第2章 24-专题专项练-专题强化练9 直线与圆锥曲线的综合问题（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教B版）

该高中数学课件聚焦平面解析几何，以直线与圆锥曲线综合问题为核心，通过专题专项练习串联抛物线、椭圆、双曲线知识点。从基础定义出发，结合典型例题搭建学习支架，帮助学生衔接直线方程、向量运算与曲线性质的应用。 其亮点在于精选各地联考真题，解析注重逻辑推理与几何直观，如通过向量垂直、对称点轨迹等条件培养数学思维。采用一题多解和分步推导，助力学生用数学语言表达问题，提升综合解题能力，也为教师提供优质教学资源，提高课堂效率。

第二章 平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 专题专项练 专题强化练9 直线与圆锥曲线的综合问题 第1讲　描述运动的基本概念 1.[2025安徽县中联盟月考]已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,O为坐标原点,若直线l交C于A,B两点,且 ·  =-4,点O关于l的对称点为D,则|DF|的取值范围为 ( ) A.(2,4]　　    B. 　　    C.(1,3]　　    D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由于A,B两点在抛物线y2=4x上,所以可以设点A ,B ,则 · = +y1y2=-4. 由直线l交C于A,B两点,得直线l不与x轴平行或重合,故可设直线l的方程为x=my+t, 联立 得y2-4my-4t=0,所以y1y2=-4t, 所以 · =t2-4t=-4,所以t=2, 所以直线l与x轴的交点为(2,0),记为P,连接DP,由O,D关于直线l对称,得|OP|=|DP|=2,且D点不与O点重合, 故可知D的轨迹方程为(x-2)2+y2=4(不包括原点),其半径r=2,所以|DF|>r-|PF|=1,|DF|≤r+|PF|=3,即|DF|∈ (1,3].   第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026河南百师联盟联考]已知椭圆C: +y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=kx(k≠0)与C 交于A,B两点,AE⊥x轴,垂足为E,直线BE与椭圆C的另一个交点为P,则下列结论正确的是 ( ) A.若∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为  B.四边形AF1BF2可能为矩形 C.直线BE的斜率为 k D.若P与A,B两点不重合,则直线PA和PB的斜率之积为-4     BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由椭圆C: +y2=1,得a=2,b=1,c= . 对于A,在△PF1F2中,由余弦定理可得,|F1F2|2= + -2|PF1||PF2|cos 60°, 即4c2=4a2-3|PF1||PF2|,解得|PF1||PF2|= , ∴ = |PF1||PF2|·sin 60°= × × = ,因此A错误; 对于B,若四边形AF1BF2为矩形,则AF1⊥BF1,即 · =0,即(xA+ )(xB+ )+yAyB=0,即xAxB+ (xA+xB)+3+ yAyB=0, 联立 得(4k2+1)x2=4, 得xA+xB=0,xAxB=- ,yAyB=kxA·kxB=- , 第1讲　描述运动的基本概念 则- +3- =0,即8k2-1=0,易知该方程有实根,因此B正确; 对于C,结合B中分析,由(4k2+1)x2=4,得x=±2 ,由对称性,不妨设k>0,A在x轴上方, 可得A ,B -2 ,  ,则E ,则kBE= = ,因此C正确; 对于D,易得kPA= = = , 由C中分析知直线BE的方程为y=  ,与椭圆方程 +y2=1联立,消去y,可得x2+k2·  -4=0,即(k2+1)x2- x+ -4=0,可得xB+xP= · , 第1讲　描述运动的基本概念 则yB+yP=   · -  = ,所以kPA=- ,则kPA·kPB=- · =- ,因此D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2026广东广州华南师大附中期中]如图,已知O为坐标原点,抛物线W:y2=2px(p>0)与圆M:(x-6)2 +(y-4)2=64相交于A,B两点,线段AB恰为圆M的直径,且直线AB过抛物线W的焦点F,动直线l过点F且与抛 物线交于C,D两点,则以下结论正确的是( )   A.p=4　　     B.|CF|+9|DF|≥36 C.△CFM的周长可以为14　　     D.当S△COF=3S△DOF时,|CD|=12     AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　圆M:(x-6)2+(y-4)2=64的圆心为M(6,4),半径为8. 对于A,过A,B,M作抛物线准线x=- 的垂线,垂足分别为A1,B1,M1,如图,   由于圆的直径AB过焦点F,所以M(6,4)到准线的距离|MM1|= = = =8, 又|MM1|=6+ ,所以6+ =8,解得p=4,故A正确; 对于B,由A知抛物线W:y2=8x,设直线CD的方程为x=my+2,C(x1,y1),D(x2,y2), 由 可得y2-8my-16=0,则Δ>0,y1+y2=8m,y1y2=-16,则x1x2= · =4,即x2= , 第1讲　描述运动的基本概念 则|CF|+9|DF|=x1+2+9(x2+2)=x1+ +20≥2 +20=32,当且仅当x1=6时等号成立,故B错误; 对于C,由M(6,4),F(2,0),可得|MF|=4 ,设△CFM的周长为L,如图:   过点C向抛物线的准线作垂线,垂足为C1, 则L=|CF|+|FM|+|CM|=|CF|+4 +|CM|=4 +|CC1|+|CM|≥4 +|MM1|=4 +8,当且仅当M,C,M1三点共线 时取等号,因为4 +8<14,所以△CFM的周长可以为14,故C正确; 对于D,如图: 第1讲　描述运动的基本概念   因为 = = = =3,所以x1=3x2+4,又因为x1x2=4,所以(3x2+4)x2=4,解得x2=  或x2=-2(舍),所以x1=6,则|CD|=x1+x2+p=6+ +4= ,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 4.已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左焦点为F1,若直线l:y=kx,k∈ 与双曲线C交于M,N两点,且 MF1⊥NF1,则双曲线C的离心率e的取值范围是 ( ) A.(1,2)　　    B.[ ,2) C.[ , +1]　　    D.(2, +1]     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　易得F1(-c,0).设M(x,y),由题意有N(-x,-y),则 =(-c-x,-y), =(-c+x,y). 因为MF1⊥NF1,所以 · =(-c-x)(-c+x)-y2=0,即x2+y2=c2. 因为M(x,y)在双曲线上,所以 - =1. 由 解得  又M在直线y=kx上,k∈ , 所以k2= = = = -1∈ ,即 整理得  第1讲　描述运动的基本概念 解得2≤e2≤4+2 或4-2 ≤e2≤ (舍去), 所以 ≤e≤ +1. 因为直线l与双曲线交于两点,双曲线的渐近线方程为y=± x,所以 > ,所以e= >2,所以2<e≤  +1. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025湖北武汉第六中学月考]已知F( ,0)为椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点,过点F的直线与椭圆C 交于A,B两点,P为AB的中点,O为坐标原点,若△OFP是以OF为底边的等腰三角形,且△OFP外接圆的面 积为 ,则椭圆C的长轴长为 ( ) A.2 　　    B.2 　　    C.4　　    D.6     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由△OFP外接圆的面积为 ,得其外接圆的半径为 . 设∠OFP=α,∵△OFP是以OF为底边的等腰三角形,∴∠OPF=π-2α,∴ = = ,解得sin 2α = ,∴α= 或α= . 不妨设点P在x轴下方,由△OFP是以OF为底边的等腰三角形,知kPF=-kOP= 或 . 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 + =1, + =1, ∴ + =0, ∴ · =- . ∵A,B,F,P四点共线,P为线段AB的中点, 第1讲　描述运动的基本概念 ∴kPF=kAB= ,kOP= = , ∴kPF·kOP=- ,∴ = 或 =3(舍去). ∵F( ,0)为椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点, ∴a2-b2=2,∴a= ,故椭圆C的长轴长为2 . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025山东泰安期中]定义:若椭圆 + =1(a>b>0)上的两点M(x1,y1),N(x2,y2)满足 + =0,则称M,N 为该椭圆的一个“共轭点对”,记作[M,N].已知点A ,B(1,1),C(0,1),D 中恰有三点在椭圆E 上. (1)求椭圆E的标准方程; (2)证明:椭圆E上有两个点G满足“共轭点对”[A,G],并求出点G的坐标; (3)设(2)中的两个点G分别为G1,G2,O为坐标原点,点P,Q在椭圆E上,且 ∥ ,点P,Q在直线G1G2的两侧, 求四边形G1PG2Q的面积的最大值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)易知A,D两点关于y轴对称,所以椭圆E经过A,D两点.又因为A,B的横坐标相同,纵坐标不同,所 以椭圆E不经过点B,所以点C在椭圆E上,且E的焦点在x轴上. 设椭圆E的标准方程为 + =1(a>b>0), 则 解得  所以椭圆E的标准方程为 +y2=1. (2)设G(x,y),则 解得 或  第1讲　描述运动的基本概念 所以满足“共轭点对”[A,G]的点G的坐标有两个,分别为 , . (3)不妨设G1 ,G2 ,则 = =- ,所以直线G1G2的方程为y+ =- (x- ),即x+2  y=0. 设P(xP,yP),Q(xQ,yQ),则  两式相减,得 +(yP-yQ)(yP+yQ)=0,所以 =-4× . 因为 ∥ ,所以 =kOA= ,所以 =-4× ,即yP+yQ=- (xP+xQ),所以线段PQ的中点在直线 G1G2上,即线段PQ被直线G1G2平分. 