第1章 学案14 空间中的距离-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

0B1=(W3,0,2),0C1=(0,1,2). 活动二 平面BDD1B1的一个法向量为n=(0,1,0). 新知导学 设平面C1OB1的法向量为m=(x,y,之)， 问题2提示：法一：（几何法）利用等面积法求点到直线的 由m⊥OB1,m⊥OC1,得V3x+2x=0,y+22=0. 距离. 法二：（坐标法）如图， 取2=一√3，则x=2,y=2W3, 所以m=(2,2√3，-√3)， 所以cos(m,n)川= m·n_23_2√57 mn√19 191 B 所以平面COB,与平面OB,D所成角的余弦值为2Y 先求出垂足B的坐标，则|AB|即为，点A到直线L的距离， 19 问题3提示：取直线1上一点A,它的单位方向向量用w表 示，过P作PQ⊥（图略），点Q为垂足.这样，要解决的问题 学案14空间中的距离 是：利用直线L上的，点A,直线的单位方向向量u和直线外的 课堂活动 一点P求线段PQ的长度 活动一 问题4提示：作向量AP(图略)，构造Rt△APQ,通过勾股定 新知导学 问题1提示：法一：（几何法）把空间两点放到三角形中，然后 理求出线段PQ的长度，即PQ=√AP?-|AQ12. 利用正弦定理或余弦定理求长度， 新知生成 法二：（向量法）选取空间向量的一组基底，要求该组基底的 垂线段长最短 模已知，夹角已知，然后用基底表示目标向量，求模即可， 新知应用 法三：（坐标法）建系，写出相关点的坐标，利用公式即可求解， 1.C[取AC的中点O,连接OB, 新知生成 则BOLAC,以O为坐标原点， A 建立如图所示的空间直角坐标系 B 线段长 新知应用 Ozyz,OB=3, 1.A[根据题意，AB.AD=0,AB.AP=A正.AD=6, 则A(0,-1,0),B1(3,0,2), 所以A成=2蓝+AD+A), C(0,1,0), 所以AB1=(W3,1,W2),CA=(0 所以AM:-店+A市+A)-子(1A+1AD:+ -2,0), AP:+2AB.AD+2AB.AP+2AP.AD) 所以CA在AB1上的投影的长度为 CA·ABI_26 IAB.I 63, -9+9+16+12+12-里， 故，点C到直线AB1的距离d= -()-4 所以AM=- 30 故选A.] 3 2.B[如图，以B为坐标原点，以BA所在直线为x轴，BE 故选C.] 所在直线为y轴，BC所在直线为之轴，建立空间直角 3 2. [以B为原点，建立如图所示的空 坐标系， 间直角坐标系. 则A1(4,0,1),C1(0,3,1),B(0,0,0), 所以A1C1=(-4,3,0). D 设E满足A1E=AA1C1,且BE⊥A1C1, 则BE=BA1+A1E=(4,0,1)+A(-4,3,0) =(4-4λ，3λ，1)， 又BE⊥A1C, 则A(1,0,0),C(0,0,1), .(4-4入，3入，1)·(-4,3,0)=0， 设CM=tCA,则M(t,0,1-t),B(0,0,0),F(1,1,0),N(t, t,0), 以=岩证=（尝器小 则1MN|=√2+(1-t)产=√22-2t+1(0≤t≤1)， 所以MN∈ =√/)+（爱）+-品 21 故选B.] :点B到直线A,C,的距高为号] 211■ 活动三 课堂达标 新知导学 1.B[P(-2,1,2),A(-1,3,2), 问题5提示：第一步，确定平面&的法向量n; .PA=(1,2,0), 第二步，选择“参考向量”AP; 又n=(一2，一2,1)是平面a的一个法向量， 第三步，确定向量AP在法向量n的投影向量QP; 点P到平面a的距高d=n,P=-2-4+0=2. 第回步，求投彩向量Q驴的模长，得到PQ=户·员 √/4十4十1 故选B.] AP·n_AP·nl 2.A[连接ED1,以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分 n 新知生成 别为x,y,之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 垂线段长最短 新知应用 D B[根据题意可建立如图所示的空间直角坐标系， E G 则D1(0,0,4),E(0,2,1),F(1,1,0), 则E(0,0,2),F(0,2,0),C(2,4,0),G(1,0,2), 所以EF=(0,2,-2),EG=(1,0,0),FC=(2,2,0), 所以ED,=(0,-2,3),EF=(1,-1,-1), 设平面CEF的法向量为n=(x,y,z), 2 1ED1 ED1·EF 所以点D1到直线EF的距离为 n·EF=2y-2x=0, 所以 n·F元=2x+2y=0, 令x=1,可得y=x=-1, /114 所以平面CEF的一个法向量为n=(1,一1，一1)， 1/13 3 所以点G到平面CEF的距离为E正·n_1-区 故选A.] 1n33 3.C[以D为坐标原，点，建立如图所示的空间直角坐标系， 故选B.] 活动四 新知导学 D 问题6提示：在直线上或其中一个平面上取一定点，则该点到 另一个平面的距离即为直线与平面或两平行平面之间的 距离. 新知生成 D 1.距离距离 3.公垂线公垂线段公垂线段 新知应用 B[如图，以D为坐标原点，建立 2 则D,(0,01D,A(1,00,E(0,20,C,0,1,1D, 空间直角坐标系，则D(0,0,0)， G(2,0,1),D1(0,0,2),B1(2,2,2), D DA=(10,-1D,ai=(-1,g0）,C=(o,21) GB1=(0,2,1),GD1=(-2,0,1), A 设平面AEC1的法向量为n=(x,y,z), DD1=(0,0,2), 1 设平面B1D1G的法向量为n= D n·AE=-x+2y=0, 则 (x,y,z), 取n=(1,2,-1), ·GD1=-2x十z=0, n·C=zy+z=0, 则{ n·GB1=2y+之=0， 取x=1,得n=(1,-1,2), 点D,到平面ABC,的距离为DA,n_26 n√6-3 六直线BD与平面B,D,G的距离d=n,DD 4 故选C.] √1+1+4 4.D[连接BD,在等腰梯形ABCD中， -26 取AB的中点N,连接DN,则四边形BCDN为菱形，故DN 3 =2, 故选B.] 又AD=AN=2, 1122 所以△ADN为等边三角形， 所以∠ADN=60°，∠BDN=30°， 故∠ADB=90°， A 所以AD⊥DB. E 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以A1,0,1D,B,1,11),E(0,0,号)，F(1,1,） C1(0,1,1),A(1,0,0), 所以A1B1=(0,1,0), 则D(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2√3,0)，B1(0,2√3,4)，E(2, BE=(-1,-1,-2), 0,2),DE=(2,0,2),DB1=(0,2√3,4)， 设平面EDB1的法向量为n=(x,y,之)， u- 1DE·n=2x+2z=0, 则 DB1·n=2W3y+4z=0, 所以A可《=一子 令y=2,得n=(W3,2,-3), 所以点A1到直线B,E的距离为A1B12-(A1B1·w)2 因为DB=(0,2√3,0)， -- 所以点B到平面EDB,的距离d=n,DB_2V30 5 (2)因为A花=(-1,02)，FC=(-1,0,2), 故选D.] 5.A[由题意知，EF=(-1,1,1),PE=(3,-1,-2), 所以AE∥FC,即AE∥FC1, 所以，点F到直线AE的距离即为直线FC1到直线AE的 则点P到直线EF的距离d= PE PE·EF\2 距离， 震-(9.-(》 故选A.] A正u=0, 5 6号[由题意知，话=(-11,0)，A亡=(-1,02)，A市 所以直线FC,到直线AE的距离为J1AFI2-(AF.u)2 (0,-1,0), 设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z), √-( AB·n=0, (3)设平面AB1E的一个法向量为n=(x,y,之)， 则{ AC.n=0, AE=0,1,D,a2=(-10,2)A=0,01, p仁中 n·AB1=y十之=0， 由 令x=1,得y=12=分 a应-x+2=0, 令x=2,得n=(1,一2,2)，设点A1到平面AB1E的距离 则m=(1,1,） 为d, 因为，点P到平面ABC的距离即为两平行平面间的距离， 所以所求距离为AP·n2 动一不-号两去A,对李雷A,E的压我务号 n n 3] 学案15章末复习提升课 7.10[由题意知，AC=AB+AD+AA,|AC=AB 专题提升 +AD:+AA+2AB.AD+2AD.AA:+2AB.AA:=1+ 专题一 1+4+2+2=10,∴.AC1=√10.] 应用体验1ACD[因为E,F分别为BC,CD的中点， 8.解：(1)以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线为x,y,之 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以示=B前，故A正确： 231■空间中的距离学案14 学案14空间中的距离 听 昆学习任务 记 掌握向量长度计算公式，会用向量方法求两点间的距离、点线距、点面距、线面距和面面距.（直观想 象、数学运算) 课堂活动 活动一求空间中两点之间的距离 c.| D. 阄新知导学 「方法总结」计算两点间的距离的两种方法 阅读教材P55一56，完成下列问题. (I)利用a|2=a·a,通过向量运算求a|,如求 问题1求空间两点之间的距离有哪些方法？ A,B两点间的距离，一般用AB=√AB2= √AB·AB求解. (2)用坐标法求向量的模（或两点间的距离），此法 后新知生成 适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系. 空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的 活动二求点到直线的距离 ,可借助向量构造三角形，利用三角形 阄新知导学 法则求向量的模或建立空间直角坐标系求解. 阅读教材P56一57，完成下列问题. 仓新知应用 问题2求空间点到直线的距离有哪些方法？ 1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正 方形，M是PC的中点，AB=3,AP=4, ∠PAD=∠PAB=60°，则AM= () 问题3给定一条直线1和直线1外一点P,如何： 用向量的方法求点P到直线1的距离？ A.68 2 B.√58 ·2 D.4 2.如图所示的实验装置中，两个互相垂直的正方 形框架的边长均为1，活动弹子M,N分别在 对角线CA,BF上移动，且CM=BN,则MN 问题4为了求线段PQ的长度，如何将“问题3” 的取值范围是 中的条件与线段PQ联系起来？ 4310 人教B版数学选择性必修第一册 听 后新知生成 活动三求点到平面的距离 给定空间中一条直线1及1外一点A,因为1与 询新知导学 记 A能确定一个平面，所以过A可以作直线1的 阅读教材P57一58，完成下列问题， 一条 ,这条垂线段的 称为点 问题5你能类比点到直线的距离公式的推导过 A到直线1的距离，点到直线的距离也是这个 程，推导出点到平面的距离公式吗？ 点与直线上点的 连线的长度， 提醒：(1)点A到直线1的距离公式d= PA·PB ,其中PB为直线L的 任一方向向量， (2)空间两平行直线的距离可转化为点到直线 的距离。 今新知应用 1.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是 新知生成 等边三角形，AA1=√2，AB=2,则点C到直线 给定空间中一个平面a及&外一点A,过A可 AB1的距离为 以作平面α的一条 ,这条垂线段的 称为点A到平面α的距离，点到平面 的距离也是这个点与平面内点的 连线 的长度 如图，A是平面a外一点，B是平 面a内一点，n是平面a的一个 A.⑥ B.23 O 3 3 法向量，则点A到平面α的距离 |BA·nl C.30 D.⑤ d= n· 3 3 2.已知在直三棱柱ABC-A1BC1中，AA1=1, 今新知应用 AB=4,BC=3,∠ABC=90°，则点B到直线 我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功” A,C1的距离为 中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的 「方法总结」用向量法求点到直线的距离的两 四棱锥称为“阳马”.今有“阳马”P-ABCD,PA 种方法 ⊥平面ABCD,PA=AB=4,AD=2,E,F,G (1)利用空间向量找垂线段，再求模即可. 分别为棱PA,AB,PD的中点，则点G到平面 (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在 CEF的距离为 () 直线的方向向量上的投影，利用勾股定理求点到 直线的距离 A.3 1 2 3 C③ 9 0.3 144 空间中的距离学案14 「方法总结」利用向量法求点到平面的距离的 提醒：只有线面（或面面）平行时，才有线面（面 听 一般步骤 面)距离。 笔 (1)建立空间直角坐标系. 今新知应用 (2)求出该平面的一个法向量. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，G为 (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对 AA1的中点，则直线BD与平面GB1D1的距 应的向量， 离为 ( ) (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值 除以法向量的模，即为点到平面的距离。 A 826 3 活动四直线到平面的距离、平面到平面的 C 3 D23 距离的应用 3 阄新知导学 「方法总结」(1)求线面距离可以转化为求直线！ 上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距！ 阅读教材P58一60，完成下列问题. 离的方法求解即可 问题6如何求相互平行的直线与平面或两个平 (2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到 行平面间的距离？ 平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解 即可. 气课堂小结 1.知识清单： 厅新知生成 (1)空间中两点之间的距离. (2)点到直线的距离. 1.当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面 (3)点到平面的距离. 的 称为这条直线与这个平面之间 (4)直线到平面、平面到平面的距离. 的 2.方法归纳：数形结合、转化法 2.当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到 3.常见误区：线到平面、平面到平面的距离，前提 另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的 是线与平面平行、平面与平面平行，并不是所有！ 距离. 的线面、面面都有距离. 3.与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个 平面的 课堂达标 公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平 1.已知平面a的一个法向量n=(-2,一2,1)，点 面的 A(-1,3,2)在a内，则平面外一点P(-2,1,2) 的长即为两个平行平面之间的距离. 到平面a的距离为 4.相互平行的直线与平面之间的距离，相互平行 A.4 B.2 的平面与平面之间的距离，都可以归结成点到 平面的距离. D.3 4510 人教B版数学选择性必修第一册 听 2.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1= 6.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),P(1,-1,0), 课 2AB=4,点E在线段CC1上，且CC,=4CE, 那么过点P且平行于平面ABC的平面与平面 记 F为BD的中点，则点D1到直线EF的距 ABC的距离是 离为 7.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面 A.4 B.4 是边长为1的正方形，AA1=2,且∠A1AD= D.74 3 2 C⑦ 2 ∠A1AB=60°，则线段AC1的长为 3.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 D B 为1，E为CD的中点，则点D1到平面AEC 的距离等于 ( 8.如图，在棱长为1的正方 D 体ABCD-A1B1C1D1中， D它 E E为线段DD1的中点， F为线段BB1的中点. A c D.6 (1)求点A1到直线B1E 4 的距离； 4.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面AB (2)求直线FC1到直线AE的距离； CD为等腰梯形，AB∥CD,AD=DC=BC=2, (3)求点A1到平面AB1E的距离. AB=A1A=4,E为棱AA1的中点，则点B到 平面EDB1的距离为 D A.5 B.2√2 C.√6 D.230 5.空间内有三点P(-1,2,3),E(2,1,1),F(1, 2,2),则点P到直线EF的距离为 ( A.√2 B.3 C.2√2 D.23 课后反思 1146