第1章 02-1.1.2 空间向量基本定理（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教B版）

该高中数学课件聚焦“空间向量基本定理”，涵盖共线向量、共面向量定理及其应用，通过衔接平面向量知识，以题组形式逐步深入，构建从基础到能力提升的递进式学习支架。 其亮点在于精选各地名校月考、段考题，题型多样且结合三棱锥、正方体等几何体实例，培养学生数学思维（推理能力）和空间观念（数学眼光）。学生能提升空间想象与逻辑推理能力，教师可借助丰富例题及解析优化教学。

第一章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 1.1 空间向量及其运算 1.1.2 空间向量基本定理 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　共线向量基本定理及其应用 1.[2026安徽合肥肥西宏图中学段考]已知向量a,b,且 =a+2b, =-5a+6b, =7a-2b,则一定共线的三 点是 ( ) A.A,B,D　　    B.A,B,C C.B,C,D　　    D.A,C,D     A     解析　因为 + = =2a+4b=2(a+2b)=2 ,所以A,B,D三点共线. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025北京八一学校期中]已知向量a,b,c不共面,e=3a-tb-c,d=-2ta+6b+2c,若e与d共线,则实数t的值为  ( ) A.-3　　    B.1　　    C.3　　    D.-3或3     C     解析　因为e与d共线,所以设e=λd,所以 解得λ=- ,t=3. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025贵州贵阳乐湾国际实验学校月考]如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,P为空间内一点,且 =λ +μ  ,λ,μ∈[0,1],则下列说法错误的是 ( )   A.当λ=0时,点P在棱BB1上 B.当λ=μ时,点P在线段B1C上 C.当μ=1时,点P在棱B1C1上 D.当λ+μ=1时,点P在线段B1C上     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析    对于A,当λ=0时, =μ ,μ∈[0,1],即 ∥ ,又 与 过同一点B,所以点P在棱BB1上,故A中 说法正确. 对于B,连接BC1(图略),当λ=μ时, =λ( + ),λ∈[0,1],即 =λ ,λ∈[0,1],即 ∥ ,又 与 过 同一点B,所以点P在线段BC1上,故B中说法错误. 对于C,当μ=1时, =λ + ,λ∈[0,1],所以λ = - ,λ∈[0,1],所以 =λ =λ ,λ∈[0,1],即  ∥ ,又 与 过同一点B1,所以点P在棱B1C1上,故C中说法正确. 对于D,当λ+μ=1时, =λ +(1-λ) ,λ∈[0,1],所以 - =λ -λ ,λ∈[0,1],即 =λ ,λ∈[0,1],所 以 ∥ ,又 与 过同一点B1,所以点P在线段B1C上,故D中说法正确. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　共面向量定理及其应用 4.[多选题][2025湖南名校联考联合体联考]已知空间向量a,b,c不共面,则下列各选项中的三个向量共面 的有 ( ) A.a-b,b-c,c-a B.a+b,b+c,c+a C.a+b,a+c,b-c D.a-2b+c,-a+3b+2c,-3a+7b     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,因为a-b=-(b-c)-(c-a),所以a-b,b-c,c-a共面; 对于B,假设a+b,b+c,c+a共面,则存在λ,μ∈R,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)c,所以  无解,所以a+b,b+c,c+a不共面; 对于C,因为b-c=(a+b)-(a+c),所以a+b,a+c,b-c共面; 对于D,因为a-2b+c= (-a+3b+2c)- (-3a+7b),所以a-2b+c,-a+3b+2c,-3a+7b共面. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026山东淄博中学月考]已知M,A,B,C为空间中四点,任意三点不共线,且 =x +y - (x>0,y>0), 若M,A,B,C四点共面,O不在该平面上,则 + 的最小值为 ( ) A.4　　    B.5　　    C. 　　    D.9     C     解析　因为M,A,B,C四点共面,O不在该平面上, =x +y - (x>0,y>0), 所以由四点共面的结论可得,x+y-1=1,即x+y=2,所以 + =   +  (x+y)=  ≥  5+2   = ,当且仅当 = ,即x= ,y= 时,等号成立,所以 + 的最小值为 . 名师点睛　点P在平面ABC内,可以表示为 =x +y ,或 = +x +y ,或 =x +y +z (x +y+z=1),其中x,y,z∈R,O为空间中任意一点. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025北京清华大学附属中学朝阳学校测试]在正四棱锥P-ABCD中, = , =2 ,设平面AEF与直 线PC交于点G, =λ ,则λ=( )   A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　连接AC(图略),则 = + = + + = + - + - = + - . 