1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

该高中数学导学案聚焦空间向量的坐标与空间直角坐标系，涵盖向量正交分解、坐标运算、空间坐标系建立及两点间距离公式等核心内容。通过飞机位置确定的情境导入，从平面直角坐标系自然过渡到空间，搭建二维到三维的认知支架，帮助学生理解知识脉络。 资料以情境激发兴趣，新知初探设“想一想”促进深度思考，典例研析分坐标运算、点坐标确定等题型，结合跟踪训练强化数学运算与直观想象。自我诊断及时反馈，助力学生自主学习，培养逻辑推理能力，提升解决立体几何问题的效率。

1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 课标 要求 1.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示（直观想象）． 2.掌握空间向量线性运算的坐标表示（数学运算）． 3.掌握空间向量数量积的坐标表示，并利用数量积判断两向量的共线与垂直（数学运算、直观想象）． 4.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性， 会用空间直角坐标系刻画点的位置（直观想象）． 5.借助特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式（数学运算）． 　　飞机的飞行速度非常快，有很多飞机时速都在1 000 km以上，而全世界飞机这么多，这些飞机在空中风驰电掣，速度是如此的快，岂不是很容易撞机吗？但事实上，飞机的失事率是极低的，比火车、汽车要低得多，原因是飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行，而在划定某条航线时，不仅要指出航线在地面上的经度和纬度，还要指出航线距离地面的高度． 【问题】　（1）只给飞机所在位置的经度和纬度，能确定飞机的位置吗？ （2）要确定飞机的位置，还需要知道什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　空间向量的坐标及运算 1.空间向量的坐标 （1）单位正交基底：如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，且这三个向量两两　　　　； （2）单位正交分解：在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解； （3）向量p的坐标：在单位正交基底下向量p=xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组　　　为向量p的坐标，记作p=　　　　．其中x，y，z都称为p的坐标分量． 2.空间向量的运算与坐标的关系 设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），则 （1）a＋b=　　　　　　　　　； （2）μa＋vb=　　　　　　　　； （3）a•b=　　　　　　　　　； （4）|a|==； （5）cos〈a，b〉= = ． 3.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），则 （1）a∥b⇔a=λb⇔　　　　　　且　　　　　　且　　　　　　（λ∈R）； （2）a⊥b⇔　　　　　　⇔　　　　　　　　　　　　　　． 提醒：空间向量坐标运算实质上是平面向量坐标运算的推广（只是在平面向量坐标的基础上增加了一个竖坐标），与平面向量的坐标运算相比，空间向量的坐标运算适用范围更广，它可以解决立体几何中的相关问题． 【想一想】 　若a=xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标一定是（x，y，z）吗？ 知识点二　空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 （1）空间直角坐标系：在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz； （2）相关概念：　　　　叫作坐标原点，　　　　　　　　叫作坐标轴．通过　　　　　　　　　的平面叫作坐标平面，分别称为　　 　平面、　　 　平面、　　　　平面． 提醒：在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°（或45°），∠yOz=90°，所以三个坐标平面把空间分成八个部分． 2.空间向量坐标的应用 若A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）． （1）AB=||=　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　； （2）若M为线段AB的中点，M的坐标为　　　　　　　　　　　　． 【想一想】 　坐标平面与坐标轴上的点的坐标有什么特征？ 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）空间直角坐标系中，向量的坐标与终点B的坐标相同．（　　） （2）空间直角坐标系中，在Ozx平面内的点的坐标一定是（a，0，c）的形式．（　　） （3）空间直角坐标系中，点（1，，2）关于Oyz平面的对称点为（－1，，2）．（　　） （4）设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），若a∥b，则==．（　　） 2.已知a=（1，－2，1），a＋b=（－1，2，－1），则b=（　　） A．（2，－4，2） B．（－2，4，－2） C．