1.1.2 空间向量基本定理-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

N 高中数学选择性必修第一册人教B版 变式训练4解：在△AOB及△BOC中，易知BE=OH= 3.又BE=10M-0B,oi=号(0B+0C),:BE 2 oio.0i+4o.0C-号oi号0i.0元=4× 分+好×23-3×3=分s(E,0丽) 配：严-子又：异面直线所成角的范为0、号引 IBE HIOHI 放异面直线01与BE所成角的余弦值为号 数学文化 B【解析】由题设可得示意图如图所示， D A A2人人 例题答图 AC=AC+CC=AD+AB+AA.又以A为端点的 三条棱长均为1，且彼此的夹角都是60°，AC=AD+ AB+AA2+2AD·AB+2AB.AA+2AD·AAI=6,即IAC1E V6.故选B. 1.1.2空间向量基本定理 要点精析 例1解：(1)易知0A+0B+0C=30M, :.0A-0M=(0M-0B)+(0M-0C), .·MA-BM+CM=-MB-MC .向量MA,MB,MC共面. (2)由(1)知向量MA,MB,MC共面，三个向 量有公共点M,M,A,B,C共面，即点M在平面 ABC内. 变式训练1证明：E,F,G,H分别是所在三角形的 重心，M,N,Q,R为所在边的中点。 顺次连接M,V,Q,R,所得四边形为平行四边形， 且有Pm=号PM,p㎡子Pm,PC=子P0,Pm=号Pm, 四边形MNQR为平行四边形， :Bc-PC-PE=子r-子PM=子Md=子(M+M) =(Pm-pi)+子(P床-pi =号多㎡m+3mE-+, （22 由共面向量定理得EG,EF,EH共面，E,F, G,H四点共面. 例2证明：设AB=a,AD=b,AA=c. A店2D,AF号元， AE-2AD.AF-24C. :AE=2AD=2五，AF=2(4C-AA =号aEad-an)-号+号号c F-F-a正-号a0号c号a号0 又EB=EA+Af+AB=-子b-cta=a-号b-c, E=号EB.E,R,B三点共线 变式训练2解：(1)FE=FD+DE,而FD=-DF= -}DC=-}c,D呢=2(D+D成)=3(ab),F2=a+ 2b-3e. 2)ma*b-3c-4+4+g+2a 4 91 43x3号x3xx3m35. 2 例3解：(1)假设a+b,b+c,c+a共面， 则存在实数入，u使得a+b=入(b+c)+u(c+a), .a+b=入ba+(入+μ)c. 1, {a,b,c为基底，a,b,c不共面.1=入， 0=入+从 此方程组无解， a+b,b+c,c+a不共面. .{a+b,b+c,c+a可以作为空间的一个基底. (AN-AB +BM-AB+RC =AB+(B丽+BC) -AB+1BB+(AC-AB) 2 2 =b+1a+1(c-b) 22 AN-AAABBN-AAABC ab (cb) b+c. 变式训练33a-b+3c 【解析】EF=)(E心+E) =4d+ci+4a+) =4A店+}B励+4Ci+4A4Ci+4D成 =号ag40d-3a-b+3c 变式训练4解：MP-MC+C'A+A'P =BC-ArC}A产=(B+C)-A衣-}A =2[AA+(A-Ai]-A亡-号AA2ac-b)-c-子a 数学文化 A【解析】如图所示，连接AG,并延长交BC于点 M,则M为BC的中点， AW-号A店MC)=3oi-20+oc. AG=号AM=3(0i-20i+0C). 0G=3GG1,.0G=3GG=3(0G-0G), .0G=30G 则oc=0G-(oi+MG G =子o+30呢-号0质+0C 4 =40i+4o+4o 例题答图 =行行故选A 1 1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系 要点精析 例1解：(1)由题意建立如图所示 zD 的空间直角坐标系，则A(0,0,0), A'(0,0,1),B(1,0,0), o,1,3,c1,30, 例1答图 参考答案。 F3,1,1,D0,1,0). ①AE=AD+D呢=AD+}DD=AD+}AA= 0,1,3月 AG-AB+BG=AB+AD=1,子，0 AF-AAADDF-AAAD+AB-1.1) ②E示=AF-AE=(AA产+AD+)AB)-(AD+)AA产= 2+分4B分，0,3 EG-AG-AE-AB+ADAD+AA =A店}40-号41,7 G=AC-A0=AB+号A0-AD=A店-号Ad 1,3,0 (2)由于A(-1,2,1),B(1,3,4),C(0,-1,4), D(2,-1,-2),p=AB=(2,1,3),9=CD=(2,0,-6). ①p+2q=(2,1,3)+2(2,0,-6)=(2,1,3) +(4,0,-12)=(6,1,-9): ②3p-9=3(2,1,3)-(2,0,-6)=(6,3,9) -(2,0,-6)=(4,3,15): ③(p-q)·(p+9)=p2-q2=pP-1q=(22+12+32)-(22+02+62) =-26. 变式训练1解：AB=(2,6,-3),AC=(-4,3,1), AB-AC=(6,3,-4). )0㎡=2a应Ad=号6,3,4)=3,3,2， 则点P的坐标为3,3，-2， (2)设点P的坐标为(x,y,z),则AP=(x-2,y+ 1,8-2) 3aB-AC)3,子，-2， x-2=3, x=5, 1号，即)3则点P的坐标为5，子0 z-2=-2.z=0, 例2解：(1)BC=(-2,-1,2),且c∥BC, 设c=ABC=(-2A,-入，2A), 得1cl=V/(-2入)2+(-A)2+(2入)2=31λ=3， 23第一章空间向量与立体几何。 1.1.2 空间向量基本定理 学习目标 反思感悟 (1)应用空间向量共面定理，即其中 1.理解空间向量基本定理 一个向量能用另两个向量线性表示，通常 2.运用空间向量基本定理解决一些几何 应结合图形，选择其中某两个向量作为基 问题 向量，其他向量都用这两个基向量线性 3.理解基底、基向量及向量的线性组合 表示 的概念 (2)选择目标向量以外的一组基底， 通过待定系数法，建立这三个向量的一个 要点精析 线性关系式 川要点1共面向量定理 B变式训练① 如果两个向量a,b不共线，则向量a, 如图1-1-5所示，P是平行四边形 b,c共面的充要条件是，存在唯一的实数对 ABCD所在平面外一点，连接PA,PB,PC, (x,y),使c=xa+yb. PD,点E,F,G,H分别是△PAB,△PBC, 思考平面向量基本定理中对于向量 △PCD,△PDA的重心，分别延长PE,PF, a与b有什么要求？在空间中能成立吗？ PG,PH,交对边于M,N,Q,R,并顺次 例1已知A,B,C三点不共线，平面 连接MN,NQ,QR,RM.应用向量共面定 ABC外的一点0满足0M=}01+号0E+ 理证明：E,F,G,H四点共面 oC. (1)判断MA,MB,MC三个向量是否 共面； (2)判断点M是否在平面ABC内. 图1-1-5 学 5 高中数学选择性必修第一册人教B版 川要点2空间向量基本定理 变式训练2 如果空间中的三个向量a,b,c不共 如图1-1-7所示，四面体ABCD中，E, 面，那么对空间中的任意一个向量卫，存在 F分别为AB,DC上的点，且AEI=BE1,ICF 唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=a+ =2IDFl,DA=a,DB=b,DC=c. yb+zc. (1)以{a,b,c}为基底表示FE; 特别地，当a,b,c不共面时，可知 (2)若∠ADB=∠BDC=∠ADC=60°，且 xa+yb+zc=0时，x=y=z=0. 思考平面向量的基底要求两个基向 lal=4,Ibl=3,Icl=3,IF I. 量不共线，那么构成空间向量基底的三个 向量有什么条件？ 例2如图1-16所示， 在正方体ABCD-ABCD1中， E在AD1上，且AE=2ED1, 图1-1-7 F在对角线AC上，且A,F= 号元.求证：B,RB三点 图1-1-6 共线， 川要点3相关概念 1.线性组合：表达式xa+yb+zc一般称 反思感悟 为向量a,b,c的线性组合或线性表达式 判断向量共线就是利用已知条件找到 2.基底：空间中不共面的三个向量a, 实数x,使=xb成立，同时要充分利用空 b,c组成的集合{a,b,c},常称为空间向 间向量的运算法则，结合图形，化简得出 量的一组基底. a=xb,从而得出ab,即向量a与b共线， 3.基向量：基底{a,b,c}中a,b,c 共线向量定理还可用于证明两直线平行或 都称为基向量. 证明三，点共线 4.分解式：如果p=xa+yb+zc,则称xa+ 6 学 第一章空间向量与立体几何 yb+zc为p在基底{a,b,c}下的分解式. 反思感悟 5.拓展：设O,A,B,C是不共面的四 用基底表示向量的步骤： 点，则对空间任一点P,都存在唯一的有序实 (1)定基底：根据已知条件，确定三 数组{x,y,,使0P=x0A+y0B+0C,当 个不共面的向量构成空间的一个基底。 且仅当x+y+=1时，P,A,B,C四点共面， (2)找目标：用确定的基底（或已知基 思考基向量和基底一样吗？0能否 底)表示目标向量，需要根据三角形法则及 作为基向量？ 平行四边形法则，结合相等向量的代换、向 例3(1)若{a,b,c是空间的一 量的运算进行变形、化简，最后求出结果 个基底，试判断{a+b,b+c,c+a能否作为 (3)下结论：利用空间向量的一个基 该空间的一个基底. 底{a,b,c}可以表示出空间所有向量.表 (2)如图1-1-8，在 示要彻底，结果中只能含有4，b,c,不能 三棱柱ABC-A'B'C中，己 含有其他形式的向量 知AA'=a,AB=b,AC=c,B( 变式训练③ 点M,N分别是BC',B'C 图1-1-8 在空间四边形ABCD中，AB=a-2c, 的中点，试用基底{a,b,c表示向量AM, AN. CD=5a-5b+8c,对角线AC,BD的中点分别 分析(1)判断a+b,b+c,c+a是否 是E,F,则EF= 共面，若不共面，则可作为一个基底，否 B变式训练④ 则，不能作为一个基底 (2)借助图形寻找待求向量与a,b,c (变条件、变结论)如图1-1-9所示， 的关系，利用向量运算进行分析，直至向 例3(2)中增加条件“P在线段AA'上，且 量用a,b,c表示出来 AP=2PA”,试用基底{a,b,c}表示向量 MP. 图1-1-9 学 7 高中数学选择性必修第一册人教B版 数学文化 A444 例粽子是由竹叶包裹 糯米蒸制而成的食品，是中 B层，子， 国传统节庆食物之一.棕子 cl 作为中国历史文化积淀最深 厚的传统食品之一，传播亦 D号子别 甚远.而大多数的粽子的形 图1-1-10 分析利用空间向量的运算法则求得 状是三棱锥结构，如图1-1-10，设O-ABC 是正三棱锥，G,是△ABC的重心，G是OG 0c-0G=401+40i+40C,即行 4 上的一点，且OG=3GG1,若0G=xOA+y0B (x,y,z). +0C,则(x,y,2)为（) (8)学