2.2.3 两条直线的位置关系-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第一册人教B版 2.2.3 两条直线的位置关系 第1课时 两条直线的位置关系 k=k2且b1≠b2时，方程(*)无解，此时方 学习目标 程组也无解，.直线1与2没有交点，因此 1.掌握两条直线相交的判定方法，会求 两直线平行； 两条相交直线的交点坐标 ③当且仅当k1-k2=0且-(b1-b2)=0,即 2.会根据直线的斜率和截距判断两条直 k=k2且b=b2时，方程(*)有无数个解，此 线是否相交、平行、重合. 时方程组也有无数组解，所以直线1，与2的 3.能利用直线的法向量判断两条直线是：方程完全一样，因此两直线重合 否相交、平行、重合 (2)观察几何特征量：斜率和截距 4.会利用法向量推导出两条直线垂直的 对于两条直线1,2，倾斜角分别为a1, 条件：AA2+BB2=0和kk2=-1,并能熟练地 C2, 则倾斜角相等是两直线平行的必要条件， 运用这两个条件解决有关垂直问题 对于倾斜角不为T的直线，可知其倾斜角和 5.学会根据已知条件灵活选取恰当的方 斜率是一一对应的 法判定两条直线的位置关系， 如果两条直线的斜率分别记作k1,k2, 要点精析 则有： k1≠k2时，两直线相交； 要点1两条直线的相交、平行与重合· k=k2时，两直线平行或重合.此时要看 1.判断方法 两直线是否平行，还要看两直线的截距是否 (1)解方程组，判断公共点个数 相等.如截距不等，则两直线平行；如截距 若直线4：y=hx+b1,b2:y=kx+b2,则可 相等，则两直线重合 得方程组 -k+b,消去y整理可得( 结论： y=kxx+b2, 若直线l1:y=kx+b1,l2:y=k2x+b2,则： k2)x=-(b1-b2).(*) l1与l2相交台→h1≠k2; ①当且仅当k1-k2≠0，即k1≠k2时，方 l1与l2平行台k=k2且b1≠b2; 程(*)有唯一的解，.方程组有唯一解.此 l1与l2重合台k=k2且b1=b2. 时直线与2相交，交点坐标即为方程组的 思考上面结论包括了平面直角坐标 解套 系中所有的直线吗？如果没有，请想一想 k1-k2 利用直线方程的哪种形式研究能包括所有 ②当且仅当k1-k2=0且-(b1-b2)≠0，即 、 直线呢？ 48) 第二章平面解析几何。 (3)向量法：可以利用直线的法向量推 以确定D的值，进而求出具体的直线方程. 导两直线的位置关系， 例1判断下列各对直线的位置关系， 设直线l1:Ax+By+C=0, 如果相交，求出交点的坐标 12:Ax+By+C2=0,直线1,1☑2的法向量 (1)l1:x-y=0,l2:3x+3y-10=0; 分别为v1=(A1,B1),V2=(A2,B2).利用y1, (2)l1:3x-y+4=0,l2:6x-2y-1=0; 2是否共线来判断直线的位置关系， (3)l1:3x+4y-5=0,l2:6x+8y-10=0. 显然： ①儿1与l2相交台1，y2不共线，即AB2≠ A2B1; ②L1与12平行台AB2=AB1,AC2≠A2C1, A=入A2, 即存在非零实数入，使B=入B2, 变式训练1 C1≠λC2; A=入A2, 判断下列各对直线是否平行， ③L1与l2重合台B1=入B2, (1)经过A(2,3),B(-1,0)两点的 C1=入C2 直线1，与经过点P(1,0)且斜率为1的直 注：可以利用对应项系数是否成比例来 线l2; 进行记忆，只是使用时要注意处在分母上的 (2)经过C(3,1),D(-2,0)两点的 数不能为0. 直线13，与经过点M(1,-4)且斜率为-4的 2.求两直线的交点 直线l4 方法：将两条直线方程联立，解二元一 [Ax+By+C=0, 次方程组 以这个方程组的解 A2x+Bzy+C2=0, 为坐标的点即为这两条直线的交点， 思考判断两直线相交的方法有哪些？ 3.平行直线系方程 例2已知直线1过点A(1,1),且与直 与已知直线1：Ax+By+C=0平行的直线 线2x+3y+5=0平行，求直线1的方程 方程可设为Ax+By+D=0(D≠C)· 当D取异于C的不同值时，方程Ax+ By+D=O代表不同的直线，但这些直线都与 直线1：Ax+By+C=0平行，因此我们把方程 Ax+By+D=0称为与直线I平行的直线系方 程.显然，只要再知道一个具体条件，就可 学(49 高中数学选择性必修第一册人教B版 (1)l1:x+1=0,12:y-1=0; B变式训练2 (2)l1:（V2+1)x+y=3, 若直线1过点(3,4)，且平行于直线 l2:x-(V2-1)y-1=0. 7x-2y-3=0,则直线l的方程为 川要点2两条直线的垂直 1.判断方法 (1)利用方向向量：若直线1：y=kx+ b1,2:y=k2x+b2,则直线l1与l2的方向向量 分别记作a1=(1,k1),a2=(1,k2). 变式训练③ 当l1⊥l2时，有a1⊥2， 已知△ABC中，A(1,2)及两条高所 ∴.a1a2=1+kk2=0,即kk2=-1. 在的直线分别为：2x-3y+1=0和x+y=0,求 思考上面结论包括了平面直角坐标 BC所在的直线方程. 系中的所有的直线吗？如果不包括，什么 样的直线无法用此结论判断呢？应该如何 判断？ (2)利用法向量：设直线l1:Ax+By+ C1=0,2:Ax+By+C2=0,则直线11的法向 量为y1=(A1,B1),直线2的法向量为2= (A2,B2) 例4求过点(1,0)且与直线x-2y 当直线1⊥l2时，V1⊥v2, 2=0垂直的直线1的方程. .y1v2→AA2+BB2=0. 2.垂直直线系方程 由上述充要条件可以看出与直线1：Ax+ By+C=0垂直的直线可设为Bx-Ay+D=O 与平行直线系方程一样，当D取不同的 值时，方程Bx-Ay+D=0代表不同的直线， 但这些直线都与直线Ax+By+C=0垂直，因 B变式训练④ 此我们把方程Bx-Ay+D=0称为与直线l垂直 在△ABC中，已知顶点A(2,4),AB 的直线系方程.显然，只要再知道一个具体 边上的中线所在直线方程为x+2y-5=0,内 条件，就可以确定D的值，进而求出具体的 角∠ABC的平分线所在直线方程为2x-y+ 直线方程， 10=0,则点B的坐标为 例3判断下列各对直线是否垂直. (50)学 第二章平面解析几何。 数学文化 (1)求直线AB与CD的方程； (2)判断直线BD与x轴的位置关系； 例如图2-2-3是某晶体的阴离子单层 (3)判断直线AB与CD的位置关系， 排列的平面示意图，图中圆的半径均为1， 若这两条直线相交，求交点坐标， 且相邻的圆都相切，A,B,D是其中三个圆 的圆心，建立如图所示的平面直角坐标系， 图2-2-3 学(51 高中数学选择性必修第一册人教B版 第2课时 对称问题 x+x 学习目标 +y 2 2 满足直线方程Ax+By+C=0, 1.会利用中点坐标公式求解点关于点对 即Ax+B+C=0②. 2 称的问题 联立方程①②，即可求出P的坐标 2.会求点关于直线对称的对称点的坐标 思考你能写出点A(a,b)分别关于 3.能将直线关于点对称问题转化为点关 x轴、y轴、直线y=x、直线y=-x、直线x= 于点对称问题！ m、直线y=n对称的，点的坐标吗？ 4.会求直线关于直线对称的直线方程 例1已知点A(-3,1),C(1,y)关于 5.了解直线关于点或直线的对称问题可：】 点B(-1,-3)对称，求AC1. 以转化为直线上的点关于点或直线的对称问题. 要点精析 川要点1点的对称 1.点关于点的对称 B变式训练① 求点P(x1,y)关于点P2(x2,y2)的对 已知直线I经过点P(-2,-3),若直线1 称点P(x,y) 与直线2x-y-2=0和x+y-1=0分别相交得交 x2=1+x 2 点A,B,且A,B两点关于点P对称，求 由中点坐标公式得 解得点P 直线1的方程. y=Y 2 的坐标为(2x2-x1,2y2-y1). 2.点关于直线的对称 已知点P(x,y),直线1：Ax+By+C=0 (A+B≠0)，求点P关于直线I的对称点的 例2已知直线：y=3x+3,求点P(4, 坐标 5)关于直线l的对称点的坐标 设点P关于直线l的对称点为P(x', 分析两个点关于一条直线对称满足 y),因为直线1是线段PP的垂直平分线， 两个条件：一是两点连线和对称轴垂直； 所以需满足两个条件：垂直且平分，可以分 二是两点的中点在对称轴上. 两步来求： 第一步，直线l⊥PP,km=-1①； 第二步，PP的中点在直线I上，即点 52) 第二章平面解析几何。 线l2的对称点P(x',y),由M,P两点确 变式训练2 定所求直线的方程。 已知A(2,4)与B(3,3)关于直线l 思考已知直线I:Ax+By+C=0,你能 对称，则直线1的方程为 写出直线I分别关于x轴、y轴、直线y=x、 川要点2直线的对称 直线y=-x对称的直线的方程吗？ 例3求直线1：x+2y-1=0关于点(1， 1.直线关于点的对称 -1)对称的直线1'的方程. 已知直线I:Ax+By+C=0,点P(x,y), 求直线l关于点P的对称直线的方程 方法一：直线关于点的对称实际上可以 转化为直线上的点关于点的对称 方法二：直线I:Ax+By+C=0关于点对 称的直线'平行于直线l,故可设'：Ax+ By+C'=0. 在直线（上选取一个特殊点，这个点的 B变式训练3 对称点在直线'上，代入设出的的方程即 已知直线l1和2夹角的平分线为y=x, 可求解。 如果l1的方程是ax+by+c=0(ab>0),那么l2 2.直线关于直线的对称 的方程是() 已知直线l1:Ax+By+C1=0,L2:Ax+ A.bx+ay+c=0 B.ax-by+c=0 By+C2=0,求直线l1关于直线l2的对称直线 C.bx+ay-c=0 D.bx-ay+c=0 的方程， 例4求直线a:2x+y-4=0关于直线l: 方法一：直线关于直线对称的实质是求 3x+4y-1=0对称的直线b的方程. 直线上的任意一点关于直线2的对称点， 可采用相关点法求解对称的直线的方程， 方法二：分两种情况 (1)若11∥12，可设所求直线方程为 Ax+By+C'=0(C'≠C1,C'≠C2),然后在l1 上找一点P,求出点P关于直线2的对称点 P(x',y),代入到所设直线方程中，即可 变式训练④ 求出C'. (2)若11与l2相交，则所求直线一定通 设x-y+1=0,则d=Vx2+y246x-10y+34+ 过此交点，因此先求出l与l2的交点M的 Vx2+y2-4x-30y+229的最小值为 坐标，再在L上找一点P,求出点P关于直 学(53 高中数学选择性必修第一册人教B版 例5已知平面上两点A(4,1)和B(0, (2)已知C(-1,0),直线1的斜率小于 4),在直线l:3x-y-1=0上求一点M: 0,且l经过点D(4,7),1与坐标轴交于M, (1)使IIMA1-MBI最大； N两点，试问△CMN的面积是否存在最值？ (2)使MA+MB1最小. 若存在，求出相应的最值；若不存在，请说 明理由. 