1.1.1 空间向量及其运算 课后同步练习-2026年暑假预习高二数学人教B版选择性必修第一册

**基本信息** 空间向量及其运算同步练习，通过基础概念辨析、中档综合应用、提升复杂计算的三层设计，实现从单一知识点到综合问题解决的巩固路径，培养空间观念与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|空间向量概念（单位向量、共线）、简单线性运算|单选（1-4题）考单位向量性质等基础考点，夯实概念理解| |中档|几何体中向量表示（平行六面体、三棱柱）、数量积应用|多选（8题）考命题判断，正四面体夹角计算（5题）提升应用能力| |提升|综合情境（空间四边形重心）、复杂计算（模长、参数求解）|解答题（15题）考平行六面体向量运算，填空（12题）考三点共线参数，深化逻辑推理|

1.1.1 空间向量及其运算课后同步练习 1．（25-26高二上·全国·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【答案】C 【分析】根据单位向量的性质可判断A的正误，根据相等向量的定义可判断BC的正误，根据零向量的性质可判断D的正误. 【详解】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点， 则它们的终点构成一个球面，所以A错误； 对于B，若空间向量，满足， 但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误； 对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确； 对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行， 则不一定平行，所以D错误. 故选：C. 2．（25-26高二下·甘肃白银·期末）在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 所以. 3．（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是的中点，则 ． 4．（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把问题转化为两向量平行，求参数的问题求解. 【详解】因为. 因为、、三点共线，所以. 所以. 故选：D 5．（25-26高二上·江苏无锡·期末）正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的数量积运算和夹角余弦公式计算即可. 【详解】由图可得，， 设正四面体的棱长为，则 , 结合题意可得. 因为两条异面直线的夹角的范围是， 故直线与夹角的余弦值为. 故选：D. 6．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】借助空间向量线性运算与数量积公式，结合正三棱柱性质计算即可得. 【详解】 . 7．（2026高二·全国·专题练习）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为，，即； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 8．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（    ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．是共线的充分不必要条件 C．对于非零向量，由，则 D．若向量满足，则 【答案】ACD 【详解】A：由单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故空间任意两个单位向量不一定相等，错， B：若时，则， 所以，则存在零向量或非零向量反向共线，即共线，充分性成立， 由共线，如非零向量同向共线时，此时，原等量关系不成立，必要性不成立，对， C：由，若，且，，此时，但，错， D：根据向量的性质，任意两个向量不能比较大小，错. 9．（25-26高二上·江苏南通·期末）（多选）在空间四边形中，已知为的重心，分别为边的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用重心的性质得出，再利用向量的加减法计算求出，判断选项A；利用中点的性质计算，判断选项B；计算判断选项C；计算判断选项D． 【详解】 选项A：取中点，则是的一条中线，重心为，则， ， ， ，故A正确； 选项B：已知是中点，是中点， ，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：， ， 是中点， ，故D正确． 故选：ABD． 10．（25-26高二上·安徽马鞍山·阶段检测）平行六面体中，，，则实数的值为______ 【答案】2 【分析】将，都用基底，，表示出来，得到，即可得到. 【详解】， 所以， 故答案为：2. 11．（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）在正三棱柱中，，为的中点，则__________. 【答案】1 【分析】根据向量线性运算法则可得，根据数量积公式，结合正三棱柱的性质，即可得答案. 【详解】连接，由题意得为的中点，故， 由正三棱柱性质得，故， 可得.    故答案为：1. 12．（2026高二·全国·专题练习）已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，若，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m，n，使，那么λ＋m＋n的值为________． 【答案】 －1 0 【分析】根据A、B、C三点共线，，得2＋μ＝1，即可求得，由得，可得，即可得λ＋m＋n. 【详解】解：由A、B、C三点共线，，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1， 又由，得， 由A，B，C三点共线知：，则λ＋m＋n＝0． 故答案为：-1；0. 13．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，平行六面体中，，，则__________． 【答案】 【分析】先得到，两边平方，从而得到模长 【详解】， ， 所以. 14．（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）已知平行六面体，化简下列向量表达式 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】结合图形，根据空间向量的线性运算依次化简求解即可. 【详解】（1） （2）； （3）. 15．（25-26高二上·天津·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，求： (1)； (2)的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用向量数量积的计算公式，直接计算，即可求解；. （2）由向量的线性运算法则，求得，根据向量运算律，即可求解. 【详解】（1）解：在平行六面体中，，且， 由向量数量积的计算公式，可得. （2）解：由向量的线性运算法则，可得， 因为，且， 所以 ， 所以，即的长. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.1 空间向量及其运算课后同步练习 1．（25-26高二上·全国·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 2．（25-26高二下·甘肃白银·期末）在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏无锡·期末）正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 7．（2026高二·全国·专题练习）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（    ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．是共线的充分不必要条件 C．对于非零向量，由，则 D．若向量满足，则 9．（25-26高二上·江苏南通·期末）（多选）在空间四边形中，已知为的重心，分别为边的中点，则（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·安徽马鞍山·阶段检测）平行六面体中，，，则实数的值为______ 11．（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）在正三棱柱中，，为的中点，则__________. 12．（2026高二·全国·专题练习）已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，若，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m，n，使，那么λ＋m＋n的值为________． 13．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，平行六面体中，，，则__________． 14．（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）已知平行六面体，化简下列向量表达式 (1)； (2)； (3)． 15．（25-26高二上·天津·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，求： (1)； (2)的长. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $