AC＝3cm． 故选：B． 【变式1-2】（2026春•禅城区校级期中）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若BC＝6且△BCP的面积为6，则AD的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】作PE⊥BC于点E，由BC＝6，S△BCP＝6，得S△BCP6PE＝6，求得PE＝2，由AB∥CD，AD过点P，AD⊥AB，得∠PDC＝180°﹣∠PAB＝90°，由BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，根据角平分线的性质得PA＝PE＝2，PD＝PE＝2，则AD＝PA+PD＝4，于是得到问题的答案． 【解答】解：作PE⊥BC于点E， ∵S△BCPBC•PE，且BC＝6，S△BCP＝6， ∴6PE＝6， ∴PE＝2， ∵AB∥CD，AD过点P，AD⊥AB， ∴∠PAB＝90°， ∴∠PDC＝180°﹣∠PAB＝90°， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，PA⊥BA于点A，PE⊥BC于点E，PD⊥CD于点D， ∴PA＝PE＝2，PD＝PE＝2， ∴AD＝PA+PD＝4， 故选：B． 【变式1-3】（2025秋•安阳县期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，S△ABC＝30，DE＝4，BC＝10，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】过点D作DF⊥AC，垂足为F，根据角平分线的性质可得DE＝DF＝4，然后利用面积法，进行计算即可解答． 【解答】解：过点D作DF⊥AC，垂足为F， ∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴DE＝DF＝4， ∵S△ABC＝30，BC＝10， ∴△ADC的面积+△CDB的面积＝30， ∴AC•DFBC•DE＝30， ∴AC•410×4＝30， ∴AC＝5， 故选：C． ▌题型04 利用角平分线的性质确定位置 角平分线上的点到角两边的距离相等，那么到三角形三边距离相等的点是三角形三个角平分线的交点。 【典例1】（2026春•榕城区期中）如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现决定在其中修建一个亭子，使亭子中心到三条马路的距离相等，则亭子应建在（　　） A．在边AC，BC两条高的交点处 B．在边AC，BC两条中线的交点处 C．在边AC，BC两条垂直平分线的交点处 D．在∠ABC和∠ACB两条角平分线的交点处 【分析】根据角平分线的性质求解即可． 【解答】解：∵亭子中心到三条马路的距离相等， ∴亭子中心就是△ABC的三个内角的平分线的交点， 因此A、B、C三个选项都不符合要求， 设∠ABC和∠ACB两条角平分线的交于点P，作PD⊥AB于点E，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，如图所示， ∵BP平分∠ABC，PD⊥AB，PE⊥BC， ∴PD＝PE， 同理可得：PE＝PF， ∴PD＝PE＝PF， 即点P到三边的距离相等， 亭子应建在点P，因此，D选项正确． 故选：D． 【变式1-1】（2026•奉贤区二模）已知点H在△ABC内，如果点H到边AB、AC的距离相等，且S△ABH＝S△BCH，那么点H的位置是（　　） A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点 B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点 C．∠ABC的角平分线与AB边上中线的交点 D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点 【分析】根据角平分线的性质定理可得点H在∠BAC的角平分线上，再根据三角形的中线性质可得S△ABE＝S△BCE，S△AHE＝S△CHE，然后利用等式的性质可得S△ABH＝S△CBH，即可解答． 【解答】解：如图： ∵AD平分∠BAC，点H在AD上， ∴点H到AB、AC的距离相等， ∵BE是AC边上的中线， ∴S△ABE＝S△BCE，S△AHE＝S△CHE， ∴S△ABE﹣S△AHE＝S△BCE﹣S△CHE， ∴S△ABH＝S△CBH， ∴点H是∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点， 故选：A． 【变式1-2】（2026春•宝山区校级期中）幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在△ABC的（　　） A．3条高的交点处 B．3条中线的交点处 C．3条边的垂直平分线的交点处 D．3条角平分线的交点处 【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答． 【解答】解：要使电动车充电桩到3个出口的距离都相等， 那么充电桩应建在△ABC的3条边的垂直平分线的交点处， 故选：C． 【变式1-3】（2026春•市南区校级期末）一块三角形的草坪如图所示，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪3条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC的3条中线的交点 B．△ABC的3边垂直平分线的交点 C．△ABC的3条高所在直线的交点 D．△ABC的3条角平分线的交点 【分析】由角平分线的性质，即可得到答案． 【解答】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴凉亭的位置应在△ABC3条角平分线的交点． 故选：D． ▌题型05 通过尺规作图的痕迹得到角平分线 作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB， 求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。 作法： （1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N； （2）分别以M、Ｎ为圆心，大于的线段长　为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ； （3）作射线OP，则射线OP就是∠AOB的角平分线。 【典例1】（2025秋•兴安盟期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线P交BC于点D，若CD＝5，AB＝18，则△ABD的面积是（　　） A．30 B．45 C．60 D．90 【分析】根据题意可知AP为∠CAB的平分线，由角平分线的性质得出CD＝DH，再由三角形的面积公式可得出结论． 【解答】解：由题意可知AP为∠CAB的平分线，过点D作DH⊥AB于点H， ∵∠C＝90°，CD＝5， ∴CD＝DH＝5（角平分线的性质）． ∵AB＝18， ∴根据三角形的面积公式得，， 则△ABD的面积是45． 故选：B． 【变式1-1】（2025秋•张北县期末）计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路MN∥PQ，小路AB与MN，PQ均相交．