因为 = , =2 ,所以 =2 , =  , 所以 =  +2 - . 又 =λ ,所以 =  ,所以 =  +  -  . 因为A,E,F,G四点共面,所以 + - =1,解得λ= . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026河北唐山迁安月考]已知向量e1,e2,e3是三个不共面的非零向量,且a=2e1-e2+e3,b=-e1+4e2-2e3,c=11e1 +5e2+λe3,若向量a,b,c共面,则λ=_________.     1     解析　因为向量a,b,c共面,所以存在实数m,n,使得c=ma+nb,即11e1+5e2+λe3=(2m-n)e1+(-m+4n)e2+(m-2n)·e 3,即 解得  第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026山东济宁第一中学月考]如图所示,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在B1B和D1D上,且BE=  BB1,DF= DD1. (1)求证:A,E,C1,F四点共面; (2)若 =x +y +z ,求x+y+z的值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:连接AC1,AC(图略),则 = + = + + = +  + +  =( + )+(  + )= + ,又∵ ,  , 过同一点A,∴A,E,C1,F四点共面. (2) = - = + -( + ) = +  - -   =- + +  , ∴x=-1,y=1,z= ,∴x+y+z= . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　对空间向量基本定理的理解 9.[多选题][2025辽宁鞍山海城高级中学检测]给出下列命题,其中正确的有 ( ) A.空间中任意三个向量都可以作为一组基底 B.若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间向量的一组基底,则a,b共线 C.基底{a,b,c}中的基向量与基底{e,f,g}中的基向量对应相等 D.已知{a,b,c}是空间向量的一组基底,若m=a+c,则{a,b,m}也是空间向量的一组基底     BD     解析　空间中共面的三个向量不能作为一组基底,故A错误;两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构 成空间向量的一组基底,说明a,b与任何一个向量都共面,故a∥b,故B正确;空间向量的基底不唯一,只要 是不共面的三个向量都可以作为一组基底,故C错误;{a,b,c}是空间向量的一组基底,即a,b,c不共面,由m =a+c知m,a,c共面,故b与m,a不共面,所以{a,b,m}是空间向量的一组基底,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026广西钦州第四中学月考]若{a,b,c}是空间向量的一组基底,则下列能构成空间向量的另一组基 底的是( ) A.b+c,a+c,a-b　　    B.a+b+c, a+b, a+c C.a-b+c,a-b,a+c　　    D.2b-2c,a+b,a+c     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,因为b+c=a+c-(a-b),所以b+c,a+c,a-b共面,所以b+c,a+c,a-b不能构成空间向量的一组基底. 对于B,因为a+b+c= a+b+ a+c,所以a+b+c, a+b, a+c共面,所以a+b+c, a+b, a+c不能构成空间向量 的一组基底. 对于C,假设存在实数m,n,使得a-b+c=m(a-b)+n(a+c)=(m+n)a-mb+nc,则 无解,所以a-b+c,a-b,a+c 不共面,所以{a-b+c,a-b,a+c}是空间向量的一组基底. 对于D,因为2b-2c=2[a+b-(a+c)],所以2b-2c,a+b,a+c共面,所以2b-2c,a+b,a+c不能构成空间向量的一组基 底. 方法归纳　判断给出的三个向量能否构成基底,关键是要判断它们是否共面,当从正面难以入手时,可 用反证法或借助一些常见的几何图形来判断. 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　空间向量基本定理的应用 11.[2026北京昌平第二中学期中]如图,在四面体O-ABC中, =a, =b, =c,点M是OA的中点,点N在 BC上,且 =2 ,设 =xa+yb+zc,则x,y,z的值为 ( )   A. , , 　　    B. , , 　　     C.- , , 　　    D.- , ,      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　连接ON.依题意得, = - =( + )-  = +  -  = + ( - )-  =-  +   +  ,又 =a, =b, =c, =xa+yb+zc,所以x=- ,y= ,z= . 第1讲　描述运动的基本概念 12.[教材习题改编][2025辽宁葫芦岛第一高级中学月考]在四面体O-ABC中, =a, =b, =c,G为△ ABC的重心,P在OG上,且 = ,则用基底{a,b,c}表示向量 = ( ) A.- a+ b+ c　　    B.- a+ b+ c C.- a+ b+ c　　    D. a- b- c     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　取BC的中点M,连接AM,OM.   