1.2.3 直线与平面的夹角-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

1.2.3直线 学习目标 1.理解斜线和平面所成的角的定义，体 会夹角定义的唯一性、合理性 2.会求直线与平面的夹角. 要点精析 川要点1直线与平面的夹角 1.垂线与平面所成的角：一条直线垂直 于平面，则它们所成的角是90°. 2.一条直线和平面平行或在平面内，则 它们所成的角为0 3.斜线和平面所成的角：一条直线与平 面相交，但不和平面α垂直，这条直线称 为平面的斜线.斜线与平面α的交点称为 斜足，过斜线上斜足以外的点向平面引垂 线，过垂足与斜足的直线称为斜线在平面α 内的射影.平面的一条斜线和它在平面内的 射影所成的角，称为这条斜线和这个平面所 成的角 4.斜线和平面所成角的范围为(0°， 90°). 思考用定义法求直线与平面夹角的 关键是什么？ 例1如图1-2-11所示， 在三棱锥PABC中，PA⊥平 面ABC,PA=AB,∠ABC= 60°，∠BCA=90°. (1)求证：BC⊥平面PAC;图1-2-11 (2)若D为PB的中点，试求AD与平 第一章空间向量与立体几何。 与平面的夹角 面PAC夹角的正弦值. 分析(1)证明BC和平面PAC内的 两条相交直线垂直， (2)作出AD在平面PAC内的射影后， 构造三角形求解」 反思感悟 找直线在平面内的射影，充分利用面 面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角. B变式训练① 在长方体ABCD-ABCD1中，BD与平 面ABCD和平面AABB所成的角均为30°， 则() A.AB=2AD B.AB与平面AB1CD所成的角为30° C.AC=CB D.BD与平面BBCC所成的角为45° 学 (19 高中数学选择性必修第一册人教B版 川要点2最小角定理 如图，AB⊥a,则图中0,01， 0,之间的关系是cos0=cos01 线线角、线面 cosb 角的关系式 最 角 最小角 平面的斜线和它在平面内的射影所 成的角，是斜线和这个平面内所有 定理 直线所成角中最小的角 例2∠BOC在平面a内，OA是平面 的一条斜线，若∠AOB=∠AOC=60°，OA= OB=OC=a,BC=V2a,求OA与平面a所 成的角 反思感悟 求线面角的关键是确定斜线在平面上 射影的位置，只有确定了射影，才能将空 间角转化为平面角.在本例中，也可以直接 作AH⊥BC于H,进而证明AHL平面， 从而证明H是点A在平面α内的射影.灵 活应用公式cos0=cos0,·cos02求线面角，也 是常用的方法 20)学 B变式训练2 如图1-2-12所示，在四棱锥P-ABCD中， 四边形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD. 若∠PBC=60°，求直线PB与平面ABCD所 成的角0. 图1-2-12 川要点3用空间向量求直线与平面的夹角： 如果v是直线l的一个方向向量，n是平 面x的一个法向量，设直线I与平面x所成角 的大小为0，则=受-(，m)或=(，n)- 受特别地，cos0-sin,m》或si-cos,mL 思考直线1的方向向量y与平面的法 向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗？ 例3如图1-2-13，在直三棱柱ABC ABC中，AC⊥BC,AC=BC=1,CC=2,点M 是AB1的中点. (1)求证：BC∥平面ACM; (2)求AA,与平面ACM所成角的正 弦值. 图1-2-13 反思感悟 用向量法求线面角的步骤： (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的方向向量AB (3)求平面的法向量n. (4)计算：设线面角为0，则sin0= In-ABI IrllA BI 第一章空间向量与立体几何。 B变式训练③ (多选题)如图1-2-14，在正四面体 ABCD中，E,F分别为AB,CD的中点，则 () 图1-2-14 A.直线EF与AB所成的角为T B.直线EF与AD所成的角为平 C.直线EF与平面BCD所成的角的正 弦值为V3 3 D.直线EF与平面ABD所成的角的正 弦值为V② 2 数学文化 例中国是风筝的故乡，南方称风筝为 “鹞”，北方称风筝为“鸢”.如图，某种风 筝的骨架模型是四棱锥P-ABCD,其中ACL BD于点0，OA=OB=OD=4,0C=8,P0⊥平 面ABCD 图1-2-15(A) 图1-2-15(B) (1)求证：PD⊥AC; 学 21 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 (2)试验表明，当P0=104时，风筝 表现最好，求此时直线PD与平面PBC所成 角的正弦值 分析(1)利用PO⊥平面ABCD可 得PO⊥AC,再利用AC⊥BD即可. (2)以0为坐标原点，分别以OB, OC,OP的方向为x轴、y轴、z轴的正方 向，建立空间直角坐标系即可求出；或 利用等体积法V三被锥PCD=V三校锥DHC也可. , 22)学高中数学选择性必修第一册人教B版 故BF=(-7,7,0),AD=(-2,0,3), 故AD.BF-14 1.2.3直线与平面的夹角 要点精析 例1(1)证明：PA⊥平面ABC,BCC平面ABC, .PA⊥BC. 又∠BCA=90°，AC⊥BC.又ACC平面PAC, PAC平面PAC,PA∩AC=A,.BC⊥平面PAC. (2)解：如图所示，取PC的中点 E,连接DE D为PB的中点，.DE∥BC .DE⊥平面PAC. 连接AE,则AE是AD在平面 PAC内的射影， 例1答图 ..∠DAE是直线AD与平面PAC的夹角. 设PA=AB=a,在Rt△ABC中， LABC=60°，∠BCA=90°，：BC=号，DE=4 A 在Rt△ABP中，AD=V2。 2a, ∴sin∠DAE-DE、 4 =V2 AD V2 4 2 -a 即AD与平面PAC夹角的正弦值为V 4 变式训练1D【解析】连接 D BD,BD,BB1⊥平面ABCD, DA⊥平面AAB,B,所以BD与 平面ABCD和平面AABB所成 的角分别为∠BDB,∠ABD, .∠BDB=∠ABD=30° 变式训练1答图 设AD=1,则AB1=V3,BD=2,BB=1,BD= V3,AB=V2.AB=V2AD,故A错误； 易求AC=V3,CB,=V2,AC≠CB,故C错 误；过B作BH⊥AB,交AB,于H,.∠HAB为AB 与平面AB,CD所成的角，：BH=ABBB=V6 AB :sin∠HAB=B盟=Y3,故B错误： ΓAB3 又∠DBC为BD与平面BBCC所成的角， n∠B品-竖，∠DR45,故D正确 例2解：方法一：OA=0B=0C=a, 28 ∠AOB=∠AOC=60°，.AB=AC=a. 又BC=V2a,.AB2+AC-BC .△ABC为等腰直角三角形. 同理△BOC也为等腰直角三角形 如图所示，取BC的中点H, 连接AH,OH. 例2答图 On-,A0m. AH2+OH2-AO. ∴.△AHO为等腰直角三角形.AH⊥OH 又AH⊥BC,OHnBC=H,∴AH⊥平面a .OH为A0在平面内的射影，∠AOH为OA与平 面α所成的角。 在Rt△AOH中，.sin/AOH=4-V2 A0-21 .∠A0H=45°..0A与平面所成的角为45° 方法二：.∠AOB=∠AOC=60°， .OA在c内的射影为∠BOC的平分线 作∠BOC的平分线OH交BC于H, 又.OB=0C-a,BC=V2a,∴.∠B0G-90, 故∠B0H=45°.由公式cos0=cos0cosA, 得cos∠A0H=Cos∠A0B=V2 Cos∠B0H2, .OA与平面所成的角为45° 变式训练2解：由题意得∠CBD=45°， ∠PBD即为直线PB与平面ABCD所成的角O ·.cos∠PBC=cos0Cos∠CBD,∠PBC=60°. 即cos60°=c0s0-c0s45°，c0s0=Y2,0=45. 2 例3(1)证明：在直三棱柱ABC-ABC中，AC⊥ BC,AC=BC=1,CC=2,点M是AB1的中点 以C为原点，建立如图所示的 空间直角坐标系， 则B(0,1,2),C(0,0,0) A(1,0,0),C(0,0,2), A(1,0,2), M3,3,2 例3答图 BC=(0,-1,-2),AC1=(-1,0,2), am3,分2 设平面ACM的法向量n=(x,y,z), n·AC1=-x+2z=0, 取z=1,得n=(2,-2,1). BCn=0,BC4平面ACM,BC∥平面ACM. (2)解：AA1=(0,0,2),平面ACM的一个法向 量n=(2,-2,1), 设AA,与平面ACM所成角为0， 则AA,与平面ACM所成角的正弦值为 sine-An21 IAA,'llnl 2x33' :AM,与平面AC,W所成角的正弦值为号 变式训练3ABC【解析】可以 把正四面体ABCD放在正方体 AGBH-MCND中，设正方体的棱 长为2，以A为坐标原点，AG, A日，AM所在直线分别为x,y, z轴建立如图所示的空间直角坐 变式训练3答图 标系，则A(0,0,0),B(2, 2,0),C(2,0,2),D(0,2,2),E(1,1,0), F(1,1,2). 对于A,EF=(0,0,2),AB=(2,2,0),.EF.AB= 0,所以EFLAB,即直线EF与AB所成的角为7，A对： 对于B,AD=(0,2,2),则cos(EF,AD)= 哥品2行学，直战r与0前减 EF.AD 为平，B对： 对于C,BC=(0,-2,2),BD=(-2,0,2), 设平面BCD的法向量为m=(x,1,z),则 mBC=-2+2a=0,取l,可得m=(1,1,1),所以 m-BD=-2+2a=0, m厘，。，直线 平面BCD所成角的正弦值为Y,C对： 对于D,设平面ABD的法向量为n=(2,2,2), 则 nAB=22+2y2=0, 取=1，n=(1,-1,1), nAD=2y2+2a=0, cos尿，n=F”=Y放D错误放选ABC 参考答案。 数学文化 (1)证明：PO⊥平面ABCD,ACC平面ABCD, ..PO⊥AC. 又.AC⊥BD,PO∩BD=O,POC平面PBD,BDC 平面PBD,.AC⊥平面PBD. 又PDC平面PBD,∴PD⊥AC. (2)解：方法一：如图1所示，以0为坐标原点， 分别以0B,OC,OP的方向为x轴、y轴、z轴的正方 向，建立空间直角坐标系0-，则B(4,0,0), C(0,8,0),D(-4,0,0),P(0,0,2), .PB=(4,0,-2),PC=(0,8,-2),PD=(-4,0, -2). 设m=(a,b,c)为平面PBC的法向量， m-PB=0.即 4a-2c=0. 则 m.PC-0. 8b-2c=0, 令c=4,则m=(2,1,4). 设直线PD与平面PBC所成角为O, sin0-IPD ml1-4x2+0x1-2x48V105 IPD llml V16+4xV4+1+16 105 方法二：如图2所示， 在Rt△POB中，由PB=PO+OB,得PB=2V5. 在Rt△POC中，由PC=PO2+OC,得PC=2V17 在Rt△POD中，由PD=PO+OD2,得PD=2V5. 在Rt△BOC中，由BC=BO+OC,得BC=4V5. 在△PBC中，由余弦定理，得 cos∠PBC-PB+BC-PC2 2PB·BC -(2V5+(4V52(2V1722 22V5×4V5 -5’ 'sin L PBC=VI-cosL PBC=V2I 5, Sam=号PB,Bc,sm∠PBC=7×2V5x4V万× V21=4V21. 设点D到平面PBC的距离为h, 由V三棱继rB广V三棱继P, 得写×分XBDx000r号xSmh, h=BDXOCxOP__8x8x216V2T 2SAP 2x4V21 21 设直线PD与平面PBC所成的角为0， 29 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 1621 则sin止h三 21 -8V105 PD 2V5 105 B 1 图1 图2 例题答图 1.2.4二面角 要点精析 例1解：如图所示，取AC的中点D, 连接OD,PD. PO⊥底面，PO⊥AC, OA=0C,D为AC的中点， ..OD⊥AC. 又.P0∩OD=0 例1答图 .AC⊥平面POD,则AC⊥PD ·.∠PDO为二面角PAC-B的平面角. ,△PAB是边长为2的正三角形，CO⊥AB .P0=V3,0A=0C=1,OD=V2 2 则mVY要- 2 ∴sinPDO=P%-V3=V42 PD 14 7 2 ·二面角PAC-B的正弦值为V42 7 变式训练1 弓【解析】如图， 过A作AO⊥BD,交BD于O, 连接PO,矩形ABCD的两边 O AB=3,AD=4,PA⊥平面ABCD. 变式训练1答图 且M=号，BD=V34=5,m1BD,∠m1是二面 角A-BD-P的平面角.：)BDA0=号ABAD,A0= n人m1-得是号三面角4 4 AB·AD=12 1 BD 5 BDP的正切值为号 例2(1)证明：·四边形ACCA1和四边形BDDB1均 30 为矩形，.CC⊥AC,DD1⊥BD. 又CC1∥DD1∥00，∴.001⊥AC,001⊥BD. .AC∩BD=O,.OO⊥底面ABCD (2)解：四棱柱的所有 棱长都相等，.四边形ABCD 为菱形，AC⊥BD.又O,0⊥ 底面ABCD,.0B,OC,OO 两两垂直.如图所示，以O为 原点，OB,0C,O0所在直 B 线分别为x轴、y轴、z轴，建 例2答图 立空间直角坐标系 设棱长为2，∠CBA=60°，.OB=V3，,OC=1, .0(0,0,0),B(V3,0,2),C(0,1,2), 平面BDDB的一个法向量为=(0,1，O). 设平面OCB的法向量为=(x,y,z), 则由m⊥0B,m10C,得V3x+2z=0,y+2z=-0, 取z=-1V3,则=2，y=2V3, ∴m=(2,2V3,-V3), m加，m品-语2得 由图形可知二面角COB-D的大小为锐角，∴.二面 角Cr0BD的余弦值为2V面 19 变式训练2解：(I)如图，连接BD.PD⊥平面 ABCD,AMC平面ABCD,AM⊥PD,又由题知， AM⊥PB,且PB∩PD=P,.AM⊥平面PDB,BDC平面 PDB,.AM⊥BD 由题知：PD⊥平面ABCD, 且矩形ABCD中，AD⊥DC,所 以AD,PD,DC两两垂直.以D 为坐标原点，DA,DC,DP所 在直线分别为x轴、y轴、z轴 建立空间直角坐标系.设BC= 2x,则D(0,0,0),A(2x,0, 0),B(2x,1,0),M(x,1,0), 变式训练2答图 所以AM=(-x,1,0),DB=(2x,1,0),AM1DB, (←x,1,0)(2x,10)=0,解得x=2（负值舍 2 去)，以BC=V2 (2)由(1)知，A(V2,0,0),B(V2,1,0), c0,1,0),P0.0,1),MY,1,0,则A 2