1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量的坐标表示、线性运算及空间直角坐标系，通过飞机航线位置确定的情境导入，从平面向量自然过渡到空间向量，搭建知识联系支架，帮助学生构建空间概念。 其亮点在于以情境问题驱动（数学眼光），通过题型分类与规律总结培养逻辑推理（数学思维），n维向量推广拓展认知（创新意识）。如正方体中点坐标确定实例，教师可借分层作业提升教学效率，学生能深化空间想象与运算能力。

1.1　空间向量及其运算 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 第一章　空间向量与立体几何 1 课标要求 1.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示（直观想象）. 2.掌握空间向量线性运算的坐标表示（数学运算）. 3.掌握空间向量数量积的坐标表示，并利用数量积判断两向量的共线与垂直（数学运算、直观想象）. 4.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性， 会用空间直角坐标系刻画点的位置（直观想象）. 5.借助特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式（数学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 拓视野 向量概念的推广 课时作业 基础落实 >> 目录 4 　　飞机的飞行速度非常快，有很多飞机时速都在1 000 km以上，而全世 界飞机这么多，这些飞机在空中风驰电掣，速度是如此的快，岂不是很容 易撞机吗？但事实上，飞机的失事率是极低的，比火车、汽车要低得多， 原因是飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行，而在划定某条航线时，不 仅要指出航线在地面上的经度和纬度，还要指出航线距离地面的高度. 【问题】　（1）只给飞机所在位置的经度和纬度，能确定飞机的位 置吗？ （2）要确定飞机的位置，还需要知道什么？ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 知识点一　空间向量的坐标及运算 1. 空间向量的坐标 （1）单位正交基底：如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都 是单位向量，且这三个向量两两 ⁠； （2）单位正交分解：在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交 分解； （3）向量p的坐标：在单位正交基底下向量p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序 实数组 为向量p的坐标，记作p＝ .其 中x，y，z都称为p的坐标分量. 垂直　 （x，y，z）　 （x，y，z）　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 空间向量的运算与坐标的关系 设a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），则 （1）a＋b＝ ⁠； （2）μa＋vb＝ ⁠； （3）a·b＝ ⁠； （4）｜a｜＝ ＝ ； （5） cos ＜a，b＞＝ ＝ . （x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2）　 （μx1＋vx2，μy1＋vy2，μz1＋vz2）　 x1x2＋y1y2＋z1z2　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 设a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），则 （1）a∥b⇔a＝λb⇔ 且 且 （λ∈R）； （2）a⊥b⇔ ⇔ ⁠. 提醒：空间向量坐标运算实质上是平面向量坐标运算的推广（只是在平面 向量坐标的基础上增加了一个竖坐标），与平面向量的坐标运算相比，空 间向量的坐标运算适用范围更广，它可以解决立体几何中的相关问题. x1＝λx2　 y1＝λy2　 z1＝λz2　 a·b＝0　 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【想一想】 　若a＝xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标一定是（x，y，z）吗？ 提示：不一定，当e1，e2，e3是单位正交基底时，坐标是（x，y，z）， 否则不是. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 知识点二　空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系 （1）空间直角坐标系：在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合 适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的 数轴z轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz； （2）相关概念： 叫作坐标原点， ⁠叫作坐标 轴.通过 的平面叫作坐标平面，分别称为 ⁠平 面、 平面、 平面. 