第二章 专题课 求轨迹方程-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

N 高中数学选择性必修第一册人教B版 专题课 学习目标 1.在2.4节的基础上进一步掌握求轨迹 方程的方法：参数法和交轨法 2.理解解析几何的思想：用点的坐标和 曲线方程来刻画几何对象. 要点精析 川要点1参数法求轨迹方程 在2.4节我们学习了用直接法、定义法 及相关点法求轨迹方程的方法，但仅有这些 方法还不能够解决所有的求轨迹方程的问 题，这节课就学习两种新的方法。 1.参数的定义 一般地，在取定的坐标系中，如果曲线 上任意一点的横、纵坐标x,y都是某个变 数t的函数，即 (x=f(t), ① y=8(t), 并且对于t的每一个允许值，由上面方 程组①所确定的点M(x,y)都在这条曲线 上，那么方程组①就称为这条曲线的参数方 程.联系x,y之间关系的变数t称为参变量， 简称参数. 2.参数的选择 参数方程中的参数可以是有物理、几何 意义的变数，也可以是没有明显意义的变数. 相对于参数方程来说，前面学过的直接 给出曲线上点的坐标关系的方程，称为曲线 (106)学 轨迹方程 的普通方程.我们通常所求的轨迹方程是指 普通方程。 3.将参数方程转化为普通方程 参数方程和普通方程是曲线方程的不同 形式，它们都表示曲线上点的坐标之间的关 系.一般情况下，我们可以通过消去参数方 程中的参数，得出直接表示x,y之间关系 的普通方程。 x=ac0SΦ 如把参数方程 (a>b>0)化 y=bsind 成普通方程. x=C0$φ， 解：分别将两方程变形得 再 y=sin, 将两方程的两边平方后相加，得 等+公=ta论m论， 即导+1，这是中心在原点，焦点在 x轴上的椭圆方程， 例1设椭圆方程为x24二-1，过M(0, 4 1)的直线1交椭圆于点A,B,点P满足OP =号(01+0B,求动点P的轨迹方程。 变式训练① 把下列参数方程（中，t是参数）化成普 通方程，并说明它们各表示什么曲线： x=a+coso x=x+tcoSa (1) (2) y=6+sind y=y+tsina B变式训练2 过抛物线y2=2px(p>0)的顶点作两条 互相垂直的弦OA,OB,求线段AB的中点 M的轨迹方程 川要点2交轨法 交轨法即是求满足条件的两条动直线的 交点轨迹.我们可以联想求两条定直线交点 的方法：联立两条动直线方程，解方程组求 得交点坐标.由于交点是两条动直线的交点， 第二章平面解析几何。 所以交点的横、纵坐标都可以用参数表示， 最后消去参数得到普通方程即为交点的轨迹 方程 例2已知P(-2,2),Q(0,2)两点， 直线l:y=x,设长为V2的线段AB在l上 移动，求直线PA和直线QB的交点M的轨 迹方程。 B变式训练3 如图Z-1,动圆C1:x2+y2=2(1<1<3)与 椭圆C:。+2-1相交于A,B,C,D四点， 点A1,A2分别为C2的左、右顶点.求直线 AA1与直线AB的交点M的轨迹方程. 图Z-1 反思感悟由上面的例题我们看到， 参数可以是斜率、横、纵坐标等，同学们 可以通过解题实践加以总结。 学(107 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 例3如图Z-2,设点A和B为抛物线 y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点，已知 OA⊥OB,OM⊥AB,求点M的轨迹方程， 并说明它表示什么曲线. 图Z-2 例4已知椭圆C:若+京1(ob>0), 若动点P为椭圆C外一点，过点P所作椭圆 C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程 注：椭四手+后1的两条互相重直的切 线的交点P的轨迹是蒙日圆：x2+y2=2+b2 (108)学 数学文化 前面我们所研究过的曲线方程F(x,y) =0,都是表示曲线上任意一点x,y之间的 直接关系的.