（－2，0，－2）　　 D．（2，1，－3） 3.已知向量a=（－2，x，2），b=（2，1，2），c=（4，－2，1），若a⊥（b－c），则x的值为（　　） A．－2　　 B.2 C.3　　 D．－3 4.设A（3，2，1），B（1，0，5），C（0，2，1），AB的中点为M，则||=　　　　． 题型一　空间向量的坐标运算 （1）已知a=（－1，2，1），b=（2，0，1），则（2a＋3b）•（a－b）=　　　　； （2）若2a－b=（2，－4，3），a＋2b=（1，3，－1），则cos〈a，b〉=　　　　． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 关于空间向量坐标运算的两类问题 （1）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算； （2）由条件求向量或点的坐标：首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标． 1.若向量a=（1，－1，2），b=（2，1，－3），则|2a＋b|=（　　） A．　　 B．2 C．3　　 D．3 2.〔一题多解〕已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是（2，－1，2），（4，5，－1），（－2，2，3），则适合条件=（－）的点P的坐标为　　　　． 题型二　空间中点的坐标确定及应用问题 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG=CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标．并求GH的长度． 尝试解答 规律方法 1.建立空间直角坐标系时应遵循的原则 （1）让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； （2）充分利用几何图形的对称性． 2.求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影（或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号），确定第三个坐标． 3.利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤 如图，建立空间直角坐标系Oxyz．正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，顶点A位于坐标原点． （1）若E是棱B′C′的中点，F是棱B′B的中点，G是侧面CDD′C′的中心，则分别求出向量，，的坐标； （2）在（1）的条件下，分别求出（＋）•，||的值． 题型三　空间向量的平行与垂直 已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4），设a=，b=． （1）若|c|=3，c∥．求c； （2）若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k． 尝试解答 【母题探究】 （变条件）若将本例（1）中“c∥”改为“c⊥a且c⊥b”，求c． 规律方法 判断空间向量垂直或平行的步骤 （1）向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行； （2）向量关系代数化：写出向量的坐标； （3）对于a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），根据两向量坐标间的关系判断两向量是否垂直；根据x1=λx2且y1=λy2且z1=λz2（λ∈R）或==（x2，y2，z2都不为0）判断两向量是否平行．根据x1x2＋y1y2＋z1z2=0判断两向量是否垂直． 　　由空间向量垂直或平行求值只需根据垂直或平行的条件建立方程（组）求解即可． 1.已知向量a=（－2，3，－1），b=（4，m，n），且a=tb，其中m，n∈R，则m＋n=（　　） A.4　　 B．－4 C.2　　 D．－2 2.（2026•沈阳联考）已知向量a=（1，m，－1），b=（1，－1，1），若（a＋b）⊥b，则m=（　　） A．4　　 B．3 C．2　　 D．－1 题型四　利用坐标运算解决空间向量的夹角、距离问题 如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC－A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，N为A1A的中点．求： （1）BN的长； （2）cos〈，〉的值． 尝试解答 规律方法 1.利用向量数量积的坐标求两向量夹角的步骤 （1）根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系； （2）利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标； （3）利用向量数量积的坐标公式求得向量的夹角． 2.利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤 （1）建立适当的空间直角坐标系； （2）求出线段端点的坐标； （3）利用向量的模长公式（或两点间的距离公式）求出线段的长． 　如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为（　　） A.2　　 B． C.2　　 D.1 答案 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 【基础落实】 新知初探 知识点一 1.