若要在小路MN上修建一个凉亭O，使其到小路AB，PQ的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（　　） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【分析】角平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可判断． 【解答】解：甲方案：O在AB的垂直平分线上，O到A、B的距离相等，O不一定到AB和PQ的距离相等， 乙方案：OB平分∠ABQ，由角平分线的性质定理得到O到小路AB，PQ的距离相等． ∴甲、乙两个方案，只有乙对． 故选：B． 【变式1-2】（2025秋•惠州期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠BAC内部交于点P，作射线AP交BC于点D．若CD＝2，S△ABD＝7，则AB的长为　7　 ． 【分析】过D作DH⊥AB于H，由角平分线的性质推出DH＝CD＝2，由三角形的面积公式得到S△ABDAB•DH＝7，即可求出AB的长． 【解答】解：过D作DH⊥AB于H， ∵∠C＝90°， ∴DC⊥AC， 由题意知AD平分∠BAC， ∴DH＝CD＝2， ∵S△ABDAB•DH＝7， ∴AB＝7． 故答案为：7． 【变式1-3】（2026•大庆模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以点C为圆心，以小于BC的长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F；再分别以点E、F为圆心，以大于EF的长为半径画弧，两弧交于点O，作射线CO交AB于点G．若BG＝3，AG＝4，H为AC上一动点，则GH最短为 　3　 ． 【分析】过点G作GH′⊥AC于点H′，证明BG＝H′G＝3，由垂线段最短的含义可得答案． 【解答】解：如图，过点G作GH′⊥AC于点H′， 由作图知CG是∠ACB的平分线， ∵∠B＝90°，BG＝3， ∴BG＝H′G＝3， ∴GH最短为3， 故答案为：3． ▌题型06 周长与面积之间的联系（等面积法） 三角形三个内角平分线交于点，于点，于点，于点， 则， 则， 即 【典例1】（2025秋•金平区期末）如图，已知△ABC的周长是48cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3.5cm，则△ABC的面积是（　　）cm2． A．84 B．31.5 C．42 D．24 【分析】过O点作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，连接OA，根据角平分线的性质得OE＝OD＝3.5，OF＝OD＝3.5，由于S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC，所以根据三角形的面积公式可计算出△ABC的面积． 【解答】解：过O点作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，连接OA，如图， ∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB， ∴OE＝OD＝3.5， 同理可得OF＝OD＝3.5， ∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC OE×ABOD×BCOF×AC 3.5×（AB+BC+AC）， ∵△ABC的周长是48cm， ∴S△ABC3.5×48＝84（cm2）． 故选：A． 【变式1-1】（2026春•高碑店市月考）如图，△ABC的周长是20，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积是（　　） A．30 B．25 C．60 D．40 【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，连接OA，得出OD＝OE＝OF＝3，根据S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC求出结论即可． 【解答】解：如图所示，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，连接OA， ∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC， ∴OD＝OE＝OF＝3（角平分线的性质）， ∵△ABC的周长是20， ∴AB+BC+AC＝20， ∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC ＝30， 则△ABC的面积是30， 故选：A． 【变式1-2】（2025秋•西山区期末）如图，△ABC的角平分线BD、CD交于点D，且点D到BC的距离等于2cm，△ABC的面积是40cm2，则△ABC的周长为（　　） A．25cm B．30cm C．35cm D．40cm 【分析】过D作DH⊥BC于H，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，由角平分线的性质推出DM＝DN＝DH＝2cm，由三角形的面积公式得到（AB+BC+AC）•DH＝40，求出AB+BC+AC＝40cm，即可得到答案． 【解答】解：过D作DH⊥BC于H，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N， ∵△ABC的角平分线BD、CD交于点D，且点D到BC的距离等于2cm， ∴DM＝DN＝DH＝2cm， ∵△ABC的面积＝△ABD的面积+△BCD的面积+△ACD的面积， ∴△ABC的面积AB•DMBC•DHAC•DN（AB+BC+AC）•DH＝40， ∴AB+BC+AC＝40cm， ∴△ABC的周长是40cm， 故选：D． 【变式1-3】（2025秋•潮南区期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线BP、CP交于点P，PE⊥AC于点E．若△ABC的面积为10，△BPC的面积为7，PE＝4，则△ABC的周长为（　　） A．8 B．10 C．11 D．12 【分析】连接AP，过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB，交AB的延长线于G，根据角平分线的性质得到PG＝PF＝PE＝4，根据三角形面积公式分别求出BC、AB+AC，再根据三角形周长公式计算即可． 【解答】解：如图，连接AP，过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB，交AB的延长线于G， ∵∠ABC和∠ACB的外角平分线BP、CP交于点P，PE⊥AC，PF⊥BC于点F，PG⊥AB， ∴PG＝PF＝PE＝4， ∵△BPC的面积为7， ∴BC×4＝7， ∴BC， ∵△ABC的面积为10， ∴AB×4AC×4﹣7＝10， ∴AB+AC， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC12． 故选：D． ▌题型07 尺规作图（角平分线） 作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB， 求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。 作法： （1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N； （2）分别以M、Ｎ为圆心，大于的线段长　为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ； （3）作射线OP，则射线OP就是∠AOB的角平分线。 