2.4 曲线与方程-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第一册人教B版 2.4曲线与方程 第1课时曲线与方程的概念 分析只有点和方程的解一一对应， 学习目标 才能说曲线是方程的曲线、方程是曲线的 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义， 方程 2.了解曲线与方程的对应关系 3.了解用曲线方程研究曲线性质的方法 4.会求两曲线的交点。 要点精析 要点1曲线的方程与方程的曲线 反思感悟 (1)曲线上的点的坐标都是这个方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲 的解，即直观地说“点不比解多”，称为 线C与方程F(x,y)=0之间具有如下关系： 纯粹性。 (1)曲线C上的点的坐标都是方程F(x, (2)以这个方程的解为坐标的点都在 y)=0的解 曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为 (2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点 完备性 都在曲线C上。 则称曲线C为方程F(x,y)=0的曲线， 变式训练1 方程F(x,y)=0为曲线C的方程 设曲线F(x,y)=0和F2(x,y)=0的交 思考如果曲线C的方程是F(x,y)= 点为P,那么曲线F(x,y)-F(x,y)=0必定 0,且P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一 ( ,点，用集合的特征性质描述法如何表示曲 A.经过P点 线C? B.经过原点 例1分析下列曲线上的点与相应方程 C.不一定经过P点 的关系： D.经过P点和原点 (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线 与方程x=2之间的关系； 川要点2用曲线方程研究曲线性质 (2)第二、四象限两轴夹角平分线上的 讨论曲线的几何性质一般包括以下几个 点与方程x+y=0之间的关系， 方面： 72)学 第二章平面解析几何。 (1)研究曲线的组成和范围，即看一下 川要点3曲线的交点问题 所求的曲线是由哪一些基本的曲线组成的， 在某些情况下可以根据方程求得方程所表示 求两曲线的交点的一般方法 曲线的大致范围， (1)求两曲线F(x,y)=0与G(x,y)=0 (2)研究曲线与坐标轴是否相交，如果 F(x,y)=0, 的交点，实际上是求方程组 相交，求出交点的坐标，曲线与坐标轴的交 G(x,y)=0 点是确定曲线位置的关键点 的实数解.交点的个数实际上是方程组 (3)研究曲线的对称性（关于x轴、y F(x,y)=0, 实数解的个数.方程组有几对 轴、原点). G(x,y)=0 (4)研究曲线的变化趋势，即y随x的 实数解，这两条曲线就有几个交点.若方程 增大或减小的变化情况， 组无实数解，那么这两条曲线就没有交点. (5)根据方程画出曲线的大致形状，在 (2)如果只涉及曲线的一部分，那么常 画曲线时，可充分利用曲线的对称性，通过 用数形结合的方法 列表、描点的方法先画出曲线在一个象限的 例3已知曲线C1:2x-5y+5=0,C2: 图象，然后根据对称性画出整条曲线 y=10,判断两曲线有无交点.若有交点， 例2已知曲线C的方程是x+y2=1.关 求出交点坐标；若无交点，请说明理由， 于曲线C的几何性质，给出下列三个结论： ①曲线C关于原点对称； ②曲线C关于直线y=x对称； ③曲线C所围成的区域的面积大于π 其中，所有正确结论的序号是 反思感悟 研究曲线的对称性：将x换为-x,y不 变，原方程不变，则曲线C关于y轴对称； 将y换为-y,x不变，原方程不变，则曲线 C关于x轴对称；将x换为-x,y换为-y, 原方程不变，则曲线C关于原点对称；将 x换为y,y换为x,原方程不变，则曲线C 反思感悟 关于直线y=x对称。 可以把求两曲线的交点坐标的问题转 ⑧变式训练2 化为解方程组的问题，把讨论交点的个数 问题转化为讨论方程组解的个数问题，即 已知曲线C:x4+(a+1)y2+ay-b=0(a∈ 用代数方法研究几何问题。 R)关于x轴对称，则a= 73 高中数学选择性必修第一册人教B版 变式训练3 数学文化 设0<0<号，曲线in0+yito0=1和 例（多选题）曲线C:(x2+y2)3=16x2y2 为四叶玫瑰线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥 x2cos0-y2sin0=1有4个不同的交点， 的布局中有非常广泛的应用，苜蓿叶型立交 (1)求0的取值范围； 桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的 (2)证明这4个交点共圆，并求圆半径 转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆行 的取值范围. 驶环道后自右侧汇入高速公路，四条环形匝 道就形成了苜蓿叶的形状.给出下列结论， 正确的有（ 例4已知两点M1,,N-4, 给出下列曲线方程：①4x+2y-1=0;②x2+y2 图2-4-1(A) 图2-4-1(B) A.曲线C只有两条对称轴 3,③号+1：④号1.在曲线上存在点 B.曲线C经过5个整点（即横、纵坐 P满足IMP=NPI的所有曲线方程是( 标均为整数的点)》 A.①③ B.②④ C.曲线C上任意一点到坐标原点O的 C.①②3 D.②③④ 距离都不超过2 分析点P满足MP=NPI,则点P在 D.过曲线C上的任一点作两坐标轴的 线段MN的垂直平分线上，此题转化为线 垂线与两坐标轴围成的矩形面积最 段MW的垂直平分线l与题中的曲线是否有 大值为2 公共点P的问题 (74学 第二章平面解析几何。 第2课时 求曲线方程 分析 由题意可知点B坐标，设P(x, 学习目标 ),将=，k=(x≠生)代入 x-1 1.初步掌握求曲线方程的方法步骤 2.初步掌握由曲线方程研究曲线性质的 kAP·kBP=- 】中并化简即可得到点P的轨迹 方法， 方程。 3.领悟坐标法和解析几何的思想 D变式训练① 要点精析 设动点M在直线y=0和y=-2上的射影 川要点1直接法求曲线方程 分别为点N和R,已知MN·MR=OMP,其 中O为坐标原点，求动点M的轨迹方程， 直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐 标(x,y),然后根据题目中的等量关系列 出x,y之间的关系并化简.主要有以下两类 常见题： (1)题目给出等量关系，求轨迹方程， 可直接代入即可得出方程， (2)题中未明确给出等量关系，求轨迹 方程，可利用已知条件及曲线的几何性质寻 川要点2定义法求曲线方程 找等量关系，得出方程。 思考求出曲线的方程后要注意什么？ 某动点的轨迹如符合直线、圆、圆锥 例1在平面直角坐标系xOy中，点B 曲线的定义，则可根据定义得到动点的轨 与点A(-1,1)关于原点0对称，点P是动 迹方程 点，且直线AP与BP的斜率之积为-}，则 思考求动点的轨迹方程与求其轨迹 有何区别？ 点P的轨迹方程为() 例2阿波罗尼斯证明过这样一个命 A.3x2+y2=4(x≠±1)》 题：平面内到两定点距离之比为常数k(k> B.3x2+y2=1(x≠±1) 0,k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆 C.x2+3y2=4(x≠±1) 称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B D.x2+3y2=1(x≠±1) 间的距离为2，动点P清足脚-V7,求 :点P的轨迹方程与其轨迹。 学 75 高中数学选择性必修第一册人教B版 分析以经过A,B的直线为x轴，线 分析设P(x,y),R(x,y),由中点 段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐 坐标公式把，当用x,y表示，再把(x, 标系，设点P(x,y),根据已知条件可得出 y)代入已知直线方程即可。 ,点P的轨迹方程」 反思感悟 相关点法（代入法）求解曲线方程的 步骤： (1)设动点P(x,y),相关动点M(xo, Yo). (2)利用条件求出两动点坐标之间的 (xof(x,y), 反思感悟 关系 yo=g(x,y). 在求轨迹方程之前，首先建立适当的 (3)代入相关动，点的轨迹方程. 平面直角坐标系，建系的方法需要积累， (4)化简、整理，得所求轨迹方程。 B变式训练② B变式训练3 已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=9,过点 已知定点A(-2,0),B(2,0)和曲线 A(2,3)作圆C的任意弦，则这些弦的中 y=x2+3上的动点C,若点G是△ABC的重 点P的轨迹方程为 心，求动点G的轨迹方程. 川要点3相关点法（代入法）求曲线方程， 若动点满足的条件不方便用等式表示， 但动点是随着另一动点（称之为相关点）的 运动而运动，且相关点满足的等量关系是明 显的，这时我们可以用动点的坐标表示相关 点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程， 求得动点的轨迹方程。 思考中点坐标公式和三角形的重心 坐标公式是什么？ 数学文化 例3已知点A(1,0),直线1：y=2x 4,点R是直线1上的一个动点，若P是RA 例（多选题）古希腊著名数学家阿波 的中点，则点P的轨迹方程为() 罗尼斯（约公元前262一前190）与欧几里 A.y=-2x B.y=2x-6 得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》 C.y=2x-3 D.y=2x+4 八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比 76)学 n 第二章平面解析几何。 为定值入（入≠1）的点所形成的图形是圆. 反思感悟 后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿 著名的阿波罗尼斯圆给出了圆的另一 波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系xOy中， 种定义方式，它是讨论一动点与两定点的 A(-1,0),B(1,0).点P满足P4=1,设 距离之间的关系，为后面研究椭圆、双曲 IPB2· 线的定义奠定了基础. 点P所构成的曲线为E,下列结论中正确的 有() A.曲线E的圆心坐标为-了，0 B.号≤PB≤4 C.曲线E的周长为π D.曲线E上的点到直线x+y-1=0的最 小距离为告(V2-1) 分析设P(x,y),利用两点间的距 离公式求出点P所构成的曲线方程E,然 后逐一判断即可. 学(77高中数学选择性必修第一册人教B版 (3)方法一：圆C的圆心(1，-5)到直线x-2y+ 4=0的距离d=1-2x-5)+41=3V5,公共弦长为 V12+(-2)2 l=2V7-=2V50-45=2V5 方法二：设两圆相交于点A,B,则A,B两点满足 阳X-340.解得0或0 方程组 ..IA BI= x24y242x+2y-8=0, y=2, V(-4-0)+(0-2)7=2V5.即公共弦长为2V5 变式训练2B【解析】设P(x,y),则圆0：x2+y2=4, 且AP=(x+3,y),BP=(x,y-4),由AP⊥BP,得AP. Bmx+3)+y0-4)=+43x-4-0,即圆C:+ 0-2=2至，故点P的轨迹是以多，2为圆心，为 半径的圆，网心距0G-V2-号=2+号 号，号-2分0G,两调相交，满足 条件的点P有2个.故选B. 例3x+1=0(或7x-24y-25=0,3x+4y-5=0)【解析】方 法一：几何直观法.根据圆心和半径关系可知，x=-1既 是圆x+y2=1的切线，也是圆(x-3)2+(y-4)2=16的切线， 故x=-1为所求。 方法二：几何直观法.两圆圆心距为5，圆心的连线 方程为y=号，代入+=1，求得交点坐标为 (,号)，（子，号），故两个圆的公共点为 (号，专，从而公切线可取过点（号，专），且与两个 圆心的连线垂直的直线，故)=一子+子为所求。 方法三：待定系数法，上面两个方法已经求出了两 圆的一条外公切线和一条内公切线，设另一条外公切线 的斜率为k. 由两个圆心的连线方程)=号与=1联立，可求两 条外公切线的交点为-山，-号)，则1的方程为y=kx+h- 4 号，圆心00,0)到1的距离为1即-3 Vk2-1 解得=县，放点为所求 变式训练3解：把已知两圆的方程相减，即得两圆的 一条公切线的方程为2x-ay-10a+8=0. 由于两圆相切时，圆x2+y2=4的圆心(0,0)到公 48 切线的距离等于半径2，即上101+81一=2，：5d- V(2a)+(-a)7 104-0. 「注1本题也可以利用圆心距与半径求解. 数学文化 A【解析】画出 x2+y2≤4， A=(x,y)x2+(0y-1)2≤1或x2++1)2≥1， x≤0 表示的区域，如图阴影部分 由=34，得)=子+子，当直线)=子+子与 圆x2+(y-1)2=1相切时，如图，此时z的值最大，此时圆 心(0,1)到直线3x+4-2=0的距离为1,4=1， V32+4 解得z=9或z=-1（舍)，：zm=9. 当直线y=一子+与圆4相切时，如图，此 时z的值最小. 由圆心(0,0)到直线3x+4y-2=0的距离为2，得 上=2，解得z=10(舍)或z=-10,‘2m=-10, V3244平 .z=3x+4y的最大值与最小值之和为9+(-10)=-1， 故选A. 八、 例题答图 >m2.4曲线与方程 第1课时曲线与方程的概念 要点精析 例1解：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点 的坐标都是方程x=2的解，但以方程x=2的解为坐标的 点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.如点 (-2,0)满足方程x=2,但点(-2,0)不在直线x=2上. 因此，x=2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程. (2)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满 足x+y=0;反之，以方程x+y=0的解为坐标的点都在第 二、四象限两轴夹角的平分线上.因此，第二、四象限两 轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x+y=0. 变式训练1A【解析】设曲线F(x,y)=0和F,(x,y)= 0的交点P的坐标为(xo,yo), 因此有F(x,%)=0且F(x,yo)=0,因此F(o, y0)-f2(x0,yo)=0, .曲线F(x,y)-F(x,y)=0必定经过P点，故选A 例2①③【解析】将方程中的x换成-x,y换成-y,方 程不变，“曲线C关于原点对称，故①正确：将方程中 的x换成y,y换成x,方程变为y+x2=1与原方程不同， 故②错误；在曲线C上任取一点M(xo,yo),+=1,k≤ 1,∴≤x6,∴x后+y≥x+y=1,即点M在圆x2+y2=1上或 圆外，故③正确.故正确的结论的序号是①③. 变式训练20【解析】根据题意，曲线C:x+(a+1)y2+ -b=0(a是常数)关于x轴对称，则(x,-y)和(x,y) 都在曲线C上，则有x+(a+1)y2+ay-b=x+(a+1)y2-ay-b, 变形可得2=0，必有a=0. 2x-5y+5=0,① 例3解：建立方程组 10,② 由①②消去y,得 y=- 2x2+5x+50=0,③ △=25-4×2×50<0，因此方程③无实数解，从而方程组 无实数解，因此曲线C1:2x-5y+5=0与曲线C:y=-10无 交点」 变式训练3解：(1)两曲线的交点坐标满足方程组 [x'sin0+ycos0=1, [x2=sin0+cos0. 解得 x'cos0-y'sin0=1, y2=cos0-sin0. 有4个不同交点等价于x2>0且y20,即 sin0+cos0>0 cos0-sin0>0. 又因为0<c受，所以0的取值范围为0，平} (2)由(1)知，两曲线4个交点的坐标满足方程x2+ -2cos 即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为= V2C0s00 因为c0s9在0，平上是减函数，所以由os0=1, cosπ=V2 ,得r的取值范围为(/2，V2) 4 2 例4D【解折1Mn中点Q-子.0，ka子=号 21 ∴线段MN的垂直平分线方程：)=-2+子 参考答案。 即1：y=-2x-3. 对于①， 0y=-2x-3, 方程组无解，∴P点不存在 14x+2y-1=0, y=-2x-3, 对于②， 得5x2+12x+6=0, x2+y2=3, 4=144-120=24>0,.方程有两解， 存在点P满足题意。 y=-2x-3, 对于③， 221, x 得(3x4)0.=手 .存在点P满足题意。 