2.4 曲线与方程-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册练习手册（人教B版）

N 高中数学选择性必修第一册人教B版 2.4 曲线与方程 第1课时曲线与方程的概念 效果评价 4曲线y=}r与4-5的交点坐标是 1.下列四个图形中，图形下面的方程是 图形中曲线的方程的是( A.(2,1) B.(2,1)或(-2,1)》 C.(2,1)或(2V5,5) D.(±2,1)或（±2V2,5) x2-y2=0 5.方程x4+y4=4(x2+y2)所表示曲线的大 B 致形状为() gx+lgy=1 y=lxl C D B 2.若M(1,2)在曲线x2+a2=2上，则a 的值为（) A号 B.4 c. D.3 6.方程4x2-y2-4x+2y=0表示的图形是 3.方程x2+y2=1(xy>0)表示的曲线是 ( ) A.直线2x-y=0 B.直线2x+y-2=0 0 c点2， D.直线2x-y=0和直线2x+y-2=0 7.曲线y=V1-x2和y=-x+V2公共点的 个数为 8.方程2x2-9xy+8)y2=0的曲线C所满足 的性质为 (填上所有正确的序号). 56)练 第二章平面解析几何。 ①不经过第二、四象限；②关于x轴对 提升练习 称；③关于原点对称；④关于直线y=x对称. 9.画出方程(x+y-1)Vx-y-2=0所表示 11.已知条件甲：曲线C是方程f(x,y) 的曲线。 =0的曲线，条件乙：曲线C上的点的坐标 都是方程fx,y)=0的解，则甲是乙的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12.（多选题)方程y(x+y)=1所表示的 曲线() A.关于原点对称 B.关于直线y=x对称 C.与直线=-1没有交点 D.不经过第三象限 10.在平面直角坐标系xOy中，点A(0, 3),直线1：y=2x-4,设圆C的半径为1， 圆心在1上 (1)若圆心C也在直线y=x-1上，过点 A作圆C的切线，求切线的方程； (2)若圆C上存在点M,使MA=2MO, 求圆心C的横坐标a的取值范围， 练(57 高中数学选择性必修第一册人教B版 第2课时求曲线方程 效果评价 A.(y-2)2-(x-1)2=3(x>1,y>2+V3) B.(y-2)2-(x-1)2=3 1.方程(x-y)lnx=0所表示的曲线为 C.(x-2)2-(y-1)2=3(x>1,y>2+V3) ( D.(x-2)2-(0y-1)2=3 A.射线x-y=0(x>0) 6.在平面直角坐标系中，动点P到点 B.直线x=1 (1,0)的距离是到点(-1,0)的距离的 C.射线x-y=0(x>0)和直线x=1 V3倍，则动点P的轨迹方程是 D.无法确定 7.已知点P在圆0：x2+y2=4上，点 2.到两定点A(0,0),B(3,4)距离之 A(-3,0),B(0,4),则满足AP⊥BP的点 和为5的点的轨迹方程是() P的个数为 A.3x-4y=0,且x>0 8.设O为坐标原点，动点M在曲线C: B.4x-3y=0,且0≤y≤4 C.4y-3x=0,且0≤x≤3 乏+1上，过M作x轴的垂线垂足为X D.3y-4x=0,且y>0 点P满足NP=V2NM,则点P的轨迹方程 3.在平面直角坐标系中，△ABC的顶点 为 B,C的坐标为(-2,0)，(2,0)，中线 9.已知圆(x+1)2+y2=2上有一动点A,x AD的长度是3，则顶点A的轨迹方程是 轴上定点B(2,O),将BA延长到M,使 ( AM=BA,求动点M的轨迹方程. A.x2+y2=3 B.x2+y2=4 C.x2+y2=9(y≠0)D.x2+y2=9(x≠0) 4.过圆x2+y2=4上任意一点M作x轴的 垂线，垂足为N,则线段MN中点的轨迹方 程为（) A.x2+4y2=4 B.x2+2y2=4 C.x2+y2=4 D.44 5.