提醒：在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°（或 45°），∠yOz＝90°，所以三个坐标平面把空间分成八个部分. 点O　 x轴，y轴，z轴　 每两个坐标轴　 xOy　 yOz　 zOx　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 空间向量坐标的应用 若A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）. （1）AB＝｜ ｜＝ ⁠； （2）若M为线段AB的中点，M的坐标为 ⁠ ⁠. 　 （ ， ， ）　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【想一想】 　坐标平面与坐标轴上的点的坐标有什么特征？ 提示：（1）xOy平面是坐标形如（x，y，0）的点构成的点集；yOz平面 是坐标形如（0，y，z）的点构成的点集；xOz平面是坐标形如（x，0， z）的点构成的点集.其中x，y，z为任意的实数； （2）x轴是坐标形如（x，0，0）的点构成的点集；y轴是坐标形如（0， y，0）的点构成的点集；z轴是坐标形如（0，0，z）的点构成的点集.其 中x，y，z∈R. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）空间直角坐标系中，向量 的坐标与终点B的坐标相同. （　×　） （2）空间直角坐标系中，在Ozx平面内的点的坐标一定是（a，0，c）的 形式. （　√　） × √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （3）空间直角坐标系中，点（1， ，2）关于Oyz平面的对称点为（－ 1， ，2）. （　√　） （4）设a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），若a∥b，则 ＝ ＝ . （　×　） √ × 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知a＝（1，－2，1），a＋b＝（－1，2，－1），则b＝（　　） A. （2，－4，2） B. （－2，4，－2） C. （－2，0，－2） D. （2，1，－3） 解析：　b＝（a＋b）－a＝（－1，2，－1）－（1，－2，1）＝（－ 2，4，－2）. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 已知向量a＝（－2，x，2），b＝（2，1，2），c＝（4，－2，1）， 若a⊥（b－c），则x的值为（　　） A. －2 B. 2 C. 3 D. －3 解析：　∵b－c＝（－2，3，1），∴a·（b－c）＝4＋3x＋2＝0， ∴x＝－2. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 设A（3，2，1），B（1，0，5），C（0，2，1），AB的中点为M， 则｜ ｜＝ ⁠. 解析：由题意，得AB的中点M（2，1，3），所以｜ ｜＝ ＝3. 3　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 典例研析 >> 目录 18 题型一　空间向量的坐标运算 （1）已知a＝（－1，2，1），b＝（2，0，1），则（2a＋ 3b）·（a－b）＝ ⁠； 解析： 易得2a＋3b＝（4，4，5），a－b＝（－3，2，0），则 （2a＋3b）·（a－b）＝4×（－3）＋4×2＋5×0＝－4. －4　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）若2a－b＝（2，－4，3），a＋2b＝（1，3，－1），则 cos ＜a， b＞＝ ⁠. 解析： 设a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），由题设可得 解得 同理可得y1＝－1，y2＝2，z1＝1，z2＝－ 1，即a＝（1，－1，1），b＝（0，2，－1），则a·b＝0－2－1＝－ 3，｜a｜＝ ，｜b｜＝ ，所以 cos ＜a，b＞＝ ＝－ . － 　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 关于空间向量坐标运算的两类问题 （1）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空 间向量坐标运算公式计算； （2）由条件求向量或点的坐标：首先把向量坐标形式设出来，然后通过 建立方程组，解方程组求出其坐标. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 若向量a＝（1，－1，2），b＝（2，1，－3），则｜2a＋b｜＝ （　　） A. B. 2 C. 3 D. 3 解析：　由于向量a＝（1，－1，2），b＝（2，1，－3），所以2a＋b ＝（4，－1，1），所以｜2a＋b｜＝ ＝3 . √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 〔一题多解〕已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是（2， －1，2），（4，5，－1），（－2，2，3），则适合条件 ＝ （ － ）的点P的坐标为 ⁠. 解析：法一（直接法）　因为 ＝ （ － ），所以 － ＝ ， ＝ ＋ （ － ）＝（2，－1，2）＋ [（4，5，－1）－ （－2，2，3）]＝（5， ，0），所以点P的坐标为（5， ，0）. （5， ，0）　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 法二（间接法）　设P（x，y，z），则 ＝（x－2，y＋1，z－2）. 