分析(1)求得，点A关于直线y=x-2 的对称点A'的坐标，由此求得反射光线所 在直线方程，并画出图象。 (2)设直线1：y-7=k(x-4)(k<0),求得 △CMW的面积S的表达式，结合基本不等式 求得S的取值范围，由此确定正确结论. 数学文化 例在几何光学中可用一条表示光传播 方向的几何线来代表光，并称这条线为光线. 光在均匀透明的介质中，遵循直线传播定律， 即光的反射定律和折射定律.光的反射定律： 反射线在入射线和法线所决定的平面上，反 射线和入射线分别位于法线的两侧；反射角 和入射角相等.在反射现象里光路是可逆的 (1)一条光线从点A(1,2)出发，经过 直线y=x-2反射后到达点B(-3,0).求反射 光线所在直线的方程，并在图2-2-4中作出 光线从A到B的入射和反射路径， 图2-2-4 (54)学当)2时，两式相除可得骨专 化简可得3x+2y-7=0. 经检验当y=2时对应点P(1,2)也在直线1上， ..直线1的一般式方程为3x+2y-7=0. 2.2.3两条直线的位置关系 第1课时两条直线的位置关系 要点精析 例1解：(1)由题知直线1,2的斜率分别为k=1, k2=-1,1≠k2,.直线11,12相交 5 解方程组 x-y=0, 得 3x+3y-10=0 5 3 直线1,6的交点坐标为？，弓}】 (2)由题知1,2的斜率分别为k=3,k=3,截距分 别为b=4,b=分k=k:且b1≠b,六直线4,4平行. （3)由题知，么的斜率分别为k=子，k=子， 裁距分别为6=子，b子k=h且6，直线，么 重合 变式训练1解：(1)由两点的斜率公式可知直线，的 斜率k=1,义：直线6的斜率=1，kk由 直线4过点B(-1,0),直线2过点P(1,0),.直线 与12平行. (2)由两点的斜率公式可知直线的斜率k=0 -2-3 行，又~直线，的斜率k4=-4,≠k,直线私与 相交，此时这两条直线不平行。 例2解：方法一：由2x+3y+5=0可知直线的斜率k= -子，直线1的斜率也为子又直线过点41，)。 由点斜式方程可知直线1的方程为)-1=-子(x-1),即 2x+3y-5=0. 方法二：由2x+3y+5=0可知直线的一个法向量v= (2,3),.直线1的一个法向量也为(2,3)·又直 线1过点A(1,1),由直线方程的点法式可知直线1的 方程为2(x-1)+3(y-1)=0,即2x+3y-5=0. 方法三：由直线1与直线2x+3y+5=0平行，可设直线 1的方程为2x+3y+D=0.又：直线1过点A(1,1),∴2×1+ 3×1+D=0,解得D=-5.∴.直线l的方程为2x+3y-5=0 参考答案。 变式训练27x-2y-13=0【解析】由直线1平行于直线 7x-2y-3=0,可设直线1的方程为7x-2y+D=0.又直线 1过点(3,4)，.7×3-2×4+D=0,解得D=-13,∴.直线1 的方程为7x-2y-13=0. 例3解：(1)由l1:x+1=0,2:y-1=0可知，直线 4⊥x轴，直线l2∥x轴，∴直线1⊥l2. (2)由l1:(V2+1)x+y=3, l2:x-(V2-1)y-1=0可知， AA+BB2=V2+1-(V2-1)=2≠0， .直线1与2不垂直. 变式训练3解：经检验，A(1, A(1,2) 2)不在已知的两条高线上. 设AC边上的高BD所在的 直线为2x-3y+1=0,AB边上的高 CE所在的直线为x+y=0. 设B(x1,y),则B点在直线 变式训练3答图 BD上， .2x1-3y1+1=0①， 由于AB⊥CE,kc=-l, r2.