【典例1】（2026•碑林区校级模拟）如图，点C在∠AOB的平分线OM上，点D在边OB上，且OD＝12，△OCD的面积为24．请利用尺规作图法，在边OA上求作一点E，使CE＝4．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】以C为圆心画弧交OA于K、L，分别以K、L为圆心大于KL的长为半径画弧交于点F，作直线CF交OA于点E，点E即为所求作的点． 【解答】解：如图所示：点E即为所求作的点，理由如下： 过C作CH⊥OB于H， 由作图知CE⊥OA， ∵OM平分∠AOB， ∴CE＝CH， ∵△OCD的面积OD•CH＝24， ∵OD＝12， ∴CH＝4， ∴CE＝4． 【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）尺规作图作射线BP，交AC于点D，并使D到BC，AB的距离相等． （2）在（1）的条件下，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，求CD的长． 【分析】（1）步骤：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、CB于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，相交于点P；③作射线BP，交AC于点D，BP即为所求的平分线，则点D到BC，AB的距离相等； （2）过点D作DE⊥AB于点E，则DE＝DC，设DE＝DC＝x，根据，列出方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）如图所示， （2）如图所示，过点D作DE⊥AB于点E， 由条件可知DE＝DC， 设DE＝DC＝x， 在Rt△ABC中，∵BC＝6，AC＝8，AB＝10， ∴， ∴， 解得：x＝3， 即CD的长为3． 【变式1-2】如图，在△ABC中，∠C＝90°． （1）过点B作∠ABC的平分线交AC于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； （2）若CD＝3，AB+BC＝16，求△ABC的面积． 【分析】（1）根据角平分线的作法，画出图形即可； （2）作DH⊥AB于H．只要证明CD＝DH，根据三角形的面积公式即可解决问题． 【解答】解：（1）∠ABC的平分线如图所示． （2）作DH⊥AB于H． ∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥AB， ∴CD＝DH＝3， ∴△ABC的面积 ＝S△BCD+S△ABD BC•CDAB•DH 3BC3AB （BC+AB） 3×16＝24． 【变式1-3】尺规作图：如图，相关部门要修建一个车站，要求车站到两个村庄C，D的距离相等，且车站到两条公路OA、OB的距离相等，在∠AOB内部确定车站的位置点P．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】根据到两个村庄C，D的距离相等，则点P在线段CD的垂直平分线上，到两条公路OA、OB的距离相等，则点P在∠AOB的角平分线上，据此作图即可． 【解答】解：如图所示，作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线，二者的交点即为点P的位置． ▌题型08 角平分线的性质与全等三角形结合 1. 角平分线两大性质 1）定义性质：角平分线分角为两个相等角（∠1=∠2），直接提供一组等角，证全等常用。 2）距离性质（重点）：角平分线上任意一点，到角两边的垂线段长度相等。 几何语言： 若OP平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，则 PM=PN。 2. 全等三角形判定（常用4种） SSS、SAS、ASA、AAS。 【典例1】（2026春•榆树市期中）如图，△DOE的角平分线OF、EF相交于点F，若∠DOE＝60°，EF交OD于A、DF交OE于B． （1）若AD＝5，DE＝8，则BE＝ 　3　 （直接写出答案）． （2）线段DE与AD、BE、有怎样的数量关系？写出说明理由． 【分析】（1）先求出∠BFE＝∠AFD＝60°，∠DFE＝60°，在DE上截取DH＝DA，连接FH，证明△DAF和△DHF全等得∠DFA＝∠DFH＝60°，DH＝AD，由此得∠EFH＝∠BFE＝60°，进而证明△EFH和△BFE全等得HE＝BE，由此得DE＝DH+HE＝AD+BE，再根据AD＝5，DE＝8即可得出BE的长； （2）先求出∠BFE＝∠AFD＝60°，∠DFE＝60°，在DE上截取DH＝DA，连接FH，证明△DAF和△DHF全等得∠DFA＝∠DFH＝60°，DH＝AD，由此得∠EFH＝∠BFE＝60°，进而证明△EFH和△BFE全等得HE＝BE，据此即可得出线段DE与AD、BE的数量关系． 【解答】解：（1）在DE上截取DH＝DA，连接FH，如图1所示： 在△ODE中，∠DOE＝60°， ∴∠ODE+∠OED＝180°﹣∠DOE＝120°， ∵DF，EF分别是∠ODE，∠OED的平分线， ∴∠FDE＝∠FDA∠ODE，∠FED＝∠FEB∠OED， ∴∠FED+∠FDE（∠OED+∠ODE）＝60°， ∵∠AFD是△DEF的外角， ∴∠AFD＝∠FED+∠FDE＝60°， ∴∠BFE＝∠AFD＝60°，∠DFE＝180°﹣∠AFD＝60°， 在△DAF和△DHF中， ， ∴△DAF≌△DHF（SAS）， ∴∠DFA＝∠DFH＝60°，DH＝AD， ∴∠HFE＝∠DFE﹣∠DFH＝60°， ∴∠EFH＝∠BFE＝60°， 在△EFH和△BFE中， ， ∴△EFH≌△BFE（ASA）， ∴HE＝BE， ∴DE＝DH+HE＝AD+BE， ∴BE＝DE﹣AD， ∵AD＝5，DE＝8， ∴BE＝3， 故答案为：3； （2）线段DE与AD、BE的数量关系是：DE＝AD+BE，理由如下： 在DE上截取DH＝DA，连接FH，如图2所示： 在△ODE中，∠DOE＝60°， ∴∠ODE+∠OED＝180°﹣∠DOE＝120°， ∵DF，EF分别是∠ODE，∠OED的平分线， ∴∠FDE＝∠FDA∠ODE，∠FED＝∠FEB∠OED， ∴∠FED+∠FDE（∠OED+∠ODE）＝60°， ∵∠AFD是△DEF的外角， ∴∠AFD＝∠FED+∠FDE＝60°， ∴∠BFE＝∠AFD＝60°，∠DFE＝180°﹣∠AFD＝60°， 在△DAF和△DHF中， ， ∴△DAF≌△DHF（SAS）， ∴∠DFA＝∠DFH＝60°，DH＝AD， ∴∠HFE＝∠DFE﹣∠DFH＝60°， ∴∠EFH＝∠BFE＝60°， 在△EFH和△BFE中， ， ∴△EFH≌△BFE（ASA）， ∴HE＝BE， ∴DE＝DH+HE＝AD+BE． 【变式1-1】（2025秋•阳新县期末）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE＝∠CDF．求证：AD平分∠BAC． 【分析】求出∠DEB＝∠DFC＝90°，BD＝CD，根据全等三角形的判定得出△BED≌△CFD，根据全等三角形的性质得出DE＝DF，再推出答案即可． 【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BED和△CFD中， ， ∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴DE＝DF， ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F， ∴点D在∠BAC的角平分线上， ∴AD平分∠BAC． 