因为 ＝ （ － ）＝（3， ，－2），所以 解得 则点P的坐标为（5， ，0）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 题型二　空间中点的坐标确定及应用问题 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的 中点，G在棱CD上，且CG＝ CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐 标系，写出E，F，G，H的坐标.并求GH的长度. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解：建立如图所示的空间直角坐标系.点E在z轴上， 它的x坐标，y坐标均为0，而E为DD1的中点， 故其坐标为（0，0， ）. 过F作FM⊥AD于点M，FN⊥DC于点N，由平面几 何知FM＝ ，FN＝ ，则F点坐标为（ ， ，0）. 点G在y轴上，其x，z坐标均为0，又GD＝ ，故G点坐标为（0， ，0）. 过H作HK⊥CG于点K，由于H为C1G的中点，故HK＝ ，CK＝ . ∴DK＝ ，故H点坐标为（0， ， ）. ｜GH｜＝ ＝ . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 1. 建立空间直角坐标系时应遵循的原则 （1）让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； （2）充分利用几何图形的对称性. 2. 求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其 两个坐标，再找出它在另一轴上的射影（或者通过它到这个坐标平面的距 离加上正负号），确定第三个坐标. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 如图，建立空间直角坐标系Oxyz.正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，顶点 A位于坐标原点. （1）若E是棱B'C'的中点，F是棱B'B的中点，G是侧面CDD'C'的中心， 则分别求出向量 ， ， 的坐标； 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解： 因为E是棱B'C'的中点，F是棱B'B的中点， G是侧面CDD'C'的中心， 所以O（0，0，0），E（1， ，1），F（1，0， ），G（ ，1， ）. 所以 ＝（1， ，1）， ＝（1，0， ）， ＝（ ，1， ）， ＝ － ＝（－ ，1，0）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）在（1）的条件下，分别求出（ ＋ ）· ，｜ ｜的值. 解：由（1）可得（ ＋ ）· ＝（ ， ， ）·（－ ，1，0）＝ ×（－ ）＋ ×1＋ ×0 ＝ . ＝（－ ， ，－ ）， 所以｜ ｜＝ ＝ . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 题型三　空间向量的平行与垂直 已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0， 4），设a＝ ，b＝ . （1）若｜c｜＝3，c∥ .求c； 解： 因为 ＝（－2，－1，2），且c∥ ， 所以设c＝λ ＝（－2λ，－λ，2λ）， 得｜c｜＝ ＝3｜λ｜＝3， 解得λ＝±1.即c＝（－2，－1，2）或c＝（2，1，－2）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. 解： 因为a＝ ＝（1，1，0），b＝ ＝（－1，0，2）， 所以ka＋b＝（k－1，k，2），ka－2b＝（k＋2，k，－4）. 又因为（ka＋b）⊥（ka－2b）， 所以（ka＋b）·（ka－2b）＝0. 即（k－1，k，2）·（k＋2，k，－4）＝2k2＋k－10＝0. 解得k＝2或k＝－ .故所求k的值为2或－ . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【母题探究】 （变条件）若将本例（1）中“c∥ ”改为“c⊥a且c⊥b”，求c. 解：a＝ ＝（1，1，0），b＝ ＝（－1，0，2）. 设c＝（x，y，z）. 由题意得 解得x＝2，y＝－2，z＝1或x＝－2，y＝2，z＝－1， 即c＝（2，－2，1）或c＝（－2，2，－1）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 判断空间向量垂直或平行的步骤 （1）向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行； （2）向量关系代数化：写出向量的坐标； （3）对于a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），根据两向量坐标间的 关系判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2（λ∈R）或 ＝ ＝ （x2，y2，z2都不为0）判断两向量是否平行.根据x1x2＋y1y2＋ z1z2＝0判断两向量是否垂直. 　　由空间向量垂直或平行求值只需根据垂直或平行的条件建立方程 （组）求解即可. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 已知向量a＝（－2，3，－1），b＝（4，m，n），且a＝tb，其中 m，n∈R，则m＋n＝（　　） A. 4 B. －4 C. 2 D. －2 解析：　因为向量a＝（－2，3，－1），b＝（4，m，n），且a＝ tb，可得a∥b，所以 ＝ ＝ 可得 所以m＋n＝－6＋2＝－ 4，故选B. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. （2026·沈阳联考）已知向量a＝（1，m，－1），b＝（1，－1， 1），若（a＋b）⊥b，则m＝（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. －1 解析：　因为a＝（1，m，－1），b＝（1，－1，1），所以a＋b＝ （2，m－1，0），又因为（a＋b）⊥b，所以（a＋b）·b＝2×1＋ （m－1）×（－1）＋0×1＝0，解得m＝3.故选B. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 题型四　利用坐标运算解决空间向量的夹角、距离问题 如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点.求： （1）BN的长； （1） ＝（1，－1，1），∴｜ ｜＝ ＝ ，即｜BN｜＝ . 解：如图，以 ， ， 所在的直线为坐标轴建立 如图所示的空间直角坐标系Cxyz. 则C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），A1 （1，0，2），B1（0，1，2），N（1，0，1）， 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2） cos ＜ ， ＞的值. 解： ＝（1，－1，2）， ＝（0，1，2）， ∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ＝ . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 1. 利用向量数量积的坐标求两向量夹角的步骤 （1）根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系； （2）利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标； （3）利用向量数量积的坐标公式求得向量的夹角. 2. 利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤 （1）建立适当的空间直角坐标系； （2）求出线段端点的坐标； （3）利用向量的模长公式（或两点间的距离公式）求出线段的长. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 　如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1， A1C的中点E到AB的中点F的距离为（　　） A. 2 B. C. 2 D. 1 √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2， ∴A1（2，0，2），C（0，2，0），∴A1C的中点E（1，1，1），A （2，0，0），B（2，2，0），∴AB的中点F（2，1，0），∴A1C的中 点E到AB的中点F的距离为｜EF｜＝ ＝ .故选B. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 拓视野 向量概念的推广 目录 43 我们已经知道，（1）直线l以及这条直线上一个单位向量e，对于直线l上 的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时称x为向量 a在直线l上的坐标，直线上的向量又称为一维向量，用该坐标x即可表示 a的方向，又可以求得｜a｜；　 （2）平面向量a可以用含两个实数的有序实数对（x，y）表示，即a＝ （x，y），（x，y）称为平面向量a的坐标，此时的向量又称为二维向 量，用该坐标可以表示a的方向，也可求｜a｜； （3）空间向量a可用含三个实数的有序实数组（x，y，z）表示，即a＝ （x，y，z），（x，y，z）称为空间向量a的坐标，此时的向量a称为 三维向量，用该向量的坐标可以表示a的方向，也可求｜a｜. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【问题探究】 向量的概念可由一维推广到二维、三维向量，那么对于现实生活中的实际 问题，涉及到需要四个或四个以上的量来表示，此时向量的概念是否可以 再进一步推广？ 结论：用n元有序实数组（a1，a2，…，an）表示n维向量，它构成了n维 空间，a＝（a1，a2，…，an ）. 对于n维空间的向量也可以定义加、减、数乘、数量积及模运算. 设a＝（a1，a2，…，an），b＝（b1，b2，…，bn）， 那么a±b＝（a1±b1，a2±b2，…，an±bn）， λa＝λ（a1，a2，…，an）＝（λa1，λa2，…，λan），λ∈R， 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 a·b＝（a1，a2，…，an）·（b1，b2，…，bn）＝a1b1＋a2b2＋…＋ anbn， ｜a｜＝ ， n维空间中A（a1，a2，…，an），B（b1，b2，…，bn）两点间的距 离｜AB｜＝ . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【迁移应用】 　设a＝（a1，a2，a3，a4，…，an），b＝（b1，b2，b3，b4，…，bn） （n∈N且n≥2），规定向量a与b夹角θ的余弦为 cos θ＝ .当a＝（1，1，1，1，…，1），b ＝（－1，－1，1，1，…，1）时， cos θ＝（　　） A. B. C. D. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　因为a＝（a1，a2，a3，a4，…，an），b＝（b1，b2，b3， b4，…，bn）， aibi＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝1×（－1）＋1× （－1）＋1×1＋…＋1×1＝n－4， ＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝12 ＋12＋12＋…＋12＝n， ＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝12＋12＋12＋… ＋12＝n，所以 cos θ＝ ＝ ，故选D. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），则3a＋b＝（　　） A. （－2，－3，－2） B. （2，3，2） C. （－2，3，2） D. （4，3，2） 解析：　3a＋b＝3（1，1，0）＋（－1，0，2）＝（3，3，0）＋（－ 1，0，2）＝（2，3，2）. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 在空间直角坐标系中，点P（1，3，－5）关于平面xOy对称的点的坐 标是（　　） A. （－1，3，－5） B. （1，3，5） C. （1，－3，5） D. （－1，－3，5） 解析：　P（1，3，－5）关于平面xOy对称的点的坐标为（1，3，5）. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB的中点M到 点C的距离｜CM｜＝（　　） A. B. C. D. 解析：　由已知得中点M（2， ，3），｜CM｜＝ ＝ . √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 已知a＝（1，2，－y），b＝（x，1，2）且（a＋2b）∥（2a－ b），则x＝ ，y＝ ⁠. 解析：由题意知，a＋2b＝（2x＋1，4，4－y），2a－b＝（2－x，3， －2y－2）.∵（a＋2b）∥（2a－b），∴存在实数λ，使a＋2b＝λ（2a －b）， ∴ 解得 　 －4　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 课时作业 >> 目录 53 1. 在空间直角坐标系中，已知点P（－1，1，2），则下列说法错误的是 （　　） A. 点P关于坐标原点对称的点的坐标为（1，－1，－2） B. 点P关于Oyz平面对称的点的坐标为（1，1，2） C. 点P在Oyz平面上的射影点的坐标为（0，1，2） D. 点P在x轴上的射影点的坐标为（1，0，0） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　对于选项A，点P关于坐标原点对称的点的坐标为（1，－1，－ 2），故A正确；对于选项B，点P关于Oyz平面对称的点的坐标为（1， 1，2），故B正确；对于选项C，点P在Oyz平面上的射影点的坐标为 （0，1，2），故C正确；对于选项D，点P在x轴上的射影点的坐标为 （－1，0，0），故D错误.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知空间直角坐标系中的三点A（0，－3，－2），B（2，－6，－ 1），C（－1，－5，1），则△ABC为（　　） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 解析：　由题可得 ＝（－2，3，－1）， ＝（－3，1，2）， ＝ （－1，－2，3），经计算，｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝ ，所以 △ABC是等边三角形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 已知空间向量a＝（1，m，2），b＝（－2，4，n），若a∥b，则m ＋n＝（　　） A. －4 B. －6 C. 4 D. 2 解析：　由a∥b，知∃λ∈R，使得a＝λb，即（1，m，2）＝λ（－2， 4，n），所以 解得 所以m＋n＝－6. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a，b＋c，b－c}是空间的另一 个基底.若向量p在基底{a，b，c}下的坐标为（2，3，－1），则向量p 在基底{a，b＋c，b－c}下的坐标是（　　） A. （2，－1，－2） B. （2，－1，2） C. （2，1，－2） D. （2，1，2） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　∵向量p在基底{a，b，c}下的坐标为（2，3，－1），∴p＝ 2a＋3b－c.设向量p在基底{a，b＋c，b－c}下的坐标是（x，y， z），则p＝2a＋3b－c＝xa＋y（b＋c）＋z（b－c）＝xa＋（y＋ z）b＋（y－z）c，∴ 解得 即坐标是（2，1， 2）. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 5. 设x，y∈R，向量a＝（x，1，0），b＝（2，y，2），c＝（1，－ 2，1），且a⊥b，b∥c，则｜a＋b｜＝（　　） A. B. C. D. 2 解析：　因为向量a＝（x，1，0），b＝（2，y，2），c＝（1，－2， 1），且a⊥b，b∥c，所以 解得y＝－4，x＝2，所 以向量a＝（2，1，0），b＝（2，－4，2），所以a＋b＝（4，－3， 2），所以｜a＋b｜＝ ＝ ，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 6. 已知O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，－1，1）， ＋λ 与 的夹角为 ，则λ＝（　　） A. ± B. C. － D. ± √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　因为O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，－1，1），所以 ＝（1，0，0）， ＝（0，－1，1），故 ＋λ ＝（1，0，0）＋ λ（0，－1，1）＝（1，－λ，λ），所以｜ ＋λ ｜＝ ＝ ，｜ ｜＝ ＝ ， （ ＋λ ）· ＝1×0＋（－λ）×（－1）＋λ×1＝2λ，所以 cos ＜ ＋λ ， ＞＝ ＝ ，因为 ＋λ 与 的夹角为 ，所以 cos ＝ ＝ ，解得λ＝± ，经检验λ＝－ ，不合题意，舍去，所以λ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 7. 〔多选〕已知空间向量a＝（－2，－1，1），b＝（3，4，5），则下 列说法正确的是（　　） A. c＝（－3，1，8）与a，b共面 B. a在b上的投影向量的模是 C. （2a＋b）∥a D. a与b夹角的余弦值是－ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析： 　对于A，因为空间向量a＝（－2，－1，1），b＝（3，4， 5），c＝（－3，1，8），所以c＝3a＋b，因此c与a，b共面，即A正 确；对于B，a在b上的投影向量的模是｜｜a｜ cos ＜a，b＞｜＝ ＝ ＝ ，即B正确；对于C，易知2a＋b＝（－1， 2，7），易知 ≠ ≠ ，因此（2a＋b）∥a不成立，即C错误；对于 D，a与b夹角的余弦值 cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝ － ，即D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 8. 已知向量a＝（－2，－3，1），b＝（2，0，3），c＝（0，0，2）， 则a＋6b－c的坐标为 ⁠. 解析：∵a＝（－2，－3，1），b＝（2，0，3），c＝（0，0，2）， ∴a＋6b－c＝（－2，－3，1）＋（12，0，18）－（0，0，2）＝（10， －3，17）. （10，－3，17）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 9. 已知a＝（－2，4，2），b＝（－1，x－1，1），若a与b的夹角为锐 角，则实数x的取值范围为 ⁠. 解析：因为a＝（－2，4，2），b＝（－1，x－1，1），且a与b的夹角 为锐角，则a·b＝2＋4（x－1）＋2＝4x＞0，解得x＞0，且a与b不共 线，若a与b共线，则 ＝ ＝ ，解得x＝3，故当a与b不共线时， x≠3，综上所述，实数x的取值范围是（0，3）∪（3，＋∞）. （0，3）∪（3，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 10. 已知向量a＝（1，1，3），b＝（－2，1，1），c＝（－1，x，3）. （1）当｜c｜＝ 时，若向量ka－b与c垂直，求实数k的值； 解： 因为｜c｜＝ ，所以 ＝ ，解得x＝ 0，即c＝（－1，0，3）. 由ka－b＝（k＋2，k－1，3k－1），且（ka－b）⊥c， 得（ka－b）·c＝－（k＋2）＋3（3k－1）＝8k－5＝0，解得k＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）若向量c与向量a，b共面，求实数x的值. 解： 因为向量c与向量a，b共面，所以设c＝λa＋μb（λ， μ∈R），因此（－1，x，3）＝λ（1，1，3）＋μ（－2，1，1）＝（λ－ 2μ，λ＋μ，3λ＋μ），即 解得 故x的值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 11. 〔多选〕已知空间内三点A（3，2，0），B（2，1，3），C（0，2， －1），则（　　） A. ｜ ｜＝ B. AB⊥AC C. cos ∠ABC＝ D. △ABC的面积为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析： 　因为空间内三点A（3，2，0），B（2，1，3），C（0， 2，－1），所以 ＝（－1，－1，3）， ＝（－3，0，－1）， ＝ （2，－1，4），则｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ，A 正确.因为 · ＝0，所以AB⊥AC，B正确. cos ∠ABC＝ ＝ ＝ ，C错误.△ABC的面积为 ｜ ｜·｜ ｜＝ ，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 12. 