2.1 坐标法-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

第二章平面解析几何。 第二章平面解析几何 2.1 坐标法 反思感悟 学习目标 点M是线段AB的中点，也可以理解 1.掌握数轴上以及平面直角坐标系中的 为点A和点B关于点M对称 基本公式—两点之间的距离公式、中点坐 2.平面直角坐标系中的基本公式 标公式， 在平面直角坐标系中，点A(x1,y), 2.会使用两点之间的距离公式、中点坐 B(x2,y2),则 标公式， (1)A,B两点之间的距离公式 3.明白点关于点对称的实质是中点坐标 AB1=V(x2-x1)2+(y2-y1)2. 公式的应用： (2)线段AB的中点坐标公式 4.知道解决几何问题的重要方法一一坐 标法，明确利用坐标法解决问题的一般步 ,”2 2 骤，并会用坐标法解决与两点的距离以及中 思考(1)你能试着用数轴上基本公 点有关的问题 式的推导方法一向量法，推导上面两个 平面直角坐标系中的基本公式吗？ 要点精析 (2)你知道平面上两点之间的距离公 式和勾股定理的关系吗？ 川要点1平面直角坐标系中的基本公式： (3)平面直角坐标系中的中点问题可 1.数轴上的基本公式及推导 以理解为对称问题吗？ 如果数轴上点A(x1),B(x2),则 例1已知△ABC的三个顶点A(1,2), (1)A,B两点之间的距离公式AB=比xl. B(3,4),C(5,0),求△ABC的三边长并判 (2)线段AB的中点坐标公式x=+ 断其形状 2 推导：由AB=(x2x1),故IAB=x2-x. 又设线段AB的中点为M(x),则AM= MB,‘x-x=2x,ax= 2 学(29 高中数学选择性必修第一册人教B版 反思感悟 已知两点A(x1,y),B(x2,y2),则这 变式训练① 两点之间的距离的特殊情况的求法： 已知△ABC的顶点A,B,C的坐标分 (1)点A,B所在直线垂直于x轴，即 别为(-3,1)，(3，-3)，(1,7)，求三 x1=x2,则lABl=y2-y 角形三条边上的中线的长 (2)点A,B所在直线垂直于y轴，即 y=2,则lAB1=le2-xl (3)点A与坐标原点O(0,0)的距离 IAOl=Vxi+yi. (4)点A,B都在直线y=kx+b上时， IA BI=V1+k2 1-x2l. 例2求下列点A关于点M的对称点B 的坐标： 川要点2坐标法 (1)点A(2),M(-1); (2)点A(1,-1),M(2,3) 坐标法定义：通过建立平面直角坐标 分析因为点关于点对称的本质就是 系，将几何问题转化为代数问题，然后通过 中点问题，所以本题使用中点坐标公式 代数运算解决问题.这种解决问题的方法称 解决。 为坐标法 例3已知△ABC是直角三角 形，斜边BC的中点为M.求证 AM=号BCL 图2-1-1 分析建立适当的平面直角坐标系， 利用两点之间的距离公式证明问题」 反思感悟 如果线段AB的中点为M,且A(x1, y1),M(x,y),则点B的坐标为（2-x1, 2y-y1). 30)学 第二章平面解析几何。 ③如果图形是对称图形，可考虑利用 变式训练2 图形的对称中心作为原点，图形的对称轴 求证：平行四边形对角线的平方和等于 作为坐标轴 四条边的平方和.请尝试用向量方法或解三 (2)设点：按照所建立的平面直角坐 角形的方法解决 标系，结合已知条件，写出已知点的坐标， 设出未知，点的坐标 (3)列式：利用所学的坐标公式（如 中点坐标公式、两点之间的距离公式等) 列出方程（组），通过计算得出代数结论. (4)反演：将计算所得的代数结论反 演回去，得出几何问题的结论 例4判断三点A(8,10),B(-4,4), C(4,8)是否共线 分析因为向量的坐标实质就是坐标 法，因此可以使用三，点连成的两个向量是 否共线来判断，另外，当三点共线时，这三 点所连成的三条线段的长度满足：最长的 线段长度等于两条较短的线段长度之和.