（1）垂直　（3）（x，y，z）　（x，y，z） 2.（1）（x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2） （2）（μx1＋vx2，μy1＋vy2，μz1＋vz2） （3）x1x2＋y1y2＋z1z2 3.（1）x1=λx2　y1=λy2　z1=λz2 （2）a•b=0　x1x2＋y1y2＋z1z2=0 想一想 提示：不一定，当e1，e2，e3是单位正交基底时，坐标是（x，y，z），否则不是． 知识点二 1.（2）点O　x轴，y轴，z轴　每两个坐标轴　xOy　yOz　zOx 2.（1） （2）（，，） 想一想 提示：（1）xOy平面是坐标形如（x，y，0）的点构成的点集；yOz平面是坐标形如（0，y，z）的点构成的点集；xOz平面是坐标形如（x，0，z）的点构成的点集．其中x，y，z为任意的实数； （2）x轴是坐标形如（x，0，0）的点构成的点集；y轴是坐标形如（0，y，0）的点构成的点集；z轴是坐标形如（0，0，z）的点构成的点集．其中x，y，z∈R． 自我诊断 1.（1）×　（2）√　（3）√　（4）× 2.B　b=（a＋b）－a=（－1，2，－1）－（1，－2，1）=（－2，4，－2）． 3.A　∵b－c=（－2，3，1），∴a•（b－c）=4＋3x＋2=0，∴x=－2. 4.3　解析：由题意，得AB的中点M（2，1，3），所以||==3. 【典例研析】 【例 1】　（1）－4　（2）－　解析：（1）易得2a＋3b=（4，4，5），a－b=（－3，2，0），则（2a＋3b）•（a－b）=4×（－3）＋4×2＋5×0=－4. （2）设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），由题设可得解得同理可得y1=－1，y2=2，z1=1，z2=－1，即a=（1，－1，1），b=（0，2，－1），则a•b=0－2－1=－3，|a|=，|b|=，所以cos〈a，b〉==－． 跟踪训练 1.D　由于向量a=（1，－1，2），b=（2，1，－3），所以2a＋b=（4，－1，1），所以|2a＋b|==3． 2.（5，，0）　解析：法一（直接法）　因为=（－），所以－=，=＋（－）=（2，－1，2）＋［（4，5，－1）－（－2，2，3）］=（5，，0），所以点P的坐标为（5，，0）． 法二（间接法）　设P（x，y，z），则=（x－2，y＋1，z－2）．因为=（－）=（3，，－2），所以解得则点P的坐标为（5，，0）． 【例 2】　解：建立如图所示的空间直角坐标系．点E在z轴上，它的x坐标，y坐标均为0，而E为DD1的中点， 故其坐标为（0，0，）． 过F作FM⊥AD于点M，FN⊥DC于点N，由平面几何知FM=，FN=， 则F点坐标为（，，0）． 点G在y轴上，其x，z坐标均为0，又GD=，故G点坐标为（0，，0）． 过H作HK⊥CG于点K，由于H为C1G的中点，故HK=，CK=． ∴DK=，故H点坐标为（0，，）． |GH|= =． 跟踪训练 解：（1）因为E是棱B′C′的中点，F是棱B′B的中点，G是侧面CDD′C′的中心， 所以O（0，0，0），E（1，，1），F（1，0，），G（，1，）． 所以=（1，，1），=（1，0，），=（，1，），=－=（－，1，0）． （2）由（1）可得（＋）•=（，，）•（－，1，0）=×（－）＋×1＋×0=． =（－，，－）， 所以||= =． 【例 3】　解：（1）因为=（－2，－1，2），且c∥， 所以设c=λ=（－2λ，－λ，2λ）， 得|c|==3|λ|=3， 解得λ=±1.即c=（－2，－1，2）或c=（2，1，－2）． （2）因为a==（1，1，0），b==（－1，0，2）， 所以ka＋b=（k－1，k，2），ka－2b=（k＋2，k，－4）． 又因为（ka＋b）⊥（ka－2b）， 所以（ka＋b）•（ka－2b）=0. 即（k－1，k，2）•（k＋2，k，－4）=2k2＋k－10=0. 解得k=2或k=－．故所求k的值为2或－． 母题探究 解：a==（1，1，0），b==（－1，0，2）． 设c=（x，y，z）． 由题意得 解得x=2，y=－2，z=1或x=－2，y=2，z=－1， 即c=（2，－2，1）或c=（－2，2，－1）． 跟踪训练 1.B　因为向量a=（－2，3，－1），b=（4，m，n），且a=tb，可得a∥b，所以==可得所以m＋n=－6＋2=－4，故选B． 2.B　因为a=（1，m，－1），b=（1，－1，1），所以a＋b=（2，m－1，0），又因为（a＋b）⊥b，所以（a＋b）•b=2×1＋（m－1）×（－1）＋0×1=0，解得m=3.故选B． 【例 4】　解：如图，以，，所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz． 则C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），A1（1，0，2），B1（0，1，2），N（1，0，1）， （1）=（1，－1，1），∴||==，即|BN|=． （2）=（1，－1，2），=（0，1，2）， ∴cos〈，〉= = ==． 跟踪训练 B　在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，∴A1（2，0，2），C（0，2，0），∴A1C的中点E（1，1，1），A（2，0，0），B（2，2，0），∴AB的中点F（2，1，0），∴A1C的中点E到AB的中点F的距离为|EF|==．故选B． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $