1.2.4 二面角-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第一册人教B版 1621 则sin0=h=21-8V105 PD 2V5 105 D B 1 图1 图2 例题答图 1.2.4二面角 要点精析 例1解：如图所示，取AC的中点D, 连接OD,PD. .PO⊥底面，.PO⊥AC, OA=OC,D为AC的中点， ∴.OD⊥AC. A∈ 又P0∩0D=0 例1答图 .AC⊥平面POD,则AC⊥PD .∠PDO为二面角PAC-B的平面角 .△PAB是边长为2的正三角形，CO⊥AB P0=V3,0A=0C=L,0D=V2 2 则VV4要 2 '.sin L PDO=PO=V3=V42 PD 14 7 2 ·二面角PACB的正弦值为V42 7 变式训练1}【解析】如图， 过A作AO⊥BD,交BD于O, 连接PO,·矩形ABCD的两边 --0 D AB=3,AD=4,PA⊥平面ABCD, 变式训练1答图 且PA=号，BD-=V34=5,POLRD,∠P0A是面 角A-BD-P的平面角.】BDA0=之ABAD,A0 2 4 BD ，tan∠po=PA=寸1 AB·AD=12 A012=3·二面角A 5 BDP的正切值为？ 例2(1)证明：四边形ACCA,和四边形BDDB,均 30 为矩形，.CC⊥AC,DD1⊥BD. 又CC1∥DD1∥001，.001⊥AC,001⊥BD. AC∩BD=O,.O,O⊥底面ABCD (2)解：四棱柱的所有 棱长都相等，.四边形ABCD 为菱形，AC⊥BD.又O0⊥ 底面ABCD,∴.OB,OC,O0 两两垂直.如图所示，以0为 原点，OB,0C,001所在直 B C 线分别为x轴、y轴、z轴，建 例2答图 立空间直角坐标系。 设棱长为2，∠CBA=60°，….0B=V3,OC=1, .0(0,0,0),B1(V3,0,2),C(0,1,2), 平面BDDB,的一个法向量为=(0,1，O). 设平面OCB,的法向量为m=(x,y,z), 则由m10B,m⊥0C,得V3x+22=0,y+2z=0, 取=-V3,则x=2,y=2V3, m=(2,2V3,-V3), m器语2 19 由图形可知二面角C1-OB-D的大小为锐角，.二面 角C-OB-D的余弦值为2VS7 19 变式训练2解：(1)如图，连接BD.PD⊥平面 ABCD,AMC平面ABCD,.AM⊥PD,又由题知， AM⊥PB,且PB∩PD=P,'AM⊥平面PDB,BDC平面 PDB,.AM⊥BD 由题知：PD⊥平面ABCD, 且矩形ABCD中，AD⊥DC,所 以AD,PD,DC两两垂直.以D 为坐标原点，DA,DC,DP所 在直线分别为x轴、y轴、：轴 建立空间直角坐标系.设BC= -- 2x,则D(0,0,0),A(2x,0, 0),B(2x,1,0),M(x,1,0), 变式训练2答图 所以AM=(-x,1,0),DB=(2x,1,0),AM1DB, .(-x,1,0)-(2x,1,0)=0,解得=V2(负值舍 去)，所以BC=V2. (2)由(1)知，A(V2,0,0),B(V2,1,0), C(0,1,0),P0,0,1),M2,1,0,则A= 2 2,1,,m,1,-小，cv2, 0,0),PB=(V2,1,-1).设n1=(x1,y1,1)为平面 PAM的法向量，则 nAM=0 -2x+y=-0, 即 2 取 nPM=0 v2 21+y1-21=0, x=2,得y=V2,1=2V2,∴n=(2,V2,2V2), nz-BC=0, 设2=(x2,2,z2)为平面PBC的法向量，则 nz-PB=0. 即V20, 令y2=1,得2=0,2=1,2= V2x+y2-a2=0, (0,1,1),设二面角A-PM-B的大小为0，则Icos0= m_10+V2+2V2l=3YV4,所以sin=V1-cos0 Inilln:V14xV2 14 =Y?,即二面角A-W-B的正弦值为Y图 14 变式训练3解：以A为坐标原点 建立空间直角坐标系，如图所示， 设此棱柱的棱长为1，则A(0,0,B 0).B1,0,1),E1.,0 D0,1,1),F分1,0.AE= (L,3,0,AB=(1,0,1),AF 变式训练3答图 =3,1,0,AD=(0,1,1). 设平面ABE的法向量为n1=(x1,y1,z1), x1+21=0, 则B0,即+。y=0 nAE=0, 令y1=2,则x=-1,z1=1,n1=(-1,2,1). 设平面ADF的法向量为n2=(x2,2,z2), 则AD=0, y2+z2=0, 即1 令x2=2, n2AF=0. 22+y2=0, 则y2=-1,z2=1.n2=(2,-1,1). ∴.平面AB,E与平面ADF所成锐二面角的余弦值为 m1l=1(-1,2,1)(2,-1,1)1 nnV(-1)2+22+平xV22+(-1)+ =1(-1)×2+2x(-1)+1x山=1 V6×V/6 2 例3(1)证明：如图所示，DE⊥EC,DE⊥AE, AE∩EC=E,DE⊥平面ABCE. 参考答案。 又.BCC平面ABCE,∴.DE⊥BC 又.BC⊥EC,DE∩EC=E, BC⊥平面DEC. (2)解：如图所示，以点E为坐 标原点，分别以EA,EC,ED所在直 线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐 例3答图 标系E-xyz, E(0,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0), D(0,0,2),A(2,0,0),F(1,0,1). 设平面EFB的法向量=(1，y1,z1), 由EF=1,0.10,=(2,2,0,2x+2-0, x1+z1=0, .取x=1,得平面EFB的一个法向量n1=(1,-1, -1). 设平面BCF的一个法向量为2=(x2,y2,22), 由CF=(1,-2,1),CB=(2,0,0), x2=0, x2-2y2+z2=0 .取y=1,得平面BCF的一个法向量为=(0,1,2). 设二面角C-BFE的大小为， 则cosa=m=上-1-2！=V15 ΓIn lin3 V3xV55 变式训练4解：(1)由底面是正方形，AC⊥BD,得 SD⊥平面ABCD,∴BD是BE在平面ABCD上的射影， 由三垂线定理得AC⊥BE. (2)·SD⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,.SD⊥ CD.又底面为正方形，.CD⊥AD.又SD∩AD=D, :.CD⊥平面SAD.过点D在平面SAD内作DF⊥AE于F, 连接CF(图略)，则CF⊥AE.故∠CFD是二面角C- AE-D的平面角，即∠CFD=60 在Rt△AED中，AD=a,DE=Aa,AE=aV+I, 于是DF=AD-DE=,Aa,在R△CDF中，an60= AE V+T =VAL=V3,=V2 DE 入 2 数学文化 60°【解析】建立如图所示的 空间直角坐标系，PA=AB=BC=1, A(0,0,0),C(0,V2,0), B2,Y2,0,P0,0, 1),Cp=(0,-V2,1),BC= 例题答图 31 高中数学选择性必修第一册人教B版 Y2,竖，0，则平面AC 的一个法向量可以为n=(1,0,0).设平面BPC的法向 量为m=(x,y,z), 则mcP=0, -V2y+z=0, m·BC=0, 即V2+V2=0, 令y=1,则 2 z=V2,x=1,m=(1,1,V2). 设二面角A-PC-B的大小为0，则cos0=m:m Inllml 1 1xV1+14(V222 .0≤0≤m,.0=60° 1.2.5空间中的距离 要点精析 例1解：(1)建立如图所示 的空间直角坐标系，则A(1, 0,0),，F(1,1,0),C(0, 0,1). .CM=BN=a (0<a<V2), 且四边形ABCD,ABEF为正方形， M V2a.0.1-V2a 例1答图 2 2 a, N2a,Y2a,0, 2 2 w0,a,- 2 .IMNI=Va-V2 a+1 (0<a<V2). .MW=V2-V2a+1(0<a<V2) (2)由（山知mw-VY2+3,当a Y2时，MN=Y2.即当a=Y2时，MN的长最小， 2 2 2 最小值为V② 2 变式训练1解：AC⊥AB,BD⊥AB, ·.CA.AB=0,BD.AB=0. 又二面角-ABB的平面角为120°， .(CA,BD)=60° CD=ICD P=(CA+AB+BD) -CA+AB+BD2+2(CAAB+CABD+BDAB) =3×62+2×62×c0s60°=144， .CD=12. 例2解：以点B为原点，建立如图所示的空间直角坐 32 标系 则A1(4,0,1),C(0,3,1), AC=(-4,3,0). 设E满足AE=A,C, 且BE⊥AC, 例2答图 则BE=BA+AE=(4,0,1)+A(-4,3,0) =(4-4,3入，1).又BE⊥AC1, 44h,3,10(4,3.0=0,A=28 BE4493x281, E-V+袋+-号 5 点B到直线AC,的距离为3 变式训练2C【解析】过P作 PE⊥B交B于E,在B内过点E作 EF⊥l,则∠PFE=60°，PE=V3, E PF=2.同理可求平面B内的点Q 到棱1的距离为4. 变式训练2答图 当P,Q的连线与棱1垂直时，P,Q两点之间的距 离d最短，所以=4+16-2×4×2×cos60°=12，∴.d=2V3. 故选C 例3解：方法一：设点A到平面ABD的距离为h,则 m=}V年xV2aV厚a 4 6 VVu,h=V3 3a, 点A到平面A,BD的距离为Y3 3 a. 方法二：如图所示，建立空间 直角坐标系B1-xyz,则A,(a, 0,0),A(a,0,a),D(a,a,a), B(0,0,a), 则BD=(a,a,0),AD=(0, ￥11 D a,a),AB=(-a,0,0) 例3答图 设平面ABD的一个法向量n=(x,y,z), 则n-d-0,即a+o=0.+y=0, nAD=0,ay+z=0,y+=0. 令y=-1,则x=z=1,n=(1,-1,1) ABn=(-a,0,0)(1,-1,1)=-a.1.2.4 学习目标 1.掌握二面角的概念、二面角的平面角 的定义，会作出二面角的平面角 2.掌握求二面角的方法、步骤. 要点精析 川要点1二面角的概念 1.半平面：平面内的一条直线把一个平 面分为两部分，其中的每一部分都称为一 个半平面 2.二面角：从一条直线出发的两个半平 面所组成的图形称为二面角，这条直线称 为二面角的棱，这两个半平面称为二面角 的面.棱为l,两个面分别为α，B的二面角 的面，记作a-l-B,若A∈a,B∈B,则二 面角也可以记作A-1-B,二面角的范围为 [0,T] 3.二面角的平面角：在二面角α-l-B的 棱上任取一点O,以0为垂足，分别在两半 平面内作射线OA⊥L,OB1L,则∠AOB称 为二面角-1-B的平面角 4.作二面角的平面角的方法 (1)定义法：由二面角的平面角的定义 可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上 一个特殊点，求解用到的是解三角形的有关 知识 (2)垂面法：作一个与棱垂直的平面， 与两面的交线就构成了平面角。 (3)三垂线定理（或逆定理）作平面 第一章空间向量与立体几何。 二面角 角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定 理（或逆定理）的应用步骤一致， 例1如图1-2-16，设 AB为圆锥PO的底面直径， PA为母线，点C在底面圆周 0 上，若△PAB是边长为2的 正三角形，且C0⊥AB,求 图1-2-16 二面角PAC-B的正弦值， 反思感悟 用定义法求二面角的步骤： (1)作（找）出二面角的平面角. (2)证明所作平面角即为所求二面角 的平面角. (3)解三角形求角. D变式训练① 如图1-2-17，已知矩 形ABCD的两边AB=3, AD=4,PA⊥平面ABCD, B-- 且PA=号，则二面角A 图1-2-17 BD-P的正切值为 学(23 高中数学选择性必修第一册人教B版 川要点2用空间向量求二面角的大小 如果n1,n2分别是平面a1,a2的一个法 向量，设1与2所成角的大小为0，则0= (n1,n2〉或f=T-〈n1,n2),sin0=sin(n1,n2〉. 思考二面角的大小与其两个半平面 的法向量的夹角有何关系？ 例2如图1-2-18所示，四棱柱 ABCD-ABCD1的所有棱长都相等，AC∩ BD=0,AC1∩BD1=O1, 四边形ACCA1和四边形 BDD,B1均为矩形 A公 (1)求证：001底 面ABCD; 图1-2-18 (2)若∠CBA=60°，求二面角C-OB1-D 的余弦值. 反思感悟 利用坐标法求二面角的步骤： 设n1,n2分别是平面a,B的法向量， 则向量n1与2的夹角（或其补角）就是两 个平面夹角的大小，如 图.用坐标法的解题步骤 如下： (1)建系：依据几何条件建立适当的 空间直角坐标系。 (2)求法向量：在建立的坐标系下求 （24)学 两个面的法向量n1,n2. (3)计算：求n1与n2所成锐角为0， cos0 In'nal Inlin2 (4)定值：若二面角为锐角，则为0： 若二面角为钝角，则为π-0. B变式训练2 如图1-2-19，四棱锥P-ABCD的底面是 矩形，PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M为 BC的中点，且PB⊥AM. (1)求BC的长； (2)求二面角A-PM-B的正弦值. 图1-2-19 B变式训练③ (变条件、变结论)将例2四棱柱中的 ∠CBA=60°改为∠CBA=90°，设E,F分别是 棱BC,CD的中点，求平面ABE与平面 ADF所成锐二面角的余弦值. 例3如图1-2-20(A),在直角梯形 ABCD中，AB∥CD,AB⊥BC,CD=2AB= 2BC=4,过点A作AE⊥CD,垂足为E,现 将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.取AD 的中点F,连接BF,CF,EF,如图1-2 20(B). 图1-2-20(A) 图1-2-20(B) (1)求证：BC⊥平面DEC; (2)求二面角C-BF-E的余弦值. 分析(1)根据线面垂直的判定定理 即可证明BC⊥平面DEC (2)建立空间直角坐标系，利用向量 法即可求二面角C-BFE的余弦值， 反思感悟 与空间角有关的翻折问题的解法要找 准翻折前后的图形中的不变量及变化的量， 再结合向量知识求解相关问题. 第一章空间向量与立体几何。 变式训练4 如图1-2-21，在四棱锥S-ABCD中，底 面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD=AD=a, 点E是SD上的点，且DE=入a(0<入≤1) (1)求证：对任意的入∈(0,1]，都有 AC⊥BE; (2)若二面角CAE-D的大小为60°， 求入的值. B 图1-2-21 数学文化 例 在《九章算术》中， 将四个面都为直角三角形的四 面体称为鳖臑，如图1-2-22， 在鳖臑PABC中，PA⊥平面 ABC,AB⊥BC,且PA=AB= 图1-2-22 BC=1,则二面角A-PC-B的大小是 分析建立空间直角坐标系，利用空 间向量法求二面角的大小。 学(25