2.5.2 椭圆的几何性质-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第一册人教B版 2.5.2椭圆的几何性质 第1课时研究椭圆几何性质的思想方法 例1求椭圆4x2+9y2=36的长轴长、短 学习目标 轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率. 1.了解研究椭圆几何性质的思想方法。 2.掌握椭圆的简单几何性质，并正确地 画出图形， 3.理解离心率对椭圆扁平程度的影响」 要点精析 川要点1椭圆的简单几何性质 反思感悟 标准 +京-l(a>6>0) +62=1(a>b>0) 2 (1)用标准方程研究椭圆几何性质的 方程 步骤：①将椭圆方程化为标准形式；②确 定焦点位置；③求出a,b,c;④写出椭圆 图形 的几何性质 (2)a,b,c分别应为长半轴长、短半 轴长、半焦距 范围 -a≤x≤a,-b≤y≤b-b≤x≤b,-a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0) 变式训练1 焦点 F(-c,0),F2(c,0)F(0,-c),F(0,c) 设R,长为圆C:若+后1的两个能 焦距 IF Fl=2e 点，M为C上一点且在第一象限，若△MFF 顶点 A(-a,0),A2(a,0),A(0,a),A2(0,a) B1(0,-b),B2(0,b)B1(-b,0),B(b,0) 为等腰三角形，求M点的坐标. 轴长 长轴AA=2a,短轴B1B2l=2b 离心率 e=c∈(0,1) a 思考椭圆的一个焦点、中心和短轴 的一个端点构成了一个直角三角形，称为 椭圆的特征三角形，特征三角形三条边长 满足的关系式是什么？ 84)学 N 第二章平面解析几何。 川要点2利用椭圆的几何性质解题 变式训练2 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与 坐标无关的本身固有性质，如长轴长、短轴 P为椭图器+芳-1（®0）上的任老 长、焦距、离心率等，它反映了椭圆的范 点，A(-a,0),B(a,0). 围、对称性、扁平程度等；另一类是与坐标 求证：kph= a2 有关的性质，如顶点、焦点等，它反映了椭 圆及其特殊点的位置. 思考指阁+若-1(o60)上任建 一点P(x,y)(y≠0)与两焦点F,F2构成 的△PFF2称为焦点三角形，其周长为多少？ 例2已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0) 的离心率e= 2 川要点3求椭圆的离心率 (1)求m的值； 一般地，椭圆的半焦距与半长轴长之比 (2)求椭圆的焦点坐标、顶点坐标. e=c,称为椭圆的离心率 a 思考为什么离心率影响椭圆的扁平 程度？ 例3设椭圆的两个焦点分别为F,F2, 若椭圆上存在点P满足IPF:IFF:1PF=4: 3:2,则椭圆的离心率等于 分析设F,F,l=2c(c>0),由题意可得 F号c,PF上青c,再白黄圆的定义即 可求解 反思感悟 反思感悟 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方 求椭圆离心率的两种方法： 程通常用待定系数法.根据已知条件“选标 (1)直接法：若已知a,c,可直接利 准，定参数”·其一般步骤为：①确定焦点 用e=c求解.若已知a,b或b,c,可借助于 所在的坐标轴；②求出2，b2的值；③写 出标准方程 a2=b2+c2求出c或a,再代入公式e=c求解. a 学(85 高中数学选择性必修第一册人教B版 (2)方程法：若a,c的值不可求，则 数学文化 可根据条件建立a,b,c的关系式，借助 于2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程， 例嫦娥四号月球探测器于2018年12 再将方程两边同除以a的最高次幂，得到 月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星 关于e的方程，即可求得e的值 发射中心发射.12日下午4时43分左右， 嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点 色变式训练③ 的椭圆形轨道，如图中轨道3所示，其近月 在△MBC中，AB=BC,coB=及，若 点与月球表面距离为100km,远月点与月 球表面距离为400km,已知月球的直径约 以A,B为焦点的椭圆经过C,求该椭圆的 为3476km,对该椭圆：①焦距长约为 离心率 300km;②长轴长约为3988km;③离心 率约为5.