2.2.4 点到直线的距离-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

第二章平面解析几何。 2.2.4 点到直线的距离 学习目标 ..d=IA(x-xo)+B(y-yo)I VA2+B2 1.了解点到直线的距离公式的推导方法 =lAx+By-(Axo+Byo)l VA+B 和过程 又P(x,y)是直线l上一点， 2.会使用点到直线的距离公式 .∴Ax+By+C=0, 3.明确在使用点到直线距离公式时一定 ∴Ax+By=-C, 要先将直线方程转化为一般式， 4.会使用两平行直线之间的距离公式， 从而d=Ax+Bo+C VA+B2 知道两平行直线之间的距离公式的推导依据 方法二：直接法 是点到直线的距离公式， 过点P作直线l的垂线，垂足记为P(x1, 5.明确使用两平行直线之间的距离公式 y),则点P到直线l的距离 时，这两条直线方程中的x,y的系数必须 d=IPP'l=V(xI-xo)2+(yI-yo)2. 是对应相等的. 由直线I的一个法向量=(A,B),则y 要点精析 与Pp共线.由PP=(x1-xo,y1-yo), ∴A(y1-y0)=B(x1-xo), 川要点1点到直线的距离公式 整理得B(x1-o)-A(y-yo)=0.① 1.推导方法 又P(x1,y)是直线1上的点， 已知直线外一点P(xo,yo),直线1： .∴Ax1+By1+C=0,两边同减Axo+Byo+C, Ax+By+C=0,求点P到直线l的距离d. 故A(x1-x0)+B(y1-yo)=-(Axo+Byo+C).② 方法一：向量法 将①②两式分别平方后相加可得 点P到直线l的距离d就是点P与直线 (A2+B2)[(x1-xo)2+(y1-y0)2]=(Ax0+Byo+C)2, L上的任意一点P的连线在直线I的法向量 .(x-o)2+(y-yo)2=(Axo+Byo+C)2 A2+B2 上的投影长 由直线I:Ax+By+C=0可知v=(A,B) 从而d-Axo+Bo+C VA2+B2 是直线I的一个法向量.设P(x,y)是直线 方法三：等面积法 l上任意一点，则点P(x,yo)到直线l:Ax+ 设A≠0，B≠0.过点P作PR平行于x B+C=0的距离d满足d=PP叫 轴交I于点R,过点P作PS平行于y轴交l vl 于点S.由两点间距离公式可得 由PP1=(x-x0,y-yo), IPSI= Axo+Byo+C IPRI= Axo+Byo+C B 学(55 高中数学选择性必修第一册人教B版 在Rt△RPS中，PP1是斜边上的高， 分析直接利用点到直线的距离公式 d=IPPI=-IPRI-IPSI=Axo+Byo+Cl 求解即可. VIPRP+IPSP VA+B2 易证当A=0或B=0时，上式也成立. 1P(x,yo） 图2-2-5 2.点到直线的距离公式 点P(xo,yo)到直线l:Ax+By+C=0的 变式训练① 距离d=Ax+Byo+C 点(0，-1)到直线y=k(x+1)距离的最 VA2+B2 大值为() 反思感悟 (1)上述公式当A=0或 A.1 B.V2 B=0时仍然成立. (2)使用点到直线距离公式时要将直 C.V3 D.2 线方程转化为一般式： 例2已知直线！在两坐标轴上的截距 思考(1)你能试着用向量法写出空 相等，且点P(4,3)到直线1的距离为3V2, 间一点P到平面α的距离吗？ 求直线l的方程， (2)如果点P(m,n)到直线x+y-1=0的 分析截距相等，有两种情况：①截 距离为0，你能写出m,n满足的关系式吗？ 距为0，此时直线过坐标原点，可设方程 3.几种点到特殊直线的距离 y=kx;②截距不为零，则斜率k=-1,可设 (1)点P(x1,y)到x轴的距离d=yl. 方程为x+y-a=0(a≠0) (2)点P(x1,y)到y轴的距离d=xl. (3)点P(x1,y)到与x轴平行的直线 y=b(b≠0)的距离d=y-bl. (4)点P(x1,y)到与y轴平行的直线 x=a(a≠0)的距离d=x1-al, 例1求点P(3,-2)到下列直线的 距离. ⑧变式训练② (1)3x-4y+1=0: (2)y=6; 已知实数x,y满足x2-y2-x+3y-2=0,则 (3)y轴. x2+y2的最小值为 (56)学 第二章平面解析几何。 川要点2两条平行直线之间的距离 C.当m=2时，l1∥12 D.当l1∥12时，两直线1，l2之间的距 已知直线L1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+ 离为1 C=0,则直线，与2之间的距离ds1C-C 例4直线1过点A(0,1),12过点B(5, VA2+B2 0),如果11∥12，且1与2之间的距离为5， 注：在使用公式时这两条直线的x,y 求l,2的方程. 的系数需对应相等. 分析根据条件选择适当的方程，注 例3如图2-2-6，已知直线l1:x-2y+ 意讨论斜率是否存在，然后在其中一条直 1=0与直线12：x-2y+4=0,在l1上任取一点 线上任取一点，求该点到另一条直线的距 A,在l2上任取一点B,连接AB,取AB靠 离，列方程求解 近点A的三等分点C,过点C作I的平行线 13,求l与1的距离. 图2-2-6 分析1与13的距离是1与2的距离 的1 B变式训练④ 3 已知直线l1的方程为ax+y--2=0(a> 0),分别交x轴、y轴于A,B两点.求原点 到直线，距离的最大值及此时直线1的方程. ⑧变式训练③ (多选题)已知l1:4x-3y+4=0,l2:(m+ 2)x-(m+1)y+2m+5=0(m∈R),则() A.直线2过定点(-3，-1) B.当m=1时，1⊥l2 学(57 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 数学文化 例解析几何的创立提供了研究几何问 题的一种新方法，借助于坐标系，把几何问 题转化为代数问题来研究.这种方法具有一 般性，它沟通了数学内部数与形、代数与几 何两大学科之间的联系.从此代数和几何互 相汲取新鲜的活力，得到迅速的发展 建立适当的坐标系，证明：等腰三角形 底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰 上的高的长 分析等腰三角形一般以底边所在直 线为轴，底边中点为坐标原点建立平面直 角坐标系，通过设点的坐标，使用点到直 线的距离公式即可证明 (58)学x-y+1=0 -5/0 510* -5 变式训练4答图 xr3_yt5+1=0, 22 由题意得 解得4，故A4,2. y0=-2, 则dm=A'B=V(4-2)+(-2-15)2=V293】 例5解：(1)如图1，先作点B关于直线1的对称点 B,连接AB并延长交I于点M,则点M即为所求.由 图1知，A,B,M三点共线且M在线段AB的延长线上 时，IMA-MBII最大 设B'(x,y),点B,B关于直线I对称， y-43=-1, x-0 解得即B(3,3， 3x号岁-10， y=3, ∴AB所在直线的方程为2x+y-9=0. 2x+y-9-0,解得 =2 此时，联立 3x-y-1=0, y=5, 即点M的坐标为(2,5). yi M B(0,4) B(0,4) B A(4,1) A(4,1) 01 071 -1 图1 图2 例5答图 (2)如图2，连接AB,交直线1于点M,则点M即 为所求.由图2知，A,M,B三点共线且M在线段AB 上时，MAI+MB最小. 由线段AB所在直线的方程为3x+4y-16=0. 联立 3x+4-160,解得=3 3x-y-1=0, y=3, 参考答案。 点M的坐标为号，3引. 数学文化 解：(1)设点A关于直线 y中 y=x-2的对称点为A'(x,y),则 导-4 x=4, 解得 -3 y+2=x+1-2, y=-1, -2 22 A'(4,-1),反射光线所在 例题答图 直线为A'B, 其方程为)=43，日+7430 光线从A到B的入射和反射路径如图所示. (2)由题意可设直线1：y-7=k(x-4)(k<0) 不妨假设M在x轴上， 则4子，0，N0,7-4).则△CN的面积S 342+17-4)363-9-20 t0.80.-20e0, ,s≥7×63+2V49x20)=63+28V5 2 当且仅当-2=-20(0. 即k=-7V5时，等号成立. 10 故△CMW的面积存在最小值，不存在最大值，且最 小值为63+28V5 2 2.2.4点到直线的距离 要点精析 例1解：(1)点P(3,-2)到直线3x-4y+1=0的距 离d=13×3-4×(-2)+1‖-18 V/32+4 5 (2)点P(3,-2)到直线y=6的距离d=-2-6l=8 (3)点P(3,-2)到y轴的距离d=3引=3. 