1.1.2 空间向量基本定理 导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

1.1.2 空间向量基本定理 【学习目标】 1.掌握共面向量定理及其意义.(数学抽象) 2.掌握空间向量基本定理.(数学抽象) 3.会用空间向量基本定理解决有关问题.(数学运算、逻辑推理) 【自主预习】 1.空间中任意两个向量一定共面吗?为什么? 2.空间中任意三个向量一定共面吗?请举例说明. 3.如果空间中三个向量共面，那么它们存在怎样的关系? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量a，b，c共面的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使得c=xa+yb. （ ） (2)只有两两垂直的三个向量才能构成空间的一组基底. （ ） (3)若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{-a，b，2c}也是空间向量的一组基底. （ ） (4)若{a，b，c}不能构成空间向量的一组基底，则a，b，c共面. （ ） 2.在下列条件中，使点M与点A，B，C一定共面的是（ ）. A.=2-- B.=++ C.++=0 D.+++=0 3.(人教B版选择性必修第一册P67复习题C组T2改编)(多选题) 若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组向量中，能构成空间的一个基底的是（ ）. A.a+2b，b-c，a+2c B.a+b，b+c，c+a C.2a，b，c-a D.a+b，a+b+c，c 4.在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是线段BD上的一点，BE=3ED，以{，，}为空间向量的一组基底，则=______. 【合作探究】 探究1空间向量基本定理 如图，我们所在的教室是一个三维立体图，如果以教室的一个墙角为始点，沿着三条墙缝作向量，那么可以得到三个空间向量，，. 问题1：图中，，这三个空间向量是不共面的，那么是否可以用这三个向量表示空间中任意的向量呢? 问题2：平面向量的基底要求两个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么要求? 问题3：空间向量的基底是唯一的吗? 问题4：0能是基向量吗? 问题5：基底和基向量是同一个概念吗?有什么区别? 1.共线向量基本定理 如果a≠0且b∥a，那么存在唯一的实数λ，使得b=λa. 2.共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量a，b，c共面的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使得c=xa+yb. 3.空间向量基本定理 (1)定理：如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=______. (2)基底：如果三个向量a，b，c不共面，那么它们的线性组合xa+yb+zc能生成所有的空间向量，因此，空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}叫作空间向量的一组基底，a，b，c都叫作基向量. 例1：设x=a+b，y=b+c，z=c+a，且{a，b，c}是空间向量的一组基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a+b+c}.其中可以为空间向量的一组基底的有（ ）. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【方法总结】基底判断的基本思路及方法：①若向量中存在零向量，则不能构成基底；②假设存在一个向量可以用另外的向量线性表示，即a=λb+μc(λ，μ∈R)，运用空间向量基本定理，建立含有λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能构成基底，若无解，则不共面，能构成基底. 已知{e1，e2，e3}是空间向量的一组基底，且=e1+2e2-e3，=-3e1+e2+ 2e3，=e1+e2-e3，试判断{，，}能否构成空间向量的一组基底. 探究2空间向量基本定理的应用 问题1：在空间中如何选择基底? 问题2：我们学习过的向量之间的运算有哪些? 问题3：数量积的定义是什么?在数量积的运算中经常用到的式子有哪些? 问题4：如何由共面向量定理得到判断空间中四点共面的方法? 由空间向量基本定理可知：如果把不共面的三个向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来.进一步地，所有空间向量间的运算都可以转化为基向量的运算，这为解决问题带来了方便. 例2：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设=a，=b，=c. (1)试用向量a，b，c表示； (2)求BM的长. 【方法总结】(1)用基底表示向量时要注意：①若基底确定，则要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量的数乘运算进行表示；②若没给定基底，首先要选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，然后就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.(2)运用空间向量基本定理，可以求空间向量的模、夹角以及证明垂直等. 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，AD=AB=2，AA1=1，∠A1AB=∠DAA1=60°，=3，=2，设=a，=b，=c. (1)用a，b，c表示，； (2)求AC1的长度. 【随堂检测】 1.已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，则=（ ）. A.++ B.(++) C.(++) D.++ 2.已知O，A，B，C为空间四点，且{，，}不能构成空间向量的一组基底，则（ ）. A.，，共线 B.，共线 C.，共线 D.O，A，B，C四点共面 3.已知空间向量的一组基底为{a，b，c}，m=a-b+c，n=xa+yb+c，若m与n共线，则实数x=______，y=______. 4.如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB，AD，AA1两两的夹角为60°，AB=AD=1，AA1=2，且设=a，=b，=c，P是CA1的中点，M是CD1的中点.用基底{a，b，c}表示以下向量并计算其模： (1)； (2). 参考答案 1.1.2 空间向量基本定理 自主预习·悟新知 预学忆思 1.一定共面，因为空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面中. 2.不一定，如过正方体的一个顶点的三条棱所在直线的方向向量就不共面. 3.如果两个向量a，b不共线，那么向量c与a，b共面的充要条件是存在唯一的一对实数x，y，使得c=xa+yb. 自学检测 1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2.C　【解析】由++=0，得=--，故M，A，B，C四点共面. 3.BC　【解析】因为a+2c=(a+2b)-2(b-c)，所以a+2b，b-c，a+2c共面，A不满足题意； 假设a+b，b+c，c+a共面，则存在m，n∈R，使得c+a=m(a+b)+n(b+c)=ma+(m+n)b+nc， 又因为{a，b，c}是空间的一个基底，所以由空间向量基本定理，可得，该方程组无解，B满足题意； 假设2a，b，c-a共面，则存在λ，μ∈R，使得c-a=2λa+μb， 化简得c=(2λ+1)a+μb，则a，b，c共面，与题设矛盾，故假设不成立，C满足题意； 因为a+b+c=(a+b)+c，所以a+b，a+b+c，c共面，D不满足题意. 4.--+　【解析】设AC的中点为F，则=+=+=-×(+)+=-(-2)+(-)=--+. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1：可以. 问题2：三个向量不共面. 问题3：由空间向量基本定理可知，任意三个不共面的向量都可以构成空间向量的一组基底，所以空间的基底有无数个，因此不唯一. 问题4：因为0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0，所以0不能是基向量. 问题5：一组基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念. 新知生成 3.(1)xa+yb+zc 新知运用 例1　C　【解析】如图所示， 令a=，b=，c=，则x=，y=，z=，a+b+c=. 由A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理向量b，c，z和向量x，y，a+b+c也不共面，而向量a，b，x共面. 故选C. 巩固训练　【解析】假设，，共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使得=x+y成立，∴e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2 e3)+y(e1+e2-e3)，即e1+2e2-e3=(y-3x)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3，∴此方程组无解. 即不存在实数x，y，使得=x+y成立，∴，，不共面，∴{，，}能构成空间向量的一组基底. 探究2　情境设置 问题1：(1)选择三个不共面的非零向量；(2)尽量选择已知夹角和模长的向量. 问题2：加法、减法、数乘以及数量积运算. 问题3：a·b=|a||b|cos<a，b>，在数量积的运算中有两个经常用到的式子：a·a=|a|2和a·b=0⇔a⊥b. 问题4：若四点中的任意三点不共线，连接任意两点的有向线段表示的向量，其中一个都可以用另外两个线性表示，则四点共面. 新知运用 例2　【解析】(1)∵M是PC的中点，∴=(+). ∵=，=-，∴=[+(-)]，结合=a，=b，=c，得=[b+(c-a)]=-a+b+c. (2)∵AB=AD=1，PA=2，∴|a|=|b|=1，|c|=2. ∵AB⊥AD，∠PAB=∠PAD=60°， ∴a·b=0，a·c=b·c=2×1×cos 60°=1. 由(1)知=-a+b+c， ∴　2==(a2+b2+c2-2a·b-2a·c+2b·c)=×(1+1+4-0-2+2)=， ∴||=，即BM的长为. 巩固训练　【解析】(1)=++=++-=++-(+)=++=a+b+c， =+=+=+(-)=+(+-)=++=a+b+c. (2)因为=++=++=a+b+c，|a|=2，|b|=2，|c|=1，a·b=0，a·c=2×1×cos 60°=1，b·c=2×1×cos 60°=1， 所以=(a+b+c)2=a2+2a·b+b2+2b·c+2a·c+c2=22+2×0+22+2×1+2×1+12=13， 所以||=，即AC1的长度为. 随堂检测·精评价 1.B　【解析】如图， =(+)=+×(+)=++=(++). 2.D　【解析】由{，，}不能构成空间向量的一组基底，得向量，，共面，所以O，A，B，C四点共面. 3.1　-1　【解析】因为向量m与n共线，所以存在实数λ，使得m=λn，即a-b+c=λxa+λyb+λc，所以解得 4.【解析】连接AC，AD1(图略)， (1)=(+)=(++)=(a+b+c). 所以||2=(a+b+c)2==， 所以||=. (2)=(+)=(+++)=a+b+c， 所以 ||2==×12+12+×22+1×1×+×1×2×+1×2×=， 所以||=. 学科网（北京）股份有限公司 $