(-10=-1,1-2=x-1②， x1-1 联立①②解得-2， B(-2,-1), y=-1, 由于点C在直线x+y=0上，设C(x2,y), 则x2+y2=0③， 且如1，x号-l@ 联立③④，解得x7, .C(7,-7), y2=-7, ∴.BC直线方程为2x+3y+7=0 例4解：方法一：由直线x-2y-2=0可知其斜率为 2 ,直线1的斜率k=-2. 又：直线1过点(1,0)，根据直线方程的点斜式， 直线1的方程为y=-2(x-1),即2x+y-2=0. 方法二：由直线x-2y-2=0可知它的一个方向向量 a=(2,1),则此向量是直线1的法向量. 又直线1过点(1,0)，根据直线方程的点法式 有2(x-1)+(0y-0)=0,即2x+y-2=0. 方法三：直线1可设为-2x-y+D=0, 又直线1过点(1,0)，-2x1-0+D=0, 解得D=2,∴.直线1的方程为2x+y-2=0. 变式训练4(-4,2)【解析】由内角∠ABC的平分线 所在直线方程为2x-y+10=0知，点B在直线2x-y+10= 39 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 0上 设B(m,2m+10),则AB中点D的坐标为 (2,2m4由AB边上的中线所在直线方程为x 2 25=0知，点D在直线x+2-5=0上，2+2× 2m+14-5=0,解得m=-4,.点B的坐标为(-4,2). 2 数学文化 解：由图所示平面直角坐标系可知A,B,C,D四 点坐标分别为(-5,2)，(-1，-2)，(0,0)，(5，-2). 例题答图 (1)由直线方程的两点式可知，直线AB的方程为 2号号出化为一鼠武为3-0直战c0的 方程为20-0化为一般式为2+5-0 (2)由题可知直线BD的方程为y=-2,与x轴平行. (3)解方程组+430，得=-5。 2x+5y=0,y=2. .直线AB与CD相交，且交点为(-5,2) 第2课时对称问题 要点精析 例1解：由中点坐标公式可得生3， 解得y=-7,即C(1,-7), .AC1=V(-3-1)2+(1+7)2=4V5 变式训练1解：设直线1与直线2x-y-2=0交于点A(x1, y),与直线x+y-1=0交于点B(x2,y2) 由A,B两点关于点P对称，即线段AB被点P平 分，x+x2=-4,y1+y2=-6,则x2=-4-1,y2=-6-1, 2r2=0.则2-12： x2ty2-1=0, 解得x1=-3,y=-8, x1+y1=-11, 即4(3.8，直线1的斜率=景》-5，直 线l的方程为y-(-3)=5[x-(-2)],即y=5x+7. 例2解：设点P关于直线1的对称点为P(x,y),则 1 解得-2， 空5-3岁+3， y=7, 40 故点P(4,5)关于直线1的对称点为P(-2,7) 变式训练2x-y+1=0【解析】由题可知直线1是线段 AB的垂直平分线，直线4B的斜率=号=-1，直线 1的斜率=1.线段AB的中点坐标为（各，子），直 线1的方程为)号=-，即+1-0 例3解：由题意得'∥L,故设1'：x+2y+C=0(C≠-1)， 在1上取点A(1,0),则点A(1,0)关于点(1，-1)的 对称点是A'(1,-2),1+2×(-2)+C=0,即C=3,故直 线'的方程为x+2y+3=0. 变式训练3A【解析】设2上任意一点P(x,y),P(x, y)关于角平分线y=x的对称点为P(y,x),因为P(y, x)在直线（上，∴.ay+bx+c=0,即2的方程为ay+bx+c= 0,故选A. 例4解：方法一：设直线a上任意一点P(xo,%),它 的对称点P(x,y)在直线b上，则点P与点P关于 直线1对称， -1, x,=6+7x-24 x-xo 25 解得 3.x+@+4.yt0-1=0, _8-24x-7y 2 25 2xtw4-0,2.6+7x=24y+8-24-7￥-4=0， 25 25 化简得直线b的方程为2x+11y+16=0. 