因为 = ,所以P为OG的中点,所以 =  +  =-  +  . 因为G为△ABC的重心,所以 =  = ( - )=  . 所以 =-  + ×  =-  +  +  =- a+ b+ c. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026山东百师联盟联考]如图,在正四面体A-BCD中,M,N分别为棱BC,AB的中点,设 =a, =b, = c,则 与 夹角的余弦值为_______.   　-      第1讲　描述运动的基本概念 解析　连接AM(图略),则 = + =- + ( + )= a+ b-c, = - =  - = a-b. 设正四面体的棱长为1. 易知|a|=|b|=|c|=1,a·b=a·c=b·c= , 则cos< , >=  = = =- . 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2026河南九师联盟质检]如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,BC=2AD, = , =2 , =2 ,H 在棱PD上,若E,F,G,H四点共面,则 =_________.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题可设 =λ ,λ∈[0,1], 则 = - =λ -  , 易得 = - =  -  , 连接EG,则 = + =  -  + - =  -  +  -  =-  +  , 因为AD∥BC,BC=2AD,所以 =  ,即 - = ( - ),所以 =2 -2 + , 所以 =  -  =  +  -  , 因为E,F,G,H四点共面,所以 =x +y ,x,y∈R, 所以λ -   =x +y  第1讲　描述运动的基本概念 =  +  + y , 所以 解得 故 =  ,所以 = . 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2025重庆杨家坪中学月考]如图,在四面体P-ABC中,PA⊥平面PBC,BC⊥平面PAB,D为PC的中点,  =2 . (1)设 =a, =b, =c,用a,b,c表示 ; (2)已知| |=| |=| |=1,求: (i)| |; (ii) · .   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)连接BD,PE(图略),则 = - = + - - . 因为D为PC的中点, =2 , 所以 =  =  -  , =  +  =-  +  , 所以 = + - -  =  -  -  = a- b- c. (2)因为PA⊥平面PBC,BC⊥平面PAB,且PB,BC⊂平面PBC,PB⊂平面PAB, 所以PA⊥PB,PA⊥BC,BC⊥PB, 所以 · = · = · =0. (i)由(1)知, =  -  -  , 第1讲　描述运动的基本概念 所以| |=  = = = . (ii)易得 = + + =- + + , 又 =  -  -  , 所以 · =(- + + )·   -  -   =-  -  -  +  · +  · -  · =- - -  =- . 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 1.1 空间向量及其运算 1.1.2 空间向量基本定理 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　共面向量定理的应用 1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,P,M为空间中任意两点,如果 = +7 +6 -4 ,那么点M在  ( ) A.平面BAD1内　　    B.平面BA1D内 C.平面BA1D1内　　    D.平面AB1C1内 C     解析　因为 = +7 +6 -4 = + +6 -4 = + +6 -4 = +6( - )-4 ( - )=11 -6 -4 ,所以M,B,A1,D1四点共面,所以点M在平面BA1D1内. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2025湖北武汉武昌实验中学月考]若三棱锥M-ABC的体积是三棱锥P-ABC体积的 ,且 = λ -2 +3 ,则λ的值可能为( ) A. 　　    B. 　　    C.- 　　    D.-      AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为三棱锥M-ABC的体积是三棱锥P-ABC体积的 ,所以在平面ABC内存在一点Q,使得 =   或 =  . 如图①所示,当 =  时,  =λ -2 +3 ,所以 = λ -3 +  . 因为点Q在平面ABC内,所以 λ-3+ =1,解得λ=- . 如图②所示,当 =  时,  =λ -2 +3 ,所以 = λ -  +  .因为点Q在平面ABC内,所 以 λ- + =1,解得λ= . 综上,λ=± . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026辽宁大连阶段检测]在正三棱锥P-ABC中,PA=AB=3,点M满足 =x +y +(2-x-y) ,则AM的 长的最小值为 ( ) A. 　　    B. 　　     C. 　　    