【变式1-2】（2025秋•洛宁县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF． 【分析】因为∠C＝90°，DE⊥AB，所以∠C＝∠DEB，又因为AD平分∠BAC，所以CD＝DE，已知BE＝FC，则可根据SAS判定△CDF≌△EDB，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DC＝DE， 在△DCF和△DEB中， ， ∴△DCF≌△DEB，（SAS）， ∴BD＝DF． 【变式1-3】（2025秋•长春期末）如图所示，BD平分∠ABC，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M、N为垂足．求证：PM＝PN． 【分析】根据已知条件结合三角形全等的判定方法通过SAS证明△ABD≌△CBD，得∠ADB＝∠CBD，从而根据角平分线的性质即可证明结论． 【解答】证明：在△ABD和△CBD中， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB＝∠CDB． 又PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM＝PN． ▌题型09 利用角平分线的性质作辅助线 见角平分线上一点，向两边作垂线。 题目给出角平分线，求证线段相等、求线段长度、证面积相等。 操作步骤 （1）过平分线上的点，分别作角两条边的垂线段； （2） 根据角平分线性质：两条垂线段相等； （3）利用相等垂线，证明三角形全等； （4）等量代换得到目标边相等。 【典例1】如图，已知四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，且∠BAD与∠BCD互补，求证：AD＝CD． 【分析】过点D作DE⊥AB交BA的延长线于E，作DF⊥BC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再求出∠DAE＝∠C，然后利用“角角边”证明△ADE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可． 【解答】证明：如图，过点D作DE⊥AB交BA的延长线于E，作DF⊥BC于F， ∵BD平分∠ABC， ∴DE＝DF， ∵∠BAD与∠BCD互补，∠EAD+∠BAD＝180° ∴∠DAE＝∠C， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（AAS）， ∴AD＝CD． 【变式1-1】如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：∠DMA＝90°． 【分析】先利用角平分线的性质证明MC＝ME，根据角平分线的意义，得出2∠DAM＝∠BAD，再利用中点的意义结合已知证明BM＝MC＝ME，从而可判定AM平分∠DAB，根据角平分线的意义，得出2∠ADM＝∠ADC，再证明AB∥CD，根据平行线的性质得出∠BAD+∠ADM＝180°，从而可得∠ADM+∠DAM＝90°，再利用三角形内角和定理得出∠DMA＝90°． 【解答】证明：如图，过M作ME⊥AD于点E， ∵DM平分∠ADC，∠B＝∠C＝90°，ME⊥AD， ∴MC＝ME，2∠ADM＝∠ADC， ∵M为BC的中点， ∴BM＝MC＝ME， ∵ME⊥AD， ∴AM是∠DAB的平分线， ∴2∠DAM＝∠DAB． ∵∠B＝∠C＝90°， ∴∠B+∠C＝180°， ∴AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， ∴2∠DAM+2∠ADM＝180°， ∴∠ADM+∠DAM＝90°， ∴∠ADM+∠DAM＝90°． ∴∠DMA＝90°． 【变式1-2】如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC的中点，AM平分∠DAB． （1）DM是否平分∠ADC？请证明你的结论． （2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由． 【分析】（1）结论：MD平分∠ADC．过点M作ME⊥AD于点E．证明ME＝MC即可； （2）结论：AM⊥DM．证明∠ADM+∠DAM∠ADC∠DAB（∠ADC+∠DAB）＝90°，可得结论． 【解答】解：（1）结论：MD平分∠ADC． 理由：过点M作ME⊥AD于点E． ∵AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∵∠B＝90°， ∴∠C＝90°， ∵M是BC的中点， ∴MB＝MC， ∵AM平分∠DAB，ME⊥AD，MB⊥AB， ∴MB＝ME， ∴ME＝MC， ∵ME⊥DA，MC⊥CD， ∴DM平分∠ADC； （2）结论：AM⊥DM． 理由：∵AB∥CD， ∴∠DAB+∠ADC＝180°， ∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC， ∴∠ADM∠ADC，∠DAM∠DAB， ∴∠ADM+∠DAM∠ADC∠DAB（∠ADC+∠DAB）＝90°， ∴∠AMD＝90°， ∴AM⊥DM． 【变式1-3】在△ABC中，作出∠ABC、∠ACB的内、外角平分线，两个内角平分线交于E点，两个外角平分线交于D点，直线BE与直线CD交于M点． （1）如图1，若∠BMC＝20°， ①直接写出∠BDC，∠BEC，∠BAC的度数．∠BDC＝　70°　 ，∠BEC＝　110°　 ，∠BAC＝　40°　 ． ②连接AM，求出∠CAM的度数． （2）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8cm，AB＝15cm，AC＝17cm，∠ABC的内角平分线和∠ACB的外角平分线交于M点，过M作MN⊥BC，垂足为N，求MN的长度． 【分析】（1）①利用角平分线的性质易得∠DBM＝90°，则可求得∠BDC＝70°，同理得∠MEC＝70°，得∠EBC+∠ECB＝70°，由角平分线性质得∠ABC+∠ACB＝140°，由三角形内角和即可求得∠BAC； ②过点M分别作射线BA、线段AC、射线BC的垂线，垂足分别为G、H、N，由角平分线的性质定理得MG＝MN，MH＝MN，从而得MG＝MH，点M在∠CAG的平分线上， 则，再由①所求即可求解； （2）过点M分别作射线BA、线段AC的垂线，垂足分别为G、H，由角平分线的性质定理得MG＝MN，MH＝MN，从而MG＝MH＝MN，设MN＝a，利用四边形ABCM的面积等于S△ABC+S△AMC＝S△ABM+S△ACM，得到关于a的方程，解方程即可． 【解答】解：（1）①∵BE、BD分别平分∠ABC及其补角， ∴， ∵∠BMC＝20°， ∴∠BDC＝90°﹣∠BMC＝70°， 同理∠MCE＝90°， ∴∠MEC＝90°﹣∠MBC＝70°， ∴∠EBC+∠ECB＝∠MEC＝70°，∠BEC＝180°﹣∠MEC＝180°﹣70°＝110°， ∵BE、CE分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠ABC＝2∠EBC，∠ACB＝2∠ECB， ∴∠ABC+∠ACB＝2（∠EBC+∠ECB）＝140°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣140°＝40°； 故答案为：70°，110°，40°； ②过点M分别作射线BA、线段AC、射线BC的垂线，垂足分别为G、H、N，如图1， ∵BE平分∠ABC， ∴MG＝MN（角平分线的性质）， ∵CD平分∠ACB的外角，且点M在直线CD上， ∴CM平分∠ACN， ∴MH＝MN（角平分线的性质）， ∴MG＝MH， ∴点M为∠CAG的平分线， ∴（角平分线的性质）， 由①知，∠BAC＝40°， ∴； （2）如图2，过点M分别作射线BA、线段AC的垂线，垂足分别为G、H， ∵BM平分∠ABC， ∴MG＝MN（角平分线的性质）， ∵CM平分∠ACN， ∴MH＝MN（角平分线的性质）， 即MG＝MH＝MN， 设MN＝a，则MG＝MH＝MN＝a， ∵四边形ABCM的面积等于S△ABC+S△AMC＝S△ABM+S△ACM， ∴， 即15×8+17a＝15a+8a， 整理得，6a＝120， 解得a＝20， 即MN＝20cm． ▌题型10 利用角平分线的性质进行证明 角平分线两大性质 1）定义性质：角平分线分角为两个相等角（∠1=∠2），直接提供一组等角，证全等常用。 2）距离性质（重点）：角平分线上任意一点，到角两边的垂线段长度相等。 几何语言： 若OP平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，则 PM=PN。 【典例1】如图，已知OA、OC分别是△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线，连接OB． （1）求证：BO平分∠ABC； （2）若AC＝6，且△AOC与△ABC的面积分别是12和18，求△ABC的周长． 【分析】（1）如图，过点O分别作OF⊥BD，OG⊥AC，OH⊥BE，由角平分线的性质可得OF＝OG，OH＝OG，进而得OF＝OH，再根据角平分线的判定即可求证； （2）由△AOC的面积为12可得OG＝OF＝OH＝4，再根据S△ABO+S△BCO＝S△ABC+S△AOC＝30可得AB+BC＝15，进而即可求解． 【解答】（1）证明：如图，过点O分别作OF⊥BD，OG⊥AC，OH⊥BE，垂足分别为点F、G、H， ∵AO平分∠CAD，CO平分∠ACE， ∴OF＝OG，OH＝OG， ∴OF＝OH（等量代换）， ∵OF⊥BD，OH⊥BE， ∴点O在∠ABC的角平分线上， 即BO平分∠ABC； （2）解：∵△AOC的面积为12， ∴， ∵AC＝6， ∴， ∴OG＝4， ∴OF＝OH＝OG＝4， ∵S△ABO+S△BCO＝S△ABC+S△AOC＝12+18＝30， ∴， 即， 整理得AB+BC＝15， ∴AB+BC+AC＝15+6＝21， △ABC的周长为21． 【变式1-1】如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN． 【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可． 【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB＝∠CDB， ∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM＝PN． 【变式1-2】如图，在△ABC中，∠ABC，∠EAC的平分线BP，AP交于点P，延长BA，BC，PM⊥BE，PN⊥BF．求证： （1）CP平分∠ACF； （2）∠ABC+2∠APC＝180°． 【分析】（1）作PQ⊥AC于点Q，由∠ABC，∠EAC的平分线BP，AP交于点P，根据角平分线的性质得PM＝PN，PM＝PQ，则PN＝PQ，所以点P在∠ACF的平分线上，即可证明CP平分∠ACF． （2）由∠PAC∠EAC（180°﹣∠BAC），∠PCA∠ACF（180°﹣∠BCA），推导出∠APC＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA（∠BAC+∠BCA），则2∠APC＝∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠ABC，所以∠ABC+2∠APC＝180°． 【解答】证明：（1）作PQ⊥AC于点Q， ∵∠ABC，∠EAC的平分线BP，AP交于点P， ∴PM＝PN，PM＝PQ， ∴PN＝PQ， ∴点P在∠ACF的平分线上， ∴CP平分∠ACF． （2）∵AP平分∠EAC，CP平分∠ACF， ∴∠PAC∠EAC（180°﹣∠BAC），∠PCA∠ACF（180°﹣∠BCA）， ∴∠APC＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝180°（180°﹣∠BAC）（180°﹣∠BCA）（∠BAC+∠BCA）， ∴2∠APC＝∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠ABC， ∴∠ABC+2∠APC＝180°． 【变式1-3】（2026春•郑州校级期中）课本再现 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． （1）如图1，已知BG，CG是△ABC的角平分线，求证：点G到三边AB，BC，AC的距离相等； （2）如图2，BP，CP分别是△ABC的一个内角及一个外角的平分线，PQ⊥AC，连接AP，若∠BAC＝60°，求∠PAC的度数． 【分析】（1）过点G作GD⊥AB于点D，GE⊥BC于点E，GF⊥AC于点F，根据角平分线性质得GE＝GD，GE＝GF，进而得GE＝GD＝GF，由此即可得出结论； （2）过点P作PM⊥BD于点M，PN⊥BA，交BA的延长线于点N，根据角平分线性质得PM＝PN，PM＝PQ，进而得PN＝PQ，由此的AP是∠NAC的平分线，则∠PAC∠NAC，再根据∠BAC＝60°得∠NAC＝120°，据此即可得出∠PAC的度数． 【解答】（1）证明，过点G作GD⊥AB于点D，GE⊥BC于点E，GF⊥AC于点F，如图所示： ∵BG，CG是△ABC的角平分线， ∴GE＝GD，GE＝GF， ∴GE＝GD＝GF， ∴点G到三边AB，BC，AC的距离相等； （2）解：过点P作PM⊥BD于点M，PN⊥BA，交BA的延长线于点N，如图所示： ∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线， ∴PM＝PN，PM＝PQ， ∴PN＝PQ， 又∵点P在∠NAC的内部，且PQ⊥AC，PN⊥BA， ∴点P在∠NAC的平分线上， ∴AP是∠NAC的平分线， ∴∠PAC∠NAC， ∵∠BAC＝60°， ∴∠NAC＝180°﹣∠BAC＝120°， ∴∠PAC∠NAC＝60°． ▌题型11 角平分线与截长法 截长法 ①在线段AB（最长线段）上截取AC（某条较短线段），使得AC=EF，连接…… ②过某点作AB（最长线段）的垂线 截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段 在线段上截取 条件：结论：。 在上截取，连接． 在和中 ，， ∴ ∴， 又∵ ∴， ∴ ∴． 【典例1】（2025秋•杨浦区期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D在边BC上，且AD平分∠BAC．求证：BD＞CD． 【分析】由∠ACB＝90°得AB＞AC，于是在AB上截取AE＝AC，连接DE，进而依据“SAS”判定和△EAD和△CAD全等得ED＝CD，∠AED＝∠C＝90°，然后在△BDE中，根据∠BED＝90°得BD＞DE，据此可得出结论． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°， ∵AB＞AC， 在AB上截取AE＝AC，连接DE，如图所示： ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠CAD， 在△EAD和△CAD中， ， ∴△EAD≌△CAD（SAS）， ∴ED＝CD，∠AED＝∠C＝90°， 在△BDE中，∠BED＝180°﹣∠AED＝90°， ∴BD＞DE， ∴BD＞CD． 