方法二：由题知直线a与直线I相交，.直线b通 过直线a与直线l的交点. |2x+y-4=0, 由 3x+4y-1=0, 得直线a与直线l的交点M为(3，-2). 在直线a上取点P(2,0),设其关于直线1的对称 点为P(x,y),则有 受-1 -4 5' 解得 3x2+4x3-10, 8 -5 由M,P两点都在直线b上，根据直线方程的两点 式得直线b的方程为2x+11y+16=0. 变式训练4V293 【解析】d=Vx2+y2+6x-10y+34+Vx2+y2-4x-30y+229 =V(x+3)2+(y-5)+V(x-2)2+y-15), 即d可看作点A(-3,5)和B(2,15)与直线x-y+ 1=0上的点(x,y)的距离之和. 如图，作A(-3,5)关于直线x-y+1=0的对称点 A'(xo,y0), x-y+1=0 -5/0 510* -5 变式训练4答图 xr3_yt5+1=0, 22 由题意得 解得4，故A4,2. y0=-2, 则dm=A'B=V(4-2)+(-2-15)2=V293】 例5解：(1)如图1，先作点B关于直线1的对称点 B,连接AB并延长交I于点M,则点M即为所求.由 图1知，A,B,M三点共线且M在线段AB的延长线上 时，IMA-MBII最大 设B'(x,y),点B,B关于直线I对称， y-43=-1, x-0 解得即B(3,3， 3x号岁-10， y=3, ∴AB所在直线的方程为2x+y-9=0. 2x+y-9-0,解得 =2 此时，联立 3x-y-1=0, y=5, 即点M的坐标为(2,5). yi M B(0,4) B(0,4) B A(4,1) A(4,1) 01 071 -1 图1 图2 例5答图 (2)如图2，连接AB,交直线1于点M,则点M即 为所求.由图2知，A,M,B三点共线且M在线段AB 上时，MAI+MB最小. 由线段AB所在直线的方程为3x+4y-16=0. 联立 3x+4-160,解得=3 3x-y-1=0, y=3, 参考答案。 点M的坐标为号，3引. 数学文化 解：(1)设点A关于直线 y中 y=x-2的对称点为A'(x,y),则 导-4 x=4, 解得 -3 y+2=x+1-2, y=-1, -2 22 A'(4,-1),反射光线所在 例题答图 直线为A'B, 其方程为)=43，日+7430 光线从A到B的入射和反射路径如图所示. (2)由题意可设直线1：y-7=k(x-4)(k<0) 不妨假设M在x轴上， 则4子，0，N0,7-4).则△CN的面积S 342+17-4)363-9-20 t0.80.-20e0, ,s≥7×63+2V49x20)=63+28V5 2 当且仅当-2=-20(0. 即k=-7V5时，等号成立. 10 故△CMW的面积存在最小值，不存在最大值，且最 小值为63+28V5 2 2.2.4点到直线的距离 要点精析 例1解：(1)点P(3,-2)到直线3x-4y+1=0的距 离d=13×3-4×(-2)+1‖-18 V/32+4 5 (2)点P(3,-2)到直线y=6的距离d=-2-6l=8 (3)点P(3,-2)到y轴的距离d=3引=3. 变式训练1B【解析】（方法一）点(0，-1)到y= k(+1)的距离d+业，=+ Vk2+1 k2+1 .k2+1≥2k,.2(k2+1)≥k2+2k+1=(k+1)2, 智≤2d≤V7,当且仅当 V+T 时取等号 故点(0，-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为V2, 41