因 此，还可以使用两点之间的距离公式求线 反思感悟 段长度来判断。 向量法的实质就是坐标法.在很多情况 ,下使用向量法（坐标法）求解几何问题会 使问题得到简化，而用几何法（如解三角 形法)解决问题有时会很复杂，所以坐标 法是解决平面几何问题的基本方法之一， 坐标法解决几何问题的步骤：四步八 字：建系→设点→列式→反演， (1)建系：建立适当的平面直角坐标 系.原则如下： ①要使尽可能多的已知点、直线落在 坐标轴上； ②若图中有两条互相垂直的直线，则 以它们为轴建系； 学(31 高中数学选择性必修第一册人教B版 点的轨迹是正方形. 数学文化 其中是真命题的有() 例在平面直角坐标系中，定义d(A, A.①② B.①③ B)=max{lx1-xl,y1-y2l}为两点A(x1,y1), C.②③ D.①②③ B(x2,y2)的“切比雪夫距离”.设点P及 分析①讨论A,B,C三点共线以及 直线l上任意一点Q,称d(P,Q)的最小值 不共线的情况，结合图象和新定义即可判 为点P到直线1的“切比雪夫距离”，记作 断；②设点Q是直线y=2x-1上一点，且 d(P,).给出下列三个命题： Q(x,2x-1),可得d(P,Q)=max{lx-31, ①对任意的三点A,B,C,都有d(C, 2x-2,讨论lx-3引，2x-21的大小，可得距 A)+d(C,B)≥d(A,B)； 离d,再由函数的性质，可得最小值；③根 ②已知点P(3,1)和直线1：2x-y-1= 据“切比雪夫距离”的定义可判断出命题 0,则dP,D=号： 的真假 ③到原点的“切比雪夫距离”等于1的 (32)学高中数学选择性必修第一册人教B版 第二章 平面解析几何 >"2.1坐标法 由AC=AB+AD, .AD'=AC-AB=(b-a,c),BD 要点精析 =AD-AB=(b-2a,c). 例1解：4B=V(1-3)2+(2-4)2=2V2, IACP+IBD P=b2+c2+(b-2a)2+c2 图1 BC1=V(3-5)+(4-0)=2V5, =4a2-4ab+2b2+2c2, 变式训练2答图 AC1=V(1-5)+(2-0)7=2V5, ABP+4DP=d2+(b-a)2+c2=2a2-2ab+b2+c2, AC1=BC1,∴△ABC是等腰三角形 例2解：(1)设点B(x),由题知点M是AB的中点， .ACP+IBD P=2(IAB P+ADP),AC+BD2=2(AB2+ AD2). x,x=2xwrx=2x(-1)-2=-4,B(-4). 2 方法2：解三角形法.设∠DAB=Q,则∠ABC=T-a (2)设点B(xB,yB),由题知点M是AB的中点， 如图2，在△ABD中，BD2= AB2+AD2-2AB·AD·c0sa: 2 则 ,x=2x厂x1=2×2-1=3, 在△ABC中，AC=AB2+BC- 图2 ym=2y-y1=2x3-(-1)=7, 2AB.BC·cos(T-a). 变式训练2答图 cos(T-a)=-cosa,.BD2+AC2=AB2+AB2+AD2+BC2= .点B(3,7) 2(AB2+AD2) 变式训练1解：设边AB,BC,CA的中点分别为D(x, y),E(x2,y2),F(x3,y3). 例4解：方法一：向量法. 由中点坐标公式，得 由题知AB=(-4-8,4-10)=(-12,-6), x=34-2, x=-31=-1, AC=(4-8,8-10)=(-4,-2), 2 2 13》1,⅓-2.=17=4 :AC=AB,A,B,C三点共线。 3 2 2 方法二：两点之间的距离公式 即D(0,-1),E(2,2),F(-1,4) 由两点之间的距离公式可得 由4B1=V(-4-8)2+(4-10)=6V5, AB边上的中线长ICD=V(1-0)+(7+1)=V65; 4C1=V(4-8)+(8-107=2V5, BC1=V(-4-4)2+(4-8)=4V5. BC边上的中线长AE1=V(-3-2)+(1-2)7=V26; ABI=AC+BCL,A,B,C三点共线. CA边上的中线长BFA=V(3+1)2+(-3-4)P=V65. 