已知点A（－1，1，0），B（1，3，2），与向量 不共线的向量a ＝（x，y，z）在 上的投影向量为（1，1，1），请你给出a的一个坐 标为 ⁠ ⁠. （1，2，0）（答案不唯一，x＋y＋z＝3，且x，y，z不全相等均 可）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：由点A（－1，1，0），B（1，3，2），可得 ＝（2，2，2）， 又向量a＝（x，y，z）在 上的投影向量为（1，1，1）， ∴ · ＝ · （2，2，2）＝ （2，2， 2）＝（1，1，1），则 ＝1，即x＋y＋z＝3，又∵向量 与向量 a不共线，则 ＝ ＝ 不成立，即x，y，z不全相等.则可令x＝1，y＝ 2，z＝0，即a＝（1，2，0），故答案为（1，2，0）.（答案不唯一，x ＋y＋z＝3且x，y，z不全相等均可） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 13. 如图，正八面体ABCDEF的每条棱长均为10 ，AF与BD交于点 O， ＝5 ，M为正八面体ABCDEF内部或表面上的动点.若 · ＝0，则 · 的最小值为 ⁠. －18　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：连接CE，由正八面体性质得DB，CE， AF两两互相垂直，故以O为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角 坐标系，由正八面体的各棱长均为10 ，根据正八 面体的对称性，可得OA＝OB＝OC＝OD＝OE ＝OF＝10 × ＝10，则A（0，0，10），C（10，0，0），B（0，10，0），D（0，－10，0）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 E（－10，0，0），F（0，0，－10），又 ＝5 ，所以H（0，0， 2）， ＝（0，10，－10），设点M（x，y，z），则 ＝（－x， －y，2－z），因为 · ＝0，所以－10y＋10z－20＝0，即z－y＝ 2，又 ＝（－x，2－z，10－z）， ＝（－x，－8－z，－z），所 以 · ＝（－x）×（－x）＋（2－z）×（－8－z）＋（10－z） ×（－z）＝x2＋2z2－4z－16＝x2＋2（z－1）2－18，故当x＝0，z＝ 1，y＝z－2＝－1，即M（0，－1，1）时， · 取到最小值为－ 18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 14. （新定义）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角 坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜 坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我 们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义 “空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：i，j，k分别为“斜60°坐 标系”下三条数轴（x轴，y轴，z轴）正方向的单位 向量，若向量n＝xi＋yj＋zk，则n与有序实数组 （x，y，z）相对应，称向量n的斜60°坐标为 [x，y，z]，记作n＝[x，y，z]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （1）若a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，求a＋b的斜60°坐标； 解： ∵a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]， ∴a＋b＝（i＋2j＋3k）＋（－i＋j＋2k）＝3j＋5k ＝[0，3，5]， ∴a＋b的斜60°坐标为[0，3，5]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 ②若 ＝[2，t，0]，且 ⊥ ，求｜ ｜. （2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD ＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，如图，以{ ， ， }为基底建立“空 间斜60°坐标系”. ①若 ＝ ，求向量 的斜60°坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解： 设i，j，k分别为与 ， ， 同方向的 单位向量， 则 ＝2i， ＝2j， ＝3k，i·j＝j·k＝j·k ＝1×1× cos 60°＝ . ①由题意得，点E为BB1的中点. ＝ － ＝（ ＋ ）－（ ＋ ） ＝－ ＋ ＋ ＝－2i＋2j＋ k＝［－2，2， ］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 ②由题意得， ＝ ＋ ＋ ＝2i＋2j＋3k， 由 ＝[2，t，0]得， ＝2i＋tj，由 ⊥ 得， · ＝（2i＋2j＋3k）·（2i＋tj）＝0， ∴4i2＋2tj2＋（4＋2t）i·j＋6k·i＋3tk·j＝0， ∴4＋2t＋ （4＋2t）＋3＋ ＝0，解得t＝－2， 则｜ ｜＝｜2i－2j｜＝ ＝ ＝ ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 $