2.5.1 椭圆的标准方程-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第一册人教B版 .OM=(x,y),MN=(0,-y),MR=(0,-2-y), 由条件可得-y(-y-2)=2+y, 整理可得点M的轨迹方程为x2=2y 例2解：以经过A,B的直 线为x轴，线段AB的垂直平 分线为y轴建立如图所示的平 面直角坐标系，则A(-1,0), B1,0,设点P,附 例2答图 =V2,即Vx+)+平=V2,整理可得+-6r+ V(x-1)2+y2 1=0,即(x-3)2+y2=8,.点P的轨迹是以C(3,0)为圆 心，2V2为半径的圆， 变式训练2x-号+6-2产=子【解析】由圆C:(x 1)2+(y-1)2=9,可知圆心C(1,1) 由圆的性质可知CP⊥PA,设AC的中点为 2)G-2xV((13-V5 2 :动点P的轨迹为以B为圆，以V5为半径的圆， 2 即P的轨迹方程为-号40-2产名 4 例3C【解析】设P(x,y),R(x,y), 已知A(1,0),由P是RA的中点， 2, 则=2-1,0 y1=2y. 点R是直线1上的一个动点， ∴.点R的坐标满足直线1的方程，代人得y=2-4.② 把①代入②得2y=2(2x-1)-4,即y=2x-3.故选C. 变式训练3解：设G(x,y),C(x,y),则y=x+3, X= -2+2+x1 3 由重心坐标公式得 x=3x, 代人y=x+3 .YL y=3y, 中得3y=9x2+3,即y=3x2+1.经检验，上式就是动点G的 轨迹方程。 数学文化 ABD(解析】设P,,由路}可得Va网 =V而，整理可得49++10.化为+ 产9，曲线E的圆心坐标为号，0，半径为告， 50 故A正确； 圆心子，0到点B1,0)的距离为号弩专 ≤PB≤骨+号，即号≤PB≤4，故B正确： 3 圆的周长为2m=暂，故C错误： 八5+0-1 圆心到直线x+y-1=0的距离为3 2 42,:.曲线E上的点到直线x+y-l=0的最小距离为 3 4-专号(V2-.故D正确放选ABD 3 >"2.5椭圆及其方程 2.5.1椭圆的标准方程 第1课时求椭圆的标准方程 要点精析 例1C【解析】由MF+lMF=2=FF知，点M的轨迹 不是椭圆，而是线段FF.故选C. 变式训练1B【解析】V+(y+3)+Vx+(0y-3)2=4V3 表示平面内点M(x,y)到点(0，-3)，(0,3)的距离 之和为4V3,而3-(-3)=6<4V3,∴点M的轨迹是 椭圆.故选B. 例2解：(1)根据题意，设点P(x,y),F(-2,0), F(2,0),则有PF+HPF=4V2>FF=4. 结合椭圆的定义可得，点P的轨迹即是以F(-2, 0),F(2,0)为焦点的椭圆. 2a=4V2，因此b2=d- c=2, c4,放点P的轨造方程为营+片1 (2)方法一：①当焦点在x轴上时， 设橘圆的标准方程为后+点1（®>0。 V32+-2=1, a 62 a2=15, 依题意有 解得 2y52+g1. b2=5, 故所求精圆的标准方程为号兮-1 ②当熊点在y轴上时，设椭圆的标准方程为导+景 =1(>b>0). -2+V32=1, a2=5, 依题意有 解得 2￥321. b2=15. 62 .>b>0,.方程组无解 综上，所求椭圆的标准方程为x 方法二：设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,> 0,m≠n), 1 3m+4n=1,解得 15 依题意有 (12m+n=1, 1 =5 :所求箱图的标准方程为后芳引 变式训练2解：(1)a=10,c=6,.b2=d2-c2=64, 桶圆的标准方程为品0+益1或新+花01 (2)将桶圆9r24-36化为标准方程，得若+号 1,得焦点为(0，±V5),.设经过点(2,3)且与椭 圆94-36有共同焦点的椭圆方程为芳+兰1(a动> a2-b2=5, 0,市题.释合 解得=15，b2=10,.所求 椭圆方程为后卡引 例3C【解析】如图所示，由椭圆及圆的方程可知两 圆圆心分别为A(-4,0),B(4,0),恰好是椭圆的两个 焦点，由椭圆定义知IPA+lPB=2a=10.连接PA,PB分别 与两圆相交于M,N两点，此时PM+PN最小，最小 值为PAI+PB-2r=8:连接PA,PB并延长，分别与两圆 相交于M2,N两点，此时PM+PN2最大，最大值为 IPAI+|PB+2r=12.故选C. 例3答图 变式训练3B【解析】根据椭圆的方程知=8， -e≤P生P型受--8，当且仅当 IPF=PF时取等号.故选B. 例4证明：设A,B的坐标分别为(x1,y)和(x2, 2),因为线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB不 参考答案。 平行于y轴，即x≠x2,又交点P(xo,0),故PA=PB1, 即(x1-0)2+yi=(2-x)2+y.① ,B在稀圆上，--，。 将上式代入①，得2()x(好-).2-2 x1≠2，可得0+2.-b2 2 a2 -a≤1≤a,-a≤x2≤a,且x1≠x2, <-b2 -2a<t2a,--b2 a 数学文化 C【解标】由题意霜圆方程为兰+长-1(o0>0, 排除BD. 矩形ABCD的四边与椭圆相切，则矩形的周长为 2(2a+2b)=4a+4b=72,a+b=18. 在椭圆是+=1中，a=9,6=4,a+b=13,故A不 8116 满足题意。 在横国品+后1巾，a=0.6=8,a6=18,词足 题意，故选C 第2课时求有关椭圆的轨迹方程 要点精析 例1解：建立如图所示的平面直角坐标系，则点 P1,45).设褐圆方整为荐+若- 4.5 -22 例1答图 将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程， 得a=4y7,此时1=2a=88y7=3.26,因此隧 7 7 道的拱宽1约为33.26m. 变式训练1解：以AB的中点为原点，AB所在直线为 x轴建立平面直角坐标系（图略）. 设图方程为号+护1®60)且=VG. :焦点A的正西方向椭圆上的点距原点的距离为a, ∴.a-c=20. 又.AB引=2c=40,则c=20,a=40,故b=20V3, 51 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 “鱼群的运动轨迹方程是，之 y 1600+1200=1. 由于A,B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5：3， 因此设此时距A,B两岛的距离分别为5k,3k, 由椭圆的定义可知5k+3k=2×40=80,.k=10, 即鱼群分别距A,B两岛的距离为50 n mile和 30 n mile. 例2解：直接法.根据题意，直接列出方程，化简 可得 .·动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M到定 直线1：x=25的距离的比是常数4， 1 25 *4 专，即25[-44]=16-空整理可得9x425y 25,即动点M的镇迹方程为云+号 变式训练2解：设P(x,y)(x≠±V6),由题意得 V6'6合，化简得若1*V6, 南线C的轨迹方程为若+1(x≠±V6)。 例3解：由垂直平分线性质可知MO=MAL,ICMI+MA= CMI+IMOI=ICOI,.ICMI+IMAI=5 M点的轨迹为椭圆，其中2a=5,焦点为C(-1, 0),41,0,a习，c=l,=-斗，所求轨迹 方程为x 1. 25+21 44 变式训练3解：如图所示，设动圆圆心为M(x,y), 半径为r y 变式训练3答图 由题意动圆M内切于圆C,.MC=13-r. 圆M外切于圆C2,.MC=3+r. ..IMC l+IMC2l=16>IC C2l=8, ∴动圆圆心M的轨迹是以C,C,为焦点的椭圆， 且2a=16,2c=8,b2=a2-c2=48 故所求轨迹方程为后药引 (52 例4+号=1【解析】设Q(x,),P(,0),由点0 是线段0P的中点知2，学+营1,2 4 2心1，即4芳1 8 变式调练4专+号10)【解新】设M,功 P(xo,yo). xo=x, M为垂线段PP的中点， (yo=2y. P点在圆C:x2+2=8上，P点坐标满足圆的方 程，即+-8，+(2)=8，即营+号1≠0). 数学文化 3:5【解析】由椭圆的光学性质得到直线'平分 ∠F阳，由角平分线定理加-器，由调定义 知PF=子，PEHIPF=4,P=3,故FRM:EM=3:5. 2.5.2椭圆的几何性质 第1课时研究椭圆几何性质的思想方法 要点精析 例1解：由题意知，椭圆的标准方程为号+羊1，口 3,b=2,c=V5,即长轴长为6，短轴长为4，焦距为 2V5,焦点坐标为(-V5,0),(V5,0),顶点 坐标为A1(-3,0),A2(3,0),B(0,-2),B2(0,2),离 心率e=VS 3 变式训练1解：不妨设F,F分别是椭圆C的左、右 焦点，由M点在第一象限，△MFF2是等腰三角形，知 IF MI=IF F. 又由椭圆方程+0=1知，a=6,b=2V5,c=4, 3620 知IFF=2c=8,IFM+|F2M=2x6=12,所以IFM=8,IFM1=4. 设M,0(x0.0.则ot4it=64·解 (x0-4)2+=16, 得xw=3,yo=V15,即M(3,V15). 例2解：(1)由题意得椭圆的标准方程为上+少=1 mm m+3 由于m>0,故m>3,即椭圆的焦点在x轴上，N 高中数学选择性必修第一册人教B版 2.5 椭圆及其方程 2.5.1椭圆的标准方程 第1课时求椭圆的标准方程 D.线段FF的垂直平分线 学习目标 B变式训练① 1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解 决问题， 平面内，若点M(x,y)满足关系式 2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的 Vx2+(y+3)2+Vx2+(y-3)2=4V3,则点M 标准方程. 的轨迹是（ 3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能 A.不存在 B.椭圆 运用标准方程解决相关问题 C.线段 D.直线 要点精析 川要点2椭圆的标准方程 川要点1椭圆的定义及相关的概念 焦点位置 在x轴上 在y轴上 如果F,F2是平面内的两个定点，a是 标准方程 +6=l(>>0) x2y2 r.x +京=l(>b>0) 一个常数，且2a>FF,则平面内满足PF+ IPF=2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中， 图形 两个定点F,F称为椭圆的焦点，两个焦点 之间的距离FF,称为椭圆的焦距， 焦点坐标 (-c,0),(c,0)(0,-c),(0,c) 思考椭圆定义中，将“2a>FF”改 a,b,c 为“2a<FF”或“2a=FF”,其他条件不 a2=b2+c2 的关系 变，动点P的轨迹是什么？ 思考 (1)确定椭圆的标准方程需要 例1平面内，若点M到定点F(-1, 知道哪些量？ 0),F2(1,0)的距离之和为2，则点M的轨 (2)如何判断椭圆的焦点位置？ 迹为() 例2分别求满足下列条件的椭圆的标 A.椭圆 准方程： B.直线FF (1)两个焦点的坐标分别为(-2,0)和 C.线段FF (2,0),椭圆上的点P到两焦点距离之和等 78)学 N 第二章平面解析几何。 于4V2; 川要点3与椭圆有关的最值问题 (2)经过点A(V3,-2)和点 与椭圆有关的最值问题涉及的知识点有 B(-2V3,1). 椭圆的定义、基本不等式和三点共线的几何 分析利用待定系数法求椭圆的标准 性质 方程，该解法的一殷思路为：先确定焦点 思考基本不等式的内容是什么？ 位置，设出椭圆的标准方程；如果不确定 焦点位置，则应分类讨论，再用待定系数 例3设P是桶圆芳号1上一点，M。 法求出a,b的值 N分别是两圆：(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上 的点，则PM+PW的最小值和最大值分别为 ( A.9,12 B.8,11 C.8,12 D.10,12 反思感悟 从条件看，动点P在椭圆上，M,N分 反思感悟 别是两圆上的动，点，背景是圆外的点到圆 若椭圆的焦点位置不确定，可用以下 上的点的距离最值问题.方法是以静制动， 两种方法：①分焦点在x轴上和在y轴上 发现两圆圆心是椭圆的焦点是关键，考查 两种情况讨论.②可设椭圆的方程为mx2+ 了椭圆的定义，动点P和两个圆心的距离 y=1(m>0,n>0,m≠n),由于m,n的 和是定值， 大小不确定，所以焦点在x轴和y轴上的 情况都包含 变式训练3 B变式训练2 已知椭圆名片1的左、右焦点分划为 分别求满足下列条件的椭圆的标准方程： F,F2,点P在椭圆上，则IPEI-IPE的最大 (1)a=10,c=6; 值是() (2)经过点(2,3)，且与椭圆9x2+4y2 A.2V2 B.8 36有共同的焦点. C.10 D.4V2 例4已知椭圆号+后1(@6>0)，A, B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线 与x轴相交于点p(o,0),证明--<< 学 79 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 a2-b2 a 数学文化 分析点在椭圆上，点的坐标满足椭 例古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面 圆方程. 