已知圆C的标准方程是(x-2)2+(y 4)2=k(>0),若圆C与y轴交于A,B两 点，且点A在点B的上方，圆C与x轴交 于E,F两点，且点E在点F的右方，则 AE中点M的轨迹方程是() 58)练 第二章平面解析几何。 10.已知A,B两点的坐标分别是(-1， 提升练习 0),(1,0).直线AM,BM相交于点M, 且它们的斜率之和是2，求点M的轨迹方程 山（多法题）已知南线C:+山， 则下列结论正确的有() A.曲线C与坐标轴无公共点 B.曲线C关于原点对称 C.x的取值范围是(-0，-1)U(1,+0) D.曲线C与圆x2+y2=2有交点 12.已知A(2,1),B(2,-1),0为坐 标原点，动点P(x,y)满足OP=mOA+nOB, 其中m,neR,且m2+=方，则动点P的 轨迹方程是 练(59高中数学选择性必修第一册人教B版 子狗的速度为2，由电子狗失败的区域内任意点P(x, y),可得V+-3≤V+6亚，即24y-2≤ 4(0≤x≤2)，即失败点组成的区域为以(0,2)为圆 心，2为半径的半圆及其内部，.电子狗失败的区域面 积S=2×4m=2m(m). (3)当线段FP与(2)中圆相切时，sin∠AFP-子 号，即∠AP=30,MP=6ian30r-2V5.电子狗在 线段FP上都能逃脱，.MP列∈(2V3,18],又.MD= 18,8的取值范围是号， >"2.4曲线与方程 第1课时曲线与方程的概念 效果评价 1.D【解析】点(0，-1)满足方程，但不在曲线 上，排除A:点(1，-1)满足方程，但不在曲线上， 排除B；曲线上第三象限的点，由于x<0,y<0,不满足 方程，排除C,故选D. 2.A【解析】M(1,2)在曲线x2+2=2上，代人 曲线方程可得一}故选A 3.B【解析】由xy>0可知x,y同号，∴.对应的曲 线在第一、三象限.故选B 4B除折1自可得2 1或/2， 故 x2+y2=5, ly=1. 选B. 5.A【解析】令x=0,解得y=±2或y=0,令y=0, 解得x=±2或x=0,故排除CD选项： 易知该函数图象不是圆，排除B选项：故选A. 6.D【解析】方程4x2-y2-4x+2y=0可化为(2x+y)· (2x-y)-2(2x-y)=0,即(2x-y)(2x+y-2)=0, 故2x-y=0或2x+y-2=0,即方程表示的图形是直线 2x-y=0和直线2x+y-2=0.故选D. 7.1【解析1由=VT，得-x+V2=VM=, y=-x+V2, 两边平方并整理得(V70,竖，竖 2 故公共点只有一个Y?,Y号 8.①③【解析】由2x2-9xy+8y2=0,得9xy=2x2+8)y2≥ 0,x,y同号或同时为零，故不经过第二、四象限，故 102 ①正确： 由2x2-9xy+8y2=0,以-y换y,得到2x2+9xy+8y2=0, 故不关于x轴对称，故②错误： 由2x2-9xy+8y2=0,以-y换y,以-x换x,得到2x2- 9y+8y2=0,故关于原点对称，故③正确： 由2x2-9xy+8y2=0,x,y互换得到2y2-9xy+8x2=0,故 不关于直线y=x对称，故④错误。 9.解：方程(x+y-1)Vx-y-2=0可等价变形为 x+y-1=0, 或x-y-2=0. (x-y-2≥0 x-2 由+1=0， x+y-1=0, 得 x-y-2≥0 x≥ 3 2 .y-1=0,表示射线x+y-1=0 x-y-2≥0 y=1-x ≥2引 第9题答图 综上所述，原方程表示射线x中y-1-0≥弓和直 线x-y-2=0,如图所示. 10.解：(1)由题设，圆心C是直线1与直线y=x 1的交点联立得)2,4·解得C3,2).于是切线的斜 ly=x-1, 率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3, 由题知，+”1，解得=0或k=子故所求切线方 Vk2+1 程为y=3或3x+4y-12=-0. (2)因为圆心在直线y=2x-4上所以圆心C(a,2a4), 圆C:(x-a)2+[y-(2a-4)]=1.