第1讲　描述运动的基本概念 设点P到直线x+2 y=0的距离为d,则 =2 =2× |G1G2|×d=|G1G2|×d, 又|G1G2|= = ,所以 = d. 设过点P且与直线G1G2平行的直线的方程为x+2 y+m=0,则当l与E相切时,d取得最大值. 由 消去y,得4x2+2mx+m2-12=0. 令Δ=(2m)2-4×4(m2-12)=0,得m=±4,所以d≤ = ,当且仅当点P(或点Q)与A重合时,等号成立,所以  ≤ × =4,所以四边形G1PG2Q的面积的最大值为4. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026黑龙江哈九中期中]已知双曲线C: -y2=1(a>0)的渐近线方程为y=± x,C与x轴的正、负半轴分 别交于点M1,M2,过点A(2a,0)的直线l与C的右支交于P,Q两点. (1)若直线l的斜率存在,求直线l的斜率k的取值范围; (2)探究 是不是定值,若是,求出该定值;若不是,说明理由(其中 , 分别表示直线M1Q,M2P的斜 率); (3)若直线M2P,M1Q交于点R,且S△RPQ≥7 ,求直线l的斜率k的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)双曲线C: -y2=1(a>0)的渐近线方程为y=± x=± x,所以a=2,所以A(4,0),双曲线C: -y2=1. 易知直线l的斜率不为0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线l的方程为x=my+4, 联立 -y2=1与x=my+4,消去x,整理得(m2-4)y2+8my+12=0, 所以 所以-2<m<2,且m≠0. 又k= ,所以k的取值范围为 ∪ . (2)依题意及(1)得,M2(-2,0),M1(2,0),y1+y2=- ,y1y2= ,于是2my1y2=-3(y1+y2), 第1讲　描述运动的基本概念 因此 = = = =  = = =- , 即 是定值- . (3)由(2)知, =-3 ,令 =k1,则 =-3k1, 所以直线M2P与直线M1Q的方程分别为y=k1(x+2),y=-3k1(x-2), 由 解得x=1,即交点R的横坐标为1, 第1讲　描述运动的基本概念 故 =  = · = · =  = =- =-1+ , 由S△RPQ≥7 ,得 ≥7,即-1+ ≥7, 结合-2<m<2,且m≠0,可得-2<m≤- 或 ≤m<2, 又k= ,所以k的取值范围为 ∪ . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026上海复旦大学附属中学期中]在平面直角坐标系xOy中,抛物线Γ1是由抛物线y=x2按d=(0,m)平移 得到的,Γ1过点A(1,0)且与x轴相交于另一点B.曲线Γ2是以AB为直径的圆.将Γ1在x轴上方的部分、Γ2在x 轴下方的部分以及点A,B构成的曲线记为曲线Ω. (1)直接写出抛物线Γ1和圆Γ2的方程; (2)如图,设直线y=k(x-1)与曲线Ω有不同于点A的两个公共点P,Q,且∠QBA=∠PBA,求k的值; (3)若过曲线Ω上的动点M(x1,y1)(0<x1<1)的直线l与曲线Ω恰有两个公共点M,N,且直线l与x轴的交点在点 A的右侧,求 · 的最大值,并求取得最大值时点M,N的坐标.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)抛物线y=x2按d=(0,m)平移后得到曲线y=x2+m, 由题知点A(1,0)在曲线y=x2+m上,将(1,0)代入y=x2+m,得0=1+m,解得m=-1,所以Γ1:y=x2-1, 则B(-1,0),所以圆Γ2的圆心为(0,0),半径为1,所以Γ2:x2+y2=1. (2)由题可知直线y=k(x-1)过点A,且与抛物线Γ1和圆Γ2各有一个不同于点A的公共点,分别为Q,P, 联立y=k(x-1)与y=x2-1(y>0),消去y得x2-kx+k-1=0,则xAxQ=k-1,所以Q(k-1,k2-2k), 由k2-2k>0,得k>2或k<0. 联立y=k(x-1)与y2=1-x2(y<0),同理可得P ,由 <0,得k>0. 综上可得k>2. 又点B(-1,0),∠QBA=∠PBA,所以kQB+kPB= + =0,解得k=1± ,又k>2,所以k=1+ . (3)结合图象可知分两种情况: 第1讲　描述运动的基本概念 ①如图1,M,N都在y轴下方的四分之一圆上(不含其与坐标轴的交点),此时 · =| |·| |·cos∠ MON=cos∠MON<1.        ②如图2,M(x1,y1)在y轴下方的四分之一圆上(不含其与坐标轴的交点),N在第一象限内的抛物线上,设N(x 2,y2),则y2= -1. 当直线MN为曲线Ω在M和N处的切线时, · 最大. 设曲线Ω在N处的切线斜率为k',由 得x2-k'x+k'x2- =0,则Δ=(-k')2-4(k'x2- )=(k'-2x2)2=0, 第1讲　描述运动的基本概念 所以k'=2x2,所以切线方程为y=2x2(x-x2)+ -1,即y=2x2x- -1, 切线与圆Γ2也相切,所以圆心(0,0)到切线的距离d= =1,所以x2= , 此时切线方程为y=2 x-3,切线与x轴的交点为 ,在A(1,0)的右侧,符合题意, 又MN⊥OM,所以 · = =1, 由y2= -1得y2=1,所以N( ,1), 由 得 即M . 综上, · 的最大值为1,此时M ,N( ,1). 第1讲　描述运动的基本概念 $