D.2      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图所示,分别延长PA,PB,PC至点D,E,F,使得 =2 , =2 , =2 ,连接DE,DF,EF,   (解题关键:题目条件“ =x +y +(2-x-y) ”中,x+y+(2-x-y)=2,故作将基向量伸长为原来的2倍的 变换) 则 =x +y +(2-x-y) =  +  +  ,又 + + =1,且 , , 不共面, 故M,D,E,F四点共面, ∴AM的长的最小值即为点A到平面DEF的距离. 由已知可得,△DEF是等边三角形,且DE=DF=EF=6, 第1讲　描述运动的基本概念 设等边三角形DEF的中心为O,连接PO,DO,可求得DO=2 , 在直角△POD中,PO= = =2 ,即点P到平面DEF的距离为2 , 则AM的长的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026四川眉山仁寿铧强中学质检]如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱AD,B1C1 的中点.若P为侧面ADD1A1内(含边界)的动点,且存在x,y∈R,使 =x +y 成立,则点P的轨迹长度为 _________.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,连接EF,因为 =x +y 成立,所以 , , 共面,即B1P∥平面BEF. 取A1D1的中点Q,连接B1Q,B1A,AQ,根据正方体的性质得B1Q∥BE,B1A∥FE,又B1Q,B1A⊄平面BEF,BE,FE ⊂平面BEF,所以B1Q∥平面BEF,B1A∥平面BEF,又B1Q∩B1A=B1,B1Q,B1A⊂平面B1AQ,所以平面B1AQ∥ 平面BEF,所以点P在AQ上运动,点P的轨迹为线段AQ.因为A1A=1,A1Q= ,所以AQ= = .   第1讲　描述运动的基本概念 题组二　空间向量基本定理的应用 5.[2026浙江嘉兴桐乡茅盾中学月考]已知正四面体P-ABC的棱长为1,动点M在平面ABC上运动,且 =-  - +m ,则 · =( ) A.-2　　    B.-1　　     C.0　　     D.2     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为动点M在平面ABC上运动,且 , 不共线,所以存在实数x,y,使得 =x +y , 所以 - =x( - )+y( - ),即 =(1-x-y) +x +y . 又 =- - +m ,且 , , 不共面, 所以 解得y=m=3, 所以 =- - +3 . 由题意得 · = · = · = , = = =1, 所以 · =-( + -3 )·( - ) =-( · + · -3 · - · - · +3 · )=-(1-3-1+3) · - + =0. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026重庆万州第二高级中学月考]如图,在四面体B-ACD中,平面ABD⊥平面ACD,△ABD是等边三角 形,AD=CD,AD⊥CD,M为AB的中点,N在侧面BCD上(包含边界),若 =x +y +z (x,y,z∈R),则下 列说法正确的是 ( )   A.若x= ,则MN∥平面ACD B.若z=0,则MN⊥CD C.当MN的长度最小时,x=  D.当MN的长度最大时,x=0     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　连接BN.因为N在侧面BCD上(包含边界),所以可设 =λ +μ ,λ,μ∈[0,1],λ+μ≤1,所以 =  + =  +λ +μ =  +λ( - )+μ( - )=  +λ +μ . 又 =x +y +z ,所以 且λ,μ∈[0,1],λ+μ≤1. 对于A,若x= -λ-μ= ,则λ=μ=0,所以点N与点B重合,显然直线MN与平面ACD有交点,故A错误. 对于B,若z=μ=0,则 =λ ,λ∈[0,1],所以点N在线段BC上(包括端点). 因为AD⊥CD,平面ABD⊥平面ACD,平面ABD∩平面ACD=AD,CD⊂平面ACD,所以CD⊥平面ABD,所以 当且仅当点N与点B重合时,MN⊥CD,故B错误. 第1讲　描述运动的基本概念   对于C,D,过M作ME⊥BD,垂足为E,则BE=BM·cos∠ABD= BD,ME=BM·sin∠ABD= BD. 连接NE,因为CD⊥平面ABD,ME⊂平面ABD,所以ME⊥CD,又ME⊥BD,BD∩CD=D,BD,CD⊂平面BCD, 所以ME⊥平面BCD,又NE⊂平面BCD,所以ME⊥NE,所以MN= = ,显然当点N与 点E重合时,MN的长度最小,此时λ=0,μ= ,所以y=0,z= ,x= ;当点N与点C重合时,MN的长度最大,此时λ= 1,μ=0,所以y=1,z=0,x=- ,故C正确,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025辽宁大连育明高级中学月考]如图,在三棱锥P-ABC中,G为△ABC的重心,点M在PG上,且PM=3 MG,过点M任意作一个平面分别交棱PA,PB,PC于点D,E,F,若 =m , =n , =t ,求 + + 的 值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　连接AG并延长,交BC于点H(图略),由题意知,{ , , }可作为空间向量的一组基底, =   = ( + )=  + ×  =  + × =  + ( - )+ ( - )=  +  +  . 连接DM.因为点D,E,F,M共面,所以存在唯一的实数对(λ,μ),使 =λ +μ ,即 - =λ( - )+μ ( - ),所以 =(1-λ-μ) +λ +μ =(1-λ-μ)m +λn +μt . 由空间向量基本定理,知 =(1-λ-μ)m, =λn, =μt,所以 + + =4(1-λ-μ)+4λ+4μ=4. 第1讲　描述运动的基本概念 $