设M(x,y),因为MA=2M0, 所以V+(y-3=2V+y，化简得x2+y2+2y-3=0,即 x2+(+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心，2为半 径的圆上.由题意，点M(x,y)在圆C上，所以圆C与 圆D有公共点，则2-1I≤ICD1≤2+1，即1≤V+(2a-37 ≤3，整理得：-8≤5a2-12a≤0，由5a2-12a+8≥0，得 aeR由5-12a≤0，得0≤a≤号，所以点C的横坐标 a的取值范倒为0，号引 提升练习 11.A【解析】：若曲线是方程f(x,y)=0的曲线， 则曲线上的点的坐标都是方程代x,y)=0的解： 但若曲线上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的根， 曲线不一定是方程f(x,y)=0的曲线.。 故甲是乙的充分不必要条件.故选A. 12.BCD【解析】在曲线上任取一点(x,y), 其关于原点的对称点为(-x,-y),代入方程可得 (-x)(-y)(-x-y)=-xy(x+y)=1,故A不正确： 原方程xy(x+y)=1,将方程中的x换为y,将y换为x, 方程为yx(y+x)=xy(x+y)=1,与原方程相同， 故曲线关于直线y=x对称，故B正确； 当x=-1时，-y(-1+y)=1,即y2-y+1=0,此方程无解， 故C正确； 若(x,y)在第三象限，则x<0,y<0,∴xy(x+y)<0, ,xy(x+y)≠1，故D正确.故选BCD 第2课时求曲线方程 效果评价 1.C【解析】根据题意可得-)0， 或lnx=0,即x- x>0 y=0(x>0)或x=1,故原方程表示的是射线和直线.故选C 2.B【解析】设动点P(x,y),则PA+PB=5.ABI =5,.点P的轨迹为线段AB,即4x-3y=0,且0≤y≤4， 故选B. 3.C【解析】由于B,C的中点D为坐标原点，且 点A到原点D的距离为常数3，点A的轨迹为圆，圆 的圆心为原点，半径为3.由于A,B,C围成三角形， 故点A不在直线BC上，点A的轨迹方程为x2+y2=9 (y≠0).故选C. 4.A【解析】设线段MN的中点为P(x,y),M(xo, yo),则N(x0,0),则 x=0, =g0,,-2.又x+02-4,x+4y2-4 2’ 故选A. 5.A【解析】圆C的标准方程是(x-2)2+(y-4)2=k (k>0), 根据题意，令=0，可得A(0,4+Vk-4), 令y=0,可得E(2+Vk-16,0). x=1+Vk-16 2 设AE的中点为M(x,y),可得 其 y=2+VR-4 中k>16,化简消去参数k可得(y-2)2-(x-1)2=3. 又由k>16,可得x>1,y>2+V3.结合选项，选项 A符合题意.故选A. 6.x2+2+4x+1=0【解析】由题意可知，1V(x-1)2+y2= V3xV(x+1)+7,整理得x2+y2+4x+1=0, 即动点P的轨迹方程是x2+y2+4x+1=0. 7.2【解析】设P(x,y）),AP=(x+3,y),BP=(x, 参考答案。 y-4),由AP⊥BP,得AP·BP=0,即x(x+3)+y(y-4)=x2+ 广+340，故点P的轨迹是一个以2为圆心， 多为半径的圆，两圆圆心距为3，半径之和为号，半 径差为了，所以两圆相交，满足条件的点有2个 8.x2+y2=2【解析】设P(x,y),M(xo,yo),N(,0), Np=(x-o,y),NM=(0,o),由Np=V2NM得xo=x, Mo,）在C上，所以梦+-1， 即号+1 x2+y2=2,即点P轨迹方程为x2+y2=2. 9.解：设A(x1,y),M(x,y),AM=BA,且点M 在BA的延长线上，A为线段MB的中点. 名+2 2 由中点坐标公式得 = .·点A在圆上运动，将点A的坐标代入圆的方程， 可得安+1+52。 化简得(x+4)2+y2=8,.点M的轨迹方程为(x+4)2+ y2=8. 10.解：设M(x,y),直线AM,BM的斜率存在， .x≠±1. ka2,即本+2，整理可得之-10， ,.点M的轨迹方程为x2-xy-1=0(x≠±1). 