1.2.5 空间中的距离-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第一册人教B版 1.2.5 空间中的距离 学习目标 反思感悟 计算两，点间的距离的两种方法： 1.掌握向量长度计算公式 (1)利用la=aa,通过向量运算求lal, 2.会用向量方法求两点间的距离、点到 如求A,B两点间的距离，一般用AB= 平面的距离、直线到平面的距离和面到面的 距离 VABP=VAB·AB求解 (2)用坐标法求向量的长度（或两点 要点精析 间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立 空间直角坐标系时. 川要点1空间中两点之间的距离 B变式训练① 空间中两点之间的距离指的是这两个点 连线的线段长， 如图1-2-24所示，在120°的二面角a 思考在空间中怎样求两点之间的 AB-B中，ACC,BDCB且AC⊥AB,BD⊥ 距离？ AB,垂足分别为A,B,已知AC=AB=BD= 例1如图1-2-23所 6,求线段CD的长。 示，正方形ABCD,ABEF 的边长都是1，而且平面 ABCD,ABEF互相垂直， 图1-2-24 点M在AC上移动，点N 图1-2-23 在BF上移动，若CM=BN=a(0<a<V2)· (1)求MW的长； (2)a为何值时，MN的长最小？ 川要点2点到直线的距离 给定空间中一条直线1及1外一点A, 因为1与A能确定一个平面，所以过A可以 作直线（的一条垂线段，这条垂线段的长称 为点A到直线I的距离. (26)学 第一章空间向量与立体几何。 思考点到直线的距离是点和直线上 例3如图1-2-25所示， 的点连线的最短距离吗？ 已知正方体ABCD-AB,CD 例2已知直三棱柱ABC-AB,C,中， 的棱长为a,求点A到平面 ABD的距离 图1-2-25 AA=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°，求点B 到直线AC,的距离. 分析 本题可以利用等体积法求解， 分析建立空间直角坐标系，利用向 也可以通过建系利用向量法求解 量法求解。 B变式训练② 已知二面角-1-B为60°，动点P,Q分 别在平面，B内，点P到B的距离为V3, Q到α的距离为2V3,则P,Q两点之间 距离的最小值为() A.V2 B.2 C.2V3 D.4 反思感悟 川要点3点到平面的距离 用向量法求点面距离的方法与步骤： 1.给定空间中一个平面α及α外一点 (1)建坐标系：结合图形的特点建立 恰当的空间直角坐标系· A,过A可以作平面α的一条垂线段，这条 垂线段的长称为点A到平面α的距离， (2)求向量：在坐标系中求出点到平 2.一般地，若A是平面外一点，B是 面内任一点对应的向量AB 平面a内一点，n是平面α的一个法向量， (3)求法向量：设出平面的法向量， 利用向量垂直的条件转化为求解方程组， 则点A到平面&的距离为d=BA·m 求出法向量n: 思考点到平面的距离是这个点与平 (4)得答案：代入公式止HB川求得答案 面内，点的最短连线的长度吗？ 学 (27 高中数学选择性必修第一册人教B版 例4如图1-2-27， 变式训练3 矩形ADFE和梯形ABCD 如图1-2-26，正方体ABCD-ABCD1中， 所在平面互相垂直，AB∥ 棱长为3，点P在棱DC上运动（不与顶点 CD,∠ABC=∠ADB=90°， 图1-2-27 重合)，求点B到平面ADP的距离d的取值 CD=1,BC=2,DF=1. 范围 (1)求证：BE∥平面DCF; (2)求点B到平面DCF的距离. 图1-2-26 要点4相互平行的直线与平面之间、相” 互平行的平面与平面之间的距离 B变式训练④ 1.当直线与平面平行时，直线上任意一 正方体ABCD-AB1CD1的棱长为1，求 点到平面的距离称为这条直线与这个平面之 平面A,BD与平面BCD1间的距离. 间的距离，如果直线l与平面a平行，n是 平面a的一个法向量，A,，B分别是I上和a 内的点，则直线l与平面a之间的距离为d= BA·nl Inl 2.当平面与平面平行时，一个平面内任 意一点到另一个平面的距离称为这两个平行 平面之间的距离 数学文化 如果平面a与平面B平行，n是平面B 例在我国古代数学名著 的一个法向量（当然也是平面α的一个法向 《九章算术》中，将四个面都 量)，A和B分别是平面α和平面B内的点， 为直角三角形的三棱锥称之为 则平面α和平面B之间的距离为dBA·川 鳖臑.如图1-2-28，已知在鳖 臑PABC中，PA⊥平面ABC, 图1-2-28 思考线面距离、面面距离与点面距 PA=AB=BC=2,M为PC的中点，则点P到 离有什么关系？ 平面MAB的距离为 28)学高中数学选择性必修第一册人教B版 Y2,竖，0，则平面AC 的一个法向量可以为n=(1,0,0).设平面BPC的法向 量为m=(x,y,z), 则mcP=0, -V2y+z=0, m·BC=0, 即V2+V2=0, 令y=1,则 2 z=V2,x=1,m=(1,1,V2). 