2.8 直线与圆锥曲线的位置关系-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

第二章平面解析几何。 2.8直线与圆锥曲线的位置关系 学习目标 方程ax2+bx+c=0的解 1与C 的交点 1.通过类比直线与圆的位置关系，会判 b=0 无解（含I是双曲线的渐近线） 8 断直线与圆锥曲线的位置关系，培养数学抽 a=0 有一个解（含！与抛物线的 b≠0 对称轴平行或与双曲线的渐 一个 象、直观想象能力. 近线平行) 2.会求直线与圆锥曲线相交时弦长、弦 4>0 两个不相等的解 两个 的中点及相关综合问题，提升数学运算、逻 a≠0 4=0 两个相等的解 一个 辑推理能力。 △<0 无实数解 无 要点精析 例1已知抛物线C:y2=8x与点M(-2, 川要点1直线与圆锥曲线的位置关系 2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于 A,B两点，若MA·MB=0,求k的值 1.直线与圆锥曲线相切 一般地，给定直线1与圆锥曲线C(圆 椭圆、双曲线、抛物线)，如果联立它们的 方程并消去一个未知数后，得到的是一个一 元二次方程且该方程只有一个实数解（即有 两个相等的实数解)，则称直线与圆锥曲线 变式训练1 相切. 2.直线与圆锥曲线的位置关系判断 设双商线荐-茶-1（®0,6>0）的新近 设直线1：Ax+By+C=0(A+B≠0)，圆锥曲 线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心 (Ax+By+C=0(A2+B2≠0)， 率等于() 线C:fx,y)=0,由 fx,y)=0, A.V3 B.2 即将直线1的方程与圆锥曲线C的方程联 C.V5 D.V6 立，消去y便得到关于x的方程a2+bx+c=0 例2过点P(2,2)作抛物线y2=2x的 (当然，也可以消去x得到关于y的方程)， 切线1，求切线1的方程， 通过方程解的情况判断直线！与圆锥曲线C 的位置关系，见下表： 学(103 高中数学选择性必修第一册人教B版 B变式训练② MB=V1+gVG*a40 已知双曲线C:x2-4y2=1,经点P(2,0) 当k=0时，直线平行于x轴，AB=比广x 的直线1与C有唯一公共点，则直线l的方 例3已知直线1与椭圆若+兮1在第 程为() 一象限交于A,B两点，1与x轴、y轴分别 A.y=2x-1 交于M,N两点，且MAI=WBI,MN=2V3, B.ytl 求直线l的方程 C=2-1或=l D.)=2-1或y=号t1 川要点2弦长公式 1.一般地，直线与圆锥曲线有两个公共 点时，则以这两个公共点为端点的线段称为 圆锥曲线的一条弦，线段的长就是弦长.简 单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上 任意两点所得的线段， 变式训练3 2.若直线1与圆锥曲线相交于A,B两 已知点F(-1,0),F2(1,0),动点P 点，求弦AB长的方法： 到点F,F2的距离和等于4. (1)把直线的方程与圆锥曲线的方程联 (1)试判断点P的轨迹C的形状，并写 立，得到点A,B的坐标，然后用两点间的 出其方程； 距离公式，便得到弦AB的长.一般来说， (2)若曲线C与直线m:y=x-1相交于 这种方法较为麻烦. A,B两点，求弦AB的长。 (2)不求交点坐标，可用一元二次方程 根与系数的关系求解.当直线的斜率存在时， 设直线方程为y=kx+m,与圆锥曲线交于两 点A(x1,y),B(x2,y2),则 AB1=V(x1-x2)+(y1-y2)月 =V(x1-x2)2+(kx1+m-kx2-m)7 =V1+k2.V(x1+x2)2-4x1x2 或当k≠0时， (104)学 第二章平面解析几何。 例4已知椭圆C:菁+1内有一条 例5已知双曲线C:若-若1(a0, 以点P1,}为中点的弦AB,则直线AB b>0)的左、右焦点分别为F,F2,过F的 直线与C的两条渐近线分别交于A，B两 的方程为( 点，若FA=AB,FB·F,B=0,则C的离心 A.3x+3y-2=0 B.3x+3y+2=0 率为 C.3x+3y-4=0 D.3x+3y+4=0 反思感悟本题主要考查了解析几何 数学文化 中的点差法.点差法具体如下：设1与椭圆 例阿基米德（公元前287一前212） 交于A(x,y1),B(x2,y2),A,B的中点 是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学 为(x,y),由已知得也=，业y, 2 2 家，他最早利用逼近的思想证明了如下结 k=Y二2.把点A,B的坐标代入椭圆方程， 论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形 X1-X2 两式相减可得k,再利用点斜式即可得出. 的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的 两条切线所围成的三角形面积的三分之二 变式训练4 这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的 已如箱因C:若+号-山，直线1与椭圆 三角形被称为阿基米德三角形.在平面直角 坐标系中，已知直线1：y=1与抛物线C:y C交于A,B两点，O为坐标原点。 x2交于A,B两点，则弦与抛物线C所围成 (1)若线段AB的中点坐标为(1,1)， 的封闭图形的面积为 求直线I的方程； (2)若直线I过点P(1,0),且△OAB 面积为D,求直线1的方程， 学(105P0=5o+gg2.解得 1 数学文化 (1)证明：由抛物线的光学性质及题意知光线PQ 必过抛物线的焦点F(号，0)，当直线PQ的斜率存在 时，设直线PQ的方程为)=k(x-号① 由①式，得=+号，将其代入抛物线方程产 2px中，整理得)2-2)p-0.由根与系数的关系得0= p2 当直线PQ的倾斜角为90时，将x=卫代入抛物线方 程，得=中，同样得到y0=p2 (2)解：光线QN经直线1反射后又射向M, ∴直线MN与QN关于直线1对称，设点M,4关于1 Γ4 的对称点为M(x,y),则 2x24x417-0. 2 解得仁 4 y'=-1. 直线QN的方程为y=-1,Q点的纵坐标y2=-1.由题 设知P点的纵坐标y=4,且由(1)知y2=-p2,则4× (-1)=-p2,得p=2,故所求抛物线方程为y2=4x. >2.8直线与圆锥曲线的位置关系 要点精析 例1解：抛物线焦点F(2,0),设1：y=k(x-2)与抛物 线方程联立，消去y得k2x2-(42+8)x+42=0. 设点A(x,),B(,),则x+=4+8, 2,x2=4, ty2=h(x+2)-4k=8. yW2=k2[xx2-2(x1+x2)+4]=-16. 又.MA-MB=(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2) =(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2) =xw2+2(x1+x2)+y0y2-2(y1+y2)+8=0, 即k2-4k+4=0,解得k=2. 变式训练1C【解析】双南线导后1的浙近线方程 参考答案。 为)=±名x,y=+1与渐近线相切，故+1±女x=0只 有一个实根，4=0，即-4=0，c-4=4,2=5, a 2 ∴.e=V5,故选C. 例2解：设切线斜率为k,则切线方程y-2=k(x-2), 联立方程组 -2=k(x-2),可得-2y-4k+4=0,则4- y2=2x, 4-4k(-4张4)-0，解得k=分，即切线方程为)-2=号（x 2),故切线1的方程为x-2y+2=0. 变式训练2C【解析】由双曲线的几何性质可知，当直 线与渐近线平行时，直线1与C有唯一公共点，由于双 曲线的渐近线方程为y=±x,故直线1的方程为y 3-2)或=号x-2),即y=2-1或y=741.故 选C 例3解：由题知，设1方程为 y=kx+b,其中k<0,b>0. 由题知，一冬，b y=kx+b, 联立+号 例3答图 得(1+2k2)x44bx+2b2-6=0,x+x=-1+2 4kb 由MA=HNB可知x厂xA=xB,故A+xB=XM, 即经冬，解得=号又南2V5, 2 可得=128器4，于是62 经检验知，子，62时，直线1与嘴圆相交。 所以1的方程为=-V2x+2. 2 变式训练3解：(1)：点P到两定点F,F的距离之 和为4，大于两定点间的距离FF=2, .点P的轨迹是以F,F为焦点的椭圆，设其方程 为5+后1m60. 则2a=4,2c=2,即a=2,c=1,b=V3,.点P的 轨迹方程为香+兮山 2+=1, (2)设A(x1,),B(,2),联立43 y=x-1, 59 高中数学选择性必修第一册人教B版 得7x2-8x-8=0,则有 .lAB=V(1+h2)I(x+x2)2-4x2J =V2号x=4 例4C【解析】设A(x,y),B(x2,y2),则t也=1， 些=号，由A,B在椭圆上可得等+l,琴+1， 2 两式相减可得，xx++)t）=0,k 3 1 业=-x)=-2,=-1,·.直线AB的方程为 x1-X2 3(01+)3x 3 }=l(-1),即3x434-0故选C 变式训练4解：(1)设A(x1,y),B(x2,y2), +=1, 42 则 两式作差得好龙=-，整理可 4 2 2 得一子的子的 又线段AB的中点坐标为(1,1)，则x+x=2, =2,=分，直线1的方程为1=号(-1). 即l:x+2y-3=0. (2)当直线1的斜率为0时，O,A,B三点共线， 不合题意，则直线1的斜率不为0，可设：x=y+1, x=y+1, 得(t2+2)y2+2ty-3=0. 2t ytyP2' 设A(x,y),B(,2),则 3 y0w2P+2' V(yy:)-=V2 42+6 =V0,解得=士1，直线1的方程为x=y+1或x=-y+ 3 1,即1：x-y-1=0或x+y-1=0. 例52【解析】解法1：如图所 示，可设Bn合o,F(,0, F(c,0),则FB=x+c,6o, P居e,名，所以F函FE 例5答图 (60 =0c小华l+ge-e20,解得： a或-a(舍去)，从而B(a,b),由FA=AB知A为FB 的中点，所以A受，号)，代入=名x得：今=合 ,“分，整理得：c=2a,即双曲线C的离心率c=。-2 解法2：如图，由FB·FB=0知BF⊥BF,又O为 FB的中点，所以1OB=FF=0F,由F不=AB知A 为FB的中点，所以∠AOB=∠AOF,又∠AOF= ∠BOF,所以∠AOB=∠AOF=∠BOF=60°.从而双曲线 C的一条渐近线的斜率6=tan LBOF,=tan60°=V3,即 b=V3a,所以=3d,从而c2--3c,故e=。=2. 解法3：如图，由FB·FB=0知BF⊥BF2,所以点B 是以FF,为直径的圆与渐近线在第一象限的交点，得B (a,b),又FA=AB,所以A为FB的中点，因为F(-c, 0),所以A,名)因为点A在另一条渐近线)=。x 上，所以号=合·受，化简得商心率c=日2 2 1 数学文化 x=-1,直线：)=1 李相1以格 与抛物线C:y=x2的交点坐标为A(1,1)和B(-1, 1.设过点A的切线方程为)=kx+1k,联立+1-k, y=x2, 消去y得x2-kx+k-1=0.由△=k2-4(k-1)=0,得k=2. 同理，经过点B的切线的斜率为-2.过A,B两点 的切线的方程分别为y=2x-1和y=-2x-1,其交点为(0， -1),阿基米德三角形的面积为2×2x2=2,故弦与抛 物线C所围成的封闭图形的面积为号 ●“专题课求轨迹方程 要点精析 例1解：①当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为 y=kx+1,设A(x1,y),B(x2,y2), 联立 4 ’消去y,得(4+k2)x2+2kx-3=0, ly=kx+1, 2k x1+x=42’1+y2=k(x+2)+2=442