变式训练1B【解析】（方法一）点(0，-1)到y= k(+1)的距离d+业，=+ Vk2+1 k2+1 .k2+1≥2k,.2(k2+1)≥k2+2k+1=(k+1)2, 智≤2d≤V7,当且仅当 V+T 时取等号 故点(0，-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为V2, 41 高中数学选择性必修第一册人教B版 (方法二)l:y=k(x+1)过定点P(-1,0),当斜率不 存在时不是最大距离，则斜率存在 设Q(0,-1),则Q到1的最大距离在直线1与直线 PQ垂直时取得，此时k=1,最大距离为PQ=/2.故 选B. 例2解：由直线1在两坐标轴上的截距相等，若截距 为0，设所求直线1的方程为y=kx(k≠0)，d=4-3到 V1+k图 =3V2,解得k=12+V14或=12-3V14.若截距 2 不为0，设所求直线方程为x+y-a=0(a≠0.由题知d 4+3-d=3V2,解得a=1或a=13.综上，所求直线方 V2 程为y-12+3V4x或y=-12-3V4x或x+y-1=0或 2 2 x+y-13=0. 变式训练2之【解析】由22+3-20.可得x2月 )号，即y+1-0或x+y-2-0,原点0到直线x+1 0的距离的平方为d 片片，原点0到线2 -2112 0的距离的平方为d= V2=2,+y的最小值为2 例3解：由题可知，4与的距离是1与的距离的}， 3 .l1与l2的距离为d= 4-11 3 V+(-2)V5 山与，的距离为d=1d=1=V5 3 V55 变式训练3ACD【解析】l2:(m+2)x-(m+1)y+2m+5=0 化为m(x-y+2)+2x-y+5=0. 令-42=0，=-3， 因此2恒过定点(-3，-1)， 2x-y45=0,y=-1. 故A正确。 当m=1时，l2:3x-2y+7=0.4×3+(-3)×(-2)≠0， 两直线不垂直，故B错误。 当m=2时，2：4x-3y+9=0,4≠9，故两直线平行， 故C正确： 当4/2时，m+2=-(m+l)≠2m+5 m=2.2:4x- 4 -3 4 3+90,“.两平行线间的距离为5 -=1,故D正确. V42+(-3) 故选ACD. 例4解：若l1,2的斜率存在，由题可设直线l的方程 为y=kx+1,设直线L2的方程为y=k(x-5). 42 直线上的点A到直线，的距离d=1+5=5. V1+ 25k2+10k+1=25k2+25,k=12 Γ5 .l1,12的方程分别为12x-5y+5=0,12x-5y-60=0. 若，2的斜率不存在，则l,的方程为x=0,2的方 程为x=5,它们之间的距离为5，同样满足条件. 综上，满足条件的直线方程有两组： 11:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0或 11:x=0,12:x=5. 变式训练4解：，ax+y-a-2=0,整理得y=-a(x-1)+2, .直线过定点Q(1,2). 当OQ⊥1，时，原点到直线1，的距离最大，此时最大 值为V+2=V5, 此时直线的斜率为分，即} 直线4，的方程为宁弓-20，即+2-50 数学文化 解：设△ABC是等腰三角 y来 形，以底边CA所在的直线为x 轴，连接顶点B和底边中点O 的直线为y轴，建立如图所示 P O 的平面直角坐标系. 设A(a,0),B(0,b), 例题答图 C(-a,0)(a>0,b>0), 则直线AB的方程为bx+y-ab=0, 直线BC的方程为bx-y+ab=0. 设底边AC上任意一点为P(x,0),-a≤x≤a 过点P作PF⊥BC于点F,PE⊥AB于点E, 则点P到AB的距离1PE1=Ibx-ab1=b(a-x) Va+b Va+b2 点P到BC的距离PA-bx+abl-b(a+x) Va+b Va 点A到BC的距离h=lba+abl=2ab Va+b Va+b .IPEl+IPF=b(a-x)+b(atx)=2abh. Va+b Va+b Va+b 即等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等 于一腰上的高的长 ●"2.3圆及其方程 2.3.1圆的标准方程 要点精析 例1解：(1)x2+(y-1)2=32,.圆心为(0,1)，半