但是在解决某些问题时，对于 曲线上任意点，它们的坐标x,y的这种关 系往往不容易被发现，而通过另一个变数间 接地表示x,y之间的关系却比较方便.下面 我们看一个例子. 例设炮弹的发射角为α，发射的初速度 为o,求弹道曲线的方程（不计空气阻力）. 分析弹道曲线是炮弹飞行的轨迹， 它上面的各个点都表示炮弹发射后某个时 刻的位置，当这个时刻确定后，炮弹的位 置就确定了.高中数学选择性必修第一册人教B版 得7x2-8x-8=0,则有 .lAB=V(1+h2)I(x+x2)2-4x2J =V2号x=4 例4C【解析】设A(x,y),B(x2,y2),则t也=1， 些=号，由A,B在椭圆上可得等+l,琴+1， 2 两式相减可得，xx++)t）=0,k 3 1 业=-x)=-2,=-1,·.直线AB的方程为 x1-X2 3(01+)3x 3 }=l(-1),即3x434-0故选C 变式训练4解：(1)设A(x1,y),B(x2,y2), +=1, 42 则 两式作差得好龙=-，整理可 4 2 2 得一子的子的 又线段AB的中点坐标为(1,1)，则x+x=2, =2,=分，直线1的方程为1=号(-1). 即l:x+2y-3=0. (2)当直线1的斜率为0时，O,A,B三点共线， 不合题意，则直线1的斜率不为0，可设：x=y+1, x=y+1, 得(t2+2)y2+2ty-3=0. 2t ytyP2' 设A(x,y),B(,2),则 3 y0w2P+2' V(yy:)-=V2 42+6 =V0,解得=士1，直线1的方程为x=y+1或x=-y+ 3 1,即1：x-y-1=0或x+y-1=0. 例52【解析】解法1：如图所 示，可设Bn合o,F(,0, F(c,0),则FB=x+c,6o, P居e,名，所以F函FE 例5答图 (60 =0c小华l+ge-e20,解得： a或-a(舍去)，从而B(a,b),由FA=AB知A为FB 的中点，所以A受，号)，代入=名x得：今=合 ,“分，整理得：c=2a,即双曲线C的离心率c=。-2 解法2：如图，由FB·FB=0知BF⊥BF,又O为 FB的中点，所以1OB=FF=0F,由F不=AB知A 为FB的中点，所以∠AOB=∠AOF,又∠AOF= ∠BOF,所以∠AOB=∠AOF=∠BOF=60°.从而双曲线 C的一条渐近线的斜率6=tan LBOF,=tan60°=V3,即 b=V3a,所以=3d,从而c2--3c,故e=。=2. 解法3：如图，由FB·FB=0知BF⊥BF2,所以点B 是以FF,为直径的圆与渐近线在第一象限的交点，得B (a,b),又FA=AB,所以A为FB的中点，因为F(-c, 0),所以A,名)因为点A在另一条渐近线)=。x 上，所以号=合·受，化简得商心率c=日2 2 1 数学文化 x=-1,直线：)=1 李相1以格 与抛物线C:y=x2的交点坐标为A(1,1)和B(-1, 1.设过点A的切线方程为)=kx+1k,联立+1-k, y=x2, 消去y得x2-kx+k-1=0.由△=k2-4(k-1)=0,得k=2. 同理，经过点B的切线的斜率为-2.过A,B两点 的切线的方程分别为y=2x-1和y=-2x-1,其交点为(0， -1),阿基米德三角形的面积为2×2x2=2,故弦与抛 物线C所围成的封闭图形的面积为号 ●“专题课求轨迹方程 要点精析 例1解：①当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为 y=kx+1,设A(x1,y),B(x2,y2), 联立 4 ’消去y,得(4+k2)x2+2kx-3=0, ly=kx+1, 2k x1+x=42’1+y2=k(x+2)+2=442 由00+0B),得x,x,+,即 2 x== 2 4+2,① ，24+a,②② y=2t2=4 得兰年，=“代入② 中得4x2+y2-y=0. ②当斜率不存在时，AB的中点为坐标原点，也适合 方程. 综上所述，动点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0. 变式训练1解：(1)中为参数，消去中，利用三角恒 等式cos2b+sinb=1,即(x-a)2+(y-a)2=1. 表示(a,b)为圆心，半径为1的圆. (2)t为参数，消去. x=x+icosa 变形为-tc0sa,①② y=yi+tsing ly-y=tsina,②① tano=Y-L,y-y=tanc(x1), x-x1 表示经过点(x,y),倾斜角为α的直线方程 变式训练2解：方法一：设直线OA的方程为y=kx y=kx, (k≠0)，联立 y2=2px, 得A点坐标为器，光) OA1OB,.直线OB的方程为y=- 右x,同理可求 1 出B点坐标为(2pk2,-2pk). =+2p 设AB中点为M(x,y),则 ) 消去k,得)y2=px-2p2 -。 方法二：设A(2pt,2pt),B(2pti,2p2),则有 ak然器山即=-1 设M,小，则p+把-1代人，消去 y=p(t+t2), 1,2,得y2=px-2p2 例2解：由点A,B在直线l:y=x上且长为V2,可 设A(,t),B(+1,+1), 由P(-2,2),Q(0,2),可得直线PA的方程为y 2=号+2)u≠-2,0 直线0B的方程为2骨≠-，② 由①②两式消去t,得x2-y2+2x-2y+8=0. 参考答案。 经检验，当t=-2,t=-1时，直线PA和直线QB的 交点M也符合上式，.点M的轨迹方程为x2-y2+2x-2y+ 8=0. 变式训练3解：设A(o,yo),B(x,-o),由题意知 A1(-3,0),A2(3,0), 直线AM,的方程为)厂中（a+3),① 直线AB的方程为y=-9(x-3).② x03 0x2得产-g-9国 又：点40在椭圆G上，故号1，总) 号，代人③得g9)<-3,30, 即号六1a<-3,0. 直线AA,与直线AB的交点M的轨迹方程为号- y2=1(x<-3,y<0). 例3解：设A多小.B号小，0A,0B的斜率 分别为k,k所以k4=头=业，k卫. Yi yA YB 如 由01上0B,得kmk16p2=-1① YAYE 直线AB方程为 0+y)0-y)=4px-盖)② 4p 由OM⊥AB,得直线OM方程y=4+YEx③ -4p 设点M(x,y),则x,y满足②、③两式，将②式两 边同时乘-布，并利用③式整理得 布w-(y）-0国 由③、④两式得-w(4y）-0 由①式知，yw=-16p2,x2+y2-4px=0. 因为A,B是原点以外的两点，所以x≠0. 所以点M的轨迹方程为(x-2p)2+y2=4p2(x≠0)，M 的轨迹是以(2印，0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉 坐标原点. 例4解：若两条互相垂直的切线中有一条斜率不存在 时，可得点P的坐标是（±a,b)或（±，-b)在圆x+ b2=+b2上.当两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均 不为0时，设点P的坐标为(xo,yo)(xo≠±a,且 61 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 yo≠±b),因此设过点P的切线方程为y-yo=k(x-x)(k≠ 0) x2+2 由 京l, (ak2+b2)x2-2ka2 (kxo-yo)x+ y-yo=k(x-x0） a2(kxo-Yo)2-ab2=0. 因为直线与椭圆相切，所以其判别式的值为0，得 (x6-a2)k2-2x0yk+y6-b2=0(x6-2≠0). 设两切点分别为A,B,则kH,k是这个关于k的 元二次方程的两个根，所以妇答，因此k: (62 km=-1台x6+y6=a2+b2,进而可得x2+y2=2+b3. 数学文化 解：取炮口为原点，水平方向为x轴，建立平面直 角坐标系.设炮弹发射后的位置在点M(x,y),由物理学 知识可以得到 na以，①台是重力加建度. x=C0sa·t, 这里a,和g都是常数，当t取某一个允许值时， 由方程组①就可以确定当时炮弹所在的位置.这就是说， 当t确定后，点M(x,y)的位置也就随着确定了.