切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于 圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆； 把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用 周长为72的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆 T,且T与矩形ABCD的四边相切.设椭圆T 在平面直角坐标系中的方程为荐+芳1（心 b>0),下列选项中满足题意的方程为() A.x+=1 8116 c品4l D斋而l 分析在平面图形中求解，利用圆锥 曲线的来源来理解矩形ABCD的四边与椭 圆相切，得到a,b的关系式. (80)学 第二章平面解析几何。 第2课时求有关椭圆的轨迹方程 学习目标 测信号（传播速度相同），A，B两岛收到鱼 群反射信号的时间比为5：3.你能否确定鱼 1.用坐标法探求有关椭圆的轨迹方程！ 群此时分别与A,B两岛的距离？ 2.培养学生将实际问题情境抽象为数学 问题模型的能力 要点精析 川要点1与椭圆有关的实际问题应用 例1某隧道设计为双向四车道，车道 总宽22m.要求通行车辆限高4.5m,隧道 全长2.5km,隧道的拱线近似地看成半个椭 川要点2求有关椭圆的轨迹方程 圆形状（如图2-5-1）.若最大拱高h为6m, 求曲线方程的常用方法： 则隧道设计的拱宽1是多少米？ (1)定义法；(2)直接法；(3)代入 法（相关点法）. (单位：m) 思考探究V(x+c)2+y=a+Cx的几何 图2-5-1 特征 例2已知动点M(x,y)与定点F(4, 0)的距离和M到定直线1：x=25的距离的 4 比是常数号，求动点M的轨迹方程， B变式训练① 某海域有A,B两个岛屿，B岛在A岛 正东40 n mile处，经多年观察研究发现， 某种鱼群洄游的路线像一个椭圆，其焦点恰 好是A,B两岛，曾有渔船在距A岛正西 20 n mile发现过鱼群.某日，研究人员在A, B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探 学(81 高中数学选择性必修第一册人教B版 反思感悟 反思感悟 例2中的定点是椭圆的焦点，定直线 在求动点的轨迹方程时，当发现动点 是准线.这也称为椭圆的第二定义，即椭圆 到两定点的距离之和为定值（大于两定点之 上的，点到焦点的距离与到相应定直线（准 间的距离)时，由椭圆的定义知其轨迹是椭 线)的距离的比值为常数（离心率） 圆，这时可根据定值及两定点的坐标分别求 出a,c,即可写出其方程，这种求轨迹方 B变式训练② 程的方法称为定义法 已知点A1(-V6,0),A2(V6,0), B变式训练③ 直线PA,PA:的斜率之积为-(，设点P的 已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+ 轨迹为曲线C,求曲线C的方程. y2=9,动圆在圆C,内部且和圆C,相内切， 和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程， 例3如图2-5-2，圆 C:(x+1)2+y2=25及点A(1, 0),Q为圆上一点，AQ的 垂直平分线交CQ于M,求 图2-5-2 点M的轨迹方程， 分析根据垂直平分线的性质，利用 例4已知P是精网苦+苓1上一动 8 椭圆定义法可求出轨迹方程」 点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨 迹方程为 反思感悟 Q点和P点的坐标之间满足某种关系， 因为点P在定曲线上运动，所以P,点的坐 标适合定曲线方程，将其坐标(x0,yo)代 入方程中，转化为关于点Q(x,y)满足的 方程，即为所求，称其为代入法 (82)学 第二章平面解析几何。 变式训练④ 线C的方程为等+号1，其左、右焦点分别 是F,F,直线I与椭圆C切于点P,且 已知圆C:x2+y2=8(y≠0)，从圆上任意 一点P向x轴作垂线段PP,P为垂足，则 PF=子，过点PH与直线I垂直的直线r与 线段PP的中点M的轨迹方程为 FF2交于点M,则IFMI:IFM= 数学文化 p切线-1 法线 例如图2-5-3所示，椭圆有这样的光 F M 学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经 椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦 图2-5-3 点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲 学(83