y=-2x-3, 于④，221、得7x+10)+20. =92,存在点P清足题意放选D 数学文化 CD【解析】根据题中图形可得，曲线C有四条对称 轴x=0,y=0,y=士，故A错误； 由y4, 可得x2=y2=2,即圆x2+y2=4与曲线 (x2+y2)3-16x3y C:(x2+y2)=16xy2相切于点(V2,V2),(V2, -V2),(-V2,V2),(-V2,-V2),(x2+y2) 16x2y2内切于圆x2+y2=4,故曲线C上任意一点到坐标原点 0的距离的最大值为1V2+2=2,故C正确：圆x2+y2=4位 于第一象限的整点只有(1,1)，但(1+1)=8≠16，.曲 线C在第一象限不过整点，根据对称性可得，曲线C在 第二、三、四象限也不过整点，又：(0,0)显然在曲线 (ax2+y2)=16xy2上，.曲线(x2+y2)=16xy2只过一个整点，故 B错误；设曲线C上的任一点的坐标为(x,y),则过该 点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积yl,由 (x2+y2)=16x3y2可得16xy2=(x2+y2)3≥8xly,当且仅当x= y=V2时，等号成立，.xy≤2，故D正确.故选CD. 第2课时求曲线方程 要点精析 例1C【解析】点B与点A(-1,1)关于原点0对 称，B(1,-1) 设，功则=当山，且如 一分r品斗岛号4.4 32=4(x≠±1)， ∴.点P的轨迹方程为x2+3y2=4(x≠±1).故选C 变式训练1解：设M(x,y),则N(x,0),R(x,-2), 49 高中数学选择性必修第一册人教B版 .OM=(x,y),MN=(0,-y),MR=(0,-2-y), 由条件可得-y(-y-2)=2+y, 整理可得点M的轨迹方程为x2=2y 例2解：以经过A,B的直 线为x轴，线段AB的垂直平 分线为y轴建立如图所示的平 面直角坐标系，则A(-1,0), B1,0,设点P,附 例2答图 =V2,即Vx+)+平=V2,整理可得+-6r+ V(x-1)2+y2 1=0,即(x-3)2+y2=8,.点P的轨迹是以C(3,0)为圆 心，2V2为半径的圆， 变式训练2x-号+6-2产=子【解析】由圆C:(x 1)2+(y-1)2=9,可知圆心C(1,1) 由圆的性质可知CP⊥PA,设AC的中点为 2)G-2xV((13-V5 2 :动点P的轨迹为以B为圆，以V5为半径的圆， 2 即P的轨迹方程为-号40-2产名 4 例3C【解析】设P(x,y),R(x,y), 已知A(1,0),由P是RA的中点， 2, 则=2-1,0 y1=2y. 点R是直线1上的一个动点， ∴.点R的坐标满足直线1的方程，代人得y=2-4.② 把①代入②得2y=2(2x-1)-4,即y=2x-3.故选C. 变式训练3解：设G(x,y),C(x,y),则y=x+3, X= -2+2+x1 3 由重心坐标公式得 x=3x, 代人y=x+3 .YL y=3y, 中得3y=9x2+3,即y=3x2+1.经检验，上式就是动点G的 轨迹方程。 数学文化 ABD(解析】设P,,由路}可得Va网 =V而，整理可得49++10.化为+ 产9，曲线E的圆心坐标为号，0，半径为告， 50 故A正确； 圆心子，0到点B1,0)的距离为号弩专 ≤PB≤骨+号，即号≤PB≤4，故B正确： 3 圆的周长为2m=暂，故C错误： 八5+0-1 圆心到直线x+y-1=0的距离为3 2 42,:.曲线E上的点到直线x+y-l=0的最小距离为 3 4-专号(V2-.故D正确放选ABD 3 >"2.5椭圆及其方程 2.5.1椭圆的标准方程 第1课时求椭圆的标准方程 要点精析 例1C【解析】由MF+lMF=2=FF知，点M的轨迹 不是椭圆，而是线段FF.故选C. 变式训练1B【解析】V+(y+3)+Vx+(0y-3)2=4V3 表示平面内点M(x,y)到点(0，-3)，(0,3)的距离 之和为4V3,而3-(-3)=6<4V3,∴点M的轨迹是 椭圆.故选B. 例2解：(1)根据题意，设点P(x,y),F(-2,0), F(2,0),则有PF+HPF=4V2>FF=4. 结合椭圆的定义可得，点P的轨迹即是以F(-2, 0),F(2,0)为焦点的椭圆. 2a=4V2，因此b2=d- c=2, c4,放点P的轨造方程为营+片1 (2)方法一：①当焦点在x轴上时， 设橘圆的标准方程为后+点1（®>0。 V32+-2=1, a 62 a2=15, 依题意有 解得 2y52+g1. b2=5, 故所求精圆的标准方程为号兮-1 ②当熊点在y轴上时，设椭圆的标准方程为导+景 =1(>b>0).