【变式1-1】如图，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上． （1）求∠AEB的度数； （2）求证：CE＝DE． 【分析】（1）由平行线得到∠CAB+∠ABD＝180°，根据角平分线定义表示出∠EAB、∠EBA，计算这两个的和，便可求∠AEB度数； （2）在AB上截取AF＝AC，连接EF，分别证明△ACE≌△AFE，△DEB≌△FEB，借助CE＝EF，DE＝EF，可证CE＝DE． 【解答】解：（1）∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°． ∵AE平分∠CAB，∴∠EAB∠CAB． 同理可得∠EBA∠ABD． ∴∠EAB+∠EBA＝90°， ∴∠AEB＝90°； （2）如图，在AB上截取AF＝AC，连接EF， 在△ACE和△AFE中， ∴△ACE≌△AFE（SAS）． ∴CE＝FE，∠CEA＝∠FEA． ∵∠CEA+∠DEB＝90°，∠FEA+∠FEB＝90°， ∴∠DEB＝∠FEB． 在△DEB和△FEB中 ∴△DEB≌△FEB（ASA）． ∴ED＝EF． ∴ED＝CE． 【变式1-2】如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝DC，BD平分∠ABC． 求证：∠BAD+∠C＝180°． 【分析】在BC上截取BE＝BA，连接DE，推出△ABD≌△EBD，推出∠A＝∠BED，AD＝DE＝DC，推出∠BED+∠C＝180°，即可得出答案． 【解答】证明：在BC上截取BE＝BA，连接DE， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠EBD， 在△ABD和△EBD中 ∴△ABD≌△EBD， ∴∠A＝∠BED，AD＝DE， ∵AD＝DC， ∴DE＝DC， ∴∠C＝∠DEC， ∵∠BED+∠DEC＝∠A+∠DEC＝∠A+C＝180°， 即∠BAD+∠C＝180°． 【变式1-3】（1）如图1，已知四边形ABDC为长方形，∠CAB和∠ABD的平分线恰好交于CD边上的点E，试判断：AB　＝　 AC+BD（填＞、＜或＝） （2）如图2，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠ABD，CD过点E，且CD⊥AC试探究AB、AC与BD之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）题中，如果没有“CD⊥AC”这个条件，（2）题的结论还成立吗，请说明理由． 【分析】（1）证明△ACE和△BDE都是等腰直角三角形，可得AC＝CE，DE＝BD，根据线段的和可得结论； （2）作辅助线，构建角平分线到角两边的距离，根据角平分线的性质得：CE＝EG＝ED，证明△ACE≌Rt△AGE（HL），得AC＝AG，同理可得：BG＝BD，相加可得结论； （3）作辅助线，同理证明三角形全等可得结论． 【解答】解：（1）AB＝AC+BD，理由是： 如图1，∵四边形ABCD是长方形， ∴∠C＝∠D＝∠CAB＝∠ABD＝90°， ∵∠CAB和∠ABD的平分线恰好交于CD边上的点E， ∴∠CAE∠CAB45°，∠DBE∠ABD＝45°， ∴△ACE和△BDE都是等腰直角三角形， ∴AC＝CE，DE＝BD， ∴CD＝CE+DE＝AC+BD＝AB， 故答案为：＝； （2）AB＝AC+BD，理由是： 如图2，过E作EG⊥AB于G， ∵AC⊥CD，AC∥BD， ∴CD⊥BD， ∵AE平分∠CAB，BE平分∠ABD， ∴CE＝EG＝ED， ∵AE＝AE， ∴Rt△ACE≌Rt△AGE（HL）， ∴AC＝AG， 同理可得：BG＝BD， ∴AB＝AG+BG＝AC+BD； （3），（2）题的结论还成立， 理由是：如图3，在AB上取一点G，使AG＝AC，连接EG， ∵∠CAE＝∠GAE，AE＝AE， ∴△CAE≌△GAE（SAS）， ∴∠C＝∠AGE， ∵AC∥BD， ∴∠C+∠D＝180°， ∵∠EGB+∠AGE＝180°， ∴∠D＝∠EGB， ∵BE＝BE，∠DBE＝∠EBG， ∴△DBE≌△GBE（AAS）， ∴BD＝BG， ∴AB＝AG+BG＝AC+BD． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 角平分线的性质 （题型突破·举一反三） 题型01 利用角平分线的性质求点到直线的距离 题型02 利用角平分线的性质求面积 题型03 利用角平分线的性质求线段长 题型04 利用角平分线的性质确定位置 题型05 通过尺规作图的痕迹得到角平分线 题型06 周长与面积之间的联系（等面积法） 题型07 尺规作图（角平分线） 题型08 角平分线的性质与全等三角形结合 题型09 利用角平分线的性质作辅助线 题型10 利用角平分线的性质进行证明 题型11 角平分线与截长法 ▌题型01 利用角平分线的性质求点到直线的距离 1. 角平分线上的任意一点，到角两边的垂线段长度相等。 几何语言： ∵ OP 平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB ∴ PC=PD 2. 解题步骤 ①识别角平分线 找到平分角的射线，确定角的两条边。 ②作两条垂线段 过角平分线上的点，分别向角的两边作垂线，标出直角。 ③等量代换 两条垂线段长度相等，已知一条就能求另一条。 ④代入数值计算 【典例1】（2026•碑林区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD＝3，则点D到AB的距离为（　　） A．4 B．3.5 C．3.2 D．3 【变式1-1】（2026春•即墨区期末）如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为10，AB＝5，则线段DP的长不可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．5.5 【变式1-2】（2026春•龙岗区期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝16.8，DE＝2.8，AC＝5，则AB的长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式1-3】（2025秋•张家川县期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 ▌题型02 利用角平分线的性质求面积 角平分线上任意一点，到角两边的距离相等。 求面积关键：用这条相等的垂线段作高，结合底算面积。 已知：平分，则， 则 【典例1】（2026春•新城区期末）如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，AB＝5，DE＝2，则△ABD的面积是（　　） A．5 B．7 C．7.5 D．10 【变式1-1】（2026春•南海区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝8，CD＝3，则△ABD的面积是（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【变式1-2】（2026•海州区二模）如图，在△ABC中，，∠ABC的平分线BD交AC边于点D．若△ABC的面积为25，则△BCD的面积是（　　） A．6 B．9 C．10 D．15 【变式1-3】（2026春•闵行区校级月考）如图，在△ABC中，BC＞BA，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连接PC．