数学文化 例3证明：以直角三角形ABC的直 角边AB,AC所在的直线分别为x轴、 c(o.) D【解析】①对任意三点A,B,C,若它们共线， y轴，建立如图所示的平面直角坐标 设A(x,),B(x2,y2),C(,3) 系，A(0,0).设B(b,0),C(0,c) (A)0 B(b,0)x 显然，当A,B,C所在直线垂直于坐标轴时，结论 点M是边BC的中点，点M 成立，若A,B,C所在直线与坐标轴不垂直，如图1. 例3答图 的坐标为9，竖即（合.分】 由两点之间的距离公式可得BC1=V(0-b)+(c-0)严= Vo,MM=V2月5=Ve,Mha 变式训练2证明：方法1：向量方法.以A为原点建立 如图1所示的平面直角坐标系，则A(0,0),设B(a, 图1 0),C(b,c). 例题答图 34 参考答案。 根据“切比雪夫距离”定义可得d(C,A),d(C 显然点P的轨迹为正方形，故③正确.故选D B),d(A,B)为AN,BM,AK或CN,CM,BK,则 一m2.2直线及其方程 d(C,A)+d(C,B)d(A,B); 若B,C或A,C对调， 2.2.1直线的倾斜角与斜率 可得d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B). 第1课时倾斜角与斜率 当A,B,C三点不共线时， 要点精析 若∠C=90°，则d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B)成立. 例1解：由y=x的图象是一条倾斜角为45°的直线，由 若△ABC中C为锐角或钝角，如图2. 图可知，直线1的倾斜角0=30°+45°=75°」 10 图2 例1答图 例题答图 由矩形CMNK 变式训练1解：如图，直线1的两个临界情形是与x 有d(C,A)+d(C,B) 轴垂直的直线和过原点的直线： =max(CK,AK)+max(CM,BM) ≥CK+CM≥d(A,B)=max{AN,BN: 由矩形BMNK A(1,1》 有d(C,A)+d(C,B) =max(CN,AN)+max(BK,CK) KC+CN=KN=BM=d(A,B). 则对任意的三点A,B,C,都有d(C,A)+d(C,B) 变式训练1答图 ≥d(A,B). 故①正确 当直线1位于这两条直线所夹的阴影范围时， ②设点Q是直线y=2x-1上一点，且Q(x,2x-1), 直线不经过第二象限， 可得d(P,Q)=max{x-3引，12x-2. 当直线垂直于x轴时，倾斜角为90°， 当直线1过原点时，倾斜角为45°，∴.倾斜角θ的取 -3引≥2-2，解得-1≤≤号 值范围是{45°≤0≤90}. 即有dP,Q)-l-3引，当x=弓时，取得最小值子 1-(-2=1, 例2解：由题意得k20,ka品 -32-2,解得D号或-l, 由B,C两点的横坐标相等，知直线BC的斜率不 存在。 即有d(P,Q)=2-2小4 变式训练2解：由题知，1与的倾斜角互补，·直线 1的斜率为1，故倾斜角为45°.设1与x轴的交点为(x, dP,Q)的取值范围是专，+ 0,由14，=-5.因而1与轴交点坐标为(-5。 综上可得，P,Q两点的“切比雪夫距离”的最小 0). 值为子，故②正确。 例3解：由已知条件得2分3-12=-22 ③由题知，到原点O的“切比雪夫距离”为1的点 解得a=10. P(x,y)满足d(O,P)=maxl,y=l, 变式训练3(-2,1)【解析】过点P(1-a,1+a)和 即≥1，或k, (lxl=1 Q(3,2)的直线的倾斜角为钝角，.直线的斜率小于 (yl=1, 35