设二面角A-PC-B的大小为0，则cos0=m:m Inllml 1 1xV1+14(V222 .0≤0≤m,.0=60° 1.2.5空间中的距离 要点精析 例1解：(1)建立如图所示 的空间直角坐标系，则A(1, 0,0),，F(1,1,0),C(0, 0,1). .CM=BN=a (0<a<V2), 且四边形ABCD,ABEF为正方形， M V2a.0.1-V2a 例1答图 2 2 a, N2a,Y2a,0, 2 2 w0,a,- 2 .IMNI=Va-V2 a+1 (0<a<V2). .MW=V2-V2a+1(0<a<V2) (2)由（山知mw-VY2+3,当a Y2时，MN=Y2.即当a=Y2时，MN的长最小， 2 2 2 最小值为V② 2 变式训练1解：AC⊥AB,BD⊥AB, ·.CA.AB=0,BD.AB=0. 又二面角-ABB的平面角为120°， .(CA,BD)=60° CD=ICD P=(CA+AB+BD) -CA+AB+BD2+2(CAAB+CABD+BDAB) =3×62+2×62×c0s60°=144， .CD=12. 例2解：以点B为原点，建立如图所示的空间直角坐 32 标系 则A1(4,0,1),C(0,3,1), AC=(-4,3,0). 设E满足AE=A,C, 且BE⊥AC, 例2答图 则BE=BA+AE=(4,0,1)+A(-4,3,0) =(4-4,3入，1).又BE⊥AC1, 44h,3,10(4,3.0=0,A=28 BE4493x281, E-V+袋+-号 5 点B到直线AC,的距离为3 变式训练2C【解析】过P作 PE⊥B交B于E,在B内过点E作 EF⊥l,则∠PFE=60°，PE=V3, E PF=2.同理可求平面B内的点Q 到棱1的距离为4. 变式训练2答图 当P,Q的连线与棱1垂直时，P,Q两点之间的距 离d最短，所以=4+16-2×4×2×cos60°=12，∴.d=2V3. 故选C 例3解：方法一：设点A到平面ABD的距离为h,则 m=}V年xV2aV厚a 4 6 VVu,h=V3 3a, 点A到平面A,BD的距离为Y3 3 a. 方法二：如图所示，建立空间 直角坐标系B1-xyz,则A,(a, 0,0),A(a,0,a),D(a,a,a), B(0,0,a), 则BD=(a,a,0),AD=(0, ￥11 D a,a),AB=(-a,0,0) 例3答图 设平面ABD的一个法向量n=(x,y,z), 则n-d-0,即a+o=0.+y=0, nAD=0,ay+z=0,y+=0. 令y=-1,则x=z=1,n=(1,-1,1) ABn=(-a,0,0)(1,-1,1)=-a. 点A到平面A,BD的距离d=MB--d 3 a 变式训练3解：以D为原点， DA,DC,DD所在直线分别为 x,y,轴建立空间直角坐标 系，则D(0,0,0),A(3,0, 0),B(3,3,0),D(0,0,3) AD=(-3,0,3),AB=(0,3, 变式训练3答图 0),设P(0,t,0),AP=(-3, t,0),设平面AD,P的法向量为n=(x1,1,1),则 n=-30,令=，可得n=,3,),点B nAD1=-3x+3z1=0, 到平面AD,P的距离d上ABm=9 l20<<3,de (V3,3) 例4(1)证明：由已知可得 AE∥DF, AB∥DC, AE∩AB=A, →平面ABE∥平面DFC. DFODC=D. AE,ABC平面ABE, DF,DCC平面DFC 又BEC平面ABE,.BE∥平面DCF (2)解：如图所示，以D 为原点，建立空间直角坐标系 AB∥CD,∠ABC=∠ADB= 90,则△16△D-记 =DB CD 例4答图 CD=1,BC=2,∴BD=V5, AD=2V5,AB=5,F(0,0,1), D(0,0,0),A(2V5,0,0),B(0,V5,0), c50,所=0v5.乐 5s.s·5 参考答案。 设平面DCF的法向量为n=(x,y,), 2 则nDc-0, +1y=0. 5V5 n-CF=0, 2x- 1 V5V5=0, 令x=1,y=2,=0,n=(1,2,0). dBF:L=2.点B到平面DCF的距离为2. 变式训练4解：以D为原点， 建立如图所示的空间直角坐标 系，则A1(1,0,1),B(1,1, 0),D(0,0,1),AB=(0,1, -1),AD=(-1,0,-1),AD= (-1,0,0) 变式训练4答图 设平面ABD的一个法向量 为n=x,,),则m4AB-0,3=0 nAD=0 -x-2=0, 令=1，得y=1,x=-1,n=(-1,1,1)..点D到 平面A,BD的距离d=ADn川=1=V3 :平面ABD与平面B,CD,间的距离等于点D1到平面 ABD的距离，∴.平面A,BD与平面B,CD,间的距离为V3 3 数学文化 V2【解析】如图所示，以 点B为坐标原点，建立空间直角坐标 系， 则B(0,0,0),A(2,0,0), P(2,0,2),C(0,2,0).由M为 PC的中点可得M(1,1,1),BM= 例题答图 (1,1,1),BA=(2,0,0),BP= (2,0,2).设n=(x,y,z,)为平面ABM的一个法向 量，则n~BA0, 2x=0, 即 n-BM=0,x+y+z=0. 令z=-1,可得n=(0,1,-1),点P到平面MAB的 距离nBP=V2. 33