上述结论正确的是 994 3饶月飞行 环月降轨④ 鹊桥 2 近月制动 图2-5-4 分析根据已知条件求得椭圆对应的 a,c,由此确定正确答案， (86)学 第二章平面解析几何。 第2课时点、直线与椭圆的位置关系 取值范围是[-2，-1]，求直线PA1斜率的 学习目标 取值范围 1.能利用椭圆的简单几何性质解决问题， 2.掌握点与椭圆位置关系等相关知识， 3.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识. 要点精析 川要点1点与椭圆的位置关系 设P,0,精圆三+养1(a60. 则点P与椭圆的位置关系如下所示： 川要点2直线与椭圆的位置关系 )点P心，0）在椭圆内台草+亮<1 判断直线和椭圆位置关系的方法 (2)点P,o)在椭圆上台+点=l 2b2 直线与椭圆的位置关系，从几何角度来 (3)点P(,y0)在椭圆外台6+后>1. 看有三种：相离时，直线与椭圆没有公共 点；相切时，直线与椭圆有一个公共点；相 思考，椭圆上一点P到焦点F或F的 交时，直线与椭圆有两个公共点.代数方法 距离称为椭圆的焦半径.椭圆的焦半径公式 是将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一 是什么？ 个未知数，得到一个一元二次方程.若△>0， 例1若点A(a,1)在椭圆t+ 则直线和椭圆相交；若△=0，则直线和椭圆 相切；若△<0，则直线和椭圆相离。 的外部，则a的取值范围是() 思考椭圆的焦点弦是什么？焦点弦 A.(-V2,V2) 长的最小值是多少？ B.(-∞，-V2)U(V2,+0) 例2已知斜率为1的直线1过椭圆 C.(-2,2) 4 D.(-1,1) +y2=1的右焦点，交椭圆于A,B两点，则弦 AB的长为( ③变式训练① A.4 B. 5 椭圆C:+片=1的左、右顶点分别 43 C.8 D.13 5 为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的 学(87 高中数学选择性必修第一册人教B版 反思感悟 川要点3弦中点及中点弦问题 根与系数的关系及弦长公式： 设直线l:y=kx+m(k≠0，m为常数) 中点弦问题常用“根与系数的关系”或 与椭圆足 2+=1>b>0)相交，两个交点 “点差法”求解. (1)利用根与系数的关系：将直线方程 为A(x1,y1),B(2,y2),则线段AB称为 代入椭圆的方程，消元后得到一个一元二次 直线I截椭圆所得的弦，线段AB的长度称 方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式 为弦长 建立等式求解，注意不能忽视对判别式的 下面我们推导弦长公式：由两点间的 讨论， 距离公式，得AB=V(x1-x2)+(y1-y2),将 (2)点差法：若直线1与椭圆C有两个 y1=kx1+m,y2=kx2+m代入上式，得4B1= 交点A,B,一般地，首先设出A(x1,y), V(x1-x2)2+(kx1-kx2)2=V(x1-x2)2+k2(x1-x2)7 B(x2,y2),代入椭圆方程，通过作差，构造 =V1+h2x1-x2l,而lx1-x2=V(x1+x2)2-4xw2, 出x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2,从而建立中点 .lAB引=V1+k2.V(x1+2)2-4x1x2,其中x+x2 坐标和斜率的关系. 与x2均可由根与系数的关系得到. 例3已知椭圆女 +苦1的孩AB的中 B变式训练② 点M的坐标为(2,1)，求直线AB的方程. 设椭圆等+后1(Q60)的左焦点为 F,左顶点为A,上顶点为B,已知V3IOA= 2IOB1(0为坐标原点). (1)求椭圆的率心率； (2)设经过点F且斜率为}的直线1与 椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x 轴和直线1相切，圆心C在直线x=4上，且 OC∥AP,求椭圆的方程. 变式训练③ 已知椭圆C:若+片1（心>0）的距 为6，过右焦点F的直线1交椭圆C于A,B 两点，若AB的中点坐标为(1，-1)，则椭 圆C的方程为 (88)学 第二章平面解析几何。 川要点4定点问题 9 数学文化 例4已知稀圆C:卡+若1(a>0) 例（多选题）泰戈尔说过一句话： “世界上最远的距离，不是树枝无法相依， 的离心率是5，点A(-2,0)在C上 而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹； 世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹， (1)求C的方程； 而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.” (2)过点B(-2,3)的直线交C于P, 已知点F(1,0),直线1：x=4,动点P到点 Q两点，直线AP,AQ与y轴的交点分别为 F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某 M,N,证明：线段MN的中点为定点， 直线上存在这样的点P,则称该直线为“最 远距离直线”，则下列结论中正确的是 () A点P的轨迹方程是羊+号-1 B.直线1：x+2y-4=0是“最远距离直线” C.平面上有一点A(-1,1),则PA+ 2IPF的最小值为5 D.点P的轨迹与圆C:x2+y2-2x=0是没 有交汇的轨迹（也就是没有交点） 学(89N 高中数学选择性必修第一册人教B版 “鱼群的运动轨迹方程是，之 y 1600+1200=1. 由于A,B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5：3， 因此设此时距A,B两岛的距离分别为5k,3k, 由椭圆的定义可知5k+3k=2×40=80,.k=10, 即鱼群分别距A,B两岛的距离为50 n mile和 30 n mile. 例2解：直接法.根据题意，直接列出方程，化简 可得 .·动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M到定 直线1：x=25的距离的比是常数4， 1 25 *4 专，即25[-44]=16-空整理可得9x425y 25,即动点M的镇迹方程为云+号 变式训练2解：设P(x,y)(x≠±V6),由题意得 V6'6合，化简得若1*V6, 南线C的轨迹方程为若+1(x≠±V6)。 例3解：由垂直平分线性质可知MO=MAL,ICMI+MA= CMI+IMOI=ICOI,.ICMI+IMAI=5 M点的轨迹为椭圆，其中2a=5,焦点为C(-1, 0),41,0,a习，c=l,=-斗，所求轨迹 方程为x 1. 25+21 44 变式训练3解：如图所示，设动圆圆心为M(x,y), 半径为r y 变式训练3答图 由题意动圆M内切于圆C,.MC=13-r. 圆M外切于圆C2,.MC=3+r. ..IMC l+IMC2l=16>IC C2l=8, ∴动圆圆心M的轨迹是以C,C,为焦点的椭圆， 且2a=16,2c=8,b2=a2-c2=48 故所求轨迹方程为后药引 (52 例4+号=1【解析】设Q(x,),P(,0),由点0 是线段0P的中点知2，学+营1,2 4 2心1，即4芳1 8 变式调练4专+号10)【解新】设M,功 P(xo,yo). xo=x, M为垂线段PP的中点， (yo=2y. P点在圆C:x2+2=8上，P点坐标满足圆的方 程，即+-8，+(2)=8，即营+号1≠0). 数学文化 3:5【解析】由椭圆的光学性质得到直线'平分 ∠F阳，由角平分线定理加-器，由调定义 知PF=子，PEHIPF=4,P=3,故FRM:EM=3:5. 2.5.2椭圆的几何性质 第1课时研究椭圆几何性质的思想方法 要点精析 例1解：由题意知，椭圆的标准方程为号+羊1，口 3,b=2,c=V5,即长轴长为6，短轴长为4，焦距为 2V5,焦点坐标为(-V5,0),(V5,0),顶点 坐标为A1(-3,0),A2(3,0),B(0,-2),B2(0,2),离 心率e=VS 3 变式训练1解：不妨设F,F分别是椭圆C的左、右 焦点，由M点在第一象限，△MFF2是等腰三角形，知 IF MI=IF F. 又由椭圆方程+0=1知，a=6,b=2V5,c=4, 3620 知IFF=2c=8,IFM+|F2M=2x6=12,所以IFM=8,IFM1=4. 设M,0(x0.0.则ot4it=64·解 (x0-4)2+=16, 得xw=3,yo=V15,即M(3,V15). 例2解：(1)由题意得椭圆的标准方程为上+少=1 mm m+3 由于m>0,故m>3,即椭圆的焦点在x轴上， m+3c2=m-m2=m2+2m .=m,b2= m+3m+3 1/m2+2m ∴e=c= 3三3，即m-m=0 a Vm 又.m>0,故m=1. (2)由（1)知椭圆方程为4=1， 1 4 4，c21-1-3 故a2=1,b-= 441 故焦点坐标为Y3,0,V3,0, 2 2 顶点坐标为(1,0)，(1,0)，(0，分，(0，-2】 变式训练2证明：设P(x,,则k=,,km=之 xr+a xj-a 又P在椭圆上，亭+培1 整理有i=-（-d)②. 将2代人①，有 例3交【解析】设IFF=2c(c>0),由IPFI:F: pF=4:32,得PF8c,PF,且PRP,由 横圆的定义可得2a=PP+PF=4c,离心率e=号 变式训练3解：设AB=BC=x,由cosB=-7及余弦定理， 18 AC-ABBG-2AB-BCc0s-AC 马，4c= ·.椭圆以A、B为焦点，故2c=AB=x,又椭圆经过 点C,4C+C=+=2a=弩，e= 8 2x3 a-4x 8，故 3 离心率e=子 变式训练3答图 参考答案。 数学文化 10043476=0-c, 2 ①③【解析】依题 40043476-0+c, 2 即1838=-心，解得=198， 2138=a+c, c=150. 2c=300,①正确；2a=3976,②错误： 商心率=台0改.③正确 .正确的为①③. 第2课时点、直线与椭圆的位置关系 要点精析 例1B【解析】：点A(a,1)在稀圆若+乏1的外 部，小+>1，解得ae(0,V2UV, 故选B. 变式训练1解：利用直线PA2斜率的取值范围确定点 P的变化范围，再利用斜率公式计算直线PA,斜率的取 值范围. 由题知，A1(-2,0),A2(2,0),当PA2的斜率为-2 时，1.：y=-2(x-2)代入椭圆方程中，有19x2-64x+52= 0.解得=2（舍）或x=治得P治治，此时直线 PA:斜率为令，同理，当直线PA,的斜率为-1时，得 P号，号，此时直线PA,的斜率为子 所以直线PA,的斜率的取值范围是[}，引 例2C【解析】由椭圆方程得，2-4，b2=1,c2=3, 右焦点坐标为(V3,0),则直线l的方程为y=x-V3. =x-V3, 设A(,),B(,2),联立2+-1 消去y得， 5-8V3+8=0,则xt=8Y5,=g,MB Vk v(-vxx 号，即弦AB的长为；故选C 51 变式训练2解：(1)V31OA=2I0B1,.V3a=2b, 又由，消去6得ad,解得分 a=2 53 高中数学选择性必修第一册人教B版 “椭圆的商心率为号 (2)由(1)知a=2c,b=V3c,故椭圆方程为 42+ X2.2 多l,由题知：)子o,点P坐标满足 =1, 3 消去y得7x2+6cx-13c2=0,∵x1=C,x2= 13c(舍)， ipe.ge. 由圆心C在直线x=4上，可设C(4,t): 2 0c/AP小4，得=2，即C4,2》 ··圆与x轴相切，r=2 又由圆C与1相切，得I4(4+c)-2 =2,得c=2, V 所以椭圆方程为 32 162. 例3解：方法一： 由椭圆的对称性知，直线AB的斜 率存在，设直线AB的方程为y-1=k(x-2),将其代入椭 圆方程并整理，得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0. 设A(x,y),B(x2,2),则，2是上述方程的两 根，于是x+=8(22-k) 4h2+1 又M为线段AB的中点，=42)=2， 2 4k2+1 解得k=,故所求直线的方程为x+2-40. 方法二：设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠xM(2,1) 为线段AB的中点，x1+x2=4,y+y2=2. 又.A,B两点在椭圆上，则x+4y7=16,x+4=16. 两式相减，得（行-G)+46-)0,于是(x+2)(x1-x2)+4(y+ y2)(y1-y2)=0. 小高号甲日，故所 求直线的方程为x+2y-4=0. 方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y), 由于点M(2,1)为线段AB的中点，则另一个交点为 B(4-x,2-y) A,B两点都在椭圆上，444(2-y)16.② x2+4y2=16,① ①-②，得x+2y-4=0,即点A的坐标满足这个方程，根 据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A,B两 点的直线只有一条，故所求直线的方程为x+2y-4=0. 54 变式训练3发亏1【解折】设A,B,以 ,B都在椭圆上，点的坐标适合椭圆方程，则草+ 答=1①，等+荐1②.①-②有+ a (y+y2)y22-0③. AB的中点坐标为(1，-1)，x1+x2=2,y+y2=-2. 又A,B,AB的中点及椭圆右焦点F(3,0)四点 共线，=0=方，代入③式，求得18， x1-x23-1 69,则椭圆C的方程为衣+号1 b=2, 例4解：（①）由题意可得-b+c2, e=c-V5 43 a=3, 解得b=2, 所以椭圆方程为号+菩1. c=V5, (2)由题意可知，直线PQ的斜率存在，设PQ: y=k(x+2)+3,P(x1,y),Q(x2,y2), y=k(x+2)+3, 碳立方程组苦学山 消去y得(4k2+9)x2+8k(2k+3)x+16(k2+3k)=0, 则△=64k2(2k+3)2-64(4k2+9)(k2+3k)=-1728k>0,解 得k<0,可得x+x2= 8k(2k+3) 16(k2+3k) 4k2+92,xt2= 4h2+9 因为A(-2,0),则直线AP方程 为2+2. 令x=0,解得y=2 x1+2’ 即0,23， 同理可得N0,2, x2+2, 则MN中点的纵坐标为 例4答图 21+2y2 x+2+2-[k(x+2)+31]+[k(x+2)+3] 2 x1+2 x2+2 =[kx1+(2k+3)](x2+2)+[kx+(2k+3)](x+2) (x1+2)(x2+2) =2kx2+(4k+3)(x1+x2)+4(2k+3)】 xx2+2(x1+x2)+4 32k(k2+3k)_8k(4+3)(2k+3)+4(2k+3) 4h2+9 4h+9 16k2+3k)_-16k(2k+3)+4 4h2+9 4k2+9 063. 所以线段MN的中点是定点(0,3)， 数学文化 ABC【解析】设P(x,y),:点P到点F的距离是 点P到直线1的距离的一半，.2V(x-1)+=x-4,化 简得兰+号1，放A正确： x+2y-4=0, 联立方程组 可得(x-1)2=0,解得x=1, 故存在P1,多，六直线：+2-40是“最远距离直 线”，故B正确； 如图所示，过点P作PB垂直直线1：x=4,垂足为 B,则由题可得PB=2IPF,则IPA+2P=PA+PB,则由图 可知，PA+PB的最小值即为点A到直线l:x=4的距离 5,故C正确： x=4 例题答图 由x2+y2-2x=0可得(x-1)2+y2=1,即圆心为(1,0)， 半径为1，易得点P的轨迹与圆交于点(2,0)，故D 错误.故选ABC >"2.6双曲线及其方程 2.6.1双曲线的标准方程 要点精析 例1AC【解析】由题意，知1MN1=4,当a=0时， IPM-IPN=O,点P的轨迹是线段MN的垂直平分线，是 一条直线，故A正确：当a=1时，PM-PW=2a=2<4,此 时点P的轨迹是双曲线的一支，故B不正确；当a=2时， PM-PN=2a=4=lMN,点P的轨迹为以N为端点沿x轴 向右的一条射线，故C正确：当a=3时，IPMI-|PNI=2a= 6>4,点P的轨迹不存在，故D不正确.故选AC 变式训练1D【解析】根据两点间距离公式可知， V(x+2)+y2-V(x-2)+y=2表示动点P(x,y)到两定点 F(-2,0),F(2,0)的距离之差等于2，而2<FF=4, 参考答案。 由双曲线的定义，知动点P的轨迹是双曲线的右支.故选D 例2解：(1)：焦点在x轴上，∴设双曲线的标准方 程为号若1(a0,b0). 又焦距为2V6,经过点(-5,2)， 9A1 2c=2√6，解得-5，b2=l,双曲线的标准方 a2+b2=c2, 程为号1 (2)由已知得c=6,且焦点在y轴上.，点A(-5,6) 在双曲线上，.2a=1V(-5-0)2+(6+6)2-V(-5-0)2+(6-6)2= I13-5引=8，则a=4,b2=c2-2=62-42=20,∴.所求双曲线的 标准方程是6六引 变式训练2解：(1)焦点在x轴上，可设双曲线的 标准方程为荐茶-1(m0,6>0). 将点P(4,-2)和Q(2V6,2V2)代人方程得 意 解得a2=8,b2=4, 2481 双偏线的标准方程为营-若引 (2)设双曲线的方程为Ax2+By2=1,AB<0, 点P,Q在双曲线上， 9A+225B=L, 16 A=6 则 解得 故双曲线的标准 256A+25B=1, 9 B=1 9 方程为兮61 例3D【解析】由双曲线定义，点P在以A,B为焦点 的双曲线的右支上，a=1,c=2, 设P,y,则2号l(≥)①， P在函数y=3V4-x图象上，y=3V4-x2②， x长3 联立①，②得 4 27 4 而IOP=Vx2+y2=VI0.故选D. 变式训练3解：圆F:(x+5)2+y2=1,圆心坐标为F(-5, 0),半径r1=1: 圆F:(x-5)+y2=16,圆心坐标为F(5,0),半径r=4. 55