提升练习 11.ABC【解析】：xy≠0，.曲线C与坐标轴无公 共点，故A正确： 用(x,)营换(，，得+=山 1 一+1，自线C关于原点对称，放B正确： =0,1,即x的取值范围是(-0，- U(1,+∞)，故C正确； 联立宁付1和2，可得2，根据2=4 y2≥2lxy→lxy≤1可知，方程组无解，D错误.故选 ABC. 12.￥+y21【解析】：点P满足0F=m0+n0B, 103 高中数学选择性必修第一册人教B版 其中m,neR .(x,y)=(2m+2n,m-n）, .x=2m+2n,y=m-n, .m=+2 4，ns2 4 m+之，2+子3，即星+1. >"2.5椭圆及其方程 2.51椭圆的标准方程 第1课时求椭圆的标准方程 效果评价 1.C【解析】A中方程为圆的方程，B,D中方程不 是椭圆的方程.故选C 2.C【解析】若椭圆的焦点在x轴上，则c=1,b= 2,得c-5,此时稀圆的方程是号+号1：若您点在) 轴上，则2,1，得3。此时椭圆的方程是等+子 1.故选C 3D【解析】由题得关+苦山，方程4广=k 表示焦点在y轴上的椭圆，.0<k<4.故选D. 4B【解析】由题意，方程 程品+式1表示熊点 在x轴上的椭圆，则满足m+1>2m>0,解得0<m<1. 当0<m<1则必有m>0,但若m>0,则不一定有0< m<l成立， :“m>0是“方程+云1表示焦点在x轴上 Em+l+2m 的椭圆”的必要不充分条件.故选B, 5B【解析】对椭圆方程+525变形得，云+兮 1,易得=5. 由椭圆的定义可得，1PFl+IPF=2x5=10, 又.PF=7,.lPF引=10-7=3.故选B. 6.c【解折1在C:号片1上且a=3. .IMF1+IMEI=6, 而MF-MF≤MF牛MEP=9, 2 当且仅当1MFI=MF=3时等号成立.故选C. 7.5【解析】：圆x2+y2-6x+8=0化为标准方程可得 (x-341,故其圆心为(3,0)椭圆号+方1(@ b>0)的一个焦点为F(3,0),得c=3.又.b=4,.a= Vb2+c2=5. 104 n 8手+亏1【解析】动点Px,》的坐标满足 V(x+1)+y+V(x-1)2+y=4, 动点P(x,y)到A(-1,0)和B(1,0)的距离之 和等于4>AB1=2, ·.动点P的轨迹是以点A,B为焦点的椭圆，设其 方程为兰+长1a60 由题得c=1,2a=4,∴.a=2,b2=4-1=3. :动点P的轨速方程是学+号1 9.解：△ABC的周长为10，∴MB1+MC1+lBC1=10, 其中BC1=4,即有AB+ACI=6>4, ·A点的轨迹为椭圆，且除去直线BC与椭圆的两个 交点.2a=6,2c=4,∴a=3,c=2,b2=5, 4点的轨迹方程为号+号1G≠0)· 10.解：因为点P为线段AB的垂直平分线与直线 AC的交点，所以IPAI=PB, 所以IPBI+IPCI=IPAI+IPCI=ACI=4,而IBCI=2 所以点P的轨迹是以B,C为焦点，4为长轴长的 椭圆，设其方程为若+后1(a6>0),则2a=4,cl, 6=V<-V3,点P的轨速方程为普+皆-l 提升练习 11.BD【解析】当m=-1时，曲线方程为y2-x2=1, 不表示两条直线，故A错误： 当m=1时，x2+y2=1表示圆心为原点，半径为1的 圆，故B正确： 当m>0时，y2+mx2=1表示的曲线不确定，故C错误： 当0m<1时，方程为兰l,由于品>1，故表 m m 示焦点在x轴上的椭圆，故D正确.故选BD. 12.ABD【解析】由已知条件可得a-b=ai-b,可 得a-a=b-b经，而a>2,则b1>b2,可知两椭圆无公共 点，故A正确； 又a-=b-b3,故B正确： 由a-b=a-b,可得ad+b=b+a,则ab2与ab1的 大小关系不确定，4>不一定正确，故C错误： a 62 a1>b1>0,a2>b2>0,∴.a+a2>b+b2>0,而又由(a+ )(a-)=(b1+b2)(b1-b2),可得a-<b1-b2,故D正确. 故选ABD.