若△ABC的面积为4，则△BPC的面积为（　　） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 ▌题型03 利用角平分线的性质求线段长 1. 过角平分线上的点，向角两边作垂直； 2. 写出两条垂线段相等； 3. 结合面积、全等列等式； 4. 解方程求出目标线段。 【典例1】（2026春•雁塔区校级月考）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，△ABC的面积为28，DE＝4，BC＝9，则AC的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1-1】（2026春•温江区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC＝3cm，那么AE+DE等于（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【变式1-2】（2026春•禅城区校级期中）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若BC＝6且△BCP的面积为6，则AD的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1-3】（2025秋•安阳县期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，S△ABC＝30，DE＝4，BC＝10，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 ▌题型04 利用角平分线的性质确定位置 角平分线上的点到角两边的距离相等，那么到三角形三边距离相等的点是三角形三个角平分线的交点。 【典例1】（2026春•榕城区期中）如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现决定在其中修建一个亭子，使亭子中心到三条马路的距离相等，则亭子应建在（　　） A．在边AC，BC两条高的交点处 B．在边AC，BC两条中线的交点处 C．在边AC，BC两条垂直平分线的交点处 D．在∠ABC和∠ACB两条角平分线的交点处 【变式1-1】（2026•奉贤区二模）已知点H在△ABC内，如果点H到边AB、AC的距离相等，且S△ABH＝S△BCH，那么点H的位置是（　　） A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点 B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点 C．∠ABC的角平分线与AB边上中线的交点 D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点 【变式1-2】（2026春•宝山区校级期中）幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在△ABC的（　　） A．3条高的交点处 B．3条中线的交点处 C．3条边的垂直平分线的交点处 D．3条角平分线的交点处 【变式1-3】（2026春•市南区校级期末）一块三角形的草坪如图所示，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪3条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC的3条中线的交点 B．△ABC的3边垂直平分线的交点 C．△ABC的3条高所在直线的交点 D．△ABC的3条角平分线的交点 ▌题型05 通过尺规作图的痕迹得到角平分线 作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB， 求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。 作法： （1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N； （2）分别以M、Ｎ为圆心，大于的线段长　为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ； （3）作射线OP，则射线OP就是∠AOB的角平分线。 【典例1】（2025秋•兴安盟期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线P交BC于点D，若CD＝5，AB＝18，则△ABD的面积是（　　） A．30 B．45 C．60 D．90 【变式1-1】（2025秋•张北县期末）计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路MN∥PQ，小路AB与MN，PQ均相交．若要在小路MN上修建一个凉亭O，使其到小路AB，PQ的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（　　） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【变式1-2】（2025秋•惠州期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠BAC内部交于点P，作射线AP交BC于点D．若CD＝2，S△ABD＝7，则AB的长为　 　 ． 【变式1-3】（2026•大庆模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以点C为圆心，以小于BC的长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F；再分别以点E、F为圆心，以大于EF的长为半径画弧，两弧交于点O，作射线CO交AB于点G．若BG＝3，AG＝4，H为AC上一动点，则GH最短为 　 　 ． ▌题型06 周长与面积之间的联系（等面积法） 三角形三个内角平分线交于点，于点，于点，于点， 则， 则， 即 【典例1】（2025秋•金平区期末）如图，已知△ABC的周长是48cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3.5cm，则△ABC的面积是（　　）cm2． A．84 B．31.5 C．42 D．24 【变式1-1】（2026春•高碑店市月考）如图，△ABC的周长是20，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积是（　　） A．30 B．25 C．60 D．40 【变式1-2】（2025秋•西山区期末）如图，△ABC的角平分线BD、CD交于点D，且点D到BC的距离等于2cm，△ABC的面积是40cm2，则△ABC的周长为（　　） A．25cm B．30cm C．35cm D．40cm 【变式1-3】（2025秋•潮南区期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线BP、CP交于点P，PE⊥AC于点E．若△ABC的面积为10，△BPC的面积为7，PE＝4，则△ABC的周长为（　　） A．8 B．10 C．11 D．12 ▌题型07 尺规作图（角平分线） 作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB， 求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。 作法： （1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N； （2）分别以M、Ｎ为圆心，大于的线段长　为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ； （3）作射线OP，则射线OP就是∠AOB的角平分线。 【典例1】（2026•碑林区校级模拟）如图，点C在∠AOB的平分线OM上，点D在边OB上，且OD＝12，△OCD的面积为24．请利用尺规作图法，在边OA上求作一点E，使CE＝4．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）尺规作图作射线BP，交AC于点D，并使D到BC，AB的距离相等． （2）在（1）的条件下，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，求CD的长． 【变式1-2】如图，在△ABC中，∠C＝90°． （1）过点B作∠ABC的平分线交AC于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； （2）若CD＝3，AB+BC＝16，求△ABC的面积． 【变式1-3】尺规作图：如图，相关部门要修建一个车站，要求车站到两个村庄C，D的距离相等，且车站到两条公路OA、OB的距离相等，在∠AOB内部确定车站的位置点P．（保留作图痕迹，不写作法） ▌题型08 角平分线的性质与全等三角形结合 1. 角平分线两大性质 1）定义性质：角平分线分角为两个相等角（∠1=∠2），直接提供一组等角，证全等常用。 2）距离性质（重点）：角平分线上任意一点，到角两边的垂线段长度相等。 几何语言： 若OP平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，则 PM=PN。 2. 全等三角形判定（常用4种） SSS、SAS、ASA、AAS。 【典例1】（2026春•榆树市期中）如图，△DOE的角平分线OF、EF相交于点F，若∠DOE＝60°，EF交OD于A、DF交OE于B． （1）若AD＝5，DE＝8，则BE＝ 　 　 （直接写出答案）． （2）线段DE与AD、BE、有怎样的数量关系？写出说明理由． 【变式1-1】（2025秋•阳新县期末）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE＝∠CDF．求证：AD平分∠BAC． 【变式1-2】（2025秋•洛宁县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF． 【变式1-3】（2025秋•长春期末）如图所示，BD平分∠ABC，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M、N为垂足．求证：PM＝PN． ▌题型09 利用角平分线的性质作辅助线 见角平分线上一点，向两边作垂线。 题目给出角平分线，求证线段相等、求线段长度、证面积相等。 操作步骤 （1）过平分线上的点，分别作角两条边的垂线段； （2） 根据角平分线性质：两条垂线段相等； （3）利用相等垂线，证明三角形全等； （4）等量代换得到目标边相等。 【典例1】如图，已知四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，且∠BAD与∠BCD互补，求证：AD＝CD． 【变式1-1】如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：∠DMA＝90°． 【变式1-2】如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC的中点，AM平分∠DAB． （1）DM是否平分∠ADC？请证明你的结论． （2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由． 【变式1-3】在△ABC中，作出∠ABC、∠ACB的内、外角平分线，两个内角平分线交于E点，两个外角平分线交于D点，直线BE与直线CD交于M点． （1）如图1，若∠BMC＝20°， ①直接写出∠BDC，∠BEC，∠BAC的度数．∠BDC＝　 　，∠BEC＝　 　 ，∠BAC＝　　 　 ． ②连接AM，求出∠CAM的度数． （2）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8cm，AB＝15cm，AC＝17cm，∠ABC的内角平分线和∠ACB的外角平分线交于M点，过M作MN⊥BC，垂足为N，求MN的长度． ▌题型10 利用角平分线的性质进行证明 角平分线两大性质 1）定义性质：角平分线分角为两个相等角（∠1=∠2），直接提供一组等角，证全等常用。 2）距离性质（重点）：角平分线上任意一点，到角两边的垂线段长度相等。 几何语言： 若OP平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，则 PM=PN。 【典例1】如图，已知OA、OC分别是△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线，连接OB． （1）求证：BO平分∠ABC； （2）若AC＝6，且△AOC与△ABC的面积分别是12和18，求△ABC的周长． 【变式1-1】如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN． 【变式1-2】如图，在△ABC中，∠ABC，∠EAC的平分线BP，AP交于点P，延长BA，BC，PM⊥BE，PN⊥BF．求证： （1）CP平分∠ACF； （2）∠ABC+2∠APC＝180°． 【变式1-3】（2026春•郑州校级期中）课本再现 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． （1）如图1，已知BG，CG是△ABC的角平分线，求证：点G到三边AB，BC，AC的距离相等； （2）如图2，BP，CP分别是△ABC的一个内角及一个外角的平分线，PQ⊥AC，连接AP，若∠BAC＝60°，求∠PAC的度数． ▌题型11 角平分线与截长法 截长法 ①在线段AB（最长线段）上截取AC（某条较短线段），使得AC=EF，连接…… ②过某点作AB（最长线段）的垂线 截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段 在线段上截取 条件：结论：。 在上截取，连接． 在和中 ，， ∴ ∴， 又∵ ∴， ∴ ∴． 【典例1】（2025秋•杨浦区期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D在边BC上，且AD平分∠BAC．求证：BD＞CD． 【变式1-1】如图，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上． （1）求∠AEB的度数； （2）求证：CE＝DE． 【变式1-2】如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝DC，BD平分∠ABC． 求证：∠BAD+∠C＝180°． 【变式1-3】（1）如图1，已知四边形ABDC为长方形，∠CAB和∠ABD的平分线恰好交于CD边上的点E，试判断：AB　 　 AC+BD（填＞、＜或＝） （2）如图2，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠ABD，CD过点E，且CD⊥AC试探究AB、AC与BD之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）题中，如果没有“